精品解析：重庆市育才中学2022-2023学年七年级上学期期末考试数学试题（一）

重庆育才中学2022-2023学年上学期七年级期末考试 数学试题（一） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在答题卷上对应的位置． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程的解是，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 多项式的次数是3 B. 的系数是1 C. 连接两点的线段就是两点之间的距离 D. 近似数万是精确到百分位 6. 如图，是线段上两点，若线段，，且是线段中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 下列方程移项、系数化为1正确的是（ ） A. 由3+x＝5，得x＝5+3 B. 由2x+3＝x+7，得2x+x＝7+3 C. 由7x＝﹣4，得x＝﹣ D 由y＝2，得y＝4 8. 若的值为1，则整式的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 9 9. 已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之?意思是：跑得快马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马?若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　） A. 240x+150x =12×15 B. 240x =150x-12×150 C. 240（x-12）=150x+150 D. 240x =150x +12×150 11. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第⑩个图案中圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是（ ） A B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上． 13. 在全国第七次人口普查中，重庆市常住人口约人，则用科学记数法可表示为_____人． 14. 一个角的余角的倍比这个角的补角小，则这个角的度数为_____． 15. 如图，直线和交于O点，平分于点，则_____． 16. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值为_____． 17. 已知方程和方程的解相同，则代数式的值为_____． 18. 在刚刚结束的我校创造节中，某班“育”见柠檬茶摊位推出了三种产品，分别是“手打柠檬茶”、“手摇奶茶”和“水果奶昔”．已知“水果奶昔”的成本是“手摇奶茶”的2倍，“水果奶昔”和“手摇奶茶”的售价和是“手打柠檬茶”售价的4倍，卖出1杯“手打柠檬茶”利润率为，卖出1杯“手摇奶茶”利润率为，卖出1杯“水果奶昔”利润率为，若售出的“水果奶昔”和“手摇奶茶”的利润率为，三种产品利润率为，求售出“手摇奶茶”的数量与其余两种产品的数量和之比为_____． 三、解答题：（本大题共6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. （1）如图1，已知线段、，用无刻度的直尺和圆规画一条线段，使它等于（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）如图2，已知线段长为，其中，点D为中点，求线段的长度． 23. “才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元． （1）该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？ （2）由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值． 24. 若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0）满足，则称这个三位正整数为“天长数”．对于一个“天长数”m，将它的十位数字作为百位，百位数字作为个位，个位数字作为十位后得到新数n，记．例如：满足，则126为“天长数”，那么，所以． （1）求=______； （2）对于任意一个“天长数”m，若能被11整除，求所有满足条件的“天长数”． 四、解答题：（本大题2个小题，25题10分，26题8分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 25. 已知，，平分． （1）如图，若，求的度数； （2）将顺时针旋转至如图位置，若平分，，求的度数． 26. 如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足等式我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母一起标记．比如点A与点B之间的距离记作． （1）_______，______； （2）若数轴上有一个动点P满足条件．求点P表示的数； （3）甲、乙两动点在B点分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度同时向左运动，此时动点丙在A点也以3个单位/秒的速度向右运动．假设它们共同出发的时间为t秒，是否存在t，使得丙到乙的距离是丙到甲的距离？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学2022-2023学年上学期七年级期末考试 数学试题（一） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填写在答题卷上对应的位置． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于，负数小于；正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小，据此即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于负数， ∴最小的数在和中， 又∵两个负数比较，绝对值大的反而小，， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 2. 下列各选项中的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据每一个几何体的特征，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是球体，故不符合题意； B、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆锥，故不符合题意； C、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆柱，故符合题意； D、图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体是圆台，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握每一个几何体的特征是解题的关键． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解题关键．根据合并同类项法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，此项错误，不符题意； B、，此项错误，不符题意； C、，此项错误，不符题意； D、，此项正确，符合题意； 故选：D． 4. 若关于的方程的解是，则的值是（ ） A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】把代入方程，得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 a+3=2，解得：a=-1，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查方程的解的定义，解一元一次方程，能使方程左右两边相等的未知数值叫做方程的解． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 多项式的次数是3 B. 的系数是1 C. 连接两点的线段就是两点之间的距离 D. 近似数万是精确到百分位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查近似数，单项式系数，多项式次数，两点之间的距离．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 根据近似数，单项式的系数，多项式的次数，两点之间的距离，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、多项式，次数为3，选项正确，符合题意； B、单项式的系数是，选项错误，不符合题意； C、连接两点的线段的长度就是两点之间的距离，选项错误，不符合题意； D、近似数万精确到百位，选项错误，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，是线段上两点，若线段，，且是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由，可得，再根据线段中点的定义可得，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， 故选：． 7. 下列方程移项、系数化为1正确的是（ ） A. 由3+x＝5，得x＝5+3 B. 由2x+3＝x+7，得2x+x＝7+3 C. 由7x＝﹣4，得x＝﹣ D. 由y＝2，得y＝4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等式的性质逐项分析即可．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等． 【详解】解：A. 由3+x＝5，得x＝5-3 B. 由2x+3＝x+7，得2x-x＝7-3 C. 由7x＝﹣4，得x＝﹣，故该选项不正确，不符合题意； D. 由y＝2，得y＝4，故该选项正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键． 8. 若的值为1，则整式的值为（ ） A. B. 3 C. 0 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，根据题意可得出，将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， ∴， 故选：B． 9. 已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上数的表示特征，绝对值的性质．根据数轴上数的表示可知，左边的数都小于右边的数，判断出，然后去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴上数表示可知，， ∴， ∴原式， 故选：C． 10. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之?意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马?若设快马x天可追上慢马，则由题意可列方程为（　　） A 240x+150x =12×15 B. 240x =150x-12×150 C. 240（x-12）=150x+150 D. 240x =150x +12×150 【答案】D 【解析】 【分析】设快马x天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 据题题意：． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 11. 用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第⑩个图案中圆点的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知，第1个图形共有圆点3个；第2个图形共有圆点7个；第3个图形共有圆点13个；第4个图形共有圆点21个；；则第个图形共有圆点（个）；由此代入求得答案即可． 【详解】解：根据图中圆点排列可知， 当时，圆点个数； 当时，圆点个数； 当时，圆点个数； 当时，圆点个数， 当第个时，圆点个数为：， 当时，圆点个数． 故选：． 【点睛】此题考查图形的变化规律，读懂题目，根据题意找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，利用规律解决问题． 12. 已知关于方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将a看作一个常数，先求关于x的一元一次方程的解，再根据方程的解是正整数求出符合条件的所有整数a的值，最后做乘积运算即可． 【详解】解： 两边同乘以6，得 去括号，得 移项合并同类项，得 因为方程有解，所以， 所以 要使方程的解是非正整数，则整数a满足： 且为整数 所以的值为：10或5或2 解得：a=-3或-2或1 则符合条件的所有整数的和是：-3+（-2）+1=-4 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、以及解的应用，正确求解方程是解题关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上． 13. 在全国第七次人口普查中，重庆市常住人口约人，则用科学记数法可表示为_____人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 一个角的余角的倍比这个角的补角小，则这个角的度数为_____． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，设这个角的度数为，根据题意列出方程即可求解，掌握余角、补角定义是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角度数为， 故答案为：． 15. 如图，直线和交于O点，平分于点，则_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键． 根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可． 【详解】解：∵、相交于点， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相反数、倒数、绝对值和代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据相反数、倒数、绝对值的定义可得，，代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ， 原式 ， 故答案为：． 17. 已知方程和方程的解相同，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的解的定义，是解题的关键． 先求出的解，再把x的值代入，求解即可． 【详解】解：∵的解是：， 又∵方程和有相同的解， ∴把，代入，得， 解得：． 则， 故答案是：． 18. 在刚刚结束的我校创造节中，某班“育”见柠檬茶摊位推出了三种产品，分别是“手打柠檬茶”、“手摇奶茶”和“水果奶昔”．已知“水果奶昔”的成本是“手摇奶茶”的2倍，“水果奶昔”和“手摇奶茶”的售价和是“手打柠檬茶”售价的4倍，卖出1杯“手打柠檬茶”利润率为，卖出1杯“手摇奶茶”利润率为，卖出1杯“水果奶昔”利润率为，若售出的“水果奶昔”和“手摇奶茶”的利润率为，三种产品利润率为，求售出“手摇奶茶”的数量与其余两种产品的数量和之比为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意设出未知数，列出方程，用含未知数的式子表示各量是解题关键，本题数量关系较为复杂，需要反复读题，理解题意． 设一杯“手打柠檬茶”成本为元，一杯“手摇奶茶”成本为元，一杯“水果奶昔”成本为元，表示出三者的利润，设“手打柠檬茶”“手摇奶茶”“水果奶昔”分别卖出杯，y杯，z杯，根据题意列方程即可求解； 【详解】解：设一杯“手打柠檬茶”成本为元，一杯“手摇奶茶”成本为元，一杯“水果奶昔”成本为元， 由题意得一杯“手打柠檬茶”利润为元， 一杯“手摇奶茶”利润为元， 一杯“水果奶昔”利润为元； 设“手打柠檬茶”“手摇奶茶”“水果奶昔”分别卖出杯，y杯，z杯， 则“手摇奶茶”和“水果奶昔”的总利润为元，总成本为元， ∵二者总利润率为， ∴， 即，化简得①， 同理∵三种产品总利润率为， ②， ∵一杯“手打柠檬茶”售价为元，一杯“手摇奶茶”售价为元，一杯“水果奶昔”售价为元， 由题意， ③， 将③代入②中得，即，化简得④， 将①代入④中得， ∴售出“手摇奶茶”的数量与其余两种产品的数量和之比为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共6个小题，每小题10分，共60分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）10 （2）1 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）按照加减运算法则，进行计算即可； （2）根据混合运算法则，进行计算即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． （1）利用去括号法则去括号，然后合并同类项即可求解． （2）利用去括号法则去括号，然后合并同类项即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，进行计算即可得出答案，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得解． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 22. （1）如图1，已知线段、，用无刻度的直尺和圆规画一条线段，使它等于（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）如图2，已知线段长为，其中，点D为中点，求线段的长度． 【答案】（1）见详解；（2） 【解析】 【分析】此题考查了线段的和差作图，线段中点的有关计算，正确掌握作线段等于已知线段的方法及线段中点的定义是解题的关键． （1）先画一条射线，依次截取，即可得到所求作的线段； （2）利用，求出，根据点D是的中点，求出的长，相减即可得到线段的长度． 【详解】解：（1）线段即为所求作的线段； 解：（2） ∵，， ， ∵点D是的中点， ， ． 23. “才见岭头云似盖，已惊岩下雪如尘”，2022新年到来的寒潮，使得重庆的气温骤降，围巾和手套的需求量增加．已知一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，2021年12月共售出围巾20条和手套30副，总销售额为2700元． （1）该店2021年12月围巾和手套的销售单价分别为多少元？ （2）由于供不应求，该商店开始调整价格，2022年1月围巾销售价格在2021年12月基础上增长了，销量减少了5条；2022年1月手套的销售价格在2021年12月基础上增加m元，销量下降了最终2022年1月总销售额比2021年12月总销售额多了552元，求m的值． 【答案】（1）该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元 （2） 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题，掌握列二元一次方程组解应用题，一元一次方程解销售问题应用题的方法与步骤是解题关键． （1）设该该店2021年12月围巾的销售单价为元，手套的销售单价为元，根据等量关系一条围巾的销售单价比一副手套贵10元，总销售额为2700元．列方程组，解方程组即可； （2）根据围巾涨价后销售价格减少后销量+手套涨价后的销售价格降低后的销量月份销售额，列方程，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：设该该店2021年12月围巾的销售单价为元，手套的销售单价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：该店2021年12月围巾和手套的销售单价为分别为60元，50元； 【小问2详解】 解：， 整理得， 解得：． 24. 若一个三位正整数（各个数位上数字均不为0）满足，则称这个三位正整数为“天长数”．对于一个“天长数”m，将它的十位数字作为百位，百位数字作为个位，个位数字作为十位后得到新数n，记．例如：满足，则126为“天长数”，那么，所以． （1）求=______； （2）对于任意一个“天长数”m，若能被11整除，求所有满足条件的“天长数”． 【答案】（1）189 （2）144，333，522和711 【解析】 【分析】本题主要考查新定义的整式运算， 根据题意得为“天长数”，得到，根据定义计算即可； 设“天长数”m的百位为a、十位数为b、个位数为c，则，，那么，结合题意得能被11整除，且a和b可能为1至7中数的任意一个，则，那么，只能为和22分别计算其对应值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴为“天长数”， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：设“天长数”m的百位为a、十位数为b、个位数为c，则，， 则， ∵， ∴ ， ∵能被11整除， ∴能被11整除， ∵各个数位上的数字均不为0， ∴a和b可能为1至7中数的任意一个， 则， ∴ ∴， （1）当时，，则， 若，则，；若，则（舍去）；若，则（舍去）；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （2）当时，，则被4整除， 若，则，；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （3）当时，，则被4整除， 若，则，；若，则（舍去）， ∴满足题意得； （4）当时，， 若，则，， ∴满足题意得； 综上所述，满足题意的m有144，333，522和711． 四、解答题：（本大题2个小题，25题10分，26题8分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． 25. 已知，，平分． （1）如图，若，求的度数； （2）将顺时针旋转至如图的位置，若平分，，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）由，得，即得，进而得，最后利用角的和差关系即可求解； （）由平分，可得，设，则，可得，进而可得，即得，得到，最后根据角的和差关系即可求解； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的几何应用，正确识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 26. 如图所示，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足等式我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母一起标记．比如点A与点B之间的距离记作． （1）_______，______； （2）若数轴上有一个动点P满足条件．求点P表示的数； （3）甲、乙两动点在B点分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度同时向左运动，此时动点丙在A点也以3个单位/秒的速度向右运动．假设它们共同出发的时间为t秒，是否存在t，使得丙到乙的距离是丙到甲的距离？若存在，求出t值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）P点表示的数为或 （3）或 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可． （1）根据非负性可求出答案； （2）分三种情况：当点P在点的左侧；当点P在点之间时；当点P在点的右侧时；进行讨论可求P点表示的数； （3）用的代数式表示丙到乙的距离，丙到甲的距离，列出等式可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可得， 当点P在点的左侧， ∵， ∴， ∴， ∴点P点表示的数为； 当点P在点之间时， ∵， ∴， ∴不存在点P，使； 当点P在点的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴点P点表示的数为； 综上所述，P点表示的数为或； 【小问3详解】 解：根据题意可得： 运动秒，甲、乙、丙所在的点表示的数分别为：， 则丙到乙的距离是， 丙到甲的距离是， 则， 解得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$