精品解析：河南省开封市龙亭区河南大学附属中学2024-2025学年八年级上学期开学数学试题

2024-2025学年上期数学兴趣拓展活动 考试时间：100 分钟 试卷分值：120 分 一. 单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（ ） A. 15：01 B. 10：51 C. 10：21 D. 10：15 3. 如图，中的边上的高是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，E分别在边，上，，，的平分线与的平分线交于点F，则的度数是（　　） A. 54° B. 60° C. 66° D. 72° 6. 如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，若和的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 10. 如图，在三角形纸片，，现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．其中，点在纸片的内部，点、分别在边、上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 二. 填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 12. 在中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于__________． 13. 如图，在中，边上的垂直平分线交边于点D，若的周长为24，与四边形的周长之差为12，则线段的长为 _____ ． 14. 如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当_______时，． 15. 如图，中，，点D，E分别在边上，的平分线与的平分线交于点F，则________度． 三. 解答题（共75分） 16. 如图，，，，，求 的度数． 17. 如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 18. 如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知点，． （1）若点关于轴对称，求的值； （2）若关于轴对称，求的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标：________； （2）求的面积： （3）点与点关于轴对称，若，则点的坐标为________． 21. 已知和均为等腰三角形，且，，． （1）如图1，点在上，求证：； （2）如图2，点在的延长线上，写出，，的数量关系，并说明理由， 22. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：． 23. 如图，锐角，点B，C分别在，上． （1）如图1，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则______． （2）若点Q在 内部（点Q不在线段上），连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； （3）如图2，点G是线段延长线上一点，过点G作于点H，与 的平分线交于点O，请直接写出 与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上期数学兴趣拓展活动 考试时间：100 分钟 试卷分值：120 分 一. 单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长． 【详解】设第三边为x， 根据三角形的三边关系，得：4-1＜x＜4+1， 即3＜x＜5， ∵x为整数， ∴x的值为4．  三角形的周长为1+4+4=9． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围． 2. 小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（ ） A. 15：01 B. 10：51 C. 10：21 D. 10：15 【答案】C 【解析】 【分析】根据镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称求解即可． 【详解】解：镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称． 注意镜子的5实际应为2，电子表的实际时刻是10：21． 故选C． 【点睛】本题主要考查了镜面对称的特点：上下前后方向一致，左右方向相反． 3. 如图，中的边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义即可解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高． 【详解】解：中的边上的高是， 故选：A． 4. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形的内角和及正多边形的性质求得，的度数，然后结合已知条件及四边形的内角和求得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴， ∴四边形中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和，结合已知条件求得各角之间的关系和度数是解题的关键． 5. 如图，中，，，E分别在边，上，，，的平分线与的平分线交于点F，则的度数是（　　） A. 54° B. 60° C. 66° D. 72° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，结合图形分析清楚各角之间的关系是解题的关键． 6. 如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接．根据三角形外角的性质，得：．由角平分线的性质及三角形内角和定理得．由折叠的性质得．进而可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． 平分，平分， ，． ． ． 是由沿折叠得到． ． ，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键． 7. 如图，两根钢条的中点连在一起，可绕点自由转动，则可判定，从而得到的长等于内槽宽．那么判定的理由是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据线段中点的定义可得，再由，即可利用证明． 【详解】解：由题意得，， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，若和的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】观察到，因此延长到使，连接，得到，从而得出结论． 【详解】解：延长到使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即：， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，构造适合的三角形全等是解题的关键． 9. 如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有( )个. A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示： 与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 10. 如图，在三角形纸片，，现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处．其中，点在纸片的内部，点、分别在边、上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，，根据四边形和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：现将该纸片沿折叠，使点、分别落在点、处． ，， ， ， ，， ， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二. 填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为___________ 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了基本作图以及角平分线的性质．利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积； 【详解】解：由作图得平分， ∵， 点到的距离等于的长，即点到的距离为， ∴的面积； 故答案为：2． 12. 在中，∠A﹣∠B=35°，∠C=55°，则∠B等于__________． 【答案】45° 【解析】 【分析】先根据∠C=55°，求出∠A+∠B的度数，再根据∠A-∠B=35°求出∠B的度数即可． 【详解】解：∵△ABC中，∠C=55°， ∴∠A+∠B=180°-∠C=180°-55°=125°①， ∵∠A-∠B=35°②， ∴①-②得，2∠B=90°，解得∠B=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180°． 13. 如图，在中，边上的垂直平分线交边于点D，若的周长为24，与四边形的周长之差为12，则线段的长为 _____ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据已知周长，得到、，再根据垂直平分线的性质，得到，，即可求出线段的长．掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． 【详解】解：的周长为24， ， 与四边形的周长之差为12， ， ， 是边上的垂直平分线， ，， 得：． 故答案为：6． 14. 如图，与关于直线对称，，延长交于点F，当_______时，． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．设，根据三角形的外角性质可得，再根据轴对称的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：设， 则， 由轴对称的性质得：，， 若， 则在中，， 解得， 即当时，． 故答案为：． 15. 如图，中，，点D，E分别在边上，的平分线与的平分线交于点F，则________度． 【答案】155 【解析】 【分析】延长交于点H，根据，可得，再由三角形内角和定理可得，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：155 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 三. 解答题（共75分） 16. 如图，，，，，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．根据已知条件证明≌，再根据三角形内角和定理及三角形外角的性质即可得结论． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 17. 如图，于点C，于点F，与交于点O，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据等式的性质得出，先证明，得出，再证明，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵于点C，于点F， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 18. 如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 19. 已知点，． （1）若点关于轴对称，求的值； （2）若关于轴对称，求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； （）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出的值，然后代入代数式进行计算即可； 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【小问1详解】 解：∵点关于轴对称， ∴， 解得， ∴，； 【小问2详解】 解：∵点关于轴对称， ∴， 解得， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中作出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标：________； （2）求的面积： （3）点与点关于轴对称，若，则点的坐标为________． 【答案】（1）作图见详解，（−2，1）；（2）8.5；（3）（5，3）或（−1，−3） 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）利用分割法求解即可． （3）先根据P，Q关于x轴对称，得到Q的坐标，再构建方程求解即可． 【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求．点C1的坐标（−2，1）． 故答案为：（−2，1）； （2）S△ABC＝5×5−×1×3−×4×5−×2×5＝8.5． （3）∵点与点关于轴对称， ∴， ∵， ∴|(a-2)-(2-a)|=6，解得：a=5或a=-1， ∴P（5，3）或（−1，−3）． 故答案为：（5，3）或（−1，−3）． 【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握关于坐标轴对称的两点的坐标特征，属于中考常考题型． 21. 已知和均为等腰三角形，且，，． （1）如图1，点在上，求证：； （2）如图2，点在的延长线上，写出，，的数量关系，并说明理由， 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）证得∠DAB＝∠EAC，证明△DAB≌△EAC（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE，则可得出结论； （2）同（1）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，则成立的结论是BC＝BD﹣BE． 【详解】证明：（1）， ， 即， 又，， ， ， ； （2）． 理由：， ， 即， 又，， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 22. 如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，过作于点，，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，．由角平分线的性质可知，由垂直平分线的性质可知，利用证明，即可证得． 【详解】证明：如图，连接，． 平分，，， ． 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，掌握相关性质及定理是解决问题的关键． 23. 如图，锐角，点B，C分别在，上． （1）如图1，若，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则______． （2）若点Q在 内部（点Q不在线段上），连接，，，，，分别平分和，且与交于点，求的度数； （3）如图2，点G是线段延长线上一点，过点G作于点H，与 的平分线交于点O，请直接写出 与的数量关系． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定义即可求的度数； （2）分两种情况，两种情况均根据角平分线性质以及邻补角定义求的度数，根据三角形内角和定义即可求解． （3）由三角形外角性质可知，再由角平分线性质可得，由三角形内角和定义以及对顶角相等可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：点在上方时，如图， ， ， ，分别平分，， ， ，， ； 点在下方时，如图， ， ∴ ∴ 即， ∴， ，分别平分和， ∴ 综上所述，的度数为或． 【小问3详解】 解：，理由如下： ，分别是和的平分线， ，， ， ， 即， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，邻补角的性质，角平分线性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理，角平分线性质，三角形外角性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $