专题09 填空压轴几何题-难度较大-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题09 填空压轴几何题-（难度较大） 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 几何综合计算题 2024·山西：勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的性质、相似三角形的判定、锐角三角函数的定义 2023·山西：三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定 2022·山西：正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理 2021·山西：等腰直角三角形的性质、勾股定理求对应边的长度、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定 2020·山西：相似的判定和性质、勾股定理的运用． 本题型出自山西中考试卷的第15题，是填空的最后一题，难度偏高，属于几何综合计算类问题，常会用到勾股定理、相似三角形、平行线分线段成比例、三角函数、全等三角形、特殊四边形、特殊三角形等几何相关定理，解题的关键往往是辅助线的添加，故考生在复习时，对辅助线的构造要多加总结归纳，争取做到举一反三. 考点01 集合的基本运算 1. （2024·山西）如图，在中，AC为对角线，于点，点是AE延长线上一点，且，线段AB，CF的延长线交于点．若，则BG的长为　 　． 2. （2023·山西·中考真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．    3. （2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为 4. （2021·山西·中考真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 5. （2020·山西·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ． 6. （2024·山西晋中·三模）如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为 ． 7. （2024·山西阳泉·三模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 8. （2024·山西太原·模拟预测）如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则的长为 ．    9. （2024·山西晋中·三模）如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接．若，，则的最小值为 ．    10. （2024·山西吕梁·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交的延长线于点，交于点，已知，，则 ．    11. （2024·山西阳泉·三模）四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，连接，点为上一点，然后沿直线折叠，使得点的对应点落在上．则的值为 ．    12. （2024·山西运城·三模）如图，在中，，D是的中点，过点D作，垂足为E，M为上一点，点N在的延长线上，连接，交的延长线于点F，若，则的长为 ． 13. （2024·山西大同·三模）如图，已知在四边形中，，为边上一点，若，，，，则 ．    14. （2024·山西晋城·三模）如图，在中，，D为边的中点，连接，过点A作于点E，延长交于点F，连接，则的长为 ． 15. （2024·山西晋城·三模）如图，在与中，，，，和的平分线交于点E，与边交于点．若，则的长为 ． 16. （2024·山西晋中·二模）如图，在菱形中，，，且，，若，则菱形的边长为 ．    17. （2024·山西忻州·三模）如图，正方形的边长为3，点E为上一点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，点A，B的对应点分别为F，G，连接，则的长为 ． 18. （2024·山西晋中·二模）如图，在矩形中，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为 ． 19. （2024·山西大同·二模）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．，则 ． 20. （2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段的中点，且，连接，点E是上的一点，且，于点F，分别交，于点G，H，则的长为 ． 21. （2024·山西太原·二模）如图，中，，，，为垂足，延长至，使，连接交于点，则的长为 ． 22. （2024·山西晋中·三模）如图，四边形中，，连接，过点C作于点F，交于点E， 平分，若，延长交于点G，则的长为 ． 23. （2024·山西晋中·二模）如图，在中，，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为 ． 24. （2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 25. （2024·山西忻州·二模）如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，，取的三等分点，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ． 26. （2024·山西阳泉·一模）在中，，，，是的平分线，过点B作的垂线交于点E，过点D作的垂线交于点F，则的长为 ．    27. （2024·山西运城·一模）如图，在中，，，点D为边的中点，点E为边上一动点，连接并延长，交的延长线于点F，当点A恰好为的中点时，的长为 ． 28. （2024·山西临汾·二模）如图，正方形的边长为8，等腰直角的直角边长为4，，是的中点，是的中点，连接，则的长为 ．    29. （2024·山西阳泉·二模）如图，在锐角中，，，，是的中线，点在上，延长交于点．若，则 ． 30. （2024·山西晋城·二模）如图，在正方形中，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交边于点G．若，，则线段的长为 ． 31. （2024·山西朔州·二模）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，．过点作的垂线，垂足为，的角平分线分别交，于点，．若，，，则的长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 填空压轴几何题-（难度较大） 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 几何综合计算题 2024·山西：勾股定理、平行四边形的性质、相似三角形的性质、相似三角形的判定、锐角三角函数的定义 2023·山西：三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定 2022·山西：正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理 2021·山西：等腰直角三角形的性质、勾股定理求对应边的长度、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定 2020·山西：相似的判定和性质、勾股定理的运用． 本题型出自山西中考试卷的第15题，是填空的最后一题，难度偏高，属于几何综合计算类问题，常会用到勾股定理、相似三角形、平行线分线段成比例、三角函数、全等三角形、特殊四边形、特殊三角形等几何相关定理，解题的关键往往是辅助线的添加，故考生在复习时，对辅助线的构造要多加总结归纳，争取做到举一反三. 考点01 集合的基本运算 1. （2024·山西）如图，在中，AC为对角线，于点，点是AE延长线上一点，且，线段AB，CF的延长线交于点．若，则BG的长为　 　． 【答案】 【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图所示，过F作FO⊥AC于O，延长AF，过点G作GK⊥AF于K， ∵ AE⊥BC，AB=，tan∠ABC=2 ∴ AE=2，BE=1，EC=3， ∴ AC==， ∵∵ ∠ACF=∠CAF ∴ AF=CF ∵ FO⊥AC ∴OC== ∴ tan∠CAF==tan∠ACF= ， ∴ OF= ∴CF= ∴ EF=AF-AE=CF-AE=，AF= ∵ AE⊥BC，GK⊥AK ∴ BC∥GK ∴， ∴， ∴ GK=KF，GK=AK=(AF+KF)=(+KF) ∴KF=(+KF) 解得：KF= ∴ GK= ∴ ∴ BG= 故答案为：. 【分析】本题考查三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理等知识，正确添加辅助线，结合等角的锐角三角函数值相等是解题关键。过F作FO⊥AC于O，延长AF，过点G作GK⊥AF于K，由AE⊥BC，AB=，tan∠ABC=2得AE=2，BE=1，EC=3， AC=由 tan∠CAF=tan∠ACF== ，得OF=，CF=，EF=，AF=；证 ，得GK=KF，GK=(+KF)得：KF=，GK=；根据 得BG=. 2. （2023·山西·中考真题）如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示：    则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 3. （2022·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为 【答案】 【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长． 【详解】解：如图：连接AE、AF、EN， 四边形ABCD是正方形 设AB=BC=CD=AD=a，， 在与中， ， ， 是等腰三角形， 又， 垂直平分EF， ， 又， ， 在中，， ， 解得a=20， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键． 4. （2021·山西·中考真题）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ． 【答案】． 【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，． 【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作， ∵，， ∴，，为等腰． 由题意可得E为CD的中点，且， ∴， 在等腰中，， ， 又∵， 在， ∴（AAS） ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键． 5. （2020·山西·中考真题）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长． 【详解】如解图，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴∽ ∴ ∴， 设为，则，由勾股定理得， 又∵， ∴， 则， ∵且， ∴∽， ∴， 即， 解得， ∴． ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形． 6. （2024·山西晋中·三模）如图，在矩形中，，，点H在上，且，连接，过点C作于点F，交于点E，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、勾股定理和相似三角形的判定和性质，根据题意可知，得，求得．则，利用勾股定理求得，继而证明，，可得即可求得答案． 【详解】解：如图，延长与交于点M． ∵四边形是矩形， ， ． ∵， ． ． ∵，， ． ． ． ． ∵， ，． ． ． ． 7. （2024·山西阳泉·三模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行线的判定，勾股定理，分别过点D，点E作，垂足分别为，根据易证，得到，由点是上的中点，得到，即可求出，根据易证，得到，由点是中点，得到，即可求出，根据易证，得到，即可求出，从而求出，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，分别过点D，点E作，垂足分别为， ， ， ， 点是上的中点， ， ，， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8. （2024·山西太原·模拟预测）如图，在正方形中，，，交于点，在边上，且，于，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．过作交的延长线于，过作于，先求出，证和相似得，由此得，证和相似得，由此得，，则，再证为的中位线，则，，则，然后在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：过点作交的延长线于，过点作于，如下图所示：   四边形为正方形，， ，， 在中，，，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ， 即， ， ，， ， 又， ， ， 即， ，， ， 点为正方形对角线的交点， ， ，， ， 为的中位线， ，， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 故答案为： 9. （2024·山西晋中·三模）如图，的顶点在矩形的对角线上运动，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】如图，过点作于点，连接．则四点共圆，．由，可得．由，可知，且是定值，则点在射线上运动，当时，的值最小．由勾股定理得，，则．由，可求，由勾股定理得，，根据的最小值为，计算求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接．    ∵， ∴四点共圆， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，且是定值， 点在射线上运动， ∴当时，的值最小． 四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， ∴． ∵， ∴， 由勾股定理得，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，矩形的性质，勾股定理，正弦．确定最小的情况是解题的关键． 10. （2024·山西吕梁·模拟预测）如图，在平行四边形中，平分交于点，于点，交的延长线于点，交于点，已知，，则 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，先利用平行四边形的性质和角平分线的定义可得，得到，再解，得到，，进而由可得，再根据线段的和差关系即可求解，利用相似三角形的性质求出是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 11. （2024·山西阳泉·三模）四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，连接，点为上一点，然后沿直线折叠，使得点的对应点落在上．则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识．设正方形的边长为，与交于点，过点作于，由折叠的性质知，平分，易得，设，则，根据解得的值，即可求出，进而得解． 【详解】解：根据题意，四边形为正方形，对折后展开，得折痕， 则，，且， 设正方形的边长为，与交于点，如图，      ∵，且为的中点， ∴， 过点作于， 由折叠的性质知，平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 经检验x=是原方程的解， ∴， ∴； 故答案为：． 12. （2024·山西运城·三模）如图，在中，，D是的中点，过点D作，垂足为E，M为上一点，点N在的延长线上，连接，交的延长线于点F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三角形中位线、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识并正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，过点N作于点P，过点C作，交的延长线于点Q，易得，进而得到为的中位线，为的中位线，即；再说明，解直角三角形可得、，进而得到，最后结合即可解答． 【详解】解：如图，过点N作于点P，过点C作，交的延长线于点Q， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴为的中位线，为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为: ． 13. （2024·山西大同·三模）如图，已知在四边形中，，为边上一点，若，，，，则 ．    【答案】/ 【分析】在上取一点，使得，过点作于，利用三角形的外角定理及度直角三角形的性质得，，进而利用勾股定理求得，，，，再证明，利用角平分线的性质及解直角三角形即可得解． 【详解】解：在上取一点，使得，过点作于，    ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，度直角三角形的性质定理，等腰三角形的判定，熟练掌握解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质是解题的关键． 14. （2024·山西晋城·三模）如图，在中，，D为边的中点，连接，过点A作于点E，延长交于点F，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于点，先利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵为边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. （2024·山西晋城·三模）如图，在与中，，，，和的平分线交于点E，与边交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是恰当构建直角三角形和等边三角形进行线段转化；在上截取，在上取一点G，使，作于N，设，根据直角三角形的性质列出方程即可求解． 【详解】解：在上截取，在上取一点G，使，作于N，设， ∵，，和的平分线交于点E， ∴，，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 即， 解得， ， 故答案为：． 16. （2024·山西晋中·二模）如图，在菱形中，，，且，，若，则菱形的边长为 ．    【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质：连接，过点作，根据锐角三角函数求出，，进而求出，证明，求出，勾股定理求出的长，再利用相似的性质求解即可． 【详解】解：连接，过点作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即：菱形的边长为； 故答案为：． 17. （2024·山西忻州·三模）如图，正方形的边长为3，点E为上一点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，点A，B的对应点分别为F，G，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形的翻折，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．连接，过点作于点，过点作于点．根据正方形的性质，可求得，可求出，根据翻折的特征，证明，得到，而，再根据等腰三角形三线合一性质，，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，如图所示， 四边形为正方形，边长为3，， ，，， 为等腰直角三角形，， ， 在中，， ， 四边形沿直线折叠得到四边形，根据翻折的特征， ，， ， ，， ， ， 又 ， ， ， ， ． 故答案为：． 18. （2024·山西晋中·二模）如图，在矩形中，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点O，连接，根据矩形的性质可求的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，有最大值，即． 【详解】如图，取中点O，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点F是中点，点O是的中点， ∴， ∴， ∵点O是的斜边的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系可得：， ∴当点O，点E，点F共线时，最大，最大值为． 故答案为：． 19. （2024·山西大同·二模）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为．，则 ． 【答案】 【分析】先证明三角形是等腰三角形，得，，再证，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴三角形是等腰三角形，， ∴， 又∵，， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平行线、相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握平行线的性质和勾股定理的内容是解答本题的关键． 20. （2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段的中点，且，连接，点E是上的一点，且，于点F，分别交，于点G，H，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理，设，则，再次运用勾股定理，得，得到；，根据，结合，后作差计算即可． 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键． 【详解】解：∵点C为线段的中点，且， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 21. （2024·山西太原·二模）如图，中，，，，为垂足，延长至，使，连接交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，取中点G，连接，利用三角形中位线定理求出，证明，得出，进而求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：取中点G，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. （2024·山西晋中·三模）如图，四边形中，，连接，过点C作于点F，交于点E， 平分，若，延长交于点G，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】先由平行线的性质求出，由垂直的定义得到，则由角平分线的定义得到，可证明A、E、F、D四点共圆，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到；设，则，证明，得到，即，解得，则；由勾股定理求出，，证明，求出，，则；如图所示，过点G作于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，则，证明，得到，求出，则 ，即． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ 平分， ∴； ∵， ∴A、E、F、D四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴； 如图所示，过点G作于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定， 正确作出负整数构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 23. （2024·山西晋中·二模）如图，在中，，点D是边的中点，点P是延长线上一点，连接，过点A作于点E，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点D作交的延长线于点F．证明，则，即，可求，由勾股定理得，即，可求满足要求的解为，则，如图，连接，由是等腰直角三角形，点D为边的中点，可得，，由，可得．由，可得，，证明，则，是等腰直角三角形，，由勾股定理得，，则．根据，计算求解即可． 【详解】解: 如图，过点D作交的延长线于点F． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴， 如图，连接， ∵是等腰直角三角形，点D为边的中点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴． ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. （2024·山西朔州·三模）如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为 ． 【答案】20 【分析】延长交的延长线于点G．证明，得出，求出，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【详解】如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明． 25. （2024·山西忻州·二模）如图，在四边形中，，点C是边上一点，且，，取的三等分点，连接，过点C作交于点G，延长交于点H，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．过点E作交的延长线于点M，先证明，再求出，根据点为的三等分点，可得，再利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】如图，过点E作交的延长线于点M， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 又∵点为的三等分点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 26. （2024·山西阳泉·一模）在中，，，，是的平分线，过点B作的垂线交于点E，过点D作的垂线交于点F，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，证明得，求出．证明得，利用求出，利用勾股定理求出，然后证明，求出，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，    ∵，，， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及解直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键． 27. （2024·山西运城·一模）如图，在中，，，点D为边的中点，点E为边上一动点，连接并延长，交的延长线于点F，当点A恰好为的中点时，的长为 ． 【答案】 【分析】先取的中点H，连，过A作于点P，过点D作于点Q，得出，然后证明，结合勾股定理列式计算，得出，证明，运用相似三角形的性质得出最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：取的中点H，连，过A作于点P，过点D作于点Q， ∵分别为的中点 ∴为的中位线， 设，则 ∴， ∵点D为边的中点， ∴ 又 ∴ ∴ ∵， ∴， 在中， ∵ ∵ ∴， 即 ∴ 则 ∴ 在中， 即的长为． 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识内容，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 28. （2024·山西临汾·二模）如图，正方形的边长为8，等腰直角的直角边长为4，，是的中点，是的中点，连接，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质和勾股定理，连接，，过点作，交的延长线于点．等腰直角三角形的性质求出，，再求出，分别求出再根据勾股定理可得出的长 【详解】解：如图，连接，，过点作，交的延长线于点．   是等腰直角三角形， ∴ ∴, ∵是的中点， ． ， ． ∵ ∴， ∵是的中点， ∴ 又 ∴ ∴， 由勾股定理得，， ． 故答案为： 29. （2024·山西阳泉·二模）如图，在锐角中，，，，是的中线，点在上，延长交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】如图，作交于，证明，则，即，证明，则，即，进而可得，如图，作于，则，，由勾股定理得，，则，进而可求． 【详解】解：如图，作交于， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 如图，作于， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦、正弦等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦、正弦是解题的关键． 30. （2024·山西晋城·二模）如图，在正方形中，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交边于点G．若，，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，延长交于P，由正方形的性质得到，，，求出，进而求出；利用等面积法求出，进而求出，；证明，求出，则，再证明，得到，代值计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 31. （2024·山西朔州·二模）如图，在矩形中，点是边上一点，连接，．过点作的垂线，垂足为，的角平分线分别交，于点，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，交于点，首先证明四边形、均为矩形，易得，，再证明，由全等三角形的性质可得，，利用三角形函数解得，进而可得，的长度；证明，由相似三角形的性质解得，进而可得的值，结合矩形的性质可得；证明，利用相似三角形的性质计算的长度即可． 【详解】解：如下图，过点作于点，连接，交于点， ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、均为矩形， ∴，， ∵为的平分线，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，即有， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，为的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定性质、角平分线的性质定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$