专题13 二次函数综合压轴题-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题13 二次函数综合压轴题 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 二次函数综合压轴题 （5年5考） 2024·山西：二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题 2023·山西：相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 2022·山西：相似三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 2021·山西：面积问题(二次函数综合) 2020·山西：求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解 中考试卷中，二次函数综合题（代几综合题、解决实际问题）属于必考题目，这类试题常以二次函数为背景，综合考察二次函数的性质、函数与方程和不等式联系、全等三角形、相似三角形、平行四边形及特殊平行四边形、圆、三角函数、动点最值问题等，该题型综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结解题技巧，灵活运用数形结合及分类讨论思想，举一反三。 考点1 二次函数综合压轴题 1. （2024·山西）综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用䈑笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 2. （2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．        (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 3. （2022·山西·中考真题）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 4. （2021·山西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 5. （2020·山西·中考真题）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．    （1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 6. （2024·山西阳泉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线．      (1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式； (2)如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m； (3)若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7. （2024·山西太原·三模）综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 8. （2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． 9. （2024·山西忻州·三模）综合与探究 如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在线段上，连接，，．设点D的横坐标是m． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)如图2，过点D作，交于点P，用含m的代数式表示的面积，并求出m为何值时，的面积有最大值； (3)已知Q为抛物线上一点，是否存在以B，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 10. （2024·山西晋城·三模）综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，交线段于点E，过点P作，垂足为F． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求的最大值及此时点P的坐标； (3)当取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11. （2024·山西大同·三模）综合与探究 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为M． (1)求该二次函数的表达式，并写出点M的坐标； (2)如图1，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； (3)如图2，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP的中点Q，连接QC，QM，CM，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 12. （2024·山西阳泉·三模）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是直线上一动点，点是抛物线上直线下方的一个动点，设点的横坐标为． (1)求三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)过点作交直线于点，请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值，并求的最大值； (3)过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13. （2024·山西大同·三模）综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 14. （2024·山西吕梁·一模）综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点是第一象限内二次函数图象上的动点，过点P作x轴的平行线，与直线交于点M，与直线交于点E．过点P作直线的平行线，与直线交于点N．直线与直线交于点D．    (1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的函数关系表达式； (2)当时，求出m的值； (3)在点P运动的过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出线段的最大值；若不存在，请说明理由． 15. （2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G． (1)求点C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值． (3)在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16. （2024·山西晋中·一模）综合与探究 如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点．连接，将 沿轴向右平移 个单位长度，得到 ． (1)求抛物线的函数表达式与顶点的坐标． (2)如图，连接，当 周长最短时，求的值． (3)如图，设边与边交于点，连接，是否存在，使得与 的一边相等?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 17. （2024·山西运城·三模）学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． (3)在该运动员人水处点B的正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 18. （2024·山西晋中·二模）学科实践 设计“抛物线型”花边 驱动任务 花边历史悠久，最早出现于14世纪，工艺种类不胜枚举．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边． 研究步骤 （1）认识模具，建立模型． 社团小组的同学们首先制作了一个“抛物线型”的模具，该模具的高度为24cm，并将其模具放置在了平面直角坐标系中（如图1），准备利用该模具设计“抛物线型”花边． （2）摆放模具，制定方案． 同学们尝试在长为120cm，宽为24cm的矩形纸片上摆放该模具，经过讨论交流形成了以下两个方案． 方案一：如图2，将该模具完全放入矩形纸片中，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将模具的一部分放入矩形纸片中，绘制出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为h． （3）实施方案，展示作品． …… 问题解决 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： 任务一：求出图1的平面直角坐标系中抛物线模具的函数表达式； 任务二：若采用研究步骤中的方案二进行设计，请你通过计算确定当时一排中最多可摆放的花边个数． 19. （2024·山西大同·二模）综合与探究 羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题． 小华从场地左侧点距地面处发球，球飞行过程中在点处到达最高点，并落在了场地右侧的点处，如图1所示（，，三点共线）．通过测量得知，，两点距离为，，两点距离为． (1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式； (2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m．小明又通过测量得到点和点距离球场中线（球网所在位置）的距离分别为和，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由； (3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为，假设小华站在点处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围． 20. （2024·山西长治·二模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． x/米 0 1 3 4 y/米    经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数．    (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为，宽为，露出水面高度为的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为多少米．    21. （2024·山西运城·一模）项目化学习 项目主题：滑雪运动中的函数知识 项目背景：北京冬奥会上的中国运动员们，用竞技成绩和精神风貌的优异表现，进一步向世界展示了自信、包容、进取的中国形象，其中雪上项目屡传捷报，中国的冬季项目发展之路越走越宽，一时间冰雪运动成了最受青少年喜欢的健身运动方式综合实践活动小组以单板滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线为主题开展项目学习． 驱动任务：探究滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线中的函数关系 研究步骤： （1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置； （2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； （3）数据分析，形成结论． 实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如下表所示： x/m 0 2 4 6 8 11 14 y/m 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 22.75 21.40 绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示： 问题解决：根据此项目实施的相关材料，完成下面的任务： (1)根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为______． (2)通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是______m； (3)若运动员最后着陆点与起跳点的水平距离为，求运动员最后着陆点的竖直高度． 22. （2024·山西朔州·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值． (3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23. （2024·山西朔州·一模）综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于，（点在点的左侧）两点，与轴交于点．直线经过，两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在抛物线上是否存在除点外的点，使得？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将沿轴正方向平移得到（点A，O，C的对应点分别为，，），，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积． 24. （2024·山西临汾·一模）综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点A和点B．点B的坐标是，与y轴交于点，点D在抛物线上运动、作直线AC． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，D是直线下方抛物线上的动点，连接交于点E、当时，求点D的横坐标； (3)连接和，当的面积是4时、请直接写出符合条件的点D的坐标． 25. （2023·山西大同·三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)当的面积等于的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. （2024·山西忻州·三模）综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．点为线段上的动点（与O，B不重合），过点D作x轴的垂线与线段交于点E，与抛物线交于点F．    (1)求直线的函数表达式和点A的坐标． (2)当点E为线段的中点时，求线段的长． (3)在抛物线上是否存在点G，使得？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 27. （2024·山西长治·二模）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点，且点P的横坐标为m． (1)直接写出点A，C的坐标，及抛物线和直线的表达式； (2)如图2，若点P在第三象限，连接，，用含m的代数式表示的面积； (3)连接，若，直接写出点P的坐标． 28. （2024·山西太原·二模）综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点的坐标； (2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 29. （2024·山西朔州·三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，，垂足分别为点E，F，连接，． (1)求点A，B的坐标． (2)求证：为等腰三角形． (3)当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 30. （2024·山西临汾·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线．P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点M，交直线于点 ，连接，，其中点A 的坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求面积的最大值． (3)当是等腰三角形时，求点P的坐标． 31. （2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)求的值和点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点． ①当是线段的三等分点时，求点的坐标； ②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 32. （2024·山西晋城·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，过点C的直线交于点E，交抛物线于点P．    (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)如图1，当点P位于第二象限的抛物线上时，过点P作轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)如图2，当E为的中点时，过点B作直线，M为直线上一点，在直线l上是否存在点N，使以B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 33. （2024·山西太原·一模）综合与探究 如图1，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接交抛物线于点，点的横坐标为． (1)求点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)如图2，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标． 34. （2024·山西吕梁·三模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点，连接，，与抛物线的对称轴交于点．      (1)求点，，的坐标． (2)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，当时，求点的坐标． (3)若点是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35. （2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式； (2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值； (3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 36. （2024·山西吕梁·一模）综合与探究 如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式； (2)如图，连接交于点，若，求此时点的坐标； (3)如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 二次函数综合压轴题 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 二次函数综合压轴题 （5年5考） 2024·山西：二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题 2023·山西：相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 2022·山西：相似三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 2021·山西：面积问题(二次函数综合) 2020·山西：求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解 中考试卷中，二次函数综合题（代几综合题、解决实际问题）属于必考题目，这类试题常以二次函数为背景，综合考察二次函数的性质、函数与方程和不等式联系、全等三角形、相似三角形、平行四边形及特殊平行四边形、圆、三角函数、动点最值问题等，该题型综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结解题技巧，灵活运用数形结合及分类讨论思想，举一反三。 考点1 二次函数综合压轴题 1. （2024·山西）综合与实践 问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用䈑笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系． 所在直线是AB的垂直平分线，且， ． 点的坐标为． 点的坐标为． 点是抛物线的顶点， 设抛物线的函数表达式为． 点在抛物线上， ．解，得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：点D，E在抛物线上， 设点的坐标为． ，交轴于点， ． 在Rt中，， ． ． 根据题意，得， ． 解，得（不符合题意，舍去）， ． 答：DE的长为4米，CF的长为2米. （3）解：． 【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题 【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称 直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3 设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9） ∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6 ∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+ ∴ k=-，矩形周长最大值为. 【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为. 2. （2023·山西·中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与轴交于点C．        (1)求直线的函数表达式及点C的坐标； (2)点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点作直线轴于点，与直线交于点D，设点的横坐标为． ①当时，求的值； ②当点在直线上方时，连接，过点作轴于点，与交于点，连接．设四边形的面积为，求关于的函数表达式，并求出S的最大值． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)①2或3或；②，S的最大值为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点C的坐标即可； （2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可； ②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由得，当时，． 解得． ∵点A在轴正半轴上． ∴点A的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将两点的坐标分别代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将代入，得． ∴点C的坐标为； （2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为． ∴点的坐标分别为． ∴． ∵点的坐标为， ∴． ∵， ∴． 如图，当点在直线上方时，．    ∵， ∴． 解得． 如图2，当点在直线下方时，．    ∵， ∴． 解得， ∵， ∴． 综上所述，的值为2或3或； ②解：如图3，由（1）得，．    ∵轴于点，交于点，点B的坐标为， ∴． ∵点在直线上方， ∴． ∵轴于点， ∴． ∴，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵轴， ∴四边形为矩形． ∴． 即． ∵， ∴当时，S的最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出是解题的关键． 3. （2022·山西·中考真题）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式； (2)当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标； (3)连接AC，过点P作直线 ，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点C的坐标为； (2) (3)存在；m的值为4或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式； （2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出， 则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标； （3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ∴点C的坐标为． 当时，， 解得． ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为． 设直线BC的函数表达式为， 将，代入得， 解得， ∴直线BC的函数表达式为﹒ （2）解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且轴于点D， ∴点P的坐标为，， ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，． 过点C作于点G，则． ∵， ∴四边形CODG是矩形， ∴ ，，． ∴． ∵， ∴． ∴，即，   ∴． 在中， ∵， ∴． ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴． 当时，﹒ ∴点P的坐标为． （3）解：存在；m的值为4或． 分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H， ∵过点P作直线，交y轴于点F， ∴ ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，．   根据勾股定理，在中，， 在中，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； ②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示， 同理可得，，，，， ∴ ∴， 解得或， ∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点， ∴； 综上，m的值为4或 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键． 4. （2021·山西·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． （1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请直接写出的长． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：；（2）①存在，点的坐标为或；②． 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别令和时即可求解，，三点的坐标，然后再进行求解直线，的函数表达式即可； （2）①设点的坐标为，其中，由题意易得，，，当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，进而可根据菱形的性质分当时，是菱形，当时，是菱形，然后分别求解即可；②由题意可作图，则由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为，进而可得，设点，然后可求得直线l的解析式为，则可求得点，所以就有，最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解． 【详解】解：（1）当时，，解得，， ∵点在点的左侧， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为，代入点A、C的坐标得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：． 同理可得直线的函数表达式为：； （2）①存在．设点的坐标为，其中， ∵点，点的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 当时，是菱形，如图所示： ∴， 解，得，（舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形，且点的坐标为或； ②由题意可得如图所示： 由题意可得抛物线的对称轴为直线，由（1）可得直线的函数表达式为：；直线的函数表达式为：，点的坐标为，点的坐标为， ∴点，， ∴， 设点， ∵， ∴设直线l的解析式为，把点M的坐标代入得：， 解得：， ∴直线l的解析式为， ∴联立直线l与直线AC的解析式得：， 解得：， ∴， ∴点， ∵点是直线下方抛物线上的一个动点，且， ∴点M在点N的上方才有可能， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， ∴由两点距离公式可得． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键． 5. （2020·山西·中考真题）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．    （1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式； （2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标； （3）若点是轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或． 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式； （2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案； （3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案． 【详解】解：（1）令 ，， 设直线的函数表达式为：， 把代入得： 解得： 直线的函数表达式为：． （2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为 ，． ， ， 分两种情况： ①当时，得． 解得：，（舍去） 当时，． 点的坐标为 ②当时，得． 解得：，（舍去） 当时， 点的坐标为． 当点是线段的三等分点时，点的坐标为或    （3）解：直线与轴交于点， 点坐标为． 分两种情况： ①如图，当点在轴正半轴上时，记为点． 过点作直线，垂足为．则， ， ． 即 ． 又，， ． 连接，点的坐标为，点的坐标为， 轴 ． ，． ． ． 点的坐标为． ②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为， 则， ，． ． 即 ． 又，， ．． 由①可知，．． ． ． 点的坐标为 点的坐标为或．    【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键． 6. （2024·山西阳泉·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．过点B作直线轴，连接，过点D作，交直线l于点E，作直线．      (1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式； (2)如图，点P为抛物线上第二象限内的点，设点P的横坐标为m，连接与交于点Q，当点Q为线段的中点时，求m； (3)若点M为x轴上一个动点，点N为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)； (3)点的坐标为或或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；证明，求得，得到点，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）作轴，轴，根据直角三角形斜边中线的性质求得是的中位线，用分别表示的坐标，利用，列式计算即可求解； （3）由题意得即轴，求得解方程，求得，得到点的坐标，根据平行四边形的性质即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线， ∴点， ∵点， ∴点， ∴，，， 由题意得， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点， 设直线的函数表达式为， 把代入得，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，      ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴， 解得（舍去正值）， ∴； （3）解：由题意得即轴，    ∵点， ∴点纵坐标为6， 解方程，得， ∴点或， 当点时，， ∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为， 当四边形是平行四边形时，点的坐标为；    当点时，，    ∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为； 当四边形是平行四边形时，点的坐标为；    综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、解一元二次方程、平行四边形的性质、三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 7. （2024·山西太原·三模）综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1)，点 (2)①   ②的最大值为，点D的坐标为 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题. （1）由待定系数法即可求解； （2）①由、求出点，即可利用待定系数法求解； ②证明 ，即可求解. 【详解】（1）由题意得： ∴解得： 则抛物线的表达式为：， 当时，， ∴点； （2）①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 设交抛物线的对称轴于点，如图， 设点、的坐标分别为：， 则，， ， 解得： ， 则点， 设直线的解析式为 把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：； ②过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作轴的平行线交于点， 则 ∴， 由点的坐标得，直线的表达式为： 当时，， ∴点 ，即， 设点则点则 则 ， ∴的最大值为，这时，点D的坐标为． 8. （2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，作直线，点P为第一象限内抛物线上一动点，连接，过点C作，交x轴于点Q． (1)求点B，C的坐标； (2)连接，求的最大值； (3)连接，当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据，利用待定系数法求得，分别令，，即可求解； （2）连接，过点P作轴，交于点E，由，知，利用待定系数法求得直线的表达式为，设，则，得，进而可得，即可求解； （3）如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则，先证，得，易知四边形是矩形，得，设，则．由，知．得，易证，可得，得点P的坐标为代入抛物线解析式即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得，解得． ． 令，解得，． ∵点B在点A右侧， ． 令，得， ． （2）如图．连接，过点P作轴，交于点E． ， ． 设直线的表达式为． 将，代入，，解得． 直线的表达式为 设． 轴， ． ． ． ， 当时，的值最大，为． 的最大值为． （3）点P的坐标为． 如图，过点P分别作于点D，轴于点G，过点D作轴于点H，延长交于点F，则． ∵，，， ，． ． ． ． ∵ ． 易得， ． ． ． 易得四边形是矩形， 设，则． ∵， ． ． ∵，， ∴ ． ． 点P的坐标为． ，解得，（舍去）． 当时，，． 点P的坐标为． 【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式，一次函数与抛物线的图象性质，一次函数和抛物线的交点问题，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，三角形的面积．熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键． 9. （2024·山西忻州·三模）综合与探究 如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在线段上，连接，，．设点D的横坐标是m． (1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标； (2)如图2，过点D作，交于点P，用含m的代数式表示的面积，并求出m为何值时，的面积有最大值； (3)已知Q为抛物线上一点，是否存在以B，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点坐标为 (2)当时，的面积有最大值，最大值为5 (3)存在，m的值为2或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，求出抛物线的顶点坐标即可； （2）过点P作轴于点G， 证明，得出，证明，得出，求出，即可得出，求出，然后求出结果即可； （3）分三种情况进行讨论：①当为边且点Q位于x轴上方时，②当为边且点Q位于x轴下方时，③当为对角线时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 又∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：如图1，过点P作轴于点G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ， 又∵， ∴当时，的面积有最大值，最大值为5． （3）解：存在，m的值为2或． ①当为边且点Q位于x轴上方时，此时点Q为直线与抛物线的交点， ∴， 解得，． ∵， ∴，， ∴，（在点A的左侧，不合题意，舍去）； ②当为边且点Q位于x轴下方时，此时的点Q为直线与抛物线的交点， ∴， 解得，（与点C重合，不合题意，舍去）． ∵， ∴， ∴（在点B的右侧，不合题意，舍去）． ③当为对角线时， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 综上所述，m的值为或2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 10. （2024·山西晋城·三模）综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，交线段于点E，过点P作，垂足为F． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求的最大值及此时点P的坐标； (3)当取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)，， 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，等腰三角形性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键，是中考压轴题． （1）分别令，，即可求解； （2）求出直线的解析式为，然后设点，则点，可得，再根据，可得，得到二次函数表达式求出最大值及坐标即可求解； （3）设点，然后分三种情况讨论，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解∶抛物线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， ， ， ， ∵轴， ∴， ， 在中， ， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点； （3）解：存在， 由（2）得点E的横坐标为3，把代入， ， 设点， ∵， ∴，， 当时，， 即， 解得：， 此时点； 当时，， 即， 解得：， 此时点； 当时，， 即， 解得：或（不合题意舍去）， 此时点； 综上所述，点Q的坐标为，，． 11. （2024·山西大同·三模）综合与探究 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为M． (1)求该二次函数的表达式，并写出点M的坐标； (2)如图1，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； (3)如图2，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP的中点Q，连接QC，QM，CM，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)D的坐标为或 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、线段垂直平分线的性质、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】(1)由于二次函数的图象与x轴交于，两点，把A，B两点坐标代入，计算即可求出抛物线解析式，由配方法求出M点坐标； (2)由线段垂直平分线的性质可得出，设，由勾股定理可得，解方程可得出答案； (3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设，则，设直线CQ的解析式为，则，解得，求得， ，由面积公式可求出n的值，则可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； ∵， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∵的顶点， ∴设， ∵的垂直平分线恰好经过点C， ∴， ∴，由勾股定理可得： ， 解得， ∴满足条件的点D的坐标为或； （3）解：如图，设交抛物线的对称轴于点H， 设，则， 设直线的解析式为，则， 解得， 于是直线的解析式为：， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 解得或， 当时，， 当时，． 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 12. （2024·山西阳泉·三模）综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点．点是直线上一动点，点是抛物线上直线下方的一个动点，设点的横坐标为． (1)求三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)过点作交直线于点，请用含的代数式表示线段的长，并求出为何值时有最大值，并求的最大值； (3)过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，直线的解析式为 (2)当时，有最大值 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可： （2）由题意可得，，再由，可得，当时，有最大值； （3）分两种情形：当点在线段上时，连接，交于，设，根据求得的值，可推出四边形是平行四边形，进而求得点坐标；当点在的延长线上时，同样方法得出结果． 【详解】（1）解：∵， 令，则， ， 令，则，解得：或， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）∵点的横坐标为m， ∴， 作交于点G， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴当时，有最大值； （3）当点在线段上时，连接，交于，连接，如图， ∵点和点关于对称，，， ， 设， 由得，， （舍去）， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 解得：， ； 当点在的延长线上时， ∵点和点关于对称，，， ， 设， 由得，， （舍去）， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 解得：， ； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 13. （2024·山西大同·三模）综合与探究 如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式． (2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值． (3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为； (2)最大值为； (3)点的坐标为或或． 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点的坐标为，点的坐标为，得到四边形周长为，利用二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况讨论，利用正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形周长为， ∵， ∴当时，四边形周长有最大值， 最大值为； （3）解：当为正方形时，如图， ∵点和点， ∴， ∴点与点关于对称轴对称， ∴点， ∴点， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， ∵，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵， ∴，即，解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； 当为正方形时，如图，设正方形的中心为点， 显然点与点关于对称轴对称， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求函数表达式、正方形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度． 14. （2024·山西吕梁·一模）综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点是第一象限内二次函数图象上的动点，过点P作x轴的平行线，与直线交于点M，与直线交于点E．过点P作直线的平行线，与直线交于点N．直线与直线交于点D．    (1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的函数关系表达式； (2)当时，求出m的值； (3)在点P运动的过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出线段的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1),，，直线的解析式为 (2)当时，m的值为 (3)当时，的最大值为 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别令，求得点的坐标，进而待定系数法求直线的解析式； （2）根据题意，结合相似三角形的性质得出，设点，则点，点的纵坐标都为，进而表示出，的横坐标，得出，根据建立方程，解方程即可求解； （3）根据的坐标，先求得的解析式，进而得出，得出，根据相似三角形的性质建立的关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C， 当时，，则 当时，，解得： ∴, 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即， 设点，则点，点的纵坐标都为， 代入，得 ∴ 将代入得， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去） ∴当时，m的值为 （3）如图所示，连接，    ∵，， ∴ ∴ 设直线的解析式为，将，，代入 解得： ∴直线的解析式为 ∴直线 ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵，二次函数的图象开口向下， ∴当时，的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 15. （2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G． (1)求点C的坐标和抛物线的函数表达式； (2)设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值． (3)在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线的函数表达式为 (2)当时，取最小值 (3)存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：， 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）令时，，得出点C的坐标为，运用待定系数法解二次函数的解析式，即把，代入，解得，即可作答． （2）先求出直线的函数表达式，再运用线段和差关系得出，，，根据，得出，证明四边形是矩形，得出，再代入，构建二次函数，运用二次函数的性质进行作答即可． （3）要进行分类讨论并且作图，熟练运用数形结合思想，根据面积的割补法列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． 令时，， ∴点C的坐标为， 把，代入， 得出 解得 ∴抛物线的函数表达式； （2）解：设直线的函数表达式为 把和分别代入， 得出 解得 ∴直线的函数表达式为 ∵过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．且设点D的横坐标为m， ∴， 则 ∵， ∴ ∴在中， ∴ 如图：过点D作轴 则 ∴在中， 则 ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ 则 ∵ ∴当，有最小值，且为； （3）解：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：，，理由如下： 依题意，当时，则， 则， 设的解析式为， 把和代入， 得 解得 ∴， 则点的坐标为 当点在对称轴的左边，如图： ∴ 设点P的坐标为，此时 ∵四边形是面积为的平行四边形 ∴，且 则 ∴ 解得， 同理当点在对称轴的右边 ∴ 设点P的坐标为，此时 ∵四边形是面积为的平行四边形 ∴，且 则 ∴ 解得， 综上：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：， 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合以及图象性质，解直角三角形的相关性质，平行四边形的性质，一次函数的性质以及待定系数法解表达式，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16. （2024·山西晋中·一模）综合与探究 如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为点．连接，将 沿轴向右平移 个单位长度，得到 ． (1)求抛物线的函数表达式与顶点的坐标． (2)如图，连接，当 周长最短时，求的值． (3)如图，设边与边交于点，连接，是否存在，使得与 的一边相等?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为； (2)； (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，再把抛物线的函数表达式转化为顶点式即可得到顶点的坐标； （）设点关于轴的对称点为点，连接，当在同一直线上时，的周长最短，由对称得到点的坐标为，设直线的函数表达式为，可得直线的函数表达式为，求得点的坐标为，即可求出的值； （）如图，过点作轴于点，由，，可得，，，，进而得到，，，即可得，，，分三种情况：，，，利用解直角三角形和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：如图，设点关于轴的对称点为点，连接，当在同一直线上时，的周长最短， ∵点的坐标为， ∴.点的坐标为， 设直线的函数表达式为， 将点、代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴； （3）解：存在，或． 如图，过点作轴于点， ∵，， ∴，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，，， 分三种情况讨论： 当时，在中， ∵ ， ∴， ∴该情况不存在； 当时， ∵，轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 当时，， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中 ，， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，轴对称最短线段问题，二次函数图象的平移，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，掌握分类讨论思想解答是解题的关键． 17. （2024·山西运城·三模）学科实践 任务驱动：2024年世界泳联跳水世界杯第三站暨超级总决赛于4月19日至21日在中国陕西省西安市成功举办，中国国家跳水队以8金1银总奖牌9枚完美收官，进一步激发各地跳水运动员训练的热情．数学小组对跳水运动员跳水训练进行实践调查． 研究步骤：如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与y轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点О的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线． 问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式及入水处点B的坐标． (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米，问该运动员此次跳水会不会失误？说明理由． (3)在该运动员人水处点B的正前方有M，N两点，且，该运动员人水后运动路线对应的抛物线的解析式为．若该运动员出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出k的取值范围． 【答案】(1)解析式为；B的坐标为 (2)不会失误，见解析 (3) 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式，当时，，求出点B的坐标； （2）当时，，得到调整点的坐标为，求出运动员此时距离水面高度为(米).即可得到答案； （3）由人水处点得到，①当抛物线经过点M时，，②，解得；当抛物线经过点N时，，③由①③联立方程组，解得.即可得到答案． 【详解】（1）设运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 ∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴运动员在空中运动时对应的抛物线的解析式为 当时，， 解得或(舍去)， 点B的坐标为 （2）∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好与y轴的水平距离为3米， ∴运动员调整好入水姿势的点的横坐标为3， ∴当时，， ∴调整点的坐标为， ∴运动员此时距离水面高度为(米). ∵， ∴运动员此次跳水不会失误 （3）∵，， ∵. ∵人水处点， ∴，① 当抛物线经过点M时，，② 由①②联立方程组，解得； 当抛物线经过点N时，，③ 由①③联立方程组，解得 ∵出水处点D在之间(包括M，N两点)， ∴ 18. （2024·山西晋中·二模）学科实践 设计“抛物线型”花边 驱动任务 花边历史悠久，最早出现于14世纪，工艺种类不胜枚举．某美术社团小组在学习了抛物线的相关知识后，计划设计“抛物线型”花边． 研究步骤 （1）认识模具，建立模型． 社团小组的同学们首先制作了一个“抛物线型”的模具，该模具的高度为24cm，并将其模具放置在了平面直角坐标系中（如图1），准备利用该模具设计“抛物线型”花边． （2）摆放模具，制定方案． 同学们尝试在长为120cm，宽为24cm的矩形纸片上摆放该模具，经过讨论交流形成了以下两个方案． 方案一：如图2，将该模具完全放入矩形纸片中，发现恰好能绘制出一幅有5个连续花边组成的图案． 方案二：如图3，将模具的一部分放入矩形纸片中，绘制出上下两排各含有若干个连续花边的图案，每个花边（即每条抛物线）的高度相等，相对两个花边的顶点之间的距离为h． （3）实施方案，展示作品． …… 问题解决 请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务： 任务一：求出图1的平面直角坐标系中抛物线模具的函数表达式； 任务二：若采用研究步骤中的方案二进行设计，请你通过计算确定当时一排中最多可摆放的花边个数． 【答案】任务一：；任务二：方案二的一排中最多可摆放10个花边 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键． 任务一：先求得顶点A的坐标为，利用待定系数法求解即可； 任务二：画出图形，将代入抛物线解析式，求得弦长，求解即可． 【详解】解：任务一： ，， ∴顶点A的坐标为，． ∴设抛物线模具的函数表达式为， 将代入， 解得． 所以抛物线模具的函数表达式为，即； 任务二：如图， ，， 将代入抛物线解析式得：， 解，得，． ∴． （个）． 答：方案二的一排中最多可摆放10个花边． 19. （2024·山西大同·二模）综合与探究 羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题． 小华从场地左侧点距地面处发球，球飞行过程中在点处到达最高点，并落在了场地右侧的点处，如图1所示（，，三点共线）．通过测量得知，，两点距离为，，两点距离为． (1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式； (2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m．小明又通过测量得到点和点距离球场中线（球网所在位置）的距离分别为和，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由； (3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为，假设小华站在点处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围． 【答案】(1) (2)小华此次击球不能飞过球网 (3)小华击球高度取值范围大于m小于m 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）连接，交直线于点，分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，，由求得的坐标为，再代入函数解析式即可； （3）设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为，直线与场地右侧边线的交点为，可求，将，分别代入，得到，，再将将分别代入即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， 设此抛物线的解析式为， 将点，代入，得 解得 所以此抛物线的解析式为． （2）解：连接，交直线于点，分别过点，向直线作垂线，垂足分别为，，如图所示． 根据题意，得，，． ∵， ∴， ∴， ， ， 即点的坐标为． 将点代入，得． ， 小华此次击球不能飞过球网． （3）解：∵小华仍从点处发球，且击球时的用力方向和大小不变， 设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为，直线与场地右侧边线的交点为． 场地内边线距离场地中线的距离为 ， 由（2）同理可得． 要求球越过球网且落在球场内边线内， 将，分别代入， 得，． 将分别代入，， 得，． 小华击球高度取值范围大于小于． 20. （2024·山西长治·二模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． x/米 0 1 3 4 y/米    经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现y是x的二次函数．    (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为，宽为，露出水面高度为的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为多少米．    【答案】(1) (2) (3)C处距离桥墩的距离至少为米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）当时，其对应的函数值，就是的高度，计算即可； （2）选择两个点的坐标，代入解析式计算即可； （3）令，解答即可． 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，当时，其对应的函数值是， 故的高度为， 故答案为：． （2）把、代入 得 解得， ∴． （3）令， 则， 解得（舍去）． 答：C处距离桥墩的距离至少为米． 21. （2024·山西运城·一模）项目化学习 项目主题：滑雪运动中的函数知识 项目背景：北京冬奥会上的中国运动员们，用竞技成绩和精神风貌的优异表现，进一步向世界展示了自信、包容、进取的中国形象，其中雪上项目屡传捷报，中国的冬季项目发展之路越走越宽，一时间冰雪运动成了最受青少年喜欢的健身运动方式综合实践活动小组以单板滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线为主题开展项目学习． 驱动任务：探究滑雪运动中运动员起跳后的飞行路线中的函数关系 研究步骤： （1）选定合适位置建立平面直角坐标系，确定x轴、y轴的位置； （2）利用高清设备在运动员起跳后的路线上选定几个特殊位置作为测量点，并借助相关仪器测出每个点的水平距离与相应的竖直高度； （3）数据分析，形成结论． 实验数据：从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的几组对应数据如下表所示： x/m 0 2 4 6 8 11 14 y/m 20.00 21.40 22.40 23.00 23.20 22.75 21.40 绘制图表：从起跳点到最后着陆点的示意图如图所示： 问题解决：根据此项目实施的相关材料，完成下面的任务： (1)根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的______函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为______． (2)通过分析实验数据，你认为运动员在本次起跳中竖直高度的最大值是______m； (3)若运动员最后着陆点与起跳点的水平距离为，求运动员最后着陆点的竖直高度． 【答案】(1)二次， (2) (3)运动员最后着陆点的竖直高度为． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意，利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键． （1）根据数据与图象可得答案，再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）根据表格信息先求解抛物线的对称轴，结合表格数据可得答案； （3）把代入计算即可． 【详解】（1）解：根据表中信息可知，起跳后运动员的竖直高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数； 设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：二次，； （2）∵与时，函数值， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，最大高度为， 故答案为：； （3）把代入可得： ， ∴运动员最后着陆点的竖直高度为． 22. （2024·山西朔州·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E． (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值． (3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，有最大值为 (3)存在，点M的坐标为，或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将，代入得：，求解即可得出抛物线解析式，从而得出点的坐标，进而得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的平行线交于，，求出得出，从而得到当取得最大值时，取得最大值，设点，则，则，求出的最大值即可； （3）求出点的横坐标为，设点，分三种情况：当为对角线时；当为边，平行四边形为时；当为边，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为：； 在中，当时，， ， 点D与点C关于x轴对称， ， 设直线的表达式为， 将，代入解析式得：， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：存在， 如图，过点作轴的平行线交于， ， ，， ，， ， ， 在中，， ， 当取得最大值时，取得最大值， 设点，则， ， ， 当时，取得最大值为， 的最大值为； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 点的横坐标为， 由（2）可得，点， 设点， 点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，， 当为对角线时，则， 解得：，此时，即； 当为边，平行四边形为时，， 解得：，此时，即； 当为边，平行四边形为时，， 解得：，此时，即； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合—线段问题，二次函数综合—特殊四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 23. （2024·山西朔州·一模）综合与探究 如图1，二次函数的图象与轴交于，（点在点的左侧）两点，与轴交于点．直线经过，两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)在抛物线上是否存在除点外的点，使得？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，将沿轴正方向平移得到（点A，O，C的对应点分别为，，），，分别交线段于点E，F，当与的面积相等时，请直接写出与重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题是二次函数一次函数综合题，考查了待定系数法、图形的平移、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用一次函数求出点A和点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）抛物线上存在点D，使得，设直线与y轴交于点E，证明，求出，再求出点B的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立即可求出答案； （3）当与的面积相等时，则与的面积相等，则，据此进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ∴点A的坐标是，点C的坐标是 把点A的坐标和点C的坐标代入得， 解得 ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，抛物线上存在点D，使得，设直线与y轴交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴点B的坐标是， 设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到 ， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标是； （3）如图所示，当与的面积相等时，则与的面积相等， ∴， 设点的坐标为，其中，设直线的解析式为， ∵，直线为， ∴， ∴， 把代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到 解得， 即点E的纵坐标是， 当与的面积相等时，则与的面积相等， ∴， ∵， ∴ 解得，或（不合题意，舍去） 当时，，,，点E的纵坐标是， ∵， ∴轴， ∴点F的横坐标为2， 当时，， ∴， ∴， 即与重叠部分的面积为． 24. （2024·山西临汾·一模）综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点A和点B．点B的坐标是，与y轴交于点，点D在抛物线上运动、作直线AC． (1)求抛物线的解析式及点A的坐标； (2)如图2，D是直线下方抛物线上的动点，连接交于点E、当时，求点D的横坐标； (3)连接和，当的面积是4时、请直接写出符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：；点的坐标为 (2)点D的横坐标为或 (3)点D的坐标为或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，平行线分线段成比例定理，以及二次函数综合： （1）把，代入求出b，c的值，即可得抛物线的解析式，令，求出的值，即可得出点的坐标； （2）过点D作轴于点F，过点E作轴于点G，得出由平行线分线段成比例定理可得出设D点的坐标为，求得及直线的解析式为，把点E代入求得m的值即可解决问题； （3）分点D在的上方和下方两种情况讨论：当点D在的下方时：连接，设，根据列式求出n的值即可；当点D在的上方时，先求出直线的解析式，并求出直线与x轴的交点坐标，再根据列式求出n的值即可 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； 令，则 解得， ∴点的横坐标为； ∴点的坐标为； （2）解：过点D作轴于点F，过点E作轴于点G，如图， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵D在抛物线上， ∴设D点的坐标为， ∵D是直线下方抛物线上的动点， ∴， ∴ ∴ ∴E点坐标为，即 设直线的解析式为， 把,代入，得： ， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点E在直线上， ∴ 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ∴点D的横坐标为或； （3）解：①当点D在的下方时，如图，连接， 设， ∴点D到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∵， ∴ ， 整理得， 解得，， 当时， ∴点D的坐标为； ②当点D在的上方时，设，如图， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为 ∴当时，， ∵ ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， 当时，； ∴点D的坐标为； 设，如图， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为 ∴当时，， ∵ ∴， 整理得，， 解得，（正值舍去）， 当时，； ∴点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或或 25. （2023·山西大同·三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．    (1)求A，B，C三点的坐标； (2)当的面积等于的面积的时，求m的值； (3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)3 (3)存在，或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】（1）令和求解即可； （2）过点C作交的延长线于F，首先求出，求出直线BC的函数表达式为：，得到，，然后根据列方程求解即可； （3）首先得到，然后设，，然后根据题意分3种情况讨论：是平行四边形的边，是平行四边形的边，是平行四边形的对角线，分别根据平行四边形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）由，得． 解，得，． ∴点A，B的坐标分别为，， 由，得． ∴点C的坐标为． （2）如图，过点D作轴于E，交BC于G，    过点C作交的延长线于F． ∵点A的坐标为，点C的坐标为． ∴，． ∴． ∴． ∵点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线BC的函数表达式为．则．解得 ∴直线BC的函数表达式为：． ∵点D的横坐标为， ∴点D的坐标为，点G的坐标为：． ∴，，． ∴ ∴． 解得：（不合题意舍去），， ∴m的值为3． （3）将代入 ∴， 设，， ∵， ∴如图所示，当是平行四边形的边时，           ∴由平行四边形的性质可得， ，解得或 ∴点M的坐标为或； 当是平行四边形的边时，      ∴由平行四边形的性质可得， ，解得或（不合题意，应舍去） ∴点M的坐标为； 如图所示，当是平行四边形的对角线时，      ∴由平行四边形的性质可得， ，解得或（不合题意，应舍去） ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 26. （2024·山西忻州·三模）综合与探究 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．点为线段上的动点（与O，B不重合），过点D作x轴的垂线与线段交于点E，与抛物线交于点F．    (1)求直线的函数表达式和点A的坐标． (2)当点E为线段的中点时，求线段的长． (3)在抛物线上是否存在点G，使得？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在．点G的坐标为或； 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解一元二次方程，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求得，，，再利用待定系数法求解即可； （2）用表示出和，根据，列方程，解之即可得解； （3）分两种情况讨论，点在轴下方和上方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得或； 令，则，解得或； ∴，，， 设直线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵点，且， ∴点，， ∴，， 由题意得， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：点在轴下方时，如图，    ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， 解方程， 得或， 此时点G的坐标为； 点在轴上方时，如图，    ∵， ∴， 同理求得直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 联立， 整理得， 解得或， 此时点G的坐标为； 综上，点G的坐标为或； 27. （2024·山西长治·二模）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一动点，且点P的横坐标为m． (1)直接写出点A，C的坐标，及抛物线和直线的表达式； (2)如图2，若点P在第三象限，连接，，用含m的代数式表示的面积； (3)连接，若，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点，点，， (2) (3)， 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】(1)把点，代入抛物线，确定抛物线的解析式，后确定点A，点C的坐标，后利用待定系数法确定解析式即可． (2)过点P作轴，交的延长线于点D，设，则，则，结合，，得到，计算即可． (3) 根据，，得到，继而得到，分点P在第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，构造方程组求交点坐标即可． 【详解】（1）把点，代入抛物线， 得 解得， 故抛物线的解析式为． ∴， 设点，则， 解得， 故； 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． （2）过点P作轴，交的延长线于点D， ∵抛物线的解析式为，直线的解析式为：．且点P的横坐标为m， ∴，则， 则， ∵，， ∴ ． （3）∵，，∴， ∴， 当点P在第二象限，第三象限时，，与矛盾， 故点P不在第二象限，第三象限； 当点P在第一象限时， ∵，，， ∴，，， 过点C作轴，且，过点E作轴，且， 连接，交抛物线于点P， 则， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴三点共线， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）． 故 当点P第四象限时， 作点关于原点的对称点M，作直线交抛物线于点P， 则，， 由， ∴． 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 解得（舍去）． 故； 综上所述，符合题意的点P坐标有，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 28. （2024·山西太原·二模）综合与探究：如图，二次函数图象与一次函数的图象相交于两点，与轴交于另一点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式及点的坐标； (2)如图1，点是线段上一个动点，过点作交于点．设点的横坐标为．若的面积是四边形面积的．求的值； (3)如图2，连接，在抛物线上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)1 (3)或 【知识点】角度问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据，可得，即可求解； （3）设点P的坐标为，分两种情况：当点P在y轴的下方时，当点P在y轴的上方时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴二次函数的表达式为； 令，则， 解得：， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积是四边形面积的， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， 对于，令，则， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， 如图，当点P在y轴的下方时，过点P作轴于点E，则，，    ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当点P在y轴的上方时，同理点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 29. （2024·山西朔州·三模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点P是x轴下方抛物线上的一个动点（且C，D，P三点不共线），分别过点A，B作，，垂足分别为点E，F，连接，． (1)求点A，B的坐标． (2)求证：为等腰三角形． (3)当为等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、特殊三角形问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、全等三角形综合问题 【分析】（1）令，建立一元二次方程求解，即可解题； （2）延长交于点M．利用平行线的性质和判定，以及抛物线的对称性，证明，得到，利用直角三角形性质得到，进而得到，即可证明为等腰三角形； （3）设与抛物线的对称轴交于点N．利用等腰直角三角形性质，证明，进而得到点的坐标，利用抛物线得到点的坐标，设直线的表达式为．利用待定系数法求得直线的表达式，再联立抛物线求解，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得，． 点A在点B的左侧， 点A的坐标为，点B的坐标为． （2）证明：如图，延长交于点M． ，， ， ． 由抛物线的对称性，可知． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， ， 为等腰三角形． （3）解：点P的坐标为． 如图，设与抛物线的对称轴交于点N． ， 抛物线的对称轴为直线． 点D的坐标为． ， ． 是等腰直角三角形，且， ． ， ． ， ． ， ． ， ． ，即． 在和中， ， ． ， ． 对于，令，得． ． 设直线的表达式为． 将，代入，得，解得． 直线的表达式为． 联立方程组，得． 解得（舍去），， 点P的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数与一次函数的图象与性质、平行线的性质和判定、直角三角形性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、解方程等知识点．运用数形结合的数学思想解答是关键． 30. （2024·山西临汾·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线．P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点M，交直线于点 ，连接，，其中点A 的坐标为． (1)求直线的函数表达式． (2)求面积的最大值． (3)当是等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）先用待定系数法求出二次函数解析式，再分别求出点B、C坐标，再用待定系数法为一次函数解析式； （2）利用“割补思想”将的面积转化为，的面积和，通过设点，最后用m的代数式表达出的面积，最后利用配方法求最值； （3）分类讨论，①当，过点C作于点E，利用等腰三角形的三线合一，将其转化为处理；②当，过点P作于点H，则由，得，，而，建立方程即可； ③当，过点C作于点F，，发现，，得出：，解方程即可． 【详解】（1）把代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴， 当时，.解得，， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，分别代入，得 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）如解图1，过点C作于点D，则四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，面积的最大值为； （3）由（2），得，，， 可分为以下三种情况讨论： ①当点C为顶角顶点时，，如解图2，过点C作于点E， 则，， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②当点N为顶角顶点时，，如解图3，过点C作于点F，则，， ∵，， ∴ ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ③当点P为顶角顶点时，，如解图4，过点P作于点H，则， 由②，得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，与等腰三角形的存在性结合考查，熟知待定系数法求函数解析式，配方法求最值，以及等腰三角形的存在性问题的解题方法是解决本题的关键． 31. （2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标． (2)求的值和点的坐标． (3)是第四象限内抛物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点． ①当是线段的三等分点时，求点的坐标； ②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，点的坐标为 (3)①点的坐标为或；②存在，的长为． 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、一次函数、二次函数图象综合判断、待定系数法求二次函数解析式、正方形性质理解 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两个函数求交点，二次函数的性质，正方形的性质等，正确画出辅助线是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）联立解方程组即可； （3）①根据坐标求出线段长，利用三等分即可求解； ②作辅助线见解析，根据正方形的性质，列式求解即可． 【详解】（1）将点，点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为， 点的坐标为． （2）将点代入，解得， 联立，解得（舍去），， 点的坐标为． （3）①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ． 是线段的三等分点， 或． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． ②存在，的长为． 如图，过点作轴，过点作轴，令直线与轴的交点为，点关于直线对称的点为， ，， ，， ， 四边形是正方形． ， ． 由正方形的对称性可知， ． 把代入，得， 点在抛物线上， 当点与点重合时，即满足， ． 32. （2024·山西晋城·二模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A、C两点（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，过点C的直线交于点E，交抛物线于点P．    (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)如图1，当点P位于第二象限的抛物线上时，过点P作轴，交直线于点D，求线段的最大值． (3)如图2，当E为的中点时，过点B作直线，M为直线上一点，在直线l上是否存在点N，使以B，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)当时，线段的最大值为1 (3)存在，点N的坐标为或或 【知识点】求一次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、求角的正切值 【分析】（1）当时，即．当时，．可求，．待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）如图1，过点P作轴，交于点F，则．设，则．．由轴，可得．则，，即，，然后求解作答即可； （3）由，，E为的中点，可得，．待定系数法求直线的函数表达式为．设．①当为菱形的边时，，如图2．则．即．求解作答即可；②当为菱形的对角线时，，如图3．则．即．求解作答即可． 【详解】（1）解：当时，即． 当时，． 解得，． ∵点A在点C的左侧， ∴，． 设直线的函数表达式， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点P作轴，交于点F，则． 设，则． ∴． ∵轴， ∴． ∴， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴当时，线段的最大值为1． （3）解：∵，，E为的中点， ∴，． 设直线的函数表达式为． 把，代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为． 设． ①当为菱形的边时，，如图2．    ∴． ∴． 解得或． ∴点M的坐标为或． ∴点N的坐标为或． ②当为菱形的对角线时，，如图3．    ∴． ∴．解得． ∴点M的坐标为． ∴点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，二次函数与线段综合，正切等知识．熟练掌握一次函数解析式，二次函数与特殊的平行四边形的综合，勾股定理，二次函数与线段综合，正切是解题的关键． 33. （2024·山西太原·一模）综合与探究 如图1，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接交抛物线于点，点的横坐标为． (1)求点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式； (2)如图2，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为． ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点C的坐标为，直线的函数表达式为； (2)①；②点N的坐标为或或． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊四边形(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）先求得点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （2）①点P的坐标为，证明，推出，据此求解即可； ②先求得轴，且，分三种情况讨论，分别画出图形，根据正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∵点A在x轴负半轴上， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为，则， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）①∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段上方抛物线上的一个动点， 点的横坐标为， ∴点P的坐标为， ∵轴于点G， ∴，， ∵轴，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴点F的坐标为， ∴， ∴轴，且， 当四边形为正方形时，如图，此时点与点重合，点与点重合， ∴点N的坐标为； 当四边形为正方形时，如图，此时点与点重合，点与点重合， ∴，则，解得，， 点N的坐标为； 当为对角线时，如图，此时， 由正方形的性质得， ∴时，解得， ∴点G的坐标为， ∴点M的坐标为，， 点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质正方形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键． 34. （2024·山西吕梁·三模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点，连接，，与抛物线的对称轴交于点．      (1)求点，，的坐标． (2)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，当时，求点的坐标． (3)若点是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)存在，点的坐标为或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为； （2）根据三角形的面积公式得出，进而根据题意得出，根据直线的表达式为．过点作轴于点，交于点．设点的坐标为，则点的坐标为，表示出，根据三角形的面积得出，，即可求解； （3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标，即可． 【详解】（1）解：令，则，解得，． 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为． 令，得． 点的坐标为． （2）解：，，， ，，． ． ， ． 设直线的表达式为． 将，代入， 得 解得． 直线的表达式为． 如图，过点作轴于点，交于点． 设点的坐标为，则点的坐标为． ． ． ，． 点的坐标为或 （3）存在．点的坐标为或或． 解：，，． ， 是等腰直角三角形． 抛物线的对称轴为直线． 将代入，得．． 点在射线上，点的横坐标为3． 设，． 分三种情况： ①当，时，，如图①． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为． ． 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②当，时，，如图②，过点作于点． 由①得点的坐标为． ， ． ，， ． 点的坐标为． ③当，时，，如图③． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为． ． 解得，（不合题意，舍去）． ． ． 点的坐标为． 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 35. （2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，连接，作直线． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的表达式； (2)如图1，若点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m，过点P分别作x轴、y轴的垂线，交直线于点M，N，试探究线段长的最大值； (3)如图2，若点Q是二次函数图象上的一个动点，直线与y轴交于点H，连接，在点Q运动的过程中，是否存在点H，使以H，C，B为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，直线的表达式为； (2)线段长的最大值为； (3)点Q的坐标为或． 【知识点】求角的正切值、相似三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，求得的值，令，求得的值，可求得A，B，C三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）设，则，证明，利用正切函数的定义推出，求得，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）利用勾股定理求得，，作于点，用正切函数的定义推出，分和两种情况讨论，分别求得点的坐标，求得直线的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， 令，则， ∴，，， 设直线的表达式为， 代入得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，∴当时，线段长的最大值为； （3）解：∵，，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，，， ∴， 作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 以H，C，B为顶点的三角形与相似，则分和两种情况讨论， ①当时， ∵， ∴， ∴， 同理求得直线的表达式为， 联立得， 解得，（舍去）， ， ∴点Q的坐标为； ①当时，设， 则，， ∴， 解得， ∴， 同理求得直线的表达式为， 联立得， 解得，（舍去）， ， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键． 36. （2024·山西吕梁·一模）综合与探究 如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．    (1)求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式； (2)如图，连接交于点，若，求此时点的坐标； (3)如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标的或 (3)存在，点的坐标为或或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点的坐标，然后根据当时，得，解方程求出的值即可；根据，坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，证明得，设，，得到，求解即可； （3）确定直线的解析式为，确定，设，，然后分三种情况：①若为平行四边形的对角线；②若为平行四边形的边；③若为平行四边形的边，分别建立一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， 当时，得：， 解得：，， ∴，， 当时，得：， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为和直线的解析式为； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∴点的坐标的或；    （3）∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线与抛物线交于，两点， ∴， 解得：，， ∴， 设在直线上存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，设，， ①若为平行四边形的对角线，则： ，得：， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，（舍去）， 此时点的坐标为； ②若为平行四边形的边， ∴， ∵轴， ∴轴， 则：，得：， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，（舍去）， 此时点的坐标为； ③若为平行四边形的边， ∴， ∵轴， ∴轴， 则：，得：， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， 此时点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识点，本题运用了分类讨论的思想．掌握函数的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$