专题12 解直角三角形及应用-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题12 解直角三角形及应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 解直角三角形及应用 （5年5考） 2024·山西：解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 2023·山西：矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算 2022·山西：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 2021·山西：其他问题（解直角三角形的应用） 2020·山西：分式方程的实际应用、解直角三角形的相关计算 解直角三角形的实际应用包括：仰角俯角问题、方位角问题、坡度坡比问题、其他问题，结合基础几何图形性质，灵活运用三角形函数求解，属于中考必考题型. 考点1 解直角三角形及应用 1. （2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，AB的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，）． 【答案】解：延长CD交AB于点． 由题意得，四边形CMBH为矩形． ． 在Rt中，， 在Rt中，， ． 设． ． 解，得.1． （米）． 答：点到地面的距离AB的长约为27米． 【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 【解析】【分析】本题考查解直角三角形，找出线段的数量关系，根据锐角三角函数的定义，结合等量关系，列出方程，求解即可。延长CD交AB于点．由题意得，四边形CMBH为矩形．．解Rt得解Rt得．设．则EH=x+9；得，得.1得AB27米. 2. （2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图        相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 【答案】的长约为的长约为． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算 【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，      ∴． 由题意得，在中，． ∴． ∴． 由题意得，，四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴在中，． ∵． ∴． ∴， ∴． 答：的长约为的长约为． 【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． 3. （2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 【答案】58m 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解． 【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则． 又∵， ∴四边形ACHG是矩形． ∴． 由题意，得． 在中，， ∴（m）﹒ ∵是的外角， ∴． ∴． ∴m． 在中， ∴(m)． ∴． 答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键． 4. （2021·山西·中考真题）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过点作于点，交直线于点；过点B作于点，于点，此时构造出两个矩形和，根据矩形的性质可得，，，进而求得的度数，在，中，利于三角函数即可求得，的长度，最终求得AH的值即为指示牌最高点到地面的距离． 【详解】解：过点作于点，交直线于点； 过点作于点，于点； 则四边形和四边形均为矩形． ∴，，， ∴． ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∴． ∴． 答：指示牌最高点到地面的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造所给角度以及相关角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键． 5. （2020·山西·中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【知识点】分式方程的实际应用、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解． 【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，． 由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得． 在中，，，， ， ． ． 与之间的距离为． （1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得 解，得． 经检验是原方程的解 当时， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 根据题意，得． 解，得 经检验是原方程的解． 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人． 【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质． 6. （2024·山西太原·三模）小东同学在学习中感悟到学好数学可以解决很多实际问题，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处（），小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点B的仰角为．测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为．此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是．小东通过计算塔吊的高度，并根据此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），做出了是否违规的判断．亲爱的同学，请利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．）（参考数据：，，，，，） 【答案】吊塔没有违规 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 过点作于点于点，则，在中，，解得，则，可得，在中，，解得，由即可得出答案． 【详解】解：过点作于点于点， 则，， ， 在中，， 解得， ， ， 在中，， 解得， ， ∴塔吊的高度为． ， ∴吊塔没有违规． 7. （2024·山西阳泉·三模）“忠义”是构成中华民族精神特质和文化品格的重要组成部分，东汉名将关羽是中华传统忠义文化的代表和典范．如图1所示是坐落于山西运城常平村关公故里的“关帝圣像”．关帝一手提青龙偃月刀，一手捋美髯飘须，伟岸挺拔，分外壮观．某数学兴趣小组开展了测量“关帝圣像”雕塑高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“关帝圣像”雕塑位于垂直地面的基座上，基座高，身高的小明在雕塑前方的处测得“关帝圣像”头顶的仰角为，测得“关帝圣像”脚底的仰角为，求“关帝圣像”雕塑的高度（，，三点在同一直线上，，结果精确到．参考数据：，，，，，）． 【答案】“关帝圣像”雕塑的高度约为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了三角函数的应用，过点作于点， 由题意可知 ，，进而可求出的值，在中， 利用 ， 可求出的值，在中， 利用，可求出的值，进而即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：、都是直角三角形，四边形是矩形． ，． ，， ． 在中，，， ， ． 在中，， ， ． ． 答：“关帝圣像”雕塑的高度约为61米． 8. （2024·山西晋城·三模）某数学综合实践活动小组在学校无人机社团的帮助下，在操场上对无人机进行了一次测高实验．如图，两台测角仪分别放在A，B位置，且离地面高均为1m（即），两台测角仪相距（即）．在某一时刻无人机位于点C（点A，B，C所在平面与地面垂直），点A处测得其仰角恰好为，点B处测得其仰角为． (1)求该时刻无人机离地面的高度；（单位：m，结果保留整数） (2)无人机沿方向水平飞行后到达点P（点P与点A，B，C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：，结果精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】(1)约为 (2) 【知识点】根据等角对等边求边长、其他问题(一元一次方程的应用)、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等角对等边的性质，一元一次方程的应用． （1）过点C作，垂足为点H，由等角对等边可得出，设，则，解可得出，再根据列出关于x的一次方程，求解后再加上距离地面的高度即可得出答案． （2）过点P作，垂足为点M，根据题意可得，解求出，再根据等量代换以及线段的和差求出，最后根据速度等于距离除以时间即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为点H， ， ． 设，则． 在中，． ， ， ． ． 答：无人机离地面高度约为． （2）过点P作，垂足为点M， 无人机沿水平飞行， ． 在中，． ． 又． ． 答：无人机水平飞行的平均速度约为． 9. （2024·山西忻州·三模）坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量． 方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为． 方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为． 课题 测量春秋大鼎的高度 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，） 测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度 … … … … … (1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到） (2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度； (3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可） 【答案】(1)5.50 (2)春秋大鼎的高度约为 (3)见解析 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、平行投影 【分析】此题考查了平行投影，解直角三角形的实际应用，正确理解图形，正确掌握各三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论； （2）延长，交于点P．在和利用三角函数的定义计算即可求解； （3）合理即可． 【详解】（1）解：设春秋大鼎的高度为，由题意得， 解得 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于点P． ∵，，， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，． 设，则． 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：春秋大鼎的高度约为； （3）解：在实际测量的过程中，多次测量求平均值可以减小测量数据产生的误差．（答案不唯一） 10. （2024·山西大同·三模）滑雪天才少女谷爱凌于2021年1月首次参加世界极限运动会，取得2金1铜共3枚奖牌的优异成绩，成为中国首位在世界极限运动会夺金的运动员，自此引起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度； (2)求此运动员的身高（参考数据：，，） 【答案】(1)小腿的长度为； (2)运动员的身高为． 【知识点】三角函数综合、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）中， 即可得出． （2）由（1） 得， 则在中， 解得，根据运动员的身高为可得出答案． 【详解】（1）解：在中， ， 解得：， ∴此滑雪运动员的小腿的长度为． （2）解：由（1）得， ， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ， ∴， ∴运动员的身高为 11. （2024·山西运城·三模）遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，团时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化．“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆．C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到，． 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． (1)如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为__________m． (2)如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意；任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查矩形的判定与性质和等腰三角形的性质，以及利用三角函数求线段长，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先证明四边形是矩形和三角形是等腰三角形，再根据三角函数求解即可； （2）过点K作于点H，先证明四边形是矩形，再根据三角函数求解即可． 【详解】（1）解：垂直于地面，当中午太阳光线与地面垂直， 四边形是矩形， ， ， 三角形是等腰三角形， ，， ； （2）解：如图，过点K作于点H， 根据题意可知，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳， 四边形是矩形， ，， 由(1)得， ， 在中，， 下午时的伞体在地面上留下的影子的长约为． 12. （2024·山西晋城·三模）高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．某数学活动小组的同学测量摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到大楼底部点C的距离，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到大楼底部点C的距离 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活中的实际问题 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案 1．如图1是某型号的摄像头安装完成后的示意图，镜头的拍摄广角，用皮尺测得摄像头B到地面的距离； 2．如图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，同时也能拍摄到大楼上最高点A．此时，测角仪在点B处测得点C的俯角，点A，B，C，D，F均在同一竖直平面内 测量示意图    请根据以上测量数据，求摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到大楼底部点C的距离． （结果精确到1m；参考数据：） 【答案】40米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，由正切函数可求得的长，由互余关系可得，在中，由正切函数可求得的长，由即可求解． 【详解】解：由题意，可知在图2中，． 在中，，， ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 答：此时摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到地面的距离约为40米． 13. （2024·山西晋城·三模）龙门黄河大桥全长，是黄河上跨径最大的斜拉桥，号称“黄河第一桥”，也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁，其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美．某校综合与实践小组测量花瓶型塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 花瓶型塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从水平面垂直上升至点A，测得其中一座塔的塔尖M的仰角为； 2．再将无人机从点A处垂直上升至点B，测得该塔的塔尖M的仰角为，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求花瓶型塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，正确地作出辅助线是解题关键．分别延长，，交于点，，延长交于点．根据题意得到，，，，则四边形和四边形都是矩形．解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，分别延长，，交于点，，延长交于点． 根据题意，得，，，，则四边形和四边形都是矩形． ， ，， ，， 在中，， ， ， 在 中，，， ， 又， ， 解得， ． ， 答：花瓶型塔的高度约为． 14. （2024·山西长治·三模）某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，则四边形为矩形， 由题意得：，， 设 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：发射塔的高度约为． 15. （2024·山西吕梁·一模）项目化学习 项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道． 项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习． 研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； （2）实地测量图书馆门口场地的大小； （3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，） 【答案】米 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】延长，，交于点H，过点B作于点K，证明四边形为矩形，得出，解直角三角形求出（米），得出，根据等腰三角形的性质得出米，根据勾股定理求出（米），得出结果即可． 【详解】解：延长，，交于点H，过点B作于点K，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵米，， ∴（米）， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴米， ∴（米）， 在中，根据勾股定理得： （米）， ∴米． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16. （2024·山西大同·三模）项目化学习 项目主题：测量紫丁香树的高度 项目背量：山西省沁水县中村镇下川村的紫丁香树为二级古树，树龄300年，为华北最大紫丁香树．某校数学活动小组计划测量这株紫丁香树的高度． 研究步骤： （1）小组成员讨论后，设计了如下的两种测量方案，并画出相应的测量草图． 备注：两位同学的观测点到地面的距离相等，线段长表示紫丁香树的高度，点均在同一竖直平面内． （2）准备测量工具：测角仪，皮尺． （3）实地测量并记录数据： 方案一 方案二 问题解决：请你选择一种方案计算这棵紫丁香树的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】这棵紫丁香树的高度． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．设，在中，求得，在中，求得，方案一中，，方案二中，根据，分别列式计算即可求解． 【详解】解：方案一，设交于， 由题意得，，，且， ∴四边形都是矩形， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：这棵紫丁香树的高度． 解：方案二，延长交于， 由题意得，，，且， ∴四边形都是矩形， 设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：这棵紫丁香树的高度． 17. （2024·山西临汾·二模）如图1，这是一款教学设备的实物图，该教学设备是由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成，图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水面桌面的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】点到水面桌面的距离约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，如图，过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形，通过角直角三角形求出的长，根据求解即可 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点，延长交于点，则四边形是矩形， ． ， ． 在中，， ， ． ， ． 在中，， ， ． 答：点到水面桌面的距离约为． 18. （2024·山西忻州·三模）项目化学习 项目主题：了解悬空寺距离地面的高度． 项目背景：悬空寺位于恒山金龙峡西侧翠屏峰的峭壁间，是北岳恒山十八景中最独特的一景，号称恒山第一胜景．某校综合与实践小组为了解悬空寺距离地面的高度，开展了项目学习． 测量工具：测角仪、皮尺等． 测量方案及示意图：    （1）选取悬空寺底部点作为测量点； （2）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （3）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （4）测量的距离 说明：测角仪的高度米.点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上，点，，在同一条水平直线上 测量数据：，，米． 参考数据：，，，，，． 问题解决：请你根据测量数据计算悬空寺底部点距离地面的高度．（结果保留整数） 【答案】悬空寺底部点距离地面的高度为54米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 延长交于点，则四边形，为矩形，设米，故，即，且，即，由于，可列，解答，故． 【详解】解：如图，延长交于点． 则四边形，为矩形． ，． 设米． 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 解得， （米）． 答：悬空寺底部点距离地面的高度为54米． 19. （2024·山西长治·二模）项目化学习 问题提出： 山西省位于中国北方，地理坐标为北纬，东经，气候属于温带大陆性气候，夏季高温多雨，冬季寒冷干燥．太原某小区居民楼窗户朝南，窗户高度为2米，一年中正午时刻太阳光线与地平面最小夹角为，最大夹角为．某居民想为窗户设计遮阳棚，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．请帮该居民完成设计． 下面是某学习小组的设计： 问题探究： 第一步：拍照，模拟设计遮阳棚需要遮挡的光线，如图1所示； 第二步：抽象数学模型，设计示意图，分析已知条件和要求的数据． 如图2，AB代表窗户的高，CD代表遮阳棚的宽，，，为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最小夹角时的光线． 问题解决： 请求出此居民楼需要设计的遮阳棚的宽．（结果精确到．，，，） 【答案】0.6米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，先求出，，设，在中，，得到，在中，，得到，根据解得：，即可到答案． 【详解】解：由题可知：，，，． ∵， ∴， ∵， ∴， 设，在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 解得：． ∴米． 答：此居民楼需要设计遮阳棚的宽度为0.6米． 20. （2024·山西晋中·三模）文峰塔是古代人民为使当地文风、文脉顺达，多出人才，根据风水理论而建造的，具 有观赏性和标志性双重意义的建筑．其遍布全国各地州县，是科举制度的产物，同时也是儒、释、道三种思想共同作用下的产物．汾阳文峰塔建于明末清初，位置在山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔经过维修后，雄伟挺拔，如图1所示，喜欢考古的王师傅为了比对汾阳文峰塔维修前后高度的变化，利用无人机对其进行测量．图2是王师傅测量的示意图，代表汾阳文峰塔，他先把无人机从C处向上垂直飞行44米到达A处．测得文峰塔顶M的仰角是，再将无人机继续向上垂直飞行50米到达B处，测得文峰塔顶M的俯角是．    (1)求汾阳文峰塔维修后的高度．（结果精确到1米，参考数据：）； (2)已知汾阳文峰塔维修前残高米，根据（1）的结果，直接算出维修后高度增加约　　米． 【答案】(1)85 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定： （1）如图所示，过点A和B分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，则四边形和四边形都是矩形，可得，设，解得到，解得到，则，解方程即可得到答案； （2）用（1）的结果减去即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点A和B分别作直线的垂线，垂足分别为D、E，则四边形和四边形都是矩形， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：汾阳文峰塔维修后的高度约为．    （2）解：米， ∴维修后高度增加约米， 故答案为：． 21. （2024·山西忻州·二模） 南中环桥位于太原市南中环街西端，跨越汾河，是连接太原市东、西城区的重要通道，将沟通滨河东、西快速路和南中环街三条城市干道，对拉大城市骨架、带动城南建设具有重要意义．周末明明和亮亮在汾河公园进行课外实践作业，准备测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，于是在岸边选取两个不同的测点，分别测量该桥拱顶端的仰角，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离 成员 明明，亮亮 测量示意图    说明：他们利用手机共享实时位置得到各自的位置如图①所示，已知此时手机地图显示图上代表实际距离． 测量示意图    说明：表示南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，测点，与在同一水平直线上，点，，，在同一竖直平面内． 测量数据 图①中，两人的图上距离为 图②中，， … 求副桥拱最高点到水平面的距离（结果保留整数．参考数据：，，，，，）． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、已知正切值求边长 【分析】本题考查解直角三角形的应用．设副桥拱最高点到水平面的距离为，根据题意在中，得到，在中，得到，再根据，可得到关于的方程，求解即可．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：设副桥拱最高点到水平面的距离为， 由题意，得：，即， 又∵，， 在中，， 在中，， ∵手机地图显示图上代表实际距离，两人的图上距离为， ∴两人的实际距离：， ∴， ∴， 解得：． 答：副桥拱最高点到水平面的距离约为． 22．（2024·山西临汾·二模）半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具．如图是一种轻体侧翻自卸半挂车．图1是半挂车拉货状态截面示意图，图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，已知该车的车厢长为13米，宽为米．高为2米，车板离地的距离为1米．请你计算： (1)该半挂车的车厢容积为______立方米； (2)该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为可全部卸完货物，求此时车身最高点离地面的距离．（参考数据：，结果保留一位小数．） 【答案】(1)65 (2)米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）根据长方体的体积计算公式计算即可． （2）过点D作于点F，交于点M，交于点G，利用三角函数，矩形的判定和性质，根据计算即可． 本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得， 故答案为：65． （2）过点D作于点F，交于点M，交于点G， 则， ∵四边形为矩形， ∴,，， ∴, ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 22. （2024·山西吕梁·三模）太原钟楼街是太原市地标性商业文化街，得名于古代钟楼．钟楼见证了太原钟楼街的千年岁月，更牵动着无数老太原人的“乡愁”．某校“综合与实践”小组开展了测量钟楼高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践活动报告． 活动主题 测量钟楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等 示意图 测量步骤 ①站在点B处利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为； ②前进到达点A处，利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为． 注：测点A，B与点O在同一水平线上，测角仪的高度忽略不计 参考数据 … … (1)计算钟楼的高度．（结果精确到） (2)该小组要写出一份完整的实践活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 【答案】(1)钟楼的高度约为． (2)还需要补充的项目为计算过程、人员分工、指导教师、活动感受等． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）先解得到，再解得到，进而得到，解之即可得到答案； （2）根据实践活动报告的流程补充即可． 【详解】（1）解：在中，， ． 在中，， ． ， ． ． 答：钟楼的高度约为． （2）解：还需要补充的项目为计算过程、人员分工、指导教师、活动感受等． 23. （2024·山西运城·一模）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． (1)求此时液压杆的长度； (2)若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)3米 (2)伸长到的最大长度为6米 【知识点】根据旋转的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； （2）由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 24. （2024·山西吕梁·一模）为方便同学们更好的放置自己的物品，某校新购进一批课桌便携式挂钩（图1）实践小组的同学把“挂钩到地面的距离的计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践研究，并形成了如下活动报告．请根据报告计算挂钩到地面的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，） 课题 挂钩到地面的距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测 过 程 及 计 算 调研内容及图示 相关数据及说明 如图2，课桌高度为．如图3，，， 计算结果 【答案】挂钩到地面的距离约为 【知识点】解直角三角形的相关计算、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活的运用所学知识解决实际问题； 由含的直角三角形的性质和勾股定理可得，再由三角函数求出，根据课桌的高度即可求解． 【详解】如图，过B作于F，延长交的延长线于G，则， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ． 课桌高度为， ， ， 答：挂钩到地面的距离约为． 25. （2024·山西晋中·一模）云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下： 课题 测量“云冈大佛”的高度 测量目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图    说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上 测量步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了6.5米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为 ……    (1)请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛”的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ） (2)为了减小测量中产生的误差，请你提出一条合理的建议．（写出一条即可） 【答案】(1)“云冈大佛”的高度约为16.8米． (2)可以采用精度更高的仪器测量的高度． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接并延长交于点，根据题意可得：，米，米，设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． （2）根据题意提出一条合理的建议即可． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，    由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， （米）， 在中，， 米， ， 解得：， 米， （米）， “云冈大佛”的高度约为16.8米． （2）可以采用精度更高的仪器测量的高度． 26. （2024·山西朔州·二模）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K．根据题意可得，，，，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：如答图，过点E作，垂足为G，过点D作，垂足为H，过点E作，垂足为K． 则，，，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． 答：上折臂顶端F到地面的距离约为． 27. （2024·山西晋城·二模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量某广场花坛的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在距地面高的点C处，测得花坛顶部点B处的俯角为，沿水平方向由点C飞行到达点D，测得花坛底部点A处的俯角为，其中点A，B，C，D均在同一竖直平面内．请根据以上数据，求花坛的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】花坛的高度约为 【知识点】根据等角对等边证明边相等、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，延长交的延长线于点E，，由已知条件得出，则，根据等角对等边得出，解得出，最后用即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点E， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， ∵ ∴ ∴， ∴花坛的高度约为． 28. （2024·山西吕梁·一模）某实践活动小组利用课余时间测量湖边两处的距离，并形成了如下实践活动记录表： 实践活动记录表 活动内容 测量湖边两处的距离 成员 组长：××    组员：×××  ×××  ×××  ××× 工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 说明：因为湖边两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置，可测量处到两处的距离，利用测角仪可测得的度数． 测量数据 角的度数 边的长度 米 米 … … 该小组成员思考后发现不需要上表中的全部数据就可以计算出两处的距离，并写出了以下问题，请从记录表中再选择一个条件填入下面的横线并解答． 如图，在中，， ．求湖边两处的距离．（结果保留整数；） 【答案】，湖边两处的距离为米 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 选米，如图1，作于，则，，，然后根据，计算求解即可； 选米，如图1，则，，，然后根据，计算求解即可． 【详解】解：选米， 如图1，作于，      图1 ∵， ∴， ∴，， ∴（米）， ∴湖边两处的距离为米． 选米， 如图1， ∴，，， ∴（米）， ∴湖边两处的距离为米． 29. （2024·山西临汾·一模）项目化学习 项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而 变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图． 成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题 遮阳伞下的影子 项目素材 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角a参照表： 时刻 太阳光线与地面的夹角a（度） 90 80 65 50 35 20 参考数据：，，，，，，， 示意图 测量数据 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，P为立柱上的滑动调节点，为悬托支杆，F为的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，为伞体支架，且，测量得到米，米，米，． 项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组” 中午时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使，遮阳效果最佳． 下午时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳． 下午时，…… 项目反思 …… 任务一： 填空：如图1，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆与伞体支架的关系是______． 任务二： 请你参照“创新小组”的项目结果进行计算：（注意：计算结果均精确到米） ①如图2，求立柱上的滑动调节点P离地面的距离约多少米． ②如图3，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子的长． 【答案】任务一：；任务二：①米；②米 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据平行线判定与性质求角度、其他问题（解直角三角形的应用）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，平行线的性质与判定等等： 任务一：先证明得到，则，再证明，推出，再由，得到，，进而得到，即可得到； 任务二：①如图所示，过点P作交于H，过点F作于G，由题意得，，，求出，进而得到；由三线合一定理得到，解得到米，则米，即可得到米；②如图所示，过点P作交于H，过点D作于K，由三线合一定理得到，解，得到米，则米，再解得到米，证明四边形是平行四边形，得到米，则伞体在地面上留下的影子的长为米． 【详解】解：任务一：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵米，点F为的中点， ∴米， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴： 任务二：①如图所示，过点P作交于H，过点F作于G， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 由任务一可知，米， 又∵， ∴； ∵米，， ∴， 在中，米， ∴米， ∴米， ∴立柱上的滑动调节点P离地面的距离约米； ②如图所示，过点P作交于H，过点D作于K， ∵， ∴， 在中，米， ∴米， 在中，米， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴米， ∴伞体在地面上留下的影子的长为米． 30. （2024·山西晋城·一模）某学习小组在学习了锐角三角形之后，想要利用课余时间测量校园内一棵树的高度．在同学们选中的这棵树不远处有一摊水，利用这摊水制定了如下的测量方案． 课题 测量校园内一棵树的高度 成员 组长：×××  组员：×××  ×××  ××× 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 及测量数据 说明：线段表示所要测量的树，点E为这摊水的中心处，测量者在点B处测得该树顶端点C的仰角为，同时测量者在此处刚好从点E处看到树顶端点C在水中的倒影点D的俯角为，测量者的眼睛距地面的高度，点B、E、F在同一水平直线上，点A、B、C、D、E、F在同一平面内 实施建议 从积水处看所需测量树的顶端，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，可多次测量取其平均值 … 请根据以上测量数据，帮助该学习小组求这棵树的高度．（结果精确到；参考数据：，） 【答案】这棵树的高度大约为． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活利用锐角三角函数是解题关键．过点作于点，则四边形是矩形，由题意得：，，，，利用三角函数分别求出，，即可求出的高度． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意得：，，，， 在中，， ， 在中，， 解得：， ， 即这棵树的高度大约为． 31. （2024·山西大同·一模）在清明节来临之际，王亮的父亲带王亮自驾车回老家祭拜先祖．用如图所示的方式表示他们回老家的两条路线．设王亮家在A处，老家在D处．第一条是从家出发先向东行驶到达B处，再沿B处的北偏东方向行驶到达老家D处；第二条是从家向正北方向行驶到达C处，再沿C处的北偏东方向到达老家D处．已知车速相同，请说明选择哪条路能更快回到老家．（参考数据：，，） 【答案】选择第一条路能更快回到老家，理由见解析． 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点D作交的延长线于点E，过点B作交于点F，证明四边形是矩形，得到，；设，再解直角三角形得到，，，，进而建立方程，解得，由此分别求出两条路线的长度即可得到答案． 【详解】解：选择第一条路能更快回到老家，理由如下： 如图，过点D作交的延长线于点E，过点B作交于点F． ∴ 由题知， ∴四边形是矩形． ∴，． 设． 在中，，， ∴． ∵，， ∴，． 在中，，，， ∵，， ∴，． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴第一条路：． ∵． ∴第二条路：． ∵， ∴选择第一条路能更快回到老家． 32. （2024·山西朔州·一模）阅读与思考 请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 圭表是度量日影长度的一种天文仪器.古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动.如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．    工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图，图中，点为夏至线所在的位置，点为冬至线所在的位置，，点，，，P在同一竖直平面内，点，，在同一直线上.据调查该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为.（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）…… 任务 (1)填空：_______°，_______°． (2)求和的长． (3)已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长度． （结果保留一位小数.参考数据：，，，，，，） 【答案】(1)， (2)的长约为，的长约为 (3)的长度约为 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义． （1）根据题中太阳高度角的定义即可求解； （2）设，则，由可得，是直角三角形，根据，，列方程即可求解； （3）连接，由题意得：，是直角三角形，根据，即可求解． 【详解】（1）解：由题中太阳高度角的定义可知：，， 故答案为：，； （2）， ， ，是直角三角形， 设，则， ，， 则， 解得：， 即， ；    （3）如图，连接，由题意得：， ， 是直角三角形， ， 的长度是．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解直角三角形及应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 解直角三角形及应用 （5年5考） 2024·山西：解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题 2023·山西：矩形的性质与判定求线段长、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算 2022·山西：仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 2021·山西：其他问题（解直角三角形的应用） 2020·山西：分式方程的实际应用、解直角三角形的相关计算 解直角三角形的实际应用包括：仰角俯角问题、方位角问题、坡度坡比问题、其他问题，结合基础几何图形性质，灵活运用三角形函数求解，属于中考必考题型. 考点1 解直角三角形及应用 1. （2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据． 数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，AB的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米； 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，）． 2. （2023·山西·中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）． 课题 母亲河驳岸的调研与计算 调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解 功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物 驳岸剖面图        相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，， 计算结果 交流展示 3. （2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）． 4. （2021·山西·中考真题）某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌．某校“综合与实践”活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得，，，，四边形为矩形，且．请帮助该小组求出指示牌最高点到地面的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 5. （2020·山西·中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）； （2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 6. （2024·山西太原·三模）小东同学在学习中感悟到学好数学可以解决很多实际问题，决定运用所学知识测算教室对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位置是四楼教室的点A处（），小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层（每层高）建筑物的顶部点B的仰角为．测得被这幢六层建筑物遮住了一部分的塔吊的顶端点C的仰角为．此时塔吊的底部点M距建筑物的底部点N是．小东通过计算塔吊的高度，并根据此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持在），做出了是否违规的判断．亲爱的同学，请利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．）（参考数据：，，，，，） 7. （2024·山西阳泉·三模）“忠义”是构成中华民族精神特质和文化品格的重要组成部分，东汉名将关羽是中华传统忠义文化的代表和典范．如图1所示是坐落于山西运城常平村关公故里的“关帝圣像”．关帝一手提青龙偃月刀，一手捋美髯飘须，伟岸挺拔，分外壮观．某数学兴趣小组开展了测量“关帝圣像”雕塑高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“关帝圣像”雕塑位于垂直地面的基座上，基座高，身高的小明在雕塑前方的处测得“关帝圣像”头顶的仰角为，测得“关帝圣像”脚底的仰角为，求“关帝圣像”雕塑的高度（，，三点在同一直线上，，结果精确到．参考数据：，，，，，）． 8. （2024·山西晋城·三模）某数学综合实践活动小组在学校无人机社团的帮助下，在操场上对无人机进行了一次测高实验．如图，两台测角仪分别放在A，B位置，且离地面高均为1m（即），两台测角仪相距（即）．在某一时刻无人机位于点C（点A，B，C所在平面与地面垂直），点A处测得其仰角恰好为，点B处测得其仰角为． (1)求该时刻无人机离地面的高度；（单位：m，结果保留整数） (2)无人机沿方向水平飞行后到达点P（点P与点A，B，C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：，结果精确到）（参考数据：，，，，） 9. （2024·山西忻州·三模）坐落于太原市龙潭公园大鼎广场的春秋大鼎是中共太原市委、市政府为纪念太原建城2500周年而铸造的，重20.03吨，意为此鼎于2003年铸成、某中学甲、乙两个学习小组决定用自己学到的知识测量春秋大鼎的高度、他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量． 方案一：某一时刻，甲小组测得身高的组员的影长为，同一时刻，春秋大鼎的影长为． 方案二：如图，乙小组在C处测得大鼎顶部B的仰角为，然后后退在D处测得大鼎顶部B的仰角为． 课题 测量春秋大鼎的高度 成员 组长：×××．组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图    说明：AB为春秋大鼎的高度，C，D为两个测量点，为测角仪的高度，，，，D，C，A三点共线，A，B，C，D，E，F在同一平面内（结果精确到．参考数据：，） 测量数据 的度数 的度数 的高度 的长度 … … … … … (1)根据方案一可以计算出春秋大鼎的高度约为 ；（结果精确到） (2)请你根据方案二中乙小组提供的数据，计算春秋大鼎的高度； (3)比较甲、乙两个小组的测量结果，谈谈在实际测量的过程中有哪些措施可以减小测量数据产生的误差？（写出一条即可） 10. （2024·山西大同·三模）滑雪天才少女谷爱凌于2021年1月首次参加世界极限运动会，取得2金1铜共3枚奖牌的优异成绩，成为中国首位在世界极限运动会夺金的运动员，自此引起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G，E，D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离为，． (1)求此滑雪运动员的小腿的长度； (2)求此运动员的身高（参考数据：，，） 11. （2024·山西运城·三模）遮阳伞的主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，团时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而变化．“笃学”小组对遮阳伞下的影子展开了项目式学习活动，下表是项目化学习报告． 项目主题 遮阳伞下的影子 活动内容 背景 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，，，分别为悬托支杆．C点为可旋转伞体的接头，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，，为伞体支架，且，测量得到，． 示意图 资料 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角参照表： 请根据此项目实施的相关材料完成以下任务． (1)如图1，当中午太阳光线与地面垂直时，地面影子的长约为__________m． (2)如图2，请你求出下午时伞体在地面上留下的影子的长．（注意；任务（1）、（2）的计算结果均精确到） 12. （2024·山西晋城·三模）高空抛物极其危险，被称为“悬在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头．某数学活动小组的同学测量摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到大楼底部点C的距离，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到大楼底部点C的距离 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活中的实际问题 测量工具 测角仪、皮尺 测量方案 1．如图1是某型号的摄像头安装完成后的示意图，镜头的拍摄广角，用皮尺测得摄像头B到地面的距离； 2．如图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，同时也能拍摄到大楼上最高点A．此时，测角仪在点B处测得点C的俯角，点A，B，C，D，F均在同一竖直平面内 测量示意图    请根据以上测量数据，求摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到大楼底部点C的距离． （结果精确到1m；参考数据：） 13. （2024·山西晋城·三模）龙门黄河大桥全长，是黄河上跨径最大的斜拉桥，号称“黄河第一桥”，也是山西省里程最长、投资最大、结构最复杂的桥梁，其中的双塔斜拉桥主桥采用两座等高的花瓶型塔，造型优美．某校综合与实践小组测量花瓶型塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 花瓶型塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从水平面垂直上升至点A，测得其中一座塔的塔尖M的仰角为； 2．再将无人机从点A处垂直上升至点B，测得该塔的塔尖M的仰角为，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求花瓶型塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 14. （2024·山西长治·三模）某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，） 15. （2024·山西吕梁·一模）项目化学习 项目主题：为学校图书馆设计无障碍通道． 项目背景：2023年6月28日，我国颁布《中华人民共和国无障碍环境建设法》．某校“综合与实践”小组以“为学校图书馆设计无障碍通道”为主题展开项目学习． 研究步骤：（1）查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形； （2）实地测量图书馆门口场地的大小； （3）为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其它通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适． 设计方案：“综合与实践”小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图2所示，其中为地面所在水平线，和是无障碍通道，并且，立柱，均垂直于地面，米，米． 解决问题：若原台阶坡道的长度（线段的长度）为5米，坡角的度数为，，求出无障碍通道的总长（线段和的和）为多少米？（结果保留根号．参考数据：，，） 16. （2024·山西大同·三模）项目化学习 项目主题：测量紫丁香树的高度 项目背量：山西省沁水县中村镇下川村的紫丁香树为二级古树，树龄300年，为华北最大紫丁香树．某校数学活动小组计划测量这株紫丁香树的高度． 研究步骤： （1）小组成员讨论后，设计了如下的两种测量方案，并画出相应的测量草图． 备注：两位同学的观测点到地面的距离相等，线段长表示紫丁香树的高度，点均在同一竖直平面内． （2）准备测量工具：测角仪，皮尺． （3）实地测量并记录数据： 方案一 方案二 问题解决：请你选择一种方案计算这棵紫丁香树的高度．（结果精确到）（参考数据：，） 17. （2024·山西临汾·二模）如图1，这是一款教学设备的实物图，该教学设备是由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成，图2是该款设备放置在水平桌面上的平面示意图．已知支撑臂与底座的夹角，底座高为，连杆，水平桌面，连杆与悬臂的夹角，求点到水面桌面的距离．（结果精确到，参考数据：） 18. （2024·山西忻州·三模）项目化学习 项目主题：了解悬空寺距离地面的高度． 项目背景：悬空寺位于恒山金龙峡西侧翠屏峰的峭壁间，是北岳恒山十八景中最独特的一景，号称恒山第一胜景．某校综合与实践小组为了解悬空寺距离地面的高度，开展了项目学习． 测量工具：测角仪、皮尺等． 测量方案及示意图：    （1）选取悬空寺底部点作为测量点； （2）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （3）在水平地面上的点处用测角仪测量点的仰角； （4）测量的距离 说明：测角仪的高度米.点，，，，，，在同一竖直平面内，点，，在同一条水平直线上，点，，在同一条水平直线上 测量数据：，，米． 参考数据：，，，，，． 问题解决：请你根据测量数据计算悬空寺底部点距离地面的高度．（结果保留整数） 19. （2024·山西长治·二模）项目化学习 问题提出： 山西省位于中国北方，地理坐标为北纬，东经，气候属于温带大陆性气候，夏季高温多雨，冬季寒冷干燥．太原某小区居民楼窗户朝南，窗户高度为2米，一年中正午时刻太阳光线与地平面最小夹角为，最大夹角为．某居民想为窗户设计遮阳棚，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．请帮该居民完成设计． 下面是某学习小组的设计： 问题探究： 第一步：拍照，模拟设计遮阳棚需要遮挡的光线，如图1所示； 第二步：抽象数学模型，设计示意图，分析已知条件和要求的数据． 如图2，AB代表窗户的高，CD代表遮阳棚的宽，，，为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最大夹角时的光线，为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最小夹角时的光线． 问题解决： 请求出此居民楼需要设计的遮阳棚的宽．（结果精确到．，，，） 20. （2024·山西晋中·三模）文峰塔是古代人民为使当地文风、文脉顺达，多出人才，根据风水理论而建造的，具 有观赏性和标志性双重意义的建筑．其遍布全国各地州县，是科举制度的产物，同时也是儒、释、道三种思想共同作用下的产物．汾阳文峰塔建于明末清初，位置在山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔经过维修后，雄伟挺拔，如图1所示，喜欢考古的王师傅为了比对汾阳文峰塔维修前后高度的变化，利用无人机对其进行测量．图2是王师傅测量的示意图，代表汾阳文峰塔，他先把无人机从C处向上垂直飞行44米到达A处．测得文峰塔顶M的仰角是，再将无人机继续向上垂直飞行50米到达B处，测得文峰塔顶M的俯角是．    (1)求汾阳文峰塔维修后的高度．（结果精确到1米，参考数据：）； (2)已知汾阳文峰塔维修前残高米，根据（1）的结果，直接算出维修后高度增加约　　米． 21. （2024·山西忻州·二模） 南中环桥位于太原市南中环街西端，跨越汾河，是连接太原市东、西城区的重要通道，将沟通滨河东、西快速路和南中环街三条城市干道，对拉大城市骨架、带动城南建设具有重要意义．周末明明和亮亮在汾河公园进行课外实践作业，准备测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，于是在岸边选取两个不同的测点，分别测量该桥拱顶端的仰角，测量数据如下表（不完整）． 课题 测量南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离 成员 明明，亮亮 测量示意图    说明：他们利用手机共享实时位置得到各自的位置如图①所示，已知此时手机地图显示图上代表实际距离． 测量示意图    说明：表示南中环桥副桥拱最高点到水平面的距离，测点，与在同一水平直线上，点，，，在同一竖直平面内． 测量数据 图①中，两人的图上距离为 图②中，， … 求副桥拱最高点到水平面的距离（结果保留整数．参考数据：，，，，，）． 22．（2024·山西临汾·二模）半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具．如图是一种轻体侧翻自卸半挂车．图1是半挂车拉货状态截面示意图，图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，已知该车的车厢长为13米，宽为米．高为2米，车板离地的距离为1米．请你计算： (1)该半挂车的车厢容积为______立方米； (2)该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为可全部卸完货物，求此时车身最高点离地面的距离．（参考数据：，结果保留一位小数．） 22. （2024·山西吕梁·三模）太原钟楼街是太原市地标性商业文化街，得名于古代钟楼．钟楼见证了太原钟楼街的千年岁月，更牵动着无数老太原人的“乡愁”．某校“综合与实践”小组开展了测量钟楼高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践活动报告． 活动主题 测量钟楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等 示意图 测量步骤 ①站在点B处利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为； ②前进到达点A处，利用测角仪测得钟楼最高点P的仰角为． 注：测点A，B与点O在同一水平线上，测角仪的高度忽略不计 参考数据 … … (1)计算钟楼的高度．（结果精确到） (2)该小组要写出一份完整的实践活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目？（写出一个即可） 23. （2024·山西运城·一模）随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． (1)求此时液压杆的长度； (2)若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 24. （2024·山西吕梁·一模）为方便同学们更好的放置自己的物品，某校新购进一批课桌便携式挂钩（图1）实践小组的同学把“挂钩到地面的距离的计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践研究，并形成了如下活动报告．请根据报告计算挂钩到地面的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，） 课题 挂钩到地面的距离的计算 调查方式 测量，查看说明书 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测 过 程 及 计 算 调研内容及图示 相关数据及说明 如图2，课桌高度为．如图3，，， 计算结果 25. （2024·山西晋中·一模）云冈石窟是我国世界文化遗产之一，位于山西省大同市西郊约17千米处，是中国著名的石窟群之一，其中第五窟三世佛的中央坐像（民间俗称“云冈大佛”），大耳垂肩，是云冈石窟的标志佛像．某校组织学生参观了云冈石窟，课题研究组的学生运用所学知识设计了一个求“云冈大佛”高度的实践活动，测量方案及数据如下： 课题 测量“云冈大佛”的高度 测量目的 运用三角函数知识解决实际问题 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图    说明：线段表示云冈大佛顶端到地面的高度，测角仪米，点A，B，C，D，M，N都在同一竖直平面内，点A，C，N在同一水平线上 测量步骤 ①小明将测角仪固定在点A处测得大佛最高点M的仰角为； ②小明朝着大佛走了6.5米，将测角仪固定在点C处，再次测得大佛的最高点M的仰角为 ……    (1)请你结合以上测量数据，帮助课题研究组的同学求出“云冈大佛”的高度．（结果精确到0.1米．参考数据： ） (2)为了减小测量中产生的误差，请你提出一条合理的建议．（写出一条即可） 26. （2024·山西朔州·二模）如图1是某城建部门利用折臂升降机正在路边检修路灯的实物图片，图2是某时刻折臂升降机工作时的平面示意图，上折臂顶端恰好接触路灯杆，点A，B，C，D，E，F，M，N都在同一竖直平面内．路灯杆和折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座，上折臂，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，求上折臂顶端F到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 27. （2024·山西晋城·二模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量某广场花坛的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在距地面高的点C处，测得花坛顶部点B处的俯角为，沿水平方向由点C飞行到达点D，测得花坛底部点A处的俯角为，其中点A，B，C，D均在同一竖直平面内．请根据以上数据，求花坛的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 28. （2024·山西吕梁·一模）某实践活动小组利用课余时间测量湖边两处的距离，并形成了如下实践活动记录表： 实践活动记录表 活动内容 测量湖边两处的距离 成员 组长：××    组员：×××  ×××  ×××  ××× 工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 说明：因为湖边两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置，可测量处到两处的距离，利用测角仪可测得的度数． 测量数据 角的度数 边的长度 米 米 … … 该小组成员思考后发现不需要上表中的全部数据就可以计算出两处的距离，并写出了以下问题，请从记录表中再选择一个条件填入下面的横线并解答． 如图，在中，， ．求湖边两处的距离．（结果保留整数；） 29. （2024·山西临汾·一模）项目化学习 项目背景：遮阳伞也叫太阳伞，是指用于遮防太阳光直接照射的伞，其主要作用是通过遮挡太阳光线，阻止强烈紫外线对人体皮肤的损伤，同时遮阳伞下的地面上会留下影子，影子长度随太阳光线角度的变化而 变化，“兴趣实践小组”通过实地反复测量实验得出以下具体数据并画出遮阳伞在太阳光线下的示意图． 成果展示：下面是小组成员进行交流展示时的部分方案及实践结果，请同学们分析成果展示并完成任务： 项目主题 遮阳伞下的影子 项目素材 我市某天下午不同时刻太阳光线与地面的夹角a参照表： 时刻 太阳光线与地面的夹角a（度） 90 80 65 50 35 20 参考数据：，，，，，，， 示意图 测量数据 如图，某款遮阳伞的立柱垂直于地面，P为立柱上的滑动调节点，为悬托支杆，F为的中点，当伞面完全张开时，地面上会留下影子，伞体的截面示意图为，为伞体支架，且，测量得到米，米，米，． 项目结果 “智慧小组” “创新小组” “奋斗小组” 中午时，太阳光线与地面垂直时，将点P的位置进行适当调整，使，遮阳效果最佳． 下午时，调整点P的位置及伞体倾斜度，当太阳光线与垂直时，遮阳效果最佳． 下午时，…… 项目反思 …… 任务一： 填空：如图1，根据“智慧小组”的项目结果可得：当太阳光线与地面垂直时，悬托支杆与伞体支架的关系是______． 任务二： 请你参照“创新小组”的项目结果进行计算：（注意：计算结果均精确到米） ①如图2，求立柱上的滑动调节点P离地面的距离约多少米． ②如图3，当伞面完全张开时，直接写出伞体在地面上留下的影子的长． 30. （2024·山西晋城·一模）某学习小组在学习了锐角三角形之后，想要利用课余时间测量校园内一棵树的高度．在同学们选中的这棵树不远处有一摊水，利用这摊水制定了如下的测量方案． 课题 测量校园内一棵树的高度 成员 组长：×××  组员：×××  ×××  ××× 测量工具 测角仪、皮尺等 测量示意图 及测量数据 说明：线段表示所要测量的树，点E为这摊水的中心处，测量者在点B处测得该树顶端点C的仰角为，同时测量者在此处刚好从点E处看到树顶端点C在水中的倒影点D的俯角为，测量者的眼睛距地面的高度，点B、E、F在同一水平直线上，点A、B、C、D、E、F在同一平面内 实施建议 从积水处看所需测量树的顶端，测得的角度有一点误差，结果的误差就会很大，可多次测量取其平均值 … 请根据以上测量数据，帮助该学习小组求这棵树的高度．（结果精确到；参考数据：，） 31. （2024·山西大同·一模）在清明节来临之际，王亮的父亲带王亮自驾车回老家祭拜先祖．用如图所示的方式表示他们回老家的两条路线．设王亮家在A处，老家在D处．第一条是从家出发先向东行驶到达B处，再沿B处的北偏东方向行驶到达老家D处；第二条是从家向正北方向行驶到达C处，再沿C处的北偏东方向到达老家D处．已知车速相同，请说明选择哪条路能更快回到老家．（参考数据：，，） 32. （2024·山西朔州·一模）阅读与思考 请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务． 圭表是度量日影长度的一种天文仪器.古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动.如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．    工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图，图中，点为夏至线所在的位置，点为冬至线所在的位置，，点，，，P在同一竖直平面内，点，，在同一直线上.据调查该地冬至正午时分的太阳高度角为，夏至正午时分的太阳高度角为.（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）…… 任务 (1)填空：_______°，_______°． (2)求和的长． (3)已知该地春分正午时分的太阳高度角是，工人师傅想在图2中之间标出春分线的位置，请直接写出的长度． （结果保留一位小数.参考数据：，，，，，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$