专题11 几何综合压轴题-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题11 几何综合压轴题 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 几何综合 2024·山西：三角形全等及其性质、菱形的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质 2023·山西：已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、证明四边形是正方形 2022·山西：相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形 2021·山西：相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解 2020·山西：解直角三角形的相关计算、旋转综合题(几何变换)、根据正方形的性质证明 本题型是中考的几何压轴大题，是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考察，知识点范围广，综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结常考的几何模型，举一反三。 考点01 几何综合 1. （2024·山西）综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点作于点，过点作于点． （1）猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）深入探究：将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H. ①如图2，当线段AH经过点时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点．若，直接写出四边形AMNQ的面积. 【答案】（1）解：四边形AECF为矩形． 理由如下： ， ． 四边形ABCD为菱形，． ． 四边形AECF为矩形. （2）解：①CH=MD. 理由如下： ∵四边形ABCD为菱形，． 旋转得到， ． ． ． ②或． 【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质 【解析】【解答】（2） ②解：如图所示，当GH在线段CD上时，过点A作AP⊥CD于P， ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD，∠B=∠D ∵ AE⊥BC ∴ ∠AEB=90° =∠APD ∴ AE=AP 由旋转知：AH=AB=5，GH=BE=4，∠G=90° ∴ AE=AG=AP==3 ∵ GH⊥CD ∴ ∠GNP=90° ∴ ∠APD=∠G= ∠GNP=90° ∴ 四边形APNG为正方形 ∴ GN=PN=3，NH=ND=1，tan∠H=tan∠D= ∴ QN=MN=，PQ= ∴ S四AMNQ=S梯形AMNP-S∆APQ=== 当GH在直线CD上时，如图所示，AG在AB上，过点A作AK⊥CD于K， 由旋转知：GH=BE=4，AG=AE=3，∠D=∠H，AH=AD ∴ ∴ AM=AQ ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ AB=AD，∠B=∠D ∵ AE⊥BC ∴ ∠AEB=90° =∠AKD ∴ AE=AK=AG=3 ∴ 四边形AGNK为矩形 ∴ GN=3，HN=7，∠ANM=∠ANQ，AG∥NK ∴， ∴ 解得NQ= ∴ S四AMNQ=2S∆ANQ = 2×12NQ×AK=214×3=634 综上，四边形AMNQ的面积是或 【分析】本题正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键。（1）由和菱形性质得=．可证四边形AECF为矩形；（2）①由菱形和旋转得性质证，可证CH=MD；②分情况谈论：GH在线段CD上和GH在直线CD上。第一种情况：GH在线段CD，过点A作AP⊥CD于P，证得 AE=AP；证四边形APNG为正方形，得 GN=PN=3，NH=ND=1，tan∠H=tan∠D=，得 QN=MN=，PQ=，得S四AMNQ=S梯形AMNP-S∆APQ=；当GH在直线CD上时，AG在AB上，过点A作AK⊥CD于K，证 ，，证四边形AGNK为正方形，得， ，得NQ=，则S四AMNQ=2S∆ANQ = 2×12NQ×AK=214×3=634 综上，四边形AMNQ的面积是或. 2. （2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．    【答案】(1)正方形，见解析 (2)①，见解析；② 【难度】0.4 【知识点】已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、证明四边形是正方形 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形； （2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴． ∴矩形为正方形． （2）：①． 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴． ②解：如图：设的交点为M，过M作于G， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点； 由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，即； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即的长为．      【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 3. （2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 【答案】（1）四边形AMDN为矩形；理由见解析；（2）；（3）． 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，证明∠A=∠AMD=∠MDN=90°，即可证明结论； （2）证明△NDC是等腰三角形，过点N作NG⊥BC于点G，证明△CGN∽△CAB，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长ND，使DH=DN，证明△BDH≌△CDN，推出BH=CN，∠DBH=∠C，证明∠MBH=90°，设AM=AN=x，在Rt△BMH中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）四边形AMDN为矩形． 理由如下：∵点M为AB的中点，点D为BC的中点， ∴， ∴∠AMD+∠A=180°， ∵∠A=90°， ∴∠AMD=90°， ∵∠EDF=90°， ∴∠A=∠AMD=∠MDN=90°， 四边形AMDN为矩形； （2）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8， ∴∠B+∠C=90°，． ∵点D是BC的中点， ∴CD=BC=5． ∵∠EDF=90°， ∴∠MDB+∠1=90°． ∵∠B=∠MDB， ∴∠1=∠C． ∴ND=NC． 过点N作NG⊥BC于点G，则∠CGN=90°． ∴CG=CD=． ∵∠C=∠C，∠CGN=∠CAB=90°， ∴△CGN∽△CAB． ∴，即， ∴； （3）延长ND至H，使DH=DN，连接MH，NM，BH， ∵MD⊥HN，∴MN=MH， ∵D是BC中点， ∴BD=DC， 又∵∠BDH=∠CDN， ∴△BDH≌△CDN， ∴BH=CN，∠DBH=∠C， ∵∠BAC=90°， ∵∠C+∠ABC=90°， ∴∠DBH+∠ABC=90°， ∴∠MBH=90°， 设AM=AN=x，则BM=6-x，BH=CN=8-x，MN=MH=x， 在Rt△BMH中，BM2+BH2=MH2， ∴(6-x)2+(8-x)2=(x)2， 解得x=， ∴线段AN的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理，解第（3）问的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4. （2021·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）；见解析；（2），见解析；（3）． 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）如图，分别延长，相交于点P，根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，即可得； （2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG=，可得AG=BG； （3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的长，根据S阴=S△A′MB-S△A′NH即可得答案． 【详解】（1）． 如图，分别延长，相交于点P， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，, ∵为的中点， ∴， 在△PDF和△BCF中，， ∴△PDF≌△BCF， ∴，即为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）． ∵将沿着所在直线折叠，点的对应点为， ∴∠CFB=∠C′FB=∠CFC′，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴∠FDC′=∠FC′D， ∵=∠FDC′+∠FC′D， ∴， ∴∠FC′D=∠C′FB， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，DC=AB， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q， ∵的面积为20，边长，于点， ∴BH=50÷5=4， ∴CH=，A′H=A′B-BH=1， ∵将沿过点的直线折叠，点A的对应点为， ∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH， ∵于点，AB//CD， ∴， ∴∠MBH=45°， ∴△MBQ是等腰直角三角形， ∴MQ=BQ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C， ∴∠A′=∠C， ∵∠A′HN=∠CHB， ∴△A′NH∽△CBH， ∴，即， 解得：NH=2， ∵，MQ⊥A′B， ∴NH//MQ， ∴△A′NH∽△A′MQ， ∴，即， 解得：MQ=， ∴S阴=S△A′MB-S△A′NH=A′B·MQ-A′H·NH=×5×-×1×2=． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 5. （2020·山西·中考真题）综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是正方形，理由详见解析；（2），证明详见解析；（3）． 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、旋转综合题(几何变换)、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由旋转可知：，,再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，先根据等腰三角形的性质得到，再证可得，再结合、即可解答； （3）过E作EG⊥AD，先说明∠1=∠2，再设EF=x、则BE=FE＇=EF=BE＇=x、CE＇=AE=3+x，再在Rt△AEB中运用勾股定理求得x，进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形 理由：由旋转可知：，， 又， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， ． 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ； （3）如图：过E作EG⊥AD ∴GE//AB ∴∠1=∠2 设EF=x，则BE=FE＇=EF=BE＇=x，CE＇=AE=3+x 在Rt△AEB中，BE=x，AE=x+3，AB=15 ∴AB2=BE2+AE2，即152=x2+（x+3）2，解得x=-12（舍），x=9 ∴BE=9,AE=12 ∴sin∠1= ,cos∠1= ∴sin∠2= ,cos∠2= ∴AG=7.2,GE=9.6 ∴DG=15-7.2=7.8 ∴DE=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 6. （2024·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】（1）；；（2）成立，见解析；（3）或 【难度】0.4 【知识点】线段问题(旋转综合题)、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，计算较复杂，做出正确的辅助线是解题的关键． （1）由矩形性质得到的长度，求的长度，用勾股定理求解的长度，可得，用勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故． （2）连接和，结合矩形性质和勾股定理可求的长度，求得，且，故，可得、，求得，故，得证； （3）有两种情况，若当点在的延长线上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求；若点在线段上，在直角三角形中求，则，结合（2）中，可求． 【详解】解：如下图，连接，延长相交于， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴在中，， 同理：， ， ∴ ∵， ∴是直角三角形， ∴，． 故答案为：垂直，； （2）成立 理由：如下图，连接和． 四边形是矩形，， ∴，， ∴ 四边形是矩形，， ∴， ∴ 在和中， ，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴ （3）的长为或 情况一：如下图，当点在的延长线上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 情况二：如图，当点在线段上时， ， ∴为直角三角形， ∴，即， ∴， ∴． 由（2）得， ∴． 综上所述，当三点共线时，线段的长为或． 【点睛】本体考查图像旋转问题，用到旋转的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形全等的判定和性质，孰料掌握知识点、正确做出辅助线是解题关键． 7. （2024·山西太原·三模）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题； ②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 【答案】（1）是平行四边形，理由见解析 （2）①  ② 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）证明两组对边分别平行即可得到结论； （2）①连接，由旋转可得，，然后利用勾股定理解题即可； ②过点作于点，先根据三角形的面积得到，求出长，然后利用解题即可． 【详解】解：（1）∵是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是平行四边形； （2）① 如图，连接， 由旋转可得，， ∴， 又∵M是的中点， ∴； ②过点作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得： 8. （2024·山西阳泉·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．于点，的平分线交于点，交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答上述提出的问题； 实践探究：（2）如图2，善思小组将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，，连接． ①请你直接写出四边形的形状是______； ②请求出平移的距离； （3）智慧小组将绕点逆时针旋转，得到，使得，点，的对应点分别是点，，连接，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①菱形；②；（3）或 【难度】0.15 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及垂直的定义得，根据三角形外角的性质得，得到，即可得出结论； （2）①根据平移的性质得，，得出四边形是平行四边形，再根据（1）的结论即可得出结论； ②根据勾股定理得，由，求出，根据菱形的性质证明，得到，设，则，，代入数据即可得解； （3）过点作于点，连接，交的延长线于点，证明四边形是菱形，由（2）知：，然后分两种情况：①当在点的右边；②当在点的左边，分别画出图形并求解即可． 【详解】解：（1）， 理由：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形的形状是菱形．理由如下： ∵将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）知：， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形； ②∵，，，， ∴， ∵， ∴， 由①知：四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴平移的距离为； （3）过点作于点，连接，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 由（2）知：， ①当在点的右边， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ； ②当在点的左边， 设的延长线交于点， 由前面的结论知：，， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴点在上，即、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是图形的旋转，考查了旋转的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9. （2024·山西忻州·三模）综合与实践 【问题情境】 如图，在中，，． （1）如图1，若点在边上，．将沿所在直线折叠，点的对应点为点．试猜想四边形的形状并加以证明． 【数学思考】 （2）如图2，勤学小组受此问题启发，将沿过点的直线折叠，点的对应点为点，且点恰好落在边上．若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图3，善思小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，若，，，直接写出的长． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）的长为；（3） 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）四边形是正方形．先根据折叠的性质及等腰三角形的判定证明四边形是菱形．再根据，即可得证； （2）由勾股定理得，由折叠可知，，，设，则，在中，根据勾股定理即可得解； （3）在中，由勾股定理得．过点作于点，则，在中，解直角三角形得．再证，得，．在中，由勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形． 证明：∵，， ∴， 即， ∴． 由折叠的性质知，， ∴， ∴四边形是菱形． ∵， ∴菱形是正方形． （2）在中，，，， 由勾股定理得， 由折叠可知，，， 设，则， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴的长为． （3）在，，，， ∴． 如图，过点作于点，则， 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得 ，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、解直角三角形以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 10. （2024·山西晋城·一模）综合与实践 问题情境： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 操作探究： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3） 【难度】0.65 【知识点】利用平移的性质求解、根据正方形的性质证明、与三角形中位线有关的求解问题、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由平移可知，，，，证明是的中位线，得到，即可得出结论； （2）根据正方形和平移的性质，证明，得到，，进而得出，即可得到答案； （3）由勾股定理可得，再结合，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接 由平移可知，，，， 是的中点， 是的中位线， ， ， ； （2）解：等腰直角三角形，理由如下： 四边形是正方形， ，，， ， 由平移可知，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：，理由如下： 由（2）得：，， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，平移的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 11. （2024·山西大同·二模）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． 【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕； 【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______； 【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长． 【答案】证明体验：等边三角形，；思考探究：，证明见解析；拓展延伸：或． 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、折叠问题、根据正方形的性质证明、等边三角形的判定和性质 【分析】证明体验：由题意得为正方形的对称轴，得出，，，，，由折叠的性质可得，从而推出，即可得出为等边三角形，得到，由勾股定理得出的长即可得解； 思考探究：连接，由题意得为正方形的对称轴，得出，，由折叠的性质可得，，证明得出，设，则，，由勾股定理得：，求出的值即可得解； 拓展延伸：分两种情况：当点在上时；当点在上时；分别利用正方形的性质、折叠的性质、解直角三角形求解即可得出答案． 【详解】证明体验：由题意得：为正方形的对称轴， ，，，，， 由折叠的性质可得， ， 为等边三角形， ， ， ； 思考探究：，证明如下： 如图，连接，   ， 由题意得：为正方形的对称轴， ，， 由折叠的性质可得，， ， ， ， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ，， ； 拓展延伸：如图，当点在上时，   ， 在正方形中，，， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ； 如图，当点在上时，   ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 12. （2024·山西晋城·三模）综合与实践 问题情境： 在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：． 观察思考： （1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题． 探索发现： 受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接． （2）如图2，在图1的基础上，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）当E是的三等分点，时，请直接写出的长． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）或 【难度】0.4 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）由正方形的性质证明即可； （2）过点E作的平行线交的延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，先证明，再证明，即可求解； （3）分类讨论，当点E靠近点A时和当点E靠近点C时，先证明出，求出，则即可求解，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：过点E作的平行线交的延长线于点M，过点E作的平行线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∵点H为中点， ∴， ∴， ∴，， 即 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）当点E靠近点A时，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴； 当点E靠近点C时，如图： 此时， 同（2）可得 ∴， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确添加辅助线是解题的关键． 13. （2024·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：有两个全等的三角形纸片和，其中，将和按图1所示方式摆放，斜边和的中点重合（标记为点），交于点．当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将图1中的绕点逆时针方向旋转，使点落在直线上方，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，当时，分别交于点，分别交于点交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：在①的条件下，若，求两个三角形重叠部分六边形的面积．请你思考此问题，直接写出结果．    【答案】（1）四边形是菱形；（2）①；证明见解析；② 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、证明四边形是菱形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先利用“两组对边相互平行的四边形的平行四边形”证明四边形是平行四边形，再根据点是斜边和的中点，得到，即可证明四边形是菱形； （2）①先证明，推出，得到，再证明，即可证明；②证明，求得，，再求得，，和，根据两个三角形重叠部分六边形的面积为，计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵点是斜边和的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①；证明如下， ∵点是斜边和的中点， ∴，    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，同理， ∴，， ∵， ∴两个三角形重叠部分六边形的面积为 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 14. （2024·山西晋城·二模）综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，E是边上一动点，F是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点A的对应点为点H，点B的对应点为点G． 猜想证明： （1）当E是边的中点时． ①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图2，连接．若点B的对应点G恰好落在对角线上，延长与边交于点P．求证：P是边的中点． 问题解决： （2）如图3，当点B的对应点G落在边上时，与边交于点Q，连接．若，，，请直接写出的长． 【答案】（1）①，②见解析；（2） 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、与三角形中位线有关的证明、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）连接交于点S，由折叠可得：，进而得到是的中位线，即可求解；连接，根据矩形的性质和折叠的性质可证，即可得到，从而得到答案； （2）设交于M，过点F作，先根据题意证明四边形是矩形，进而根据折叠的性质证明，求得，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：①； 连接交于点S，如图， 由折叠可得： ∴S是的中点， ∵E是边的中点 ∴是的中位线， ∴；   ②连接， ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠得：， ∴ ∵E是边的中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线 ∴P是边的中点； （2）解：设交于M，过点F作 ∵四边形是矩形， ∴ ∴四边形是矩形， 由折叠可得：， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 设则 在中，，解得，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形中位线的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，梯形面积的计算，正确作出辅助线是关键． 15. （2022·山西大同·一模）综合与实践    在综合与实践课上，同学们以如图1的两个含的直角三角尺为主题开展数学活动，其中，，． (1)轴对称小组将以为对称轴翻折，如图2，与交于点P，连接，发现，请你证明这个结论． (2)旋转小组将以中点为旋转中心，逆时针旋转到如图3的位置，、边与边、交于点、、，连接，求的长度． (3)平移小组将沿向下平移到图4时，分别延长、，交、于点、，发现四边形恰好是正方形，直接写出此时正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，，，根据对顶角相等可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和定理可得，推得，根据等角对等边可得； （2）根据旋转的性质可得，，根据直角三角形中，度所对的边是斜边的一半可得，，根据勾股定理求得，同理求得，即可根据勾股定理求解； （3）根据相似三角形的判定和性质可得，根据勾股定理求得，根据正方形的性质可得，即可求得，最后利用正方形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵将以中点为旋转中心，逆时针旋转所得， ∴，， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得：， 同理可得，，， 即， 在中，． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵四边形是正方形， ∴， 即， 又， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，等角对等边，旋转的性质，含度角的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 16. （2024·山西晋城·三模）综合与实践 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．将图1中的菱形纸片沿对角线前开，得到两个全等的三角形纸片，分别表示为和，其中，．    探索发现： 勤学小组将与重合，使点与点重合，点与点重合，点与点重合，并进行平移探究．如图2，将沿射线平移一定距离，连接，，当恰好为的中点时． 拓展延伸： 创思小组受到勤学小组的启发，将的边与的边重合，使点与点重合，点与点重合，点A，E分别位于边的两侧，将沿射线平移． (1)如图2，①请直接写出四边形的形状； ②此时平移的距离为___________． (2)如图3，当点F位于边上，且不与点B，D重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)当F是BD边的三等分点时，连接，求的长． 【答案】(1)①矩形；② (2)平行四边形，理由见解析 (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、四边形其他综合问题、利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）①根据菱形的性质结合平移的性质，易得四边形是平行四边形，在根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论；②解直角三角形即可得出结果； （2）根据菱形的性质结合平移的性质即可得出结论； （3）根据题意，得，， 分以下两种情况讨论：①当时，②当时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①，点为的中点， ， 由平移的性质得：，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ②由平移的性质得：平移的距离为的长， ，，， ， ； （2）解：是平行四边形，理由： ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：如图，过点A作于点M，    根据题意，得， ， ， ， 分以下两种情况讨论： ①当时， 由平移的性质，得， ； 在中，； ②当时， 由平移的性质，得， 在中，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，灵活运用平移的性质是解题的关键． 17. （2024·山西晋中·三模）综合与实践 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________； (2)如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点． 与之间有什么数量关系？请说明理由． 当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)，理由见解析； 或， 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、证明四边形是正方形 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由折叠得，即可证得四边形是正方形； （2）由矩形性质得，由折叠得，，结合，可得．； （3）由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出； 【详解】（1）解：正方形 证明： 四边形是矩形， 由折叠性质可得：， 四边形是正方形， 故答案为正方形． （2）． 理由：四边形是矩形， ，． ． 由折叠，得， ． ∵ ． 或． 由题得得四边形和都是边长为的正方形， 有两种情况： 如图，当射线经过的中点时，设中点为，则，连接． 由折叠，得，，， 在与中，，， ， ， 设，则，， 在中，， 即，解得， 的长为． 如图，当射线经过的中点时，则， ， ， ， 由折叠，得，，，， ，， ， ， ， ， 综上，的长为或 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． 18. （2024·山西晋城·三模）综合与实践： 问题情境：在矩形中，已知，，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．    操作发现： （1）如图1，点正好在如图所示的位置，请按以下操作作图（尺规作图，保留痕迹，不写作法）：①过点作的垂线；②作点关于的对称点；③连接，． （2）当落在射线上时，请直接写出两个正确的结论； 拓广探索： （3）如图2，当点与重合时，与相交于点，求的长； （4）探索并直接写出当为何值时，四边形为菱形． 【答案】（1）见解析；（2），；（3）；（4）或 【难度】0.65 【知识点】利用菱形的性质求线段长、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的性质； （1）根据题意过点作的垂线；以的长为半径作弧，交的垂线于点，则点关于的对称点为点；连接，； （2）根据轴对称的性质写出两个结论，即可； （3）根据题意证明，得出，设，则，进而勾股定理，即可求解； （4）分点点在上时，在的延长线上时，两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）如图所示，    （2）如图所示，当落在射线上时， 答案不唯一，，，，；    ∵关于对称， ∴，， 又∵ ∴ ∴ （3）∵四边形是矩形， ∴，， ∵和关于轴对称，点和点中和， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ 设，则 在中， 即 解得： ∴的长为 （3）∵四边形为菱形 ∴, 又∵，点在射线上 ∴在直线上， 如图所示，当点在上时，    在中， ∴ 如图所示，当在的延长线上时，    在中， ∴ 综上所述，的长为或 19. （2024·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师让同学们以“等边三角形的旋转”为主题开展活动，已知完全相同的等边三角形和等边三角形，点A，B，C分别与点D，E，F重合，点O是边，的中点．固定，将绕点O顺时针旋转． 问题解决 （1）如图1，当点E落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，连接，，试判断，的位置关系，并在图2与图3中选择一种情况进行证明． 问题拓展 （3）如图4，若与都是等边三角形，但，其他条件不变，在旋转的过程中，当点E落在边上时，连接，，延长交于点N．已知，，请直接写出的长． 【答案】（1）四边形是菱形．理由见解析；（2）．证明见解析；（3）的长为 【难度】0.4 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形即可； （2）选择图2，连接，，延长，交于点M，证明，得出，求出，得出； 选择图3，连接，，设，交于点G，证明，得出，求出，即可得出答案； （3）连接，，延长交于点M，证明，得出，证明为等腰直角三角形，得出，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理求出，得出，证明为直角三角形，求出即可． 【详解】解：四边形是菱形；理由如下： ∵点O是边，的中点， ∴，， ∵和是完全相同的等边三角形； ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）选择图2，连接，，延长，交于点M，如图所示： 由旋转可知：， ∵点O是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 选择图3，连接，，设，交于点G，如图所示： 根据旋转可知：， ∵点O是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． （3）连接，，延长交于点M，如图所示： ∵点O是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵等边中，，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，菱形的判定，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质． 20. （2024·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 项目背景：折纸几何学是现代几何学的一个分支，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究．数学课上老师给每位同学发了一张长为、宽为的矩形纸片，引导同学们探索矩形纸片中的几何问题，如图①，在矩形中，，，E为边上一点．    (1)实践探究一：如图①，沿折叠，使点B的对应点落在矩形内部的点G处，延长恰好经过点D，求的长； (2)实践探究二：如图②，对折矩形，使点A与点B重合，点D与点C重合，得到折痕后展开；沿折叠，使点B的对应点落在上的点G处；延长交于点H，试判断的形状，并说明理由； (3)实践探究三：如图③，当点E在边上运动时，沿折叠，使点B的对应点落在点G处；连接，取的中点P，连接，请直接写出的最小值：__________． 【答案】(1) (2)为等边三角形，理由见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、90度的圆周角所对的弦是直径、求一点到圆上点距离的最值、矩形与折叠问题 【分析】（1）由折叠可知，，，，在中，根据勾股定理，得，证明，进而可求出的长； （2）由折叠可知，，由平行线分线段成比例得，可证垂直平分EH，从而，然后证明得，进而可证为等边三角形； （3）由可知点G在以点A为圆心，以为半径的圆上运动．延长至点F，使，可证，所以最小时，最小．连接，交圆于点G，则此时最小，由勾股定理求出，可得，从而． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ，． 由折叠可知，，，， ， ． 在中，根据勾股定理，得． ， ， ， ． ， ． （2）为等边三角形． 理由：由折叠可知，， ， ． 又， ， ， ． 由折叠可知，． ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ． 为等边三角形． （3）∵， ∴点G在以点A为圆心，以为半径的圆上运动．延长至点F，使， ∵点P是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴最小时，最小． 连接，交圆于点G，则此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，圆周角定理，到圆上某点的最小距离，三角形中位线等知识，正确作出辅助线构造三角形中位线求解是解答本题的关键． 21. （2024·山西太原·二模）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知是等边三角形，，点是射线上的一点，以为边作矩形（顶点，，，按逆时针顺序排列），其中，直线分别与射线、直线交于点，． 【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点与点重合时的图形，如图，并提出如下问题，请你解答： （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深入思考】 （2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点恰好是的中点时的图形，如图，求此时的值； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，直接写出当时的值． 【答案】19．，理由见解析； 20．； 21．或． 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长、等边三角形的性质 【分析】（）由四边形是矩形得，，然后证明即可； （）连接，由点是的中点，则，根据矩形的性质得，设，，证明，根据性质即可求解； （）当点在线段上时，，当点在线段的延长线上时，两种情况讨论即可； 本题考查了矩形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 19．，理由如下： 如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 20．连接， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 同理，， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴； 21．当点在线段上时，， 此时点与点重合， ∴， ∵等边三角形， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； 当点在线段的延长线上时，，过作于点， ∵， ∴ ∴， ∵等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. （2024·山西大同·三模）综合与实践 问题情境： 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连接交于点F，平分交于点G． 猜想证明： （1）试判断线段和的位置关系，并说明理由；’ （2）若，，试判断线段和的数量关系，并加以证明； 解决问题： （3）在（2）的条件下，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2），证明见解析；（3） 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由菱形的性质得，，可证明，得，而，所以； （2）连接交于点，交于点，根据平行线分线段成比例得到，然后得到，然后证明出，得到，即可求解； （3）根据菱形的性质和勾股定理求出，，进而求出，然后利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵平分交于点G ∴， ∴ ∴； （2）如图2，连接交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ∴； （3）， ， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ∵点K是的中点，点L是的中点 ∴． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、平行线的判定、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 23. （2024·山西晋中·三模）综合与实践 问题情境： 在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接． 数学思考： (1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________． 猜想证明： (2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展探究： (3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】其他问题(旋转综合题)、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】连接，则， ，，根据题意得，判定，有，，即可得到； 连接，由（1）知，和都是等腰直角三角形．可证得，有，进一步证得，得到．在中，即可； 当点在线段上时，由题意得，得到．利用勾股定理得，即可求得，利用（2）的结论即可求得；当点在线段上时，同上求得，利用（2）的结论即可求得． 【详解】（1）解： ．理由如下： 连接，如图， ∵四边形为正方形纸片， ∴， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则 （2）． 理由：如图1，连接．                图1 由（1）知，和都是等腰直角三角形． 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 在中，， ， ． （3）线段的长为或． 情况1：如图2，当点在线段上时，              图2 ， ． 在中，． 是的中点， ． ，且点在同一条直线上， ， 在中，， ． ， ． 情况2：如图3，当点在线段上时，          图3 ， ， 在中，． 是的中点， ． ，且点在同一条直线上， ． 在中，， ． ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、平行线的判定和性质、解直角三角形、勾股定理和二次根式的混合运算，解题的关键是熟悉旋转的性质和相似三角形的性质，以及作辅助线． 24. （2024·山西晋城·二模）综合与实践 问题情境： 四边形是边长为的正方形，分别以为边向正方形外侧构造两个等边三角形和．将沿射线平移得到，点A、B、E的对应点分别为、、，连接，． 数学思考： (1)如图1，当点位于边上时，试判断四边形的形状，并证明． (2)如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离． (3)拓展创新：在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，连接．当时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形为平行四边形，见解析 (2)平移的距离为 (3)1或 【难度】0.4 【知识点】已知余弦求边长、根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）由正方形的性质，等边三角形的性质，平移的性质可得，证明，则，进而可得四边形为平行四边形； （2）如图1，过点D作于点K，由题意知，，，．则．由平移的性质，得，，．由．可得．．由．可求．根据求解作答即可． （3）由题意知，分两种情况求解；①如图2，连接．证明四边形为平行四边形，由（2），得．则；②如图3，当点在的延长线上时，，记与交于点P，点，，在同一条直线上，点与点重合，证明四边形为菱形．如图3，连接，，，与交于点O，则点F在上，，，．则．．由①知．则．证明为等边三角形，则，．． 在中，由勾股定理求即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形，证明如下； 由题意得，，，． 由平移的性质，得，，，． ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形； （2）解：如图1，过点D作于点K． ∵四边形为矩形， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 由平移的性质，得，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∴． ∴平移的距离为． （3）解：由题意知，分两种情况求解； ①如图2，连接． 由题意，得． 由旋转的性质，得． ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， 由（2），得． ∴． ②如图3，当点在的延长线上时，，记与交于点P，点，，在同一条直线上， ∵，， ∴． ∵，， ∴点与点重合， ∵， ∴四边形为菱形． 如图3，连接，，，与交于点O，则点F在上，，，． ∵， ∴． ∴． 由①知． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∴． 在中，． 综上所述的长为1或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，余弦，菱形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，平移的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，余弦，菱形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 25. （2024·山西忻州·三模）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点逆时针旋转得到． 猜想验证 （1）如图，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状并说明理由． 问题解决 （2）如图，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与射线交于点，如果为等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形为矩形，证明见解析 （2） （3）或或 【难度】0.15 【知识点】根据旋转的性质求解、证明四边形是矩形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了旋转的性质、矩形的判定、平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，又因为，，得，即，又因为，故，证明四边形是平行四边形，因为，故证明四边形是矩形． （2如图，过点作 于点,得，又因为，带入数值可得，故，因为，得四边形是平行四边形, 即，故，，所以，可得． （3）当为等腰三角形时，有三种情况：第一种情况：当时，，又因为，故，，，所以，，又因为，故是斜边的中点，求得，即；第二种情况：当时，因为，，，所以，所以，即；第三种情况：当时，，过点作 于点，即，，，又，，所以，因为，所以；综上所述，线段的长为或或． 【详解】（1）四边形的形状是矩形． 证明：由旋转的性质可得， 又，， ， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． （2）如图，过点作 于点,   ∵在中, ，， ， ， ， ， 由旋转可得. ， ∵四边形是平行四边形, ， ， ， ， ． （3）当为等腰三角形时，有三种情况 第一种情况：当时， 又， ， 又， 故是斜边的中点， ， 即． 第二种情况：当时， ，，， ， ． 第三种情况：当时，，过点作 于点，如图： 由上可得，，， 又，， ， ． 综上所述，线段的长为或或． 26. （2024·山西长治·三模）综合与实践 问题情境： 四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结． 问题解决： （1）如图1，当点E在线段上时，求证：． 探索发现： （2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（1）；（3），理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形， ，，， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图3，过点作，交的延长线于， 四边形是正方形， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ，， ∴， ∴，， ，，， ， ， ∴， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 27. （2024·山西太原·二模）综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，是对角线，过点作，为垂足，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． 问题解决： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，将四边形绕着点逆时针方向旋转，得到四边形，且三点在同一条直线上，过点作为垂足，连接并延长交于点， ①求证：是的中点； ②若正方形的边长为2，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形，见解析；（2）①见解析；② 【难度】0.4 【知识点】根据旋转的性质求解、四边形其他综合问题、根据正方形的性质与判定证明、全等三角形综合问题 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出是等腰直角三角形，，再根据，得出．，再结合，，即可证明； （2）①证明： 过点作为垂足，证明四边形是矩形，再结合四边形是正方形，，证出是等腰直角三角形，证明，从而证出，即可证明； ②如图， 延长交的延长线于，根据旋转可知，，算出，，根据勾股定理算出，从而算出，证明 根据等面积法算出，再根据勾股定理算出，即可求解； 【详解】（1）四边形的形状是正方形． 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． （2）①证明： 过点作为垂足， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵四边形是正方形，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 又 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 又 ∵， ∴． ∴是的中点． ②如图， 延长交的延长线于， 由①知：， ， ， 由（1）可知， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， ， ，， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质和判定，旋转的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，等面积法等知识点，解题的关键是正确做出图形和辅助线，掌握以上知识点． 28. （2024·山西太原·一模）综合与实践 问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形是正方形，点在线段上，以为边作正方形，使点在线段上．延长至点，使，连接．    数学思考：（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答： ①求证：； ②猜想线段与之间的数量关系，直接写出结论； 深入探究：（2）奋进小组将正方形从图1中位置开始，绕点逆时针旋转（设点的对应点为），提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点恰好落到线段上时，连接．猜想此时线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，在正方形旋转过程中，直接写出三点在同一直线上时线段的长． 【答案】（1）①见解析；②；（2）①，理由见解析；② 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①先由正方形的性质得出再根据证明即可得出结论；②延长交于点，证明是等腰直角三角形即可得出结论； （2）①连接分别证明，是等腰直角三角形，可得三点共线，进一步可得出结论；②分点三点共线和点三点共线两种情况结合相似三角形的判定与性质可得结论 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， ∴即 ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； ②如图，延长交于点，    ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ （2）①如图，连接    由（1）①得， ∴ 又 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， 即：； ②如图，连接点三点共线时，    ∵是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，当三点共线时，    ∵是等腰直角三角形， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 综上，的长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 29. （2024·山西吕梁·一模）综合与实践 数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动． 实践操作： 现有一张矩形纸片． 第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接． 第三步：如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点为点，点的对应点为点与交于点，然后把纸片展平． 问题解决： （1）的长为 ； （2）判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探索： （3）若，求的长． 【答案】（1）3；（2）菱形，理由见解析；（3） 【难度】0.65 【知识点】证明四边形是菱形、矩形与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、公式法解一元二次方程 【分析】（1）由折叠的性质可知，，由，可得，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，证明是等腰三角形，，进而可证四边形是菱形； （3）如图，连接，作于，则四边形是矩形，则，是线段的中点，，证明，则，，由折叠的性质可知，，则，，设，则，，，由，可得，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解，进而可求的长． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故答案为：3； （2）解：四边形是菱形，理由如下； 由折叠的性质可知，，， 又∵， ∴是等腰三角形，， ∴， ∴四边形是菱形； （3）解：如图，连接，作于，则四边形是矩形， ∴， 由题意知，是线段的中点，， ∵矩形， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 几何综合压轴题 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 几何综合 2024·山西：三角形全等及其性质、菱形的性质、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质 2023·山西：已知余弦求边长、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、证明四边形是正方形 2022·山西：相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、与三角形中位线有关的证明、用勾股定理解三角形 2021·山西：相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解 2020·山西：解直角三角形的相关计算、旋转综合题(几何变换)、根据正方形的性质证明 本题型是中考的几何压轴大题，是对学生所学知识的灵活运用及分析问题解决问题能力的全面考察，知识点范围广，综合性强，难度系数较大，既能考察基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学能力，区分度较大，同学们在复习时，要注重总结常考的几何模型，举一反三。 考点01 几何综合 1. （2024·山西）综合与探究 问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点作于点，过点作于点． （1）猜想证明：判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）深入探究：将图1中的绕点逆时针旋转，得到，点E，B的对应点分别为点G，H. ①如图2，当线段AH经过点时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由； ②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点．若，直接写出四边形AMNQ的面积. 2. （2023·山西·中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．    (1)数学思考：谈你解答老师提出的问题； (2)深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．      ①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；    ②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．    3. （2022·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N，猜想证明： （1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由； 问题解决： （2）如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长； （3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长． 4. （2021·山西·中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果． 5. （2020·山西·中考真题）综合与实践 问题情境： 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； 解决问题： （3）如图①，若，，请直接写出的长． 6. （2024·山西运城·三模）综合与实践 问题情境： 在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两个矩形纸片进行探究活动． 智慧小组准备了两张矩形纸片和，其中，将它们按如图所示的方式放置，点落在上，点落在的延长线上，连接和． 观察发现： （1）如图连接，则和的位置关系是__________，___________． 操作探究： （2）如图，将矩形绕点按顺时针方向旋转（），试探究（1）中和的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 拓展延伸： （3）在矩形旋转的过程中，当三点共线时，直接写出线段的长． 7. （2024·山西太原·三模）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点A逆时针旋转得到矩形纸片，点B，C，D的对应点为、、；如图2．连接、，当在的延长线上时，延长，交于点E，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将如图1中的矩形纸片绕点A逆时针方向再次旋转，并让同学们提出新的问题． ①“奋进小组”提出问题：如图3，当点落在上时，连接，取的中点M，连接、，试猜想三条线段的数量关系，并加以证明，请你解答此问题； ②“团结小组”提出问题：如图4，当点落在上时，连接，交于点F．若，，求的长．请你思考此问题，直接写出结果． 8. （2024·山西阳泉·三模）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．于点，的平分线交于点，交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答上述提出的问题； 实践探究：（2）如图2，善思小组将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，，连接． ①请你直接写出四边形的形状是______； ②请求出平移的距离； （3）智慧小组将绕点逆时针旋转，得到，使得，点，的对应点分别是点，，连接，直接写出的长． 9. （2024·山西忻州·三模）综合与实践 【问题情境】 如图，在中，，． （1）如图1，若点在边上，．将沿所在直线折叠，点的对应点为点．试猜想四边形的形状并加以证明． 【数学思考】 （2）如图2，勤学小组受此问题启发，将沿过点的直线折叠，点的对应点为点，且点恰好落在边上．若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图3，善思小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，若，，，直接写出的长． 10. （2024·山西晋城·一模）综合与实践 问题情境： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 操作探究： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 11. （2024·山西大同·二模）综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展活动，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． 【动手操作】如图1，将边长为5的正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，再将正方形纸片展开，得到折痕； 【证明体验】勤学小组对正方形纸片做了如下操作，如图2，为边上的一个动点，将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为，连接，则的形状为______（填三角形的形状），______； 【思考探究】善思小组继续深入思考，将正方形展开，当动点与点重合时，沿折叠，得到点的对应点，延长交于点，如图3，试判断与的数量关系，并加以证明； 【拓展延伸】明辨小组在善思小组的基础上展开思考，将沿继续折叠，点的对应点为，当点的位置不同时点的位置也随之改变，连接，若点恰好落在的边上，请直接写出的长． 12. （2024·山西晋城·三模）综合与实践 问题情境： 在一节几何探究课上，老师提出这样一个问题：在正方形中，E是对角线上一点，以为一边作正方形，点F恰好在边所在的直线上，连接，求证：． 观察思考： （1）如图1，当点F在边上时，请解答老师提出的问题． 探索发现： 受到老师的启发，综合与实践小组的同学进一步探究：H是的中点，连接． （2）如图2，在图1的基础上，试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）当E是的三等分点，时，请直接写出的长． 13. （2024·山西阳泉·三模）综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：有两个全等的三角形纸片和，其中，将和按图1所示方式摆放，斜边和的中点重合（标记为点），交于点．当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答老师提出的问题； 深入探究：（2）老师将图1中的绕点逆时针方向旋转，使点落在直线上方，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，当时，分别交于点，分别交于点交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题； ②“智慧小组”提出问题：在①的条件下，若，求两个三角形重叠部分六边形的面积．请你思考此问题，直接写出结果．    14. （2024·山西晋城·二模）综合与实践 问题情境： 在矩形纸片中，E是边上一动点，F是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点A的对应点为点H，点B的对应点为点G． 猜想证明： （1）当E是边的中点时． ①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图2，连接．若点B的对应点G恰好落在对角线上，延长与边交于点P．求证：P是边的中点． 问题解决： （2）如图3，当点B的对应点G落在边上时，与边交于点Q，连接．若，，，请直接写出的长． 15. （2022·山西大同·一模）综合与实践    在综合与实践课上，同学们以如图1的两个含的直角三角尺为主题开展数学活动，其中，，． (1)轴对称小组将以为对称轴翻折，如图2，与交于点P，连接，发现，请你证明这个结论． (2)旋转小组将以中点为旋转中心，逆时针旋转到如图3的位置，、边与边、交于点、、，连接，求的长度． (3)平移小组将沿向下平移到图4时，分别延长、，交、于点、，发现四边形恰好是正方形，直接写出此时正方形的面积． 16. （2024·山西晋城·三模）综合与实践 问题背景： 在数学课上，老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．将图1中的菱形纸片沿对角线前开，得到两个全等的三角形纸片，分别表示为和，其中，．    探索发现： 勤学小组将与重合，使点与点重合，点与点重合，点与点重合，并进行平移探究．如图2，将沿射线平移一定距离，连接，，当恰好为的中点时． 拓展延伸： 创思小组受到勤学小组的启发，将的边与的边重合，使点与点重合，点与点重合，点A，E分别位于边的两侧，将沿射线平移． (1)如图2，①请直接写出四边形的形状； ②此时平移的距离为___________． (2)如图3，当点F位于边上，且不与点B，D重合时，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． (3)当F是BD边的三等分点时，连接，求的长． 17. （2024·山西晋中·三模）综合与实践 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为________； (2)如图，在矩形纸片中，，，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为点，延长交边于点． 与之间有什么数量关系？请说明理由． 当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 18. （2024·山西晋城·三模）综合与实践： 问题情境：在矩形中，已知，，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接．    操作发现： （1）如图1，点正好在如图所示的位置，请按以下操作作图（尺规作图，保留痕迹，不写作法）：①过点作的垂线；②作点关于的对称点；③连接，． （2）当落在射线上时，请直接写出两个正确的结论； 拓广探索： （3）如图2，当点与重合时，与相交于点，求的长； （4）探索并直接写出当为何值时，四边形为菱形． 19. （2024·山西大同·模拟预测）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师让同学们以“等边三角形的旋转”为主题开展活动，已知完全相同的等边三角形和等边三角形，点A，B，C分别与点D，E，F重合，点O是边，的中点．固定，将绕点O顺时针旋转． 问题解决 （1）如图1，当点E落在边上时，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）在旋转的过程中，连接，，试判断，的位置关系，并在图2与图3中选择一种情况进行证明． 问题拓展 （3）如图4，若与都是等边三角形，但，其他条件不变，在旋转的过程中，当点E落在边上时，连接，，延长交于点N．已知，，请直接写出的长． 20. （2024·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 项目背景：折纸几何学是现代几何学的一个分支，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究．数学课上老师给每位同学发了一张长为、宽为的矩形纸片，引导同学们探索矩形纸片中的几何问题，如图①，在矩形中，，，E为边上一点．    (1)实践探究一：如图①，沿折叠，使点B的对应点落在矩形内部的点G处，延长恰好经过点D，求的长； (2)实践探究二：如图②，对折矩形，使点A与点B重合，点D与点C重合，得到折痕后展开；沿折叠，使点B的对应点落在上的点G处；延长交于点H，试判断的形状，并说明理由； (3)实践探究三：如图③，当点E在边上运动时，沿折叠，使点B的对应点落在点G处；连接，取的中点P，连接，请直接写出的最小值：__________． 21. （2024·山西太原·二模）综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知是等边三角形，，点是射线上的一点，以为边作矩形（顶点，，，按逆时针顺序排列），其中，直线分别与射线、直线交于点，． 【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点与点重合时的图形，如图，并提出如下问题，请你解答： （1）猜想与的数量关系，并说明理由； 【深入思考】 （2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点恰好是的中点时的图形，如图，求此时的值； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，直接写出当时的值． 22. （2024·山西大同·三模）综合与实践 问题情境： 如图，在菱形中，，为对角线，点E是边延长线上的任意一点，连接交于点F，平分交于点G． 猜想证明： （1）试判断线段和的位置关系，并说明理由；’ （2）若，，试判断线段和的数量关系，并加以证明； 解决问题： （3）在（2）的条件下，直接写出的长． 23. （2024·山西晋中·三模）综合与实践 问题情境： 在“综合与实践”活动课上，老师给出了一张如图1所示的正方形纸片，点在线段上，点在线段上，且满足，连接． 数学思考： (1)线段与的数量关系为___________，位置关系为___________． 猜想证明： (2)如图2，连接交于点，将绕点顺时针旋转，取线段的中点并记为，连接，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 拓展探究： (3)在（2）的基础上继续将绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，直接写出线段的长． 24. （2024·山西晋城·二模）综合与实践 问题情境： 四边形是边长为的正方形，分别以为边向正方形外侧构造两个等边三角形和．将沿射线平移得到，点A、B、E的对应点分别为、、，连接，． 数学思考： (1)如图1，当点位于边上时，试判断四边形的形状，并证明． (2)如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离． (3)拓展创新：在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点，的对应点分别为，，连接．当时，请直接写出的长． 25. （2024·山西忻州·三模）综合与实践 问题情境 在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点逆时针旋转得到． 猜想验证 （1）如图，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状并说明理由． 问题解决 （2）如图，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与射线交于点，如果为等腰三角形，请直接写出线段的长． 26. （2024·山西长治·三模）综合与实践 问题情境： 四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结． 问题解决： （1）如图1，当点E在线段上时，求证：． 探索发现： （2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由． 27. （2024·山西太原·二模）综合与实践 问题情境： 如图1，在正方形中，是对角线，过点作，为垂足，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． 问题解决： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）如图2，将四边形绕着点逆时针方向旋转，得到四边形，且三点在同一条直线上，过点作为垂足，连接并延长交于点， ①求证：是的中点； ②若正方形的边长为2，请直接写出的长． 28. （2024·山西太原·一模）综合与实践 问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形是正方形，点在线段上，以为边作正方形，使点在线段上．延长至点，使，连接．    数学思考：（1）拼搏小组提出如下问题，请你解答： ①求证：； ②猜想线段与之间的数量关系，直接写出结论； 深入探究：（2）奋进小组将正方形从图1中位置开始，绕点逆时针旋转（设点的对应点为），提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点恰好落到线段上时，连接．猜想此时线段与之间的数量关系，并说明理由； ②若，在正方形旋转过程中，直接写出三点在同一直线上时线段的长． 29. （2024·山西吕梁·一模）综合与实践 数学课上，老师以“矩形的折叠”为主题开展活动． 实践操作： 现有一张矩形纸片． 第一步：如图1，将矩形纸片先沿对角线折叠，得到折痕，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将矩形纸片折叠，使点与点重合，得到折痕，然后把纸片展平，与的交点为点，连接． 第三步：如图3，将矩形纸片沿过点的直线折叠，点的对应点为点，点的对应点为点与交于点，然后把纸片展平． 问题解决： （1）的长为 ； （2）判断四边形的形状，并说明理由； 拓展探索： （3）若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$