专题10 函数基础（4考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（山西专用）

专题10 函数基础 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 平面直角坐标系 2023·山西：坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质 2021·山西：建立坐标系求未知点坐标 函数基础包括：平面直角坐标系、函数定义、一次函数的图形及性质、反比例函数的图形及性质、二次函数的图形及性质，函数图象的变换、函数的应用等等，在中考中函数也常常与几何图象相关联，考生需注重知识的融合，牢牢抓住基础，才能更好的提升，去应对函数的综合压轴题型. 考点2 一次函数 2024·山西：正比例函数的性质 2024·山西：待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用 2023·山西：求函数关系式 2022·山西：反比例函数的应用 考点3 反比例函数 2024·山西：反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式 2023·山西：反比例函数图象上点的坐标特点 2021·山西：反比例函数图像的性质 考点4 二次函数 2021·山西：二次函数图像的平移 2020·山西：二次函数的性质的应用 考点1 平面直角坐标系 1. （2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 2. （2021·山西·中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为 ． 考点2 一次函数 3. （2024·山西）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 4. （2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 考点3 反比例函数 5. （2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　． 6. （2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（    ） A． B． C． D． 7. （2021·山西·中考真题）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小 8. （2022·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa． 考点4 二次函数 9. （2024·山西阳泉·三模）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一，二，四象限 B．图象与轴交于点 C．自变量每增加1，函数值减小2 D．当时， 10. （2021·山西·中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 11. （2020·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（    ） A． B． C． D． 12. （2024·山西临汾·二模）如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 13. （2024·山西忻州·三模）生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变 B．种植密度越大，该经济作物的产量越高 C．种植密度为d时，该经济作物的产量最高 D．种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量 14. （2024·山西太原·三模）小华在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验；如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数、当斜面水平放置在地面上时．弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15. （2024·山西大同·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接上轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为（    ）    A．12 B．8 C．4 D． 16. （2024·山西大同·三模）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 17. （2024·山西大同·二模）如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 18. （2024·山西太原·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 19. （2024·山西临汾·二模）抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 20. （2024·山西吕梁·一模）和是抛物线上的点，则、两点之间的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 21. （2024·山西大同·一模）已知抛物线的部分值如下表所示： … 2 3 6 8 … … 4 5.5 4 … 由表格可知，下列结论中正确的是 A．抛物线开口向上 B．该抛物线的最大值为5.5 C．该抛物线的对称轴为直线 D．该抛物线与y轴交于点 22. （2024·山西太原·三模）已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23. （2024·山西吕梁·一模）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 24. （2024·山西临汾·一模）二次函数的系数a，b，c满足关系式，且，则下列图象符合题意的是（    ） A． B． C． D． 25. （2024·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（    ） A．4 B． C．5 D．6 26. （2024·山西吕梁·三模）如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”，两点的坐标分别为，，则蝴蝶“翅膀尾部”点的坐标为 27. （2024·山西长治·三模）如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ． 28. （2024·山西吕梁·一模）窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 29. （2024·山西大同·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点的坐标为．将绕点逆时针旋转．得到（点、的对应点分别为点、），与交于点．当时，，则此时点的坐标为 ． 30. （2024·山西忻州·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则平移后的一次函数的表达式为 ． 31. （2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 32. （2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    33. （2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    34. （2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场销售个玩偶所获利润为（单位：元），请直接写出与之间的函数关系式：_____； (3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？ 35. （2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰好落在反比例函数的图象上，过，两点的直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求的度数． 36. （2024·山西阳泉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，的取值范围是______． 37. （2024·山西运城·三模）阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 38. （2024·山西晋中·三模）阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 39. （2024·山西晋城·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律 数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 40. （2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 …    (1)①与的几组对应值如下表，请补全表格； ②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； (2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； (3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积． 41. （2024·山西阳泉·三模）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． 同学们类比学习一次函数的图象和性质的学习方法，从特殊到一般展开研究： (1)当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … y … 3 1 2 3 4 5 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 42. （2024·山西晋城·三模）山西省打造标准化可复制的社区“养老托育”新模式，树立山西“养老托育”的新标杆，某政府为进一步健全社区工作者职业体系，计划招募3000名乙社区助理，已知A，B两社区招募的人数占总招募人数的，该政府欲为A，B两社区的社区助理每人配备一套办公桌椅，现有甲、乙两种办公桌椅可供选择，已知甲种办公桌椅的单价是乙种办公桌椅单价的，购置1套甲种办公桌椅和3套乙种办公桌椅共需要3000元． (1)求甲、乙两种办公桌椅的单价； (2)若要求购置甲种办公桌椅的数量不超过乙种办公桌椅数量的1.5倍，平均每套办公桌椅还需要运费50元，求该政府所花总费用最少的购置方案． 43. （2024·山西阳泉·三模）项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 44. （2024·山西临汾·二模）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 利用二次函数的图象解不等式 我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题． 第一步：画出二次函数的图象． 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 5 描点、连线，如图1所示． 第二步：确定二次函数的图象与轴的交点． 由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和． 第三步：确定不等式的解集． 由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即， 不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为． 任务： (1)利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个） A．数形结合思想        B．统计思想        C．公理化思想 (2)请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程． 45. （2024·山西晋城·三模）学科实践驱动任务：用数学的眼光观察校园． 研究步骤： ①如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）； ②隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 问题解决： (1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 函数基础 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 平面直角坐标系 2023·山西：坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质 2021·山西：建立坐标系求未知点坐标 函数基础包括：平面直角坐标系、函数定义、一次函数的图形及性质、反比例函数的图形及性质、二次函数的图形及性质，函数图象的变换、函数的应用等等，在中考中函数也常常与几何图象相关联，考生需注重知识的融合，牢牢抓住基础，才能更好的提升，去应对函数的综合压轴题型. 考点2 一次函数 2024·山西：正比例函数的性质 2024·山西：待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用 2023·山西：求函数关系式 2022·山西：反比例函数的应用 考点3 反比例函数 2024·山西：反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式 2023·山西：反比例函数图象上点的坐标特点 2021·山西：反比例函数图像的性质 考点4 二次函数 2021·山西：二次函数图像的平移 2020·山西：二次函数的性质的应用 考点1 平面直角坐标系 1. （2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A．    【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 2. （2021·山西·中考真题）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据A，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，， ∴B点向右移动3位即为原点的位置， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标． 考点2 一次函数 3. （2024·山西）已知点都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的性质 【解析】【解答】解：∵ 正比例函数y=3x ∴ k=3＞0，y随x的增大而增大 ∴ ，则 故答案为：B. 【分析】本题考查正比例函数的增减性，k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小，据此可得答案。 9．（2024·山西）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为（　　） 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用 【解析】【解答】解：∵ 某种蛇其体长是尾长的一次函数，设该一次函数解析式是y=kx+b（k≠0） 由表格可知，该一次函数过点（6，45.5），（10，60.5），代入得： 解得：k=7.5，b=0.5 则y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5 故答案为：A. 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，掌握该方法，准确计算是解题关键。由表格任选两个点坐标，代入y=kx+b（k≠0）可得答案。 4. （2023·山西·中考真题）一种弹簧秤最大能称不超过的物体，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】挂重后弹簧长度等于不挂重时的长度加上挂重后弹簧伸长的长度，据此即可求得函数关系式． 【详解】解：由题意知：； 故选：B． 【点睛】本题考查了求函数关系式，正确理解题意是关键． 考点3 反比例函数 5. （2024·山西）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　． 【答案】4 【知识点】反比例函数的实际应用 【解析】【解答】解：∵ 机器狗最快移动速度是载重后总质量的反比例函数． 设该反比例函数为y=（v≠0） 由题知，该函数过点（60，6） ∴ v=my=60×6=360 ∴ y= ∴ m=90kg时，v==4m/s 故答案为：4. 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，由题意，列出y=（v≠0），代入点坐标可得解析式y=，求解当m=90时，可得v值. 6. （2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵ ∴位于第三象限， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴点位于第一象限， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 7. （2021·山西·中考真题）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可． 【详解】解：A、反比例函数，，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意； B、将点代入中，等式成立，故此选项正确，不符合题意； C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意； D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，熟知反比例函数的图像的性质是解题关键． 8. （2022·山西·中考真题）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为 Pa． 【答案】400 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点（0.1,1000）， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当S=0.25时，． 故答案为：400 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键． 考点4 二次函数 9. （2024·山西阳泉·三模）关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一，二，四象限 B．图象与轴交于点 C．自变量每增加1，函数值减小2 D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据解析式逐一判断选项． 【详解】解：由题意可得， A. 图象经过第一，二，三象限，故该选项不正确，不符合题意；     B. 当时，，则图象与轴交于点，故该选项正确，符合题意； C. 自变量每增加1，函数值增大2，故该选项不正确，不符合题意；     D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 10. （2021·山西·中考真题）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 11. （2020·山西·中考真题）竖直上抛物体离地面的高度与运动时间之间的关系可以近似地用公式表示，其中是物体抛出时离地面的高度，是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面的高处以的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将=，=代入，利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案． 【详解】解：依题意得：=，=， 把=，=代入得 当时， 故小球达到的离地面的最大高度为： 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键属于基础题． 12. （2024·山西临汾·二模）如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、旋转的性质，连接、交于点，由菱形的性质结合坐标可得，，从而得出，，，由旋转的性质可得，，求出的长度即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、交于点， ，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为， ，， ，，， 由旋转的性质可得：，， ， 点的对应点的坐标为， 故选：B． 13. （2024·山西忻州·三模）生物学研究表明，当光合作用与呼吸作用强度的差越大时，植物体内积累的有机物越多，产量也就越高．为了解某经济作物的产量与种植密度的关系，研究人员通过实验得到该经济作物的种植密度分别与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系，其图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后不变 B．种植密度越大，该经济作物的产量越高 C．种植密度为d时，该经济作物的产量最高 D．种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象，根据经济作物的种植密度与呼吸作用强度、光合作用强度的函数关系解答此题即可 【详解】解：A. 呼吸作用强度随种植密度的增大先增大后变小，故原选项说法错误，不符合题意； B. 种植密度为时，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意； C. 种植密度为时，光合作用强度和呼吸作用的强度差最大，植物体内积累的有机物最多，该经济作物的产量最高，故原选项说法错误，不符合题意； D. 种植密度为b时该经济作物的产量高于种植密度为a时该经济作物的产量,说法正确，符合题意， 故选：D 14. （2024·山西太原·三模）小华在学习了摩擦力的相关知识后，在斜面拉动木块实验；如图用弹簧测力计拉着重为10N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数、当斜面水平放置在地面上时．弹簧测力计的读数为，高度h每增加，弹簧测力计的读数增加，若弹簧测力计的最大量程是，则装置高度h的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的应用，由题意求出一次函数解析式，求出当弹簧测力计的最大量程是时的h的值，即可得到答案. 【详解】解：由题意可得，， 弹簧测力计的最大量程是，此时，解得， 即装置高度h的取值范围为 故选：A 15. （2024·山西大同·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，点是轴负半轴上一点，连接上轴正半轴交于点．若，的面积为3，则的值为（    ）    A．12 B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数k列式可得结论．设，则，由的面积为3即可求解． 【详解】解：作轴于点D，    ∵轴， ， ， ， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故选：A． 16. （2024·山西大同·三模）已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 17. （2024·山西大同·二模）如图，小明和爸爸在玩跷跷板．已知小明的体重为，距离跷跷板支点的距离为，设爸爸的体重为，距离跷跷板支点的距离为．若要使跷跷板保持平衡，则与应满足的关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据小明的体重与小明到跷跷板支点的距离之积等于爸爸的体重与小明爸爸到跷跷板支点的距离之积求解即可． 【详解】解：由题意，得 ∴ 故选C． 18. （2024·山西太原·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，由点，，，得，根据图象性质即可求解，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，，， ∴， ∴这个函数图象可能是反比例函数， 故选：． 19. （2024·山西临汾·二模）抛物线经过点，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ， 故选：C． 20. （2024·山西吕梁·一模）和是抛物线上的点，则、两点之间的距离是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵和关于对称轴对称， ∴A，B两点之间的距离； 故选：D． 21. （2024·山西大同·一模）已知抛物线的部分值如下表所示： … 2 3 6 8 … … 4 5.5 4 … 由表格可知，下列结论中正确的是 A．抛物线开口向上 B．该抛物线的最大值为5.5 C．该抛物线的对称轴为直线 D．该抛物线与y轴交于点 【答案】D 【分析】 本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质．求出二次函数解析式是解题的关键． 先用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据解析式，由抛物线的图象性质判定即可． 【详解】解：把，，分别代入，得 ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误，不符合题意； ∴当时，抛物线的最大值为6，故B选项错误，不符合题意； ∴该抛物线的对称轴为直线，故C选项错误，不符合题意； ∵把代入，得， ∴该抛物线与y轴交于点，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 22. （2024·山西太原·三模）已知二次函数的图象如图示，在下列四个结论中：①；②；③；④．错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质并数形结合是解题的关键．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点即可判断①和②，根据当时，，即可判断③，根据二次函数图象与x轴没有交点即可判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则，由抛物线对称轴的位置可知， ∴，， ∴，故①正确， 由抛物线与y轴相交于负半轴，则， ∴，故②正确； 根据函数图象可得当时，，故③错误； 根据函数图象可得，该二次函数图象与x轴没有交点，则，故④错误， 综上可知，错误的是③④， 故选：B 23. （2024·山西吕梁·一模）如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，数形结合是解题的关键． 由图象可知，，，对称轴为直线，图象与轴有两个不同的交点，则，，，进而可判断A、B、D的正误；由图象知，当时，，进而可判断C的正误． 【详解】解：由图象可知，，，对称轴为直线，图象与轴有两个不同的交点， ∴，，， ∴，，A、B错误，故不符合要求，D正确，故符合要求； 由图象知，当时，，C错误，故不符合要求； 故选：D． 24. （2024·山西临汾·一模）二次函数的系数a，b，c满足关系式，且，则下列图象符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是确定a、c的符号．根据，且，即可确定a、c的符号，以及时，，即可求解． 【详解】解：，即时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 且， 二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，只有B选项符合， 故选：B． 25. （2024·山西晋城·三模）如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的纵坐标为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，勾股定理，角平分线的性质，过点作于点先求出，的长，然后根据勾股定理求出的长，再根据角平分线的性质证得，然后根据列方程即可求出的长，进而得到答案． 【详解】解：过点作于点， 的图象分别与轴、轴交于点、， 当，当 点坐标为，点坐标为， ，， 在中，， 平分，，， ， ， ， 即， 解得：， 点的纵坐标为， 故选：A． 26. （2024·山西吕梁·三模）如图是一只蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端”，两点的坐标分别为，，则蝴蝶“翅膀尾部”点的坐标为 【答案】 【分析】本题考查建立平面直角坐标系．根据题意，建立平面直角坐标系，写出点C的坐标． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，则点C的坐标为， 故答案为：． 27. （2024·山西长治·三模）如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可． 【详解】解：设点B坐标为， ∵矩形的面积为35， ∴，轴， 则点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴，解得，且满足所列方程， 故答案为：21． 28. （2024·山西吕梁·一模）窗格是中国传统建筑装饰的重要构成因素，是中国传统建筑文化的重要组成部分．图1就是由大小相等的圆弧型“青瓦”组成的一个窗格图案．图2是部分窗格截面示意图，将其放置在平面直角坐标系中，点，，均为弧的端点，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，先求得，进而根据平移的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵点的坐标为，则圆弧型“青瓦”的高为 根据平移可得的纵坐标为 ∴， 故答案为：． 29. （2024·山西大同·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点的坐标为．将绕点逆时针旋转．得到（点、的对应点分别为点、），与交于点．当时，，则此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，根据平行线的性质可得，进而可得则，过点作于点，根据三线合一可得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转．得到，则 ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， 在中，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 30. （2024·山西忻州·三模）将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则平移后的一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的平移变换，关键是对平移性质的应用．根据平移的性质得到平移后的函数解析式，再把代入平移后的解析式即可得出结论． 【详解】解：根据题意得平移后直线的表达式为：， 将点代入得，， 解得：， 所以平移后的一次函数的表达式为 故答案为： 31. （2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点D在反比例函数上， ∴设点D的坐标为， ∵D为的中点， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴A点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在上， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 32. （2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 33. （2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 34. （2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量（单位：个）与每个玩偶的降价（单位：元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场销售个玩偶所获利润为（单位：元），请直接写出与之间的函数关系式：_____； (3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？ 【答案】(1) (2) (3)这种玩偶每个应降价10元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价降价）销售量求解即可； （3）根据（2）所求列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设与之间的函数关系式为， 将和代入中，得， 解得． ∴与之间的函数关系式为． （2）解：由题意得， ； （3）根据题意，得， 解得，． ∵要让顾客获得更大实惠， ∴． 答：这种玩偶每个应降价10元． 35. （2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰好落在反比例函数的图象上，过，两点的直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把点代入，得出反比例函数的解析式为，根据平移得出的横坐标，进而代入解析式，即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式，进而得出的坐标，根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入，得 ． 反比例函数的解析式为． 将点A向右平移3个单位，再向上平移a个单位得到点B， 点B的横坐标为 当时， （2）设直线的解析式为， 由题意可得 解得 ． 当时，， ， 当时，， ， ． ， ． 36. （2024·山西阳泉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，交点坐标适合两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点A的坐标分别代入，求出m的值，即可得到点A，B坐标，再把点A的坐标代入，求出的即可； （2）求出点B，C，D的坐标，根据可得结论； （3）结合图像可得结论 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点， 把点代入，得 ∴ ∴与反比例函数解析式为 （2）解：对于一次函数， 当时，；当时，， ∴， ∴ 把代入，得， ∴， ∴ ； （3）解：由图象可得，当时，的取值范围是或， 故答案为：或 37. （2024·山西运城·三模）阅读与思考 下面是小勇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 “用函数思想解决生活中的实际问题” 爸爸计划利用一张如图1所示的的正方形纸板，制作一个简易的无盖长方体储物箱，我也积极参与了储物箱的设计与制作．根据实际需求，在现有纸板的条件下，要求使储物箱的容积最大．现遇到的问题是怎样制作才能使无盖长方体储物箱的容积最大，我通过绘制图象来解决以上问题． 如图1，在纸板的四个角上分别剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折叠得到如图2所示的无盖长方体储物箱．设四个角上分别剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，容积为V，通过列表、描点、连线绘制出如图3所示的函数图象，通过观察函数图象即可确定当x为何值时，所制作的无盖长方体储物箱的容积最大． (1)当_________时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为________ (2)请你列出S关于x的函数表达式，并根据实际意义直接写出x的取值范围． (3)在解决问题的过程中，你获得什么启示？（写出一条日记中所体现的数学观点即可） 【答案】(1)5；2000 (2)， (3)函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等 【分析】本题考查数形结合以及正方体面积，读懂题意是解答本题的关键． （1）根据函数图象解答即可； （2）根据题意先得出底面边长，再解答即可； （3）根据题意结合数学观点解答即可． 【详解】（1）解：由函数图象可得：当时，无盖长方体储物箱的容积最大，最大值为； （2）解：剪去的正方形的边长为，纸箱的底面积为S，纸箱底为正方形， ，； （3）解：根据题意可得：函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是一种解决数学问题常用的思想方法；函数思想可以解决生活中的很多问题等． 38. （2024·山西晋中·三模）阅读与理解 小明学习完二次函数后，得到二次函数平移的图像变化及表达式之间存在的关系，下面是小明同学探究反比例函数平移的图像变化，请认真阅读并完成相应的任务： 如图是反比例函数的图像，探究函数的图像，通过画出图像观察这两个图像间的关系． 根据题意，列表如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 在平面直角坐标系中，画出的图像（图中的粗线）． 任务一： （1）请补全表格，并在给出的平而直角坐标系中画出函的图像； （2）根据图像指出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的； （3）函数的图像关于点　　成中心对称； 任务二： （1）小明这样研究图像的方法主要运用的数学思想是　　； A．公理化思想  B．类比思想  C． 函数思想  D．转化思想 （2）直接写出函数的图像是函数的图像经过怎样的平移得到的． 【答案】任务一：（1），，函数图像见解析；（2）函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的；（3）；任务二：（1）C；（2）函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 【分析】本题主要考查了类比的数形思想，反比例函数图像的平移等知识点，掌握平移规律是解题的关键． 任务一： （1）分别令求出对应的函数值，然后再运用描点法画出另一半图像即可；（2）（3）根据函数图像解答即可； 任务二：（1）根据研究过程归纳即可解答；（2）根据（1）的相关方法即可解答． 【详解】解：任务一：（1）当时，；当时， 根据图表绘制图像如下： （2）根据函数图像可得：函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的． （3）∵函数的图像关于原点成中心对称，函数的图像是函数的图像向左平移两个单位得到的， ∴函数的图像关于点成中心对称． 任务二：（1）本题通过研究反比例函数图像，再以此类推研究二次函数图像的性质，这中方法属于类比思想，故选B． （2）根据任务一的探究可知：函数的图像是函数的图像向右平移三个单位、向上平移一个单位得到的． 39. （2024·山西晋城·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务 用函数研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律 数轴是初中数学的一个重要工具，研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点，点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．学习函数知识后，我们可以用函数方法研究数轴上动点到定点（两个）距离和的变化规律． 特例研究： 例：如图1，在数轴上点，点表示的数分别为，3，动点表示的数为，求点到点，的距离和为，并直接写出的最小值. 用函数方法，我们可以用含的式子表示 ， 画出函数图象如图2，观察图象，可以直观看出：的最小值为5． 拓广探索： 若数轴上点，点表示的数分别为常数，，且，动点表示的数为，点到点，的距离和为，并直接写出的最小值，.…… 任务： (1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出两个即可）； A．转化思想  B．数形结合思想   C．统计思想      D．分类讨论思想 (2)请直接写出“拓广探索”中，关于的函数表达式． (3)在“拓广探索”中，的最小值为______；当时，随的增大而______． (4)如果你写“拓广探索”部分的内容，请直接写出一个你发现的结论． 【答案】(1)（或或） (2) (3)；减小 (4)当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一次函数的应用，求函数解析式，画函数图像，一次函数的性质； （1）从小论文中可知，主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，故任选两个即可； （2）对，分三种情况计算即可； （3）根据（2）的函数画出函数图像，由图象及一次函数的性质即可完成解答； （4）根据函数表达式及一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：小论文主要运用的数学思想有转化思想、数形结合思想、分类讨论思想， 故选：（或或）； （2）解：由题意知， 当时，； 当时，； 当时，； ∴ （3）解：画出的图像如下： 由图像知，函数的最小值为，当时，随的增大而减小； 故答案为：；减小； （4） 解：由图像知，当时，随的增大而增大；当时，有最小值；没有最大值；等等（答案不唯一） 40. （2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 …    (1)①与的几组对应值如下表，请补全表格； ②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象； (2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象； (3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积． 【答案】(1)见解析， (2)向左平移1个单位，向上平移2个单位 (3) 【分析】本题主要考查的是反比例函数的图象与性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． （1）求出时的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）根据平移的方式即可解答； （3）根据函数的图象即可解答； 【详解】（1）当时，， 补全表格为： … 1 2 3 … … 3 4 6 1 … 图象如下：    （2）的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位可以得到的图象； （3）一次函数的图象，如图，可知， ∴的面积为．    41. （2024·山西阳泉·三模）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． 同学们类比学习一次函数的图象和性质的学习方法，从特殊到一般展开研究： (1)当时，即．当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，即． ①该函数自变量和函数值的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … y … 3 1 2 3 4 5 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】(1) (2)①2；②见解析 (3)①；②见解析 (4)当，时，y随x增大而增大（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． （1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写出即可得到答案． 【详解】（1）解：当时， ， 故答案为：； （2）解：①当时， ， 故答案为：2； ②根据表格描点再连接起来，如图所示，   ； （3）解：①当时， ， 故答案为：； ②当时，， 当时，， 当时，， 描点，连线，如图所示，   ； （4）解：由解析式得，当时，， 当，时，y随x增大而增大， 当，时，y随x增大而减小． 故答案为：当，时，y随x增大而增大（答案不唯一）． 42. （2024·山西晋城·三模）山西省打造标准化可复制的社区“养老托育”新模式，树立山西“养老托育”的新标杆，某政府为进一步健全社区工作者职业体系，计划招募3000名乙社区助理，已知A，B两社区招募的人数占总招募人数的，该政府欲为A，B两社区的社区助理每人配备一套办公桌椅，现有甲、乙两种办公桌椅可供选择，已知甲种办公桌椅的单价是乙种办公桌椅单价的，购置1套甲种办公桌椅和3套乙种办公桌椅共需要3000元． (1)求甲、乙两种办公桌椅的单价； (2)若要求购置甲种办公桌椅的数量不超过乙种办公桌椅数量的1.5倍，平均每套办公桌椅还需要运费50元，求该政府所花总费用最少的购置方案． 【答案】(1)甲种办公桌椅的单价为600元，乙种办公桌椅的单价为800元 (2)购置甲种办公桌椅120套，乙种办公桌椅80套 【分析】本题考查一元一次方程、不等式以及一次函数的应用，找出等量关系或者不等量关系列出方程、不等式和函数解析式是解题的关键． （1）设乙种办公桌椅的单价为元，则甲种办公桌椅的单价为元，根据“购置1套甲种办公桌椅和3套乙种办公桌椅共需要3000元”列出方程求解即可； （2）设该政府所花总费用为元，购置甲种办公桌椅套，则购置乙种办公桌椅套，根据“购置甲种办公桌椅的数量不超过乙种办公桌椅数量的1.5倍”求出m的取值范围，用m表示出y，再根据一次函数的增减性即可解题． 【详解】（1）解：设乙种办公桌椅的单价为元， 根据题意，得， 解得， ． 答：甲种办公桌椅的单价为600元，乙种办公桌椅的单价为800元． （2）根据题意，得共需要购置办公桌椅(套)， 设该政府所花总费用为元，购置甲种办公桌椅套，则购置乙种办公桌椅套， 根据题意，得， 解得， 根据题意，得， ， 随的增大而减小， 又是正整数， 当时，该政府所花总费用最少，此时购置乙种办公桌椅(套)． 答：该政府所花总费用最少的购置方案为购置甲种办公桌椅120套，乙种办公桌椅80套． 43. （2024·山西阳泉·三模）项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）一次，；（2）老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的极值问题，对于（1），根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； 对于（2），求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出极值． 【详解】解：（1）观察表格可知老陈醋每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为，将点代入，得 ， 解得， 所以一次函数关系式为． 故答案为：一次函数解析式为； （2）根据题意，得 ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 所以当老陈醋的单价为35元时，最大利润为450元． 44. （2024·山西临汾·二模）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务． 利用二次函数的图象解不等式 我们知道，利用一次函数的图象可以解一元一次不等式，那么对于不等式，如何求它的解集呢？我们可以类比前面的学习经验来解决这个问题． 第一步：画出二次函数的图象． 列表如下： x 0 1 2 3 4 y 5 0 0 5 描点、连线，如图1所示． 第二步：确定二次函数的图象与轴的交点． 由图象可以看出，二次函数的图象与轴的交点为和． 第三步：确定不等式的解集． 由图象可知，当或时，二次函数的图象位于轴的上方，，即， 不等式的解集为或，同理，可得不等式的解集为． 任务： (1)利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是______．（从下面选项中选出一个） A．数形结合思想        B．统计思想        C．公理化思想 (2)请你用阅读材料中的方法解不等式，在如图2所示的平面直角坐标系中，直接画出函数图象，并参照材料中第三步的分析过程写出你的分析过程． 【答案】(1)A (2)不等式的解集为或，画图及过程见解析 【分析】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，掌握数形结合的方法是解本题的关键； （1）根据题干部分的阅读提示可得答案； （2）先构建二次函数，再画二次函数的图象，建立对应的不等式，再利用数形结合的方法解题即可． 【详解】（1）解：利用二次函数的图象解不等式，主要体现的数学思想是数形结合思想． 故选A； （2）画函数的图象如图所示． 列表如下： 描点并连线： 将不等式进一步变形为， 观察图像可知，抛物线与轴相交于和两点， 当或时， 二次函数的图象位于轴下方，此时，即， 不等式的解集为或． 45. （2024·山西晋城·三模）学科实践驱动任务：用数学的眼光观察校园． 研究步骤： ①如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）； ②隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度． 问题解决： (1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？ 【答案】(1)坐标系见解析， (2)第7根与第8根或第5根与第6根 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系、求出函数解析式成为解题的关键． （1）如图：建立的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可． 【详解】（1）解：如图：建立的平面直角坐标系： ， ， 根据题意，得点的横坐标为， 又， ， 设抛物线的函数表达式为， 把，分别代入可得： ，解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：， 当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第t根，则，解得， 第7根与第8根涂色部分的高度差为； 抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间， 由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为． 答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$