专题3.1 三角函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题3.1 三角函数 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：角的概念推广 5 考点二：任意角三角函数 8 考点三：同角三角函数的基本关系 11 考点四：诱导公式 15 【考纲要求】 1. 了解正角、负角和零角的含义；了解角所在象限的判定 方法；了解终边相同的角的概念及判定方法。 2. 了解弧度的定义及弧度制；理解角度制与弧度制的互化，了 解弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。 3. 了解任意角的三角函数：理解任意角的三角函数的定义，理解给定角的三角函数的符号，掌握特殊角的三角函数值。 4. 理解同角三角函数的平方关系和商数关系。 5. 掌握诱导公式。 【考向预测】 主要以选择题、填空题的形式来考查同角三角函数的关系和正弦、余弦函数的基本性质,以解答题的形式来考查解三角形的相关知识。 【知识导图】 【知识清单】 1. 角的有关概念 1. 角的概念的推广 （1） 角是一条射线绕着它的端点在平面内旋转而形成的图形. （2）角的分类 按旋转方向可分为正角(逆时针旋转)、 (没有旋转)和 (顺时针旋转). 若角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则按终边落的位置可分为象限角(终边落在象限内)和界限角(终边落在坐标轴上). （3）象限角和界限角的表示法 第一象限角：{α |k·360°<a<k·360°+90°,k∈Z}; 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 与 y 轴重合的角： 与x 轴重合的角：{α | α=k·180°,k∈Z}. 2.与角α终边相同的角的集合为 2.扇形的弧长和面积 1.弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制.它的单位符号是rad,读作弧度。 2.角度与弧度的互化 360°= rad,180°= rad,1°= 3.扇形的弧长与面积公式 弧长公式：l =_______或 （n为圆心角的度数） 面积公式：或 3.任意角三角函数的概念 1.设α是一个任意角，使它的顶点与坐标原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，设角α的终边上任意一点P（除顶点外）的坐标是(x,y)，它到原点的距离是，那么角α的三角函数的定义如下表： 2.三角函数值的符号 ① 各象限角的三角函数值的正负号的口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” ②终边相同的同名三角函数的值相等，即sin(α+2kπ)=________,其中k∈Z. 公式作用：大化小，负化正. ③特殊角三角函数值如下表 4. 诱导公式 1. 同名三角函数的诱导公式，记忆口诀：“函数名不变，符号看想先”.设α为锐角。 （1） 第一象限角的诱导公式 ，其中k∈Z （2） 第二象限角的诱导公式 （3） 第三象限角的诱导公式 （4） 第四象限角的诱导公式 2. 互余两角三角函数的诱导公式 ，其中α为锐角。 【考点分类剖析】 考点一：角的概念推广 典例分析 例1．角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】直接由任意角、象限角的定义即可得解. 【详解】，故角是第三象限角． 故选：C． 例2．下列命题中，正确的是（    ） A．第一象限的角必是锐角 B．终边重合的角必相等 C．相等角的终边位置必重合 D．不相等的角其终边位置必不重合 【答案】C 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义，举反例或直接进行判断可得最后结果. 【详解】对于A，的终边在第一象限，但不是锐角，故A错误； 对于B，和的终边相同，但两角不等，故B错误； 对于C，相等角的终边位置必重合，C正确； 对于D，和不相等，和的终边相同，故D错误； 故选：C. 例3．在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由终边相同的角的定义计算即可得. 【详解】，而其它项对应角都不满足. 故选：B. 例4．将下列角度与弧度进行互化： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【分析】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 例5．（1）在直径为20cm的圆中，圆心角为，求弧长. （2）弧长为，圆心角为135°的扇形，求半径和面积. 【答案】（1）；（2）4； 【分析】（1）根据弧长公式计算即可. （2）根据扇形面积公式计算即可. 【详解】（1）由弧长公式可得， 弧长为. （2）因为， 所以扇形的半径为，面积为. 变式探究 1．已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为 （填序号）. 【答案】④ 【分析】利用终边相同的角转化到靠近角，再进行判断. 【详解】对于①：因为，所以为第二象限角； 对于②：因为，所以为第四象限角； 对于③：因为，所以为第三象限角； 对于④：因为，所以为第一象限角. 故答案为：④. 2．找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角： (1)； (2)． 【答案】(1)与角的终边重合，第四象限角； (2)与角的终边重合，第二象限角. 【分析】（1）（2）将给定角写成，即可求解得答案. 【详解】（1），且， 所以角与角的终边重合，它是第四象限角. （2），且， 所以角与角的终边重合，它是第二象限角. 3．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5 （1）求该扇形的面积； （2）求该扇形中心角的弧度数． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】（1）根据扇形面积公式直接计算；（2）根据扇形弧度数公式计算求值. 【详解】解：（1） ，，； （2） 【点睛】本题考查弧度制，扇形面积，重点考查基本公式，属于基础题型. 4．将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)；(5) 【答案】(1)15330°(2)(3)(4)(5)690° 【分析】根据角度与弧度制的转化公式即可逐一求解 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） 考点二：任意角三角函数 典例分析 例1．已知角的终边经过点，则 ， ， ． 【答案】 /-0.5 / / 【分析】根据三角函数的定义求得正确答案. 【详解】因为，所以， 由三角函数的定义知，，． 故答案为：；； 例2．若角的顶点为坐标原点，始边在轴正半轴上，且，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】结合且，根据三角函数的定义即可判断. 【详解】因为，所以的终边在第三、四象限或轴负半轴上， 因为，所以的终边在第一、三象限，所以的终边在第三象限. 故选：C 例3．求下列各角的正弦、余弦和正切． (1)0； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) ，0，的正切不存在． 【分析】在角的终边上取一特殊点，由三角函数的定义即可求得答案. 【详解】（1）角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点， 所以，因此． （2）角的终边在x轴负半轴上，在x轴的负半轴上取点， 所以，因此． （3）角的终边在y轴负半轴上，在y轴的负半轴上取点， 所以，因此，，的正切值不存在． 变式探究 1．为终边上一点，则 . 【答案】/0.8 【分析】由余弦的定义可直接求解. 【详解】. 故答案为：. 2．如图已知角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值．    【答案】，，． 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意可得，，则， 所以，，． 3．下列函数值其结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断选项所给的角是第几象限角，根据三角函数值在各个象限的符合即可得结果. 【详解】，所以为第一象限角，故，故不符合题意； ，所以为第四象限角，故，故不符合题意； ，所以为第二象限角，故，故符合题意； ，所以为第二象限角，故，故不符合题意； 故选：. 4．确定下列正弦、余弦、正切值的符号： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用诱导公式以及三角函数的象限符号即可求解. 【详解】（1）因为是第二象限角，所以； （2）因为，即是第三象限角，所以； （3）因为，即是第四象限角，所以. 5．求值：（1）sin 180°＋cos 90°＋tan 0°； （2）. 【答案】（1） 0；（2）. 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可求解. （2）利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】（1）sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. （2） ＝ ＝ . 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、诱导公式，需熟记公式以及特殊角的三角函数值，属于基础题. 考点三：同角三角函数的基本关系 典例分析 例1．若是第二象限角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的基本关系式，准确计算，即可求解. 【详解】因为若是第二象限角，且 ， 所以. 故选：D. 例2．已知是第二象限角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由α是第二象限角可得，再由同角三角函数的基本关系，即可得答案. 【详解】任意角的三角函数 ∵，∴， ，是第二象限角∴. 故选：A 例3.已知，求． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的商数关系计算正、余弦齐次式. 【详解】已知，则． 例4.已知，求下列各式的值， （1）；（2）. 【答案】（1）-1；（2） 【分析】（1）由题意可得，将原式化为含的表达式，代入可得答案； （2）将原式化为含的表达式，代入可得答案. 【详解】解：由题意得：，可得， 可得（1）； （2） 【点睛】本题主要考查三角恒等变化，相对简单，得出代入各式子是解题的关键. 例5.已知和是关于x的方程的两实根，且． (1)求m的值； (2)求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据韦达定理及同角关系式化简即得； （2）由题可得，然后根据同角关系式将弦化切，计算即可求得. 【详解】（1）由题可知， 又， 得． （2）因为且， 则且，而， 解得（舍）或．综上，． 变式探究 1．若为第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系求解即可. 【详解】由题意，. 故选：D 2．已知，且为第二象限角，则= ；= . 【答案】 ； 【分析】根据角的范围可得正余弦的符号，利用同角三角函数关系可求得结果. 【详解】为第二象限角    ， 由得： 本题正确结果：； 【点睛】本题考查同角三角函数值的求解，易错点是忽略角的范围，造成符号求解错误. 3.已知，求的值． 【答案】 【分析】分子分母同时除以即可. 【详解】由于有意义，则， 对表达式分子分母同时除以， 则 4.已知，计算： （1）     （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据可知，则分式上下同时乘以，整理可得，代入可得答案；（2）分式上下同时乘以，整理可得，代入可得答案. 【详解】解： 解：（1）∵  ∴    ∴原式=== （2）原式= 5.已知，，求的值． 【答案】 【分析】两边平方得到，进而求出， 结合角的范围和得到，从而求出答案. 【详解】两边平方得， 即，故， ， 又，，故，， 故. 考点四：诱导公式 典例分析 例1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 例2．化简：. 【答案】 【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】根据三角函数诱导公式，可得： . 变式探究 1．求值： (1)； (2)； (3)； (4)，求. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用三角函数诱导公式计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4），∴. 2．已知，求的值. 【答案】3 【分析】根据题意，由诱导公式化简，化为正切的齐次式，代入计算，即可求解. 【详解】原式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 三角函数 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：角的概念推广 5 考点二：任意角三角函数 6 考点三：同角三角函数的基本关系 7 考点四：诱导公式 8 【考纲要求】 1. 了解正角、负角和零角的含义；了解角所在象限的判定 方法；了解终边相同的角的概念及判定方法。 2. 了解弧度的定义及弧度制；理解角度制与弧度制的互化，了 解弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。 3. 了解任意角的三角函数：理解任意角的三角函数的定义，理解给定角的三角函数的符号，掌握特殊角的三角函数值。 4. 理解同角三角函数的平方关系和商数关系。 5. 掌握诱导公式。 【考向预测】 主要以选择题、填空题的形式来考查同角三角函数的关系和正弦、余弦函数的基本性质,以解答题的形式来考查解三角形的相关知识。 【知识导图】 【知识清单】 1. 角的有关概念 1. 角的概念的推广 （1） 角是一条射线绕着它的端点在平面内旋转而形成的图形. （2）角的分类 按旋转方向可分为正角(逆时针旋转)、 (没有旋转)和 (顺时针旋转). 若角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，则按终边落的位置可分为象限角(终边落在象限内)和界限角(终边落在坐标轴上). （3）象限角和界限角的表示法 第一象限角：{α |k·360°<a<k·360°+90°,k∈Z}; 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 与 y 轴重合的角： 与x 轴重合的角：{α | α=k·180°,k∈Z}. 2.与角α终边相同的角的集合为 2.扇形的弧长和面积 1.弧度制的定义 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制.它的单位符号是rad,读作弧度。 2.角度与弧度的互化 360°= rad,180°= rad,1°= 3.扇形的弧长与面积公式 弧长公式：l =_______或 （n为圆心角的度数） 面积公式：或 3.任意角三角函数的概念 1.设α是一个任意角，使它的顶点与坐标原点重合，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，设角α的终边上任意一点P（除顶点外）的坐标是(x,y)，它到原点的距离是，那么角α的三角函数的定义如下表： 2.三角函数值的符号 ① 各象限角的三角函数值的正负号的口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” ②终边相同的同名三角函数的值相等，即sin(α+2kπ)=________,其中k∈Z. 公式作用：大化小，负化正. ③特殊角三角函数值如下表 4. 诱导公式 1. 同名三角函数的诱导公式，记忆口诀：“函数名不变，符号看想先”.设α为锐角。 （1） 第一象限角的诱导公式 ，其中k∈Z （2） 第二象限角的诱导公式 （3） 第三象限角的诱导公式 （4） 第四象限角的诱导公式 2. 互余两角三角函数的诱导公式 ，其中α为锐角。 【考点分类剖析】 考点一：角的概念推广 典例分析 例1．角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例2．下列命题中，正确的是（    ） A．第一象限的角必是锐角 B．终边重合的角必相等 C．相等角的终边位置必重合 D．不相等的角其终边位置必不重合 例3．在内，与角终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 例4．将下列角度与弧度进行互化： (1)；(2)；(3)；(4)． 例5．（1）在直径为20cm的圆中，圆心角为，求弧长. （2）弧长为，圆心角为135°的扇形，求半径和面积. 变式探究 1．已知：①，②，③，④，其中是第一象限角的为 （填序号）. 2．找出与下列各角的终边重合的角，并判别下列各角是第几象限的角： (1)； (2)． 3．一个扇形的所在的圆的半径为5，该扇形的弧长为5 （1）求该扇形的面积； （2）求该扇形中心角的弧度数． 4．将下列角度与弧度进行互化： (1)； (2)； (3)； (4)；(5) 考点二：任意角三角函数 典例分析 例1．已知角的终边经过点，则 ， ， ． 例2．若角的顶点为坐标原点，始边在轴正半轴上，且，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3．求下列各角的正弦、余弦和正切． (1)0；(2)；(3) 变式探究 1．为终边上一点，则 . 2．如图已知角的终边经过点，求的正弦、余弦和正切值．    3．下列函数值其结果为负值的是（    ） A． B． C． D． 4．确定下列正弦、余弦、正切值的符号： (1)；(2)；(3). 5．求值：（1）sin 180°＋cos 90°＋tan 0°； （2）. 考点三：同角三角函数的基本关系 典例分析 例1．若是第二象限角，且，则等于（    ） A． B． C． D． 例2．已知是第二象限角，，则等于（    ） A． B． C． D． 例3.已知，求． 例4.已知，求下列各式的值， （1）；（2）. 例5.已知和是关于x的方程的两实根，且． (1)求m的值； (2)求． 变式探究 1．若为第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，且为第二象限角，则= ；= . 3.已知，求的值． 4.已知，计算： （1）     （2） 5.已知，，求的值． 考点四：诱导公式 典例分析 例1．计算： (1)； (2)； (3)． 例2．化简：. 变式探究 1．求值： (1)； (2)； (3)； (4)，求. 2．已知，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$