专题2.2 指数函数与对数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题2.2 指数函数与对数函数 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：根式与实数指数幂运算 4 考点二：指数函数及其性质 6 考点三：对数运算 10 考点四：对数函数及其性质 12 考点五：指对函数的应用 14 【考纲要求】 1. 了解n次根式、分数指数幂，有理数指数幂的概念，了解实数指数幂的运算法则。 2. 了解指数函数的定义；理解指数函数的图像和性质。 3. 了解对数的概念及性质，了解指数与对数的关系。了解积商幂的对数及运算法则。 4. 了解对数函数的定义、图像和性质。 5. 初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、对数函数模型解决简单实际问题的方法。 【考向预测】 主要考察指数函数、对数函数的图像和性质。 【知识导图】 【知识清单】 1. 根式与实数指数幂运算 1. n次方根 （1） 定义：如果，那么叫做a的n次方根. （2） 0的n次方跟等于0. （3） . （4） 负数没有偶次方根. 2. 有理数指数幂与根式的互换 （1） （2） 3. 指数幂的运算法则 （1） （2） （3） （4） 2.指数函数及其性质 1. 定义:形如的函数叫做指数函数. 2. 图像和性质 巧记：“大1增，小1减，图像恒过(0,1)点” 3.对数运算 1. 对数的概念：若，则.特别地，. 2. 对数的运算法则 3. 对数的换底公式 特别地，. 4.对数函数及其性质 1. 定义：形如的函数叫做对数函数. 2. 图像和性质 【考点分类剖析】 考点一：根式与实数指数幂运算 典例分析 例1．若，，则 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 例2．计算 . 【答案】/ 【分析】由分数指数幂以及根式的运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 例3．化简： ．（，） 【答案】 【分析】根据指数幂的运算可得答案. 【详解】原式. 故答案为：. 变式探究 1．化简求值: (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则得到答案； （2）利用分数指数幂的运算法则得到答案. 【详解】（1）； （2） = 2．计算：. 【答案】 【分析】根据根式与指数幂的运算即可得到答案. 【详解】原式. 3．（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）108；（2）2 【分析】根据指数的运算性质分别计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，所以， 所以. 考点二：指数函数及其性质 典例分析 例1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 例2．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 例3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因为，，所以. 又，所以. 故选：A. 例4．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分析可知函数在区间上单调递增，结合单调性求最值. 【详解】因为在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：A. 例5．函数是指数函数，求的值． 【答案】 【分析】根据指数函数的定义直接求解即可. 【详解】由是指数函数， 可得，解得． 例6．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据质数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为在R上单调递增， 所以, 即 解得, 所以原不等式的解集为. （2）因为， 所以原不等式等价于, 因为在R上单调递减, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 变式探究 1．给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的定义逐个选项分析即可. 【详解】对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确. 故选：D 2．如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把给定的点代入指数函数解析式求解即得. 【详解】由函数 的图象经过点 ，得，解得， 所以数 的值为2. 故选：A 3．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将分别与中间值比较大小即得. 【详解】因函数是减函数，故， 又是增函数，故， 而函数在上是增函数，故， 故得. 故选：A. 4．若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 5．解不等式：（其中且）． 【答案】答案见解析 【分析】对分类讨论，再结合指数函数单调性解不等式即可求解. 【详解】当时，； 当时，． 综上，当时，解集为；时，解集为． 6．已知函数（为常数，且），且. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入函数解析式可得答案； （2）利用指数函数单调性可得答案. 【详解】（1）因为函数所以，即. （2）由（1）知，. 因为，所以，所以的解集为. 考点三：对数运算 典例分析 例1．计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质及对数恒等式计算即可 【详解】 故选：A 例2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） （2） （3）. 变式探究 1．若，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由对数的运算规则，求解方程. 【详解】由，得，即，解得. 故选：B 2．计算下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂运算法则直接计算即可； （2）根据对数运算法则直接计算即可. 【详解】（1）原式 （2）原式 考点四：对数函数及其性质 典例分析 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 故选：B 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对数函数的知识得出的范围即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 因此， 故选：B. 例3．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故答案为： 变式探究 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的概念可得，解之即可求解. 【详解】由，解得， 即函数的定义域为. 故选：A 2．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊值比较大小，得出的大小 【详解】因为， 所以， 故选：B. 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)解不等式. 【答案】(1)； (2). 【分析】根据对数函数的定义域建立不等式组，求解即可； 根据函数的单调性和定义域求解. 【详解】（1）依题意有解得， ∴的定义域为； （2）∵，∴， ∴，解得， 又∵，∴. 不等式 的解集为. 4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1)且 (2)且 【分析】由对数函数的性质求解即可. 【详解】（1）要使函数式有意义，需，解得且， 故函数的定义域是且． （2）要使函数式有意义，需，解得且． 故函数的定义域是且． 考点五：指对函数的应用 典例分析 例1．某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据指数式的运算求解. 【详解】由题可知，所以， 经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得， 故选:C. 例2．世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（    ）（参考数据​，​） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】A 【分析】根据增长型模型的指数表示即可求解. 【详解】设40年前人口数为，则现在人口数为， 假设每年的增长率为， 则经过40年增长人口数为​，即， ​， ​， ​， ​. 故选::A. 变式探究 1．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过小时，这种细菌由个可繁殖(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据题意，建立该种细菌分裂的个数的数学模型，求出经过3小时，细菌分裂6次的细菌个数即可． 【详解】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64． 故选：D． 2．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：）（    ） A．12块 B．13块 C．14块 D．15块 【答案】C 【分析】先求得光通过块玻璃后强度的解析式，以强度为原来的以下列不等式，解不等式求得需要至少通过的玻璃数. 【详解】设光原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为. 光通过1块玻璃后，强度， 光通过2块玻璃后，强度， … 光通过块玻璃后，强度. 由题意得，即，两边同时取对数，可得. ∵，∴. 又，∴至少需要通过块这样的玻璃，光的强度能减弱到原来的以下. 故选C. 【点睛】本小题主要考查指数函数模型的运用，考查指数不等式的解法，考查对数运算，考查运算求解能力，属于中档题. 3．已知2016年我国国内生产总值为a，设以后每年的年平均增长率为b，试写出x年后国内生产总值y和x之间的函数关系式. 【答案】 【分析】由每年国内生产总值是上一年的倍得出函数关系式. 【详解】因为每年的年平均增长率为b，所以年开始，每年国内生产总值是上一年的倍，所以x年后国内生产总值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 指数函数与对数函数 【考向预测】v c vv c v 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：根式与实数指数幂运算 4 考点二：指数函数及其性质 5 考点三：对数运算 7 考点四：对数函数及其性质 7 考点五：指对函数的应用 8 【考纲要求】 1. 了解n次根式、分数指数幂，有理数指数幂的概念，了解实数指数幂的运算法则。 2. 了解指数函数的定义；理解指数函数的图像和性质。 3. 了解对数的概念及性质，了解指数与对数的关系。了解积商幂的对数及运算法则。 4. 了解对数函数的定义、图像和性质。 5. 初步掌握从实际情境中抽象出指数函数、对数函数模型解决简单实际问题的方法。 【考向预测】 主要考察指数函数、对数函数的图像和性质。 【知识导图】 【知识清单】 1. 根式与实数指数幂运算 1. n次方根 （1） 定义：如果，那么叫做a的n次方根. （2） 0的n次方跟等于0. （3） . （4） 负数没有偶次方根. 2. 有理数指数幂与根式的互换 （1） （2） 3. 指数幂的运算法则 （1） （2） （3） （4） 2.指数函数及其性质 1. 定义:形如的函数叫做指数函数. 2. 图像和性质 巧记：“大1增，小1减，图像恒过(0,1)点” 3.对数运算 1. 对数的概念：若，则.特别地，. 2. 对数的运算法则 3. 对数的换底公式 特别地，. 4.对数函数及其性质 1. 定义：形如的函数叫做对数函数. 2. 图像和性质 【考点分类剖析】 考点一：根式与实数指数幂运算 典例分析 例1．若，，则 ． 例2．计算 . 例3．化简： ．（，） 变式探究 1．化简求值: (1)； (2)． 2．计算：. 3．（1）计算：； （2）已知，求的值. 考点二：指数函数及其性质 典例分析 例1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 例3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例4．函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例5．函数是指数函数，求的值． 例6．求下列不等式的解集： (1)； (2)． 变式探究 1．给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（    ） A． B． C． D． 3．设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．解不等式：（其中且）． 6．已知函数（为常数，且），且. (1)求的值； (2)解不等式. 考点三：对数运算 典例分析 例1．计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 例2．求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 变式探究 1．若，则（    ） A． B． C． D．5 2．计算下列各式的值 (1) (2) 考点四：对数函数及其性质 典例分析 例1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则（    ） A． B． C． D． 例3．不等式的解集为 ． 变式探究 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)解不等式. 4．求下列函数的定义域： (1)； (2)． 考点五：指对函数的应用 典例分析 例1．某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 例2．世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（    ）（参考数据​，​） A．​ B．​ C．​ D．​ 变式探究 1．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过小时，这种细菌由个可繁殖(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知光通过一块玻璃，强度要损失10%.那么要使光的强度减弱到原来的以下，则至少需要通过这样的玻璃（参考数据：）（    ） A．12块 B．13块 C．14块 D．15块 3．已知2016年我国国内生产总值为a，设以后每年的年平均增长率为b，试写出x年后国内生产总值y和x之间的函数关系式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$