精品解析：江苏省常州市教科院附属高级中学2025届高三上学期期初调研数学试卷

常州市教科院附属高级中学 2024～2025学年第一学期高三年级期初调研 数 学 试 卷 命题人：xxx 审卷人：xxx 2024.08 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，即可根据集合间关系求解. 【详解】由得，由可得， 故，其它都不正确. 故选：B 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式和恒等变换进行化简，再利用任意角三角函数求解即可. 【详解】由题意得，所以.故选：B. 3. 已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为，则， 于是，而，则， 所以向量与向量的夹角为. 故选：C 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A. 100 B. 230 C. 130 D. 365 【答案】B 【解析】 【分析】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍，依题意可得，根据指数对数的关系及换底公式计算可得. 【详解】设大约经过天“进步值”大约是“退步值”的倍， 此时“进步值”为，“退步值”为，即， 所以，则， 所以天． 故选：B 5. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 6. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数由复合而成，结合复合函数单调性判断在区间上是增函数，即可求得答案. 【详解】由题意知函数由复合而成， 在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数， 可知在区间上增函数，故， 即实数的取值范围是， 故选：B 7. 已知函数是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断的零点个数. 【详解】因为函数是R上的偶函数，所以， 所以关于直线对称， 因为，时， 由，当时，，故， 又关于直线对称，所以， 由对称性可得在上的大致图象如下图所示， 则在区间的零点个数为9. 故选：C. 8. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解. 【详解】取代入， 得即，由题解得， 令代入得， 故， 所以是周期为6的周期函数， 又，，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用期望与方差的性质结合正态分布的性质计算一一判定选项即可. 【详解】A选项：，故A正确； B选项：，故B错误； C选项：由正态分布密度曲线知其关于对称， 利用对称性知，故C正确； D选项：因为， 所以，，故D错误. 故选：AC 10. 下列式子结果为是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用即可得①正确；，进而利用正弦和角公式即可得②正确；由与正切的和差角公式即可得③正确④错误. 详解】对于①，由于， 所以 ； 对于②，由于， 所以； 对于③，因为， ； 对于④，因为， ； 故选：ABC 11. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用“巧值点”的定义，一一验算即可. 【详解】对于A：∵，∴，令，即，解得：x=0或x=2，故有“巧值点”. 对于B：∵，∴，令，即，无解，故没有“巧值点”. 对于C：∵，∴，令，即，由和 的图像可知， 二者图像有一个交点，故有一个根，故有“巧值点”. 对于D：∵，∴，令，即，可得，无解，故没有“巧值点”. 故选：AC 【点睛】数学中的新定义题目解题策略： (1)仔细阅读，理解新定义的内涵； (2)根据新定义，对对应知识进行再迁移. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得. 【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 显然，设切点， 由，解得. 故答案为：2 13. 已知函数的图象与直线在上有个交点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，联系余弦函数在上的单调性分析导函数的正负，由此得到函数的单调性，数形结合即可求解. 【详解】 函数的导函数为， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，在上，当时，取得极大值为，当时，极小值为； 在上，当时，取得极大值为，当时，极小值为 所以函数的图象与直线在上有个交点，则实数的取值范围为， 故答案为： 14. 已知函数其中，，的部分图象如下图所示，若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图像可求出函数，然后根据求解函数的零点存在的值并结合区间上只有两个零点，从而求解. 【详解】由图象对称性可知，函数的图象与轴正半轴第一个交点的横坐标为， 由图可知为其对称轴，则，解出， 由于，故，，则，，因为，所以， 于是，由于，故，因此， 易知， 因为在，上有且仅有两个零点，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知都是锐角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）因为都是锐角，而，可得 ，由同角三角函数基本关系式得 ；（2）凑角可得 ，由两角差的余弦公式展开，代值即可得解. 试题解析：（1）因为，所以， 又因为，所以. 利用同角三角函数的基本关系可得，且， 解得. （2）由（1）可得，. 因为为锐角，，所以. 所以 . 16. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. （1）求摸出的球是黑球的概率； （2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【答案】（1） （2）该球取自乙箱的可能性更大 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率； （2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论. 【小问1详解】 记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则， 由全概率公式得： . 【小问2详解】 该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率 该球取自乙箱的概率 因为所以该球取自乙箱的可能性更大. 17. 已知三棱锥平面，为的中点，为延长线上一点. （1）证明：； （2）当二面角余弦值大小为时，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直即可. （2）建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 因为平面平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为面，所以，又因为为的中点，， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以； 【小问2详解】 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 设， 取平面的法向量， 设平面的法向量， 因为， 由，则，令，解得， 所以，由， 得，解得或，故或. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得； （2）将函数有两个零点，转化为与有两个交点问题，利用导数研究并作出函数的图象，即得的取值范围； （3）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，时，时，； 当时，时，； 当时，时，；时； 当时，时；时； 综上，时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 【小问2详解】 令得， 设，则， 当时，在上递减；当时，在上递增， 则. 又因时，时，作出函数的图象， 由图可得，要使直线与函数的图象有两个交点，须使， 即，故的取值范围是. 【小问3详解】 由得， 因，即得，（*）， 易得时，不等式成立， 设，， 则， 当时，，函数在上单调递增，故，（*）恒成立； 当时，设， 则方程有两根，，可得 当时，，则，在上单调递减； 又，所以当时，，不满足条件， 综上，的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的零点和不等式恒成立问题，属于难题. 对于函数零点的探究，一般考虑参变分离法，不易分离变量的则考虑根据参数，分析讨论函数的图象性质判断求解；对于由不等式恒成立的求参问题，一般是分离变量后，将其转化为求函数的最值问题解决，对于不易转化时，可以通过构造函数，根据参数范围，讨论函数不等式何时恒成立. 19. 设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个数列． （1）若数列为，写出所有的数列； （2）如果数列公差为，证明：； （3）记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：． 【答案】（1）2，3，1，4；3，2，4，1 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“数列”的定义求解即可； （2）由题知，为的最大值或最小值的一个排列，则有为的最大值或最小值的一个排列，分类讨论即可证明； （3）由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列，则任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为，所以． 【小问1详解】 由数列的定义知，的数列为：2，3，1，4；3，2，4，1． 【小问2详解】 对于项的数列一个数列， 因为对于，均有， 所以， 所以不是所有项中的最大值或最小值， 所以为的最大值或最小值的一个排列， 考虑中去掉后的数列， 同理若数列为数列的一个数列， 则有为的最大值或最小值的一个排列， 以此类推，当时， ①若为最大值，则为最小值，则， 所以，； ②若为最大值，则为最小值，则， 所以，， 综上，． 【小问3详解】 由（2）知，数列任意元子集必存在2个数列， 因此任意取项的排列数为，而为数列的数列的个数为， 所以， 因为， 所以，， 所以． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于理解数列的定义，证明第（2）问中，由定义得出所以，且为的最大值或最小值的一个排列是解题关键；证明（3）时，得出数列任意元子集必存在2个数列是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市教科院附属高级中学 2024～2025学年第一学期高三年级期初调研 数 学 试 卷 命题人：xxx 审卷人：xxx 2024.08 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（ ）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，） A. 100 B. 230 C. 130 D. 365 5. 已知，则（ ）． A B. C. D. 6. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知随机变量服从正态分布，则以下选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 10. 下列式子结果为的是（ ） ①； ②； ③； ④． A. ① B. ② C. ③ D. ④ 11. 已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在处切线恰好是曲线的切线，则实数______. 13. 已知函数的图象与直线在上有个交点，则实数的取值范围为__________． 14. 已知函数其中，，的部分图象如下图所示，若在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．除特别说明外，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知都是锐角，且，. （1）求的值； （2）求的值. 16. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. （1）求摸出的球是黑球的概率； （2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 17. 已知三棱锥平面，为的中点，为延长线上一点. （1）证明：； （2）当二面角余弦值大小为时，求的长. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求取值范围； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 设为大于3的正整数，数列是公差不为零的等差数列，从中选取项组成一个新数列，记为，如果对于任意的，均有，那么我们称数列为数列的一个数列． （1）若数列为，写出所有的数列； （2）如果数列公差为，证明：； （3）记“从数列中选取项组成一个新数列为数列的数列”的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $