精品解析：安徽省蚌埠市2024-2025学年高三上学期开学调研考试数学试题

蚌埠市2025届高三调研性考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为Z，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设，为夹角是锐角单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成图形中，平行四边形共有（ ） A. 25个 B. 36个 C. 100个 D. 225个 7. 某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数．下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线轴对称 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位得到正弦曲线 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别，，则组数据比组数据的线性相关性更强 B. 现有10个互不相等的样本数据，去掉其中最大和最小的数据后，剩下的8个数据的分位数大于原样本数据的分位数 C. 由样本数据点求得的回归直线至少经过其中一个样本数据点 D. 若随机变量，随机变量，则 11. 已知抛物线焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为．过点，分别向的准线作垂线，垂足分别为点，，过点向的准线作垂线，交抛物线于点，交准线于点，为坐标原点，则（ ） A. 以为直径的圆与直线相切 B. C. 当时，点，，共线 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的实轴长与虚轴长的比为2，则该双曲线的离心率为_________． 13. 的展开式中的系数为_________． 14. 已知正方体的底面内有一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达正方形的一个顶点，其中到达相邻顶点的概率为，到达对角顶点的概率为，则移动两次后，“为正方体的对角线”的概率是_________；对任意，移动次后，”平面”的概率是_________． 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处切线方程； （2）设函数，求的最值． 16. 已知的内角的对边分别为，，，点是边的中点，，且的面积为2． （1）若，求； （2）若，求． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，．平面平面，点在棱上． （1）若平面与棱交于点，求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 19. 如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”． （1）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记． ①求数列的前项和； ②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论； （2）设项正数数列“凸数列”，求证：，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蚌埠市2025届高三调研性考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为Z，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出补集，再求交集即可. 【详解】，则，则. 故选：B. 2. 已知i为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先求出复数，再进行判断即可. 【详解】由题意：， 所以复数对应的点的坐标为：，在第一象限. 故选：A 3. 设，为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合的方法确定向量的位置关系. 【详解】如图： 设，，四边形为平行四边形，则，. 因为，为夹角是锐角的单位向量，所以为菱形，故， 所以，即与的夹角为. 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】两个式子两边平方后再相加即可. 【详解】因为, 两边平方得， 同理可得, 两边同时相加得, 即, 所以， 故选：C. 5. 设函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性及一次函数，二次函数的单调性计算即可. 【详解】由题意可得：， 故实数的取值范围是. 故选：A. 6. 在直角坐标平面中，平行直线与平行直线组成的图形中，平行四边形共有（ ） A. 25个 B. 36个 C. 100个 D. 225个 【答案】D 【解析】 【分析】从平行直线中选2条，再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形，从而确定平行四边形个数. 【详解】从平行直线中选2条， 再从平行直线选2条，即可确定1个平行四边形， 所以可确定平行四边形的个数为：个. 故选：D 7. 某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均相切，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆台的上下底半径与高，再利用体积公式求解. 【详解】如图，作圆台的轴截面： 设，则，过作于，则， 又，， 在中，. 所以圆台的体积为：. 故选：C 8. 从解决一元二次方程到解决一元三次方程，人类历经数千年，直到公元16世纪，意大利数学家费罗（1465－1526）、塔尔塔利亚（1500－1557）等人出现，人们才彻底掌握实系数的一元三次方程的求根公式．其过程是先发现了形如的三次方程的求解方法，再将一般形式的一元三次方程转化为形如的三次方程．求解形如的三次方程的具体方法是利用恒等式，作变换：，转化为关于，的二次方程就可以得到，的值，进而求出未知数的值．利用此方法求解方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，则根据题意的，解方程得到的值，然后还原成即可. 【详解】因为， 令，则， 即 依题意 即， 所以， 整理得,即 解得或 当时，，即； 当时，，即 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数．下列说法正确的是（ ） A. 图象关于直线轴对称 B. 在区间内单调递增 C. 的图象关于点中心对称 D. 将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移个单位得到正弦曲线 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的图象和性质可判断ABC 的真假，根据函数的图象变换判断D的真假. 【详解】对A：因为，是函数的最大值，所以是函数的对称轴，故A正确； 对B：由，，可得：，. 所以函数在上递增，在上递减，故B错误； 对C：因为，所以是函数的对称中心，故C正确； 对D：将图象上各点先横坐标扩大为原来的2倍，可得的图象， 再向右平移个单位得到的图象为正弦型曲线，不是正弦曲线，故D错. 故选：AC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，两组成对数据的样本相关系数分别，，则组数据比组数据的线性相关性更强 B. 现有10个互不相等的样本数据，去掉其中最大和最小的数据后，剩下的8个数据的分位数大于原样本数据的分位数 C. 由样本数据点求得的回归直线至少经过其中一个样本数据点 D. 若随机变量，随机变量，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A,相关系数的绝对值越大，相关性越强，据此判断A;对于B,将数据从小到大排列后，原样本数据的分位数为第三位数，新样本数据的分位数为第二位、第三位数的平均数，由此可判断B;对于C,回归直线一定经过样本点中心，但不一定至少经过一个样本点;对于D,根据方差的性质计算即可. 【详解】对于A，因为,所以组数据比组数据的线性相关性更强，A正确； 对于B，将数据从小到大排列后，原样本数据的分位数为第三个数据， 新样本数据的分位数为第二、三位数的平均数，即原样本数据中的第三、四位数据的平均数， 因为这些数据互不相等，所以新数据的分位数大于原样本数据的分位数，B正确； 对于C，回归直线一定经过样本点中心，但不一定至少经过一个样本点，C错误； 对于D，因为,所以, 因为,所以，D正确. 故选：ABD. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，线段的中点为．过点，分别向的准线作垂线，垂足分别为点，，过点向的准线作垂线，交抛物线于点，交准线于点，为坐标原点，则（ ） A. 以为直径的圆与直线相切 B. C. 当时，点，，共线 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设直线：，代入抛物线方程，利用一元二次方程根与系数的关系，得到各点的坐标，利用向量的方法进行判断各选项的真假. 【详解】如图： 设直线：，带入，并整理得：. 设，，则，，. 所以，，，， . 则， . 所以，，所以以为直径的圆与直线相切，故A正确； 又，，所以，故B正确； ，，因为，所以直线与直线不平行，所以不成立，故D错误； 对D：如图： 当时，因为，所以为等边三角形，又，所以或， 当时，，则，，， 所以，， 因为,所以点，，共线； 当时，同理可证点，，共线. 故C正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：再选择填空题中，有关圆锥曲线的问题，一定要先考虑圆锥曲线定义的应用.该题就考查了抛物线的定义的应用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的实轴长与虚轴长的比为2，则该双曲线的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知，故，所以离心率为. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为_________． 【答案】80 【解析】 【分析】把已知多项式展开得，再利用二项式的通项求解即可. 【详解】， 二项式的通项为， 令得，， 的展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知正方体的底面内有一个动点，初始位置位于点处，每次移动都会到达正方形的一个顶点，其中到达相邻顶点的概率为，到达对角顶点的概率为，则移动两次后，“为正方体的对角线”的概率是_________；对任意，移动次后，”平面”的概率是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意求出概率的递推关系，进一步求通项公式即可. 【详解】如图： 设移动次后，点移动到的概率分别为，，，， 则，，，，， ， 所以， ，又，所以. 所以. 所以 所以 又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 故 又，所以. 移动两次后，“为正方体的对角线”，表示点移动到点 ，所以概率为：； 移动次后，”平面”，表示点移动到点，所以概率为：. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：可设移动次后，点移动到的概率分别为，，，，根据题意，先求数列的首项和数列的递推关系，解方程组，可求数列的通项公式. 四、解答题：本题共5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数，求的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，没有最大值． 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，由函数的单调性，即可计算极值即可求解. 【小问1详解】 由， 则，又， 所求切线方程为， 即． 【小问2详解】 ，定义域为， 所以， 列表如下： 2 － 0 ＋ 因此的最小值为，没有最大值． 16. 已知的内角的对边分别为，，，点是边的中点，，且的面积为2． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，再用三角形面积公式可解得的值，在中，由余弦定理可求出的值，继而可求出； （2）利用与的互补关系，在和中运用余弦定理，结合题意可得的值，由面积公式可得，再由余弦定理可得，从而可得的值，由的范围即可求解. 【小问1详解】 因为点是边的中点，所以． 而， 由，，解得． 在中，由余弦定理，， 解得，则． 小问2详解】 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，， 而，，， 所以，解得． 又，得， 在中，由余弦定理，， 得， 所以， ， 则． 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，．平面平面，点在棱上． （1）若平面与棱交于点，求证：平面； （2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用线面平行判断得到平面，再用线面平行性质得到，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，，根据题意得到平面的法向量为，而平面的法向量为，运用向量夹角公式求出．进而运用向量法求出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以， 又平面，平面，则平面． 点在线段上，平面与线段交于点， 所以平面平面，而平面，所以． 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，，如图所示， 由条件，正三角形，， 则，，， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 而，得．在中，，结合勾股定理易得． 以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，，则 ， 所以点，，， 设平面的法向量为， 由取，则，， 平面的法向量为，而平面的法向量为， 故， 解得（舍负），所以． 设直线与平面所成角为， ． 18. 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点． ①求证：点在定直线上； ②求面积的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆过两个点，求椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用一元二次方程根与系数的关系，得，点坐标的关系，进一步，的坐标，表示出直线与直线的方程，求其交点即可；再利用换元法，结合基本（均值）不等式可求面积的最大值． 【小问1详解】 设椭圆的方程为，代入已知点的坐标， 得：，解得，所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如图： ①设直线的方程为，并记点，，， 由消去，得， 易知 则，． 由条件，，，直线的方程为， 直线的方程为， 联立解得， 所以点在定直线上． ② 而，所以， 则， 令，则，所以， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为． 19. 如果数列的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”． （1）已知是正项等比数列，是等差数列，且，，．记． ①求数列的前项和； ②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论； （2）设项正数数列是“凸数列”，求证：，， 【答案】（1）①；②是“凸数列”，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据的通项公式再应用错位相减即可求解； （2）应用数列新定义即可得证； （3）记，利用分析法，只需证，由数列为对数性凸数列，得到，，再用基本不等式证明即可. 【小问1详解】 ①设的公比为，的公差为， 由题意可得解得或（舍去），， 因此，．故， 从而，（i） ，（ii） （i）－（ii）得，， 即． ②由①，， 所以， 故数列是“凸数列”． 【小问2详解】 记，则原不等式等价于 ， 即， 因而只需证明， 因为，所以， 故， 而 ， 从而， 即，结论得证. 【点睛】方法点睛：解决数列新定义题型，需要耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，结合所学习过的知识点，逐一分析、证明、求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$