专题3.2 常见函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（重庆专用）

专题3.2 常见函数 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：二次函数 5 考点二：指数与对数 6 指数 6 对数 8 考点三：指数函数与对数函数 10 指数函数 10 对数函数 11 【真题演练】 12 【考纲要求】 内容：一元二次函数、幂函数、指数函数和对数函数。 要求：掌握指数与对数的概念、运算法则； 了解幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象和性质； 掌握一元二次函数的图象和性质； 能用函数、方程、不等式等知识解决有关问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 二次函数 6 指数与对数 6 6 对数函数与对数函数 13 13 6+13 考向预测 1.指数与对数的概念、运算法则. 2.幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象和性质. 【考点导图】 【知识清单】 1．一元二次函数的图象 图像 定义域 开口方向 向上 向下 对称性 关于直线对称 顶点坐标 单调性 在上为减函数， 在上为增函数． 在上为增函数， 在上为减函数． 最值 当时 当时 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 注： ①当Δ＝b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，交点横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根； ②当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，交点横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的一个实数根； ③当Δ＝b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根； ④抛物线与y轴的交点坐标为(0，c). 2．一元二次函数的解析式 一般式： 顶点式： 交点式： 3．指数 定义：正整数指数幂表示：n个a相乘，即。 其中：负指数幂：；零指数幂：；分数指数幂 4．指数运算法则 5．对数 定义：化成对数式为 恒等式： 6．对数运算法则 7．换底公式、常用对数和自然对数 换底公式：。 常用对数：底数为10的对数，简记为。 自然对数：底数为e(e＝2.71828…)的对数，简记为 8．指数函数 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 9．对数函数 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【考点分类剖析】 考点一：二次函数 例1．二次函数在上的最大值为（    ） A．-1 B．0 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二次函数的单调性求最大值. 【详解】因为函数是开口向上的抛物线，且对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以函数在上的最大值为：. 故选：C 【变式探究】 1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的单调性求实数的取值范围. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴方程为， 由函数在区间上单调递减，则有， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数性质可直接得到结果. 【详解】为开口方向向下，对称轴为的二次函数， 的单调递减区间为. 故选：B. 考点二：指数与对数 指数 例2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 【变式探究】 1．下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算性质即可逐一判断. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，当时，才有，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选：A 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3．化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 例3．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】先求得的解析式，进而求得. 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 【变式探究】 1．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】由一次函数的图象可知,由此可知的大致图象，在通过平移得到的图象. 【详解】由一次函数的图象可知, 所以是在上单调递减的指数函数，且经过定点, 因为是由向左平移个单位， 故D选项满足题意. 故选：D. 对数 例4．计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 【变式探究】 1．函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 2．若函数，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】将变量依次代入变量相应范围所定义的解析式即可求解. 【详解】由题. 故选：D. 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 考点三：指数函数与对数函数 指数函数 例5．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 【变式探究】 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可求解. 【详解】设，则， 因为在和上是减函数， 且在和上是增函数， 所以函数的单调递减区间是和. 故选：D 2．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义和指数函数与幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于，根据幂函数的图像和性质，知是偶函数，图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，故正确； 对于，是偶函数，图象关于轴对称，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是偶函数，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是奇函数，图象关于原点对称，故错误. 故选：. 对数函数 例6．的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】直接利用对数运算法则计算即得解. 【详解】解：原式=. 故选：C 【变式探究】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据对数的运算性质进行化简求值即可. 【详解】解：已知， . 故选：C. 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】，即， 则，解得. 故选：D. 3．对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可. 【详解】令，解得， 则其过点. 故选：A. 【真题演练】 1.（2024年高等职业教育分类考试数学第5题）函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查函数的概念及其表示. 在的定义域为，由同小取小得 故答案为：B. 2. （2023年高等职业教育分类考试数学第10题）函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数,在区间[0,1]上为增函数, f(2021), f (2022)，f(2023)的大小关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查函数的性质. 因为函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数，所以，因为以4为周期，所以，，在区间[0,1]上为增函数，所以 故答案为：A. 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）设函数在区间上的最大值与最小值分别为与,且为奇函数,则 A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】本题考查函数的奇偶性。. 因为函数是在上的奇函数，所以令，就会有，即：，又因为在区间上的最大值与最小值分别为与，所以在区间上的最大值与最小值分别为与，所以 故答案为：A 4.（2023年高等职业教育分类考试数学第4题）设指数函数的图像过点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查指数与对数的运算. 因为指数函数的图像过点，，所以 故答案为：B 5.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性. （1）解：因为的定义域为关于原点对称，令，，所以在定义域为上为奇函数。 （2）解：令，所以 因为，所以，，又因为，所以， ，所以为区间内的增函数，即证。 4. 6.（2023年高等职业教育分类考试数学第12题）设函数 （1） 求函数的定义域。 （2）当为何值时，函数有最大值，最大值是多少？ 【解析】本题考查指数函数与对数函数. （1）解：因为所以，，，函数的定义域为 （2）解：，所以当最大时最大， 7.（2022年高等职业教育分类考试数学第12题）（本小题满分13分）设函数（其中为常数），且. （1）求的值； （2）求在区间上的最小值. 【解析】本题考查函数的概念. （1）解：.，所以 （2）解：由可知，要求在区间上的最小值，即求的最小值， 而，所以最小值是当时成立，所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 常见函数 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：二次函数 5 考点二：指数与对数 6 指数 6 对数 8 考点三：指数函数与对数函数 10 指数函数 10 对数函数 11 【真题演练】 12 【考纲要求】 内容：一元二次函数、幂函数、指数函数和对数函数。 要求：掌握指数与对数的概念、运算法则； 了解幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象和性质； 掌握一元二次函数的图象和性质； 能用函数、方程、不等式等知识解决有关问题。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 二次函数 6 指数与对数 6 6 对数函数与对数函数 13 13 6+13 考向预测 1.指数与对数的概念、运算法则. 2.幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象和性质. 【考点导图】 【知识清单】 1．一元二次函数的图象 图像 定义域 开口方向 向上 向下 对称性 关于直线对称 顶点坐标 单调性 在上为减函数， 在上为增函数． 在上为增函数， 在上为减函数． 最值 当时 当时 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 注： ①当Δ＝b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，交点横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根； ②当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有且只有一个交点，交点横坐标为方程ax2＋bx＋c＝0的一个实数根； ③当Δ＝b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根； ④抛物线与y轴的交点坐标为(0，c). 2．一元二次函数的解析式 一般式： 顶点式： 交点式： 3．指数 定义：正整数指数幂表示：n个a相乘，即。 其中：负指数幂：；零指数幂：；分数指数幂 4．指数运算法则 5．对数 定义：化成对数式为 恒等式： 6．对数运算法则 7．换底公式、常用对数和自然对数 换底公式：。 常用对数：底数为10的对数，简记为。 自然对数：底数为e(e＝2.71828…)的对数，简记为 8．指数函数 函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是． 底数 图象 性质 定义域为，值域为 图象过定点 当时，恒有； 当时，恒有 当时，恒有； 当时，恒有 在定义域上为增函数 在定义域上为减函数 注意 指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究 9．对数函数 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【考点分类剖析】 考点一：二次函数 例1．二次函数在上的最大值为（    ） A．-1 B．0 C．3 D．4 【变式探究】 2．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 考点二：指数与对数 指数 例2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．下列运算结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 例3．已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【变式探究】 1．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 对数 例4．计算的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式探究】 1．函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 2．若函数，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 考点三：指数函数与对数函数 指数函数 例5．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 2．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 对数函数 例6．的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式探究】 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．对数函数的图象经过点（    ） A． B． C． D． 【真题演练】 1.（2024年高等职业教育分类考试数学第5题）函数的定义域为 A． B． C． D． 2. （2023年高等职业教育分类考试数学第10题）函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数,在区间[0,1]上为增函数, f(2021), f (2022)，f(2023)的大小关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）设函数在区间上的最大值与最小值分别为与,且为奇函数,则 A．-2 B．0 C．1 D．2 4.（2023年高等职业教育分类考试数学第4题）设指数函数的图像过点，则等于（ ） A. B. C. D. 5.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 6.（2023年高等职业教育分类考试数学第12题）设函数 （1） 求函数的定义域。 （2）当为何值时，函数有最大值，最大值是多少？ 7.（2022年高等职业教育分类考试数学第12题）（本小题满分13分）设函数（其中为常数），且. （1）求的值； （2）求在区间上的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$