2.7　二次根式 同步练 -2024-2025学年北师大版八年级数学上册

7　二次根式 第1课时　二次根式的概念及性质 知识点1　二次根式的概念 1下列各式中,是二次根式的是 ( ) A.π B. C. D. 2下列式子一定是二次根式的是 ( ) A. 　　　B. C. 　　　D. 3当a满足 时,≥a成立.  知识点2　最简二次根式 4下列各式:①,②,③,④中,最简二次根式有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点3　二次根式有意义的条件 5要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是 ( ) A.x≤-3 B.x>3 C.x≥3 D.x=3 6设x,y为实数,且y=+-4,则|x-y|的值是 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 知识点4　二次根式化简 7下列计算正确的是 ( ) A.=±4 　　　B.=-2 023 C.= 　　　 D.-=3 8化简:(1)的结果是 .  (2)= .  9把下列二次根式化成最简二次根式: (1);(2);(3); (4);(5);(6); (7);(8)5;(9)6; (10)(a>0);(11)(n<0). 练易错　绝对值化简容易判断符号错误 10计算:-14+|-|-+(-)-2. 11化简二次根式(x<0),得 ( ) A. B. C.- D.- 12下列说法:①-a表示负数;②绝对值等于本身的数是非负数;③若ab>0,a+b<0,则a<0,b<0;④,0,,a都是单项式.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13已知2,5,m是某三角形三边的长,则+= .  14新中考·过程性学习阅读与思考 请仔细阅读下列材料,并完成相应的任务. ==,===3+, 像上述解题过程中,与,-与+相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程被称为分母有理化. 任务:(1)的有理化因式 ;-2的有理化因式是 .  (2)写出下列式子分母有理化的结果: ①= ;②= .  (3)计算:+++…+. 15新趋势·创新意识 【发现问题】 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2. 设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn·,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样可以把形如a+b的式子化为平方式. 【初步探索】 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题: (1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得:a= ,b= .  【综合运用】 (2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空: + =( + )2;  (3)化简-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7　二次根式 第1课时　二次根式的概念及性质 知识点1　二次根式的概念 1下列各式中,是二次根式的是 (C) A.π B. C. D. 2下列式子一定是二次根式的是 (C) A. 　　　B. C. 　　　D. 3当a满足　a≤0　时,≥a成立.  知识点2　最简二次根式 4下列各式:①,②,③,④中,最简二次根式有 (A) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点3　二次根式有意义的条件 5要使在实数范围内有意义,则x的取值范围是 (C) A.x≤-3 B.x>3 C.x≥3 D.x=3 6设x,y为实数,且y=+-4,则|x-y|的值是 (C) A.2 B.4 C.6 D.8 知识点4　二次根式化简 7下列计算正确的是 (C) A.=±4 　　　B.=-2 023 C.= 　　　 D.-=3 8化简:(1)的结果是 　.  (2)= 　.  9把下列二次根式化成最简二次根式: (1);(2);(3); (4);(5);(6); (7);(8)5;(9)6; (10)(a>0);(11)(n<0). 【解析】(1)==4; (2)==2; (3)===; (4)==; (5)==; (6)==; (7)===; (8)5=5×2=10; (9)6=6×=6×=; (10)(a>0)=5a; (11)(n<0)=×=-. 练易错　绝对值化简容易判断符号错误 10计算:-14+|-|-+(-)-2. 【解析】-14+|-|-+(-)-2 =-1+--+9 =8-. 11化简二次根式(x<0),得 (C) A. B. C.- D.- 12下列说法:①-a表示负数;②绝对值等于本身的数是非负数;③若ab>0,a+b<0,则a<0,b<0;④,0,,a都是单项式.其中正确的有 (B) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 13已知2,5,m是某三角形三边的长,则+=　4　.  14新中考·过程性学习阅读与思考 请仔细阅读下列材料,并完成相应的任务. ==,===3+, 像上述解题过程中,与,-与+相乘,积不含有二次根式,我们可将这两个式子称为互为有理化因式,上述解题过程被称为分母有理化. 任务:(1)的有理化因式_________　;-2的有理化因式是______________.  (2)写出下列式子分母有理化的结果: ①=________;②=________.  (3)计算:+++…+. 【解析】(1)的有理化因式是,-2的有理化因式是+2; 答案:(答案不唯一)　+2(答案不唯一) (2)①==,②==-1; 答案:　-1 (3)原式=-1+-+-+…+-=-1=10-1=9. 15新趋势·创新意识 【发现问题】 一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2. 设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b=m2+2n2+2mn·,所以a=m2+2n2,b=2mn.这样可以把形如a+b的式子化为平方式. 【初步探索】 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题: (1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分别表示a,b,得:a=________,b=________.  【综合运用】 (2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:_______+_____  =(_______+_____ )2;  (3)化简-. 【解析】(1)因为a+b=(m+n)2, (m+n)2=m2+2mn+3n2, 所以a=m2+3n2,b=2mn. 答案:m2+3n2　2mn (2)设a+b=(m+n)2, 则(m+n)2=m2+2mn+5n2, 所以a=m2+5n2,b=2mn. 若令m=1,n=2,则a=21,b=4. 答案:21　4　1　2(答案不唯一) (3)- =- =- =- =- =++- =+. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　二次根式的四则运算 知识点1　同类二次根式 1下列根式中,与是同类二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 2(2024·武汉质检)若最简二次根式与可以合并,则m的值是 ( ) A.- B.2 C.7 D. 知识点2　二次根式的性质 3下列计算正确的是 ( ) A.+= B.3-=2 C.2÷=2 D.×= 4如图,已知每个小方格的边长为1,A,B,C三点都在小方格的格点上,则AB边上的高等于 ( ) A. 　　 B. C. 　　 D. 5[教材P46习题2.10T4变式]已知=a,=b,用a,b表示= .  6计算:(+)(-)的结果为 .  知识点3　二次根式的符号化简 7(2024·广州质检)把x根号外的因式移到根号内,得 ( ) A. B. C.- D.- 知识点4　二次根式的混合运算 8实数a在数轴上的位置如图所示,则化简+结果为 ( ) A.7 B.-7 C.2a-15 D.无法确定 9计算 (1)-+; (2)×-(+)(-); (3)(3+-4÷; (4)×(+)-; (5)×-; (6)6×+(π-2019)0-|5-|-. 练易错　运算顺序错误 103÷×的结果为 .  11如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12 cm2和16 cm2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为 ( ) A.(8-4) cm2 B.(16-8) cm2 C.(8-12) cm2 D.(4-2) cm2 12电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km)之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,如果两个电视塔的高分别是h1 km,h2 km,那么它们的传播半径之比是,则式子化简为 ( ) A. B. C. D. 13(2024·诸暨质检)我们把形如a+b(a,b为有理数,为最简二次根式)的数叫做型无理数,如3+1是型无理数,则(-)2是 ( ) A.型无理数 B.型无理数 C.型无理数 D.型无理数 14实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+1|-+= .  15(2024·上海质检)计算:·(-÷(a>0). 16新趋势·推理能力、创新意识 我们将(+)、(-)称为一对“对偶式”,因为(+)(-)=-=a-b,所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(+)和(-)中的“”去掉,于是二次根式除法可以这样,如==,==3+2.像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题: (1)比较大小(用“>”“<”或“=”填空); (2)已知x=,y=,求的值; (3)计算:+++…+. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　二次根式的四则运算 知识点1　同类二次根式 1下列根式中,与是同类二次根式的是 (D) A. B. C. D. 2(2024·武汉质检)若最简二次根式与可以合并,则m的值是 (B) A.- B.2 C.7 D. 知识点2　二次根式的性质 3下列计算正确的是 (B) A.+= B.3-=2 C.2÷=2 D.×= 4如图,已知每个小方格的边长为1,A,B,C三点都在小方格的格点上,则AB边上的高等于 (B) A. 　　 B. C. 　　 D. 5[教材P46习题2.10T4变式]已知=a,=b,用a,b表示= 　.  6计算:(+)(-)的结果为　3　.  知识点3　二次根式的符号化简 7(2024·广州质检)把x根号外的因式移到根号内,得 (D) A. B. C.- D.- 知识点4　二次根式的混合运算 8实数a在数轴上的位置如图所示,则化简+结果为 (A) A.7 B.-7 C.2a-15 D.无法确定 9计算 (1)-+; (2)×-(+)(-); (3)(3+-4÷; (4)×(+)-; (5)×-; (6)6×+(π-2019)0-|5-|-. 【解析】(1)原式=3-2+3 =+3; (2)原式=-(5-3)=3-2=1; (3)原式=(9+-2)÷4 =(9+-2)÷4 =8÷4=2; (4)原式=2+1-(-) =2+1-3+2=2; (5)原式=3×-(1+3-2) =2-4+2=4-4; (6)原式=6×+1-(3-5)-4 =2+1-3+5-4=2-. 练易错　运算顺序错误 103÷×的结果为　1　.  11如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为12 cm2和16 cm2的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为 (C) A.(8-4) cm2 B.(16-8) cm2 C.(8-12) cm2 D.(4-2) cm2 12电视塔越高,从塔顶发射出的电磁波传播得越远,从而能收看到电视节目的区域就越广.电视塔高h(单位:km)与电视节目信号的传播半径r(单位:km)之间存在近似关系r=,其中R是地球半径,如果两个电视塔的高分别是h1 km,h2 km,那么它们的传播半径之比是,则式子化简为 (D) A. B. C. D. 13(2024·诸暨质检)我们把形如a+b(a,b为有理数,为最简二次根式)的数叫做型无理数,如3+1是型无理数,则(-)2是 (A) A.型无理数 B.型无理数 C.型无理数 D.型无理数 14实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a+1|-+=　2　.  15(2024·上海质检)计算:·(-÷(a>0). 【解析】原式=-(··3) =-=-·a2b2 =-4a2b. 16新趋势·推理能力、创新意识 我们将(+)、(-)称为一对“对偶式”,因为(+)(-)=-=a-b,所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(+)和(-)中的“”去掉,于是二次根式除法可以这样,如==,==3+2.像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.根据以上材料,理解并运用材料提供的方法,解答以下问题: (1)比较大小_______ (用“>”“<”或“=”填空); (2)已知x=,y=,求的值; (3)计算:+++…+. 【解析】(1)因为==, ==; 比较+2与+ 因为>,2>,所以+2>+, 所以>; 答案:> (2)因为x===5+4+4=9+4, y===5-4+4=9-4, 所以x+y=9+4+9-4=18, x-y=9+4-9+4=8, xy=(9+4)(9-4)=81-80=1, 所以===; (3)+++…+ =++ +… + =1-+-+-+…+- =1- =1-. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 知识点1　二次根式的化简求值 1已知a=-1,则代数式a2+2a+1的值是 ( ) A.2 B.1+ C.-2 D.2 2计算下列各题: (1)2+5+; (2)(+-2)-(-. 知识点2　二次根式的应用 3(2024·福州期末)如图,将长方形分成四个区域,其中A,B两正方形区域的面积分别是1和6,则剩余区域的面积是 .  4(2024·杭州期中)如图,从一个大正方形中裁去面积为8 cm2和18 cm2的两个小正方形,则留下的阴影部分面积和为 .  知识点3　二次根式的混合运算 5下列运算正确的是 ( ) A.+= B.2×3=6　 C.(+)2=10 D.(+)÷=+ 6已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简()2+的结果为 .  7计算(-)2 022(+)2 023的结果是 .  8如果=a+b,其中a,b为有理数,那么a+b等于 .  9计算: (1)+-×+÷; (2)(3+2)(3-2)-(-)2. 练易错　等腰三角形不确定腰的情况下忽视分类讨论 10等腰三角形的一边长为2,周长为4+7,求这个等腰三角形的腰长. 11已知a=3-,b=2+,则代数式(a2-6a+9)(b2-4b+4)的值是 ( ) A.20 B.16 C.8 D.4 12如果f( )=,并且f()表示当x=时的值,即f()==,f(表示当x=时的值,即f()==,那么f()+f()+f()+f()+f()+…+f()+f()的值是 ( ) A.n- B.n- C.n- D.n+ 13如果a=-2,则+= .  14化简:m÷×. 15新趋势·推理能力、模型观念 细心观察下图,认真分析各式,然后解答下列问题: O=()2+1=2,S1=(S1是Rt△OA1A2的面积); O=()2+1=3,S2=(S2是Rt△OA2A3的面积); O=()2+1=4,S3=(S3是Rt△OA3A4的面积); … (1)请用含有n(n为正整数)的式子填空:O= ,Sn= ;  (2)求+++…+的值; (3)在线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022中,长度为正整数的线段共有 条.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3课时　二次根式的混合运算 知识点1　二次根式的化简求值 1已知a=-1,则代数式a2+2a+1的值是 (D) A.2 B.1+ C.-2 D.2 2计算下列各题: (1)2+5+; (2)(+-2)-(-. 【解析】(1)2+5+ =2×3+5×+×4 =6+2+10 =18. (2)原式=4+--+=4. 知识点2　二次根式的应用 3(2024·福州期末)如图,将长方形分成四个区域,其中A,B两正方形区域的面积分别是1和6,则剩余区域的面积是 -1　.  4(2024·杭州期中)如图,从一个大正方形中裁去面积为8 cm2和18 cm2的两个小正方形,则留下的阴影部分面积和为　24 cm2　.  知识点3　二次根式的混合运算 5下列运算正确的是 (D) A.+= B.2×3=6　 C.(+)2=10 D.(+)÷=+ 6已知实数a在数轴上的位置如图所示,则化简()2+的结果为　a+1　.  7计算(-)2 022(+)2 023的结果是 +　.  8如果=a+b,其中a,b为有理数,那么a+b等于　3　.  9计算: (1)+-×+÷; (2)(3+2)(3-2)-(-)2. 【解析】(1)原式=4+-+2 =7-; (2)原式=18-12-(5-2+3) =18-12-8+2 =-2+2. 练易错　等腰三角形不确定腰的情况下忽视分类讨论 10等腰三角形的一边长为2,周长为4+7,求这个等腰三角形的腰长. 【解析】当2是腰长时,底边是4+7-2×2=7, 因为2+2=4<7, 所以此时不能组成三角形; 当2是底边时,腰长为(4+7-2)=+, 能组成三角形, 综上所述,这个等腰三角形的腰长为+. 11已知a=3-,b=2+,则代数式(a2-6a+9)(b2-4b+4)的值是 (D) A.20 B.16 C.8 D.4 12如果f(x)=,并且f()表示当x=时的值,即f()==,f(表示当x=时的值,即f()==,那么f()+f()+f()+f()+f()+…+f()+f()的值是 (A) A.n- B.n- C.n- D.n+ 13如果a=-2,则+= +6　.  14化简:m÷×. 【解析】m÷× =m×× =(-)2 =m+n-2. 15新趋势·推理能力、模型观念 细心观察下图,认真分析各式,然后解答下列问题: O=()2+1=2,S1=(S1是Rt△OA1A2的面积); O=()2+1=3,S2=(S2是Rt△OA2A3的面积); O=()2+1=4,S3=(S3是Rt△OA3A4的面积); … (1)请用含有n(n为正整数)的式子填空:O=________,Sn=________;  (2)求+++…+的值; (3)在线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022中,长度为正整数的线段共有________条.  【解析】(1)由已知条件可知O=n,Sn=; 答案:n　 (2)原式 =+++…+, =+++…+ =2×+++…+] =2×(-+-+-+…+-) =2×(-1) =18. (3)线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022的长分别是,,,,…,. 长度为正整数的数字分别是1,2,3,4,5,…,a, 因为442=1 936,452=2 025, 所以a=44, 所以线段OA1,OA2,OA3,…,OA2 022中,长度为正整数的线段共有44条. 答案:44 学科网（北京）股份有限公司 $$