第07讲 一元二次方程的应用（2个知识点+2种题型+分层练习）- 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第07讲 一元二次方程的应用（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型强化 题型一．由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2023秋•青浦区校级期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了．从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为，则根据题意可列方程为 　　． 2．（2022秋•黄浦区校级月考）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 3．（2022秋•青浦区校级期中）某型号的手机六月份的售价为2000元，连续两次降价后，现售价为1620元．如果设每次降价的百分率为，则可以列出方程 　　． 题型二．一元二次方程的应用 4．（徐汇区校级期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握了28次手，那么参会人士共　　 A．28人 B．14人 C．8人 D．27人 5．（2021秋•普陀区期末）某商店八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，如果九、十月份营业额的月增长率相同，那么这个商店营业额的月增长率为　　． 6．（2023秋•闵行区期中）如图，某农场有一道长10米的围墙，计划用25米长的围栏靠墙围成一个面积为72平方米的长方形养鸡场，在墙的对面开了一个1米宽的门，求围成长方形养鸡场的边的长度． 分层练习 一、单选题 1．某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（　　） A．9cm2 B．68cm2 C．8cm2 D．64cm2 3．某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为（　　） A．100（1﹣x）2＝144 B．100（1+x）2＝144 C．144（1﹣x）2＝100 D．144（1+x）2＝100 4．上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 5．已知平面上有个点，联结其中任意两点得到一条线段，若线段的总数是条，则下列求的方程中符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 6．下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A．32 B．126 C．135 D．144 二、填空题 7．某件商品原价为800元，经过两次促销降价后的价格为578元，如果连续两次降价的百分率相同，那么这件商品降价的百分率是 ． 8．电影《你好，李焕英》首映当日票房已经达到亿元，2天后当日票房达到亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 . 9．某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程 10．最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价万元，经过连续两次降价，现价为万元，则平均降价率为 ． 11．某地2023年6月份的房价平均每平方米为21000元，该地2021年同期的房价平均每平方米为16800万元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x，则可列关于x的方程为： ． 12．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1200元降到588元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价的百分率为 ． 13．某校举行篮球单循环赛，即两队之间互相比赛，共进行了场比赛．设有个队参加这个比赛，那么可以列出方程为 ． 14．下面是某同学在一次测验中解答的填空题： ①若，则； ②方程的解为 ③已知三角形两边分别为2和9，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是17或19． 其中答案完全正确的题目个数是 个. 15．电影《八佰》首映当日票房已经达到亿元，2天后当日票房达到亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ． 16．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 17．在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的一边长为x米．根据题意，建立关于x的方程是 ． 18．如图所示，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积是 ． 三、解答题 19．某厂一月份的产值是50万元，第一季度总产值是182万元，求：平均月增长率． 20．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 21．某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？ 22．去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元． 求：（1）该店第二季度的营业额； （2） 该店第三、第四季度营业额的增长率． 23．返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液． (1)当时，每瓶洗手液的价格是 元；当时，每瓶洗手液的价格是 元． (2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 24．某单位开展了赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第二天该单位收到多少捐款？ 25．为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 26．如图，要在一个长10米，宽8米的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，求这个花圃的宽度． 27．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 一元二次方程的应用（2个知识点+2种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 知识点2．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 题型强化 题型一．由实际问题抽象出一元二次方程 1．（2023秋•青浦区校级期中）某木器厂今年一月份生产了课桌500张，后因管理不善，二月份的产量减少了．从三月份起加强了管理，产量逐月上升，四月份产量达到648张．如果三、四月份的月增长率相同，设这个增长率为，则根据题意可列方程为 　　． 【分析】先计算出二月份的产量，设3月份、4月份的平均增长率为，然后再根据“上升以后的产量上升以前的产量增长率）”以及四月份产量达到648张即可列出方程． 【解答】解：根2月份生产课桌张， 设3月份、4月份的平均增长率为，则3月份的产量是，4月份的产量是， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 2．（2022秋•黄浦区校级月考）某商场一月份的营业额为400万元，第一季度（包含一月、二月和三月）的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相关数值代入即可． 【解答】解：一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为， 二月份的营业额为， 三月份的营业额为， 可列方程为， 即， 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2022秋•青浦区校级期中）某型号的手机六月份的售价为2000元，连续两次降价后，现售价为1620元．如果设每次降价的百分率为，则可以列出方程 　　． 【分析】根据“售价为2000元，连续两次降价后，现售价为1620元”，找到等量关系，列出方程即可． 【解答】解：设每次降价的百分率为， 由题意可得：， 故答案为：． 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程． 题型二．一元二次方程的应用 4．（徐汇区校级期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握了28次手，那么参会人士共　　 A．28人 B．14人 C．8人 D．27人 【分析】可以看作一条直线上有个点，则能构成条线段的问题，设这次宴会有人参加，则根据两两握手一次，共握了28次手可列出方程，解出即可． 【解答】解：设这次宴会有人参加， 则根据分析可得：， 解得：，（不合题意舍去）． 即参加的人数为8人． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，将此类题目类比为直线上点与线段的数量关系是解答本题的关键，技巧性比较强，同学们要学会融会贯通． 5．（2021秋•普陀区期末）某商店八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，如果九、十月份营业额的月增长率相同，那么这个商店营业额的月增长率为　　． 【分析】设这个商店营业额的月增长率为，关系式为：8月份的营业额增长率）月份的营业额，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设这个商店营业额的月增长率为，依题意有 ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】考查一元二次方程的应用；解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出10月份营业额的等量关系，列出方程，再求解． 6．（2023秋•闵行区期中）如图，某农场有一道长10米的围墙，计划用25米长的围栏靠墙围成一个面积为72平方米的长方形养鸡场，在墙的对面开了一个1米宽的门，求围成长方形养鸡场的边的长度． 【分析】设围成长方形养鸡场的边的长度为米，则的长为米，根据靠墙围成一个面积为72平方米的长方形养鸡场，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设围成长方形养鸡场的边的长度为米，则的长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：围成长方形养鸡场的边的长度为9米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由一个主干长出个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：一个主干长出个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 2．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（　　） A．9cm2 B．68cm2 C．8cm2 D．64cm2 【答案】D 【分析】可设正方形的边长是xcm，根据“余下的面积是48cm2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解． 【详解】设正方形的边长是xcm，根据题意得： x（x﹣2）=48 解得：x1=﹣6（舍去），x2=8，那么原正方形铁片的面积是8×8=64（cm2）． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程应用以及矩形和正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题的关键． 3．某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为（　　） A．100（1﹣x）2＝144 B．100（1+x）2＝144 C．144（1﹣x）2＝100 D．144（1+x）2＝100 【答案】B 【分析】设九、十月份营业额的月平均增长率为x，根据该商场八月及十月份的营业额，可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设九、十月份营业额的月平均增长率为x， 依题意，得：100（1+x）2=144． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】设一月份的产值为a，根据题意可用a和x表示出四月份的产值为或，则，即． 【详解】解：设一月份的产值为a， 则二月份的产值为， ∴三月份的产值为， 四月份的产值为． ∵四月份的产值比一月份的产值下降， ∴四月份的产值还可表示为， ∴， 则． 故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 5．已知平面上有个点，联结其中任意两点得到一条线段，若线段的总数是条，则下列求的方程中符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若平面上有两个点时，则有1条线段，而； 若平面上有三个点时，则有3条线段，而； 若平面上有四个点时，则有6条线段，而； 故若平面上有个点时，则有条线段. 【详解】若平面上有两个点时，则有1条线段，而； 若平面上有三个点时，则有3条线段，而； 若平面上有四个点时，则有6条线段，而； 故若平面上有个点时，则有条线段. 根据等量关系列方程：， 整理得： 故选D. 【点睛】此题为一元二次方程应用，找出其中的规律列出方程是解决此题的关键. 6．下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【详解】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出： ， 解得：，，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，解题的关键是根据已知得出最大数与最小数的差为16． 二、填空题 7．某件商品原价为800元，经过两次促销降价后的价格为578元，如果连续两次降价的百分率相同，那么这件商品降价的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的降低率问题，熟练掌握解题模型是解题的关键． 设每次降价的百分率为，用含有x的代数式表示两次降价后的售价，与已知变化后的售价是相等的，从而列方程求解即可． 【详解】解：设商品每次降价的百分率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这件商品每次降价的百分率是． 故答案为： 8．电影《你好，李焕英》首映当日票房已经达到亿元，2天后当日票房达到亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，掌握关系式：，是解题的关键；根据关系式表示出2天后的票房即可列出方程． 【详解】解：由题意得：2天后的票房为：亿元， 则得方程：； 故答案为：． 9．某工厂自1月至3月的生产收入以相同的百分率逐月增长、经预算，1月份生产收入为25万元，一季度的生产收入可达91万元，设2月和3月工厂每月生产收入增长的百分率都为，可列方程 【答案】 【分析】设每月生产收入的增长率为，根据“季度的生产收入可达91万元”列一元二次方程即可；掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 【详解】解：设每月生产收入的增长率为， 则2月份生产收入，3月份生产收入， 根据题意可得：． 故答案为：． 10．最近国家出台了一系列的政策，全国各地房市遇冷，以上海某地一处小区二手房为例，原价万元，经过连续两次降价，现价为万元，则平均降价率为 ． 【答案】 【分析】直接利用降低率公式列出方程进行计算即可求解． 【详解】解：设平均降价率为x， 由题意可得， ，（舍去）； ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了增长率问题，牢记增长率（或降低率）公式，其中a是原来的量，x是平均增长率（或平均降低率），n是增长（或降低）的次数，b是现在的量）是解题关键． 11．某地2023年6月份的房价平均每平方米为21000元，该地2021年同期的房价平均每平方米为16800万元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x，则可列关于x的方程为： ． 【答案】 【分析】增长率问题的基本关系式为：，其中是增长前的量，是增长后的量，是增长率，是增长期数，据此求解即可． 【详解】解：设这两年该地房价的平均增长率均为x，依据题意可列方程：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的基本关系是解题的关键． 12．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1200元降到588元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的应用．设平均每次降价的百分率为x，每个售价由原来的1200元降到588元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即每次降价的百分率为， 故答案为：． 13．某校举行篮球单循环赛，即两队之间互相比赛，共进行了场比赛．设有个队参加这个比赛，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．根据“比赛场数”，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 14．下面是某同学在一次测验中解答的填空题： ①若，则； ②方程的解为 ③已知三角形两边分别为2和9，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是17或19． 其中答案完全正确的题目个数是 个. 【答案】0 【分析】①开方得到x＝a或x＝−a，本选项错误；②根据因式分解法即可得到原方程的解，即可作出判断；③求出方程x2−14x＋48＝0的解，得到第三边的长，求出三角形周长即可作出判断． 【详解】解：①若x2＝a2，则x＝±a，故错误； ②解方程2x（x−1）＝x−1，解得：x1＝1，x2＝，故错误； ③解x2−14x＋48＝0，解得：x1＝6，x2＝8， ∴第三边分别为6或8， 若第三边为6，三边长分别为2，6，9，不能构成三角形，舍去； 若第三边为8，三边长为2，8，9，此时周长为2＋8＋9＝19 则这个三角形的周长是19，故错误； 故填：0． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法及直接开平方法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 15．电影《八佰》首映当日票房已经达到亿元，2天后当日票房达到亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据当日票房2天后当日票房，列出方程即可． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为x， 则可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程． 16．“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学，依题意有：． 故答案为：． 17．在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的一边长为x米．根据题意，建立关于x的方程是 ． 【答案】 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，根据题意用x表示平行于墙的一边长，再根据面积公式列出方程即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（120-2x）米，根据题意得， 故答案为： 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 18．如图所示，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=2，求b的值，即可求得正方形的面积． 【详解】解：根据图形和题意可得： （a+b）2=b（a+2b），其中a=2， 则方程是（2+b）2=b（2+2b）， 解得：b=(负值已舍)， 所以正方形的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，解一元二次方程，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积． 三、解答题 19．某厂一月份的产值是50万元，第一季度总产值是182万元，求：平均月增长率． 【答案】平均月增长率为 【分析】设平均月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设平均月增长率为，根据题意，得 解得（舍去） 答：平均月增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 20．在实数范围内分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出x的值，然后进行因式分解； （2）令，求出y的值，然后进行因式分解． 【详解】（1）令，解得：，， 即该式可分解为； （2）令，解得：，， 即该式可分解为． 【点睛】考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，即为． 21．某平台网店销售医用外科口罩，每盒售价元，每星期可卖盒，为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期多卖盒，已知该款口罩每盒成本价为元，若该网店想一星期获利元，且尽快减少库存，那么这星期预期销售多少盒口罩？ 【答案】这星期预期销售盒口罩 【分析】根据每降价1元，每星期多卖盒，该网店想一星期获利元，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设该网店降价元， 则根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴当降价元时，这星期预期销售盒口罩， 答：这星期预期销售盒口罩． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程． 22．去年某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元． 求：（1）该店第二季度的营业额； （2）该店第三、第四季度营业额的增长率． 【答案】（1）150万元；（2）20% 【分析】（1）根据某商店第一季度营业额为120万元，第二季度的营业额比第一季度增长了25%，可以计算出第二季度的营业额； （2）根据（1）中的结果和第三、第四季度营业额的增长率相同，且第四季度的营业额为216万元，可以得到方程150（1＋x）2＝216，然后求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 第二季度的营业额为：120×（1＋25%）＝120×＝150（万元）， 答：该店第二季度的营业额为150万元； （2）设该店第三、第四季度营业额的增长率为x， 150（1＋x）2＝216， 解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该店第三、第四季度营业额的增长率是20%． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 23．返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液． (1)当时，每瓶洗手液的价格是 元；当时，每瓶洗手液的价格是 元． (2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 【答案】(1)8； (2)一共购买了200瓶洗手液． 【分析】（1）根据题意，分别计算出当以及时，每瓶洗手液的价格即可； （2）100瓶洗手液价格为800，由花费1200元可得购买瓶数超出了100瓶，设一共购买了x瓶洗手液，根据题意表示出每瓶单价进而表示出花费，列方程，解出x的值，再根据最低价不能低于每瓶5元对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：当时，每瓶洗手液的价格是8元； 当时， （元）． 故答案为：8；； （2）解：， ， ， 解得：， 当时，洗手液单价为： （元）； 当时，洗手液单价为： （元）． 最低价不能低于每瓶5元，， ． 答：一共购买了200瓶洗手液． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键． 24．某单位开展了赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元． （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第二天该单位收到多少捐款？ 【答案】（1）10%；（2）11000元 【分析】（1）设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，则第三天收到的捐款为元，根据第三天收到捐款12100元，则可列出方程，解方程即可； （2）根据：第一天收到的捐款×(1+增长率)=第二天收到的捐款，即可求得第二天应收到的捐款数． 【详解】（1）设第二天、第三天收到捐款的增长率为x，则第三天收到的捐款为10000(1+x)2元 由题意得： 即 解得：，（舍去） 所以第二天、第三天收到捐款的增长率为10% （2）第二天收到的捐款为：（元） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 25．为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 【答案】每包降价4元 【分析】先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据：利润（售价进价）数量，列出方程并解答即可． 【详解】解：设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元， 由题意得：， 解得：， (舍去)， 答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出相应的方程是解答本题的关键． 26．如图，要在一个长10米，宽8米的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，求这个花圃的宽度． 【答案】花圃的宽度为 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．根据非花圃的面积得到关系式比较简便，等量关系为：花圃的宽花圃的宽院子面积的，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设花圃的宽度为， ， 解得（不合题意，舍去）；． 答：花圃的宽度为. 27．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 【答案】（1）y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）.（2）该产品的生产数量为40吨. 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域. （2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可. 【详解】（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b， 将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：. ∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）. （2）当生产这种产品的总成本为280万元时， x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）. ∴该产品的生产数量为40吨. 学科网（北京）股份有限公司 $$