2.2.4&2.3直线的方向向量与法向量、两条直线的位置关系（4知识点+8题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（湘教版2019选择性必修第一册）

2.2.4&2.3 直线的方向向量与法向量、两条直线的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 （1）理解直线的方向向量与法向量的概念; （2）会判断两直线位置关系； （3）会利用两直线的位置关系处理问题.（难点) 知识点01 直线的方向向量与法向量 1 直线的方向向量 （1）我们把与直线平行的非零向量都称为的方向向量，用它们来表示直线的方向. （2）斜率为的直线的方向向量为的非零实数倍. 2 直线的法向量 （1）与直线垂直的非零向量称为直线的一个法向量. （2）直线的一般式方程的一次项系数组成的向量是直线的一个法向量. 【即学即练1】 （多选）已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：若，则与的倾斜角与相等，则，即. 因此若，则；反之时，，由倾斜角范围及正切函数的单调性可知，因此. ② 当时，直线的斜率不存在，此时. ③ 若存在斜率的两直线重合，此时仍然有.故可用斜率相等证明三点共线时. 【即学即练2】 已知，，，求证：三点共线. 知识点03 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：直线的方向向量分别是，，于是 ，即； ② 当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然. 【即学即练3】 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 知识点04 两条直线的交点 1 两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 2 经过两直线交点的直线系 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 【即学即练4】 求经过点和两直线，交点的直线方程． 【题型一：直线的方向向量与法向量】 例1． 已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知直线l的一个方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则直线的方程为 【方法技巧与总结】 1 斜率为的直线的方向向量为的非零实数倍. 2 与直线垂直的非零向量称为直线的一个法向量. 3 直线的一般式方程的一次项系数组成的向量是直线的一个法向量. 【题型二：判断直线的位置关系】 例2．已知点，，，，顺次连接，，，，所构成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 变式2-1．直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 变式2-2．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 变式2-3．（多选）已知直线，，则（    ） A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点 C．与可能平行 D．与不可能垂直 【方法技巧与总结】 1 对于斜率分别为，的两条直线，有，有； 2 对于直线和， 若，则；若，则. 【题型三：根据直线位置关系求参数】 例3．已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 变式3-1．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2．设直线，,若，则可以为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【方法技巧与总结】 1 对于斜率分别为，的两条直线，有，有； 2 对于直线和， 若，则；若，则. 【题型四：根据直线位置关系求直线方程】 例4．(多选)下列结论中正确的有（    ） A．过点且与直线平行的直线的方程为 B．过点且与直线垂直的直线的方程为 C．若直线与直线平行，则的值为3 D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 变式4-1．过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．(多选)已知等腰直角的直角顶点为，若点，则过点且与边所在直线平行的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1 对于斜率分别为，的两条直线，有，有； 2 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程. 【题型五：直线位置关系的几何应用】 例5．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 变式5-1．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2．(多选)已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 变式5-3．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 变式5-4． 已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【方法技巧与总结】 在证明或求解平面几何中的平行和垂直问题，可以利用直线斜率间的关系进行求解. 【题型六：直线的垂直平分线】 例6．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．以为端点的线段的垂直平分线方程是（　　） A． B． C． D． 变式6-2．已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（    ） A． B． C． D． 变式6-3．已知 ， ，其中且，直线经过点和的中点. (1)求证：关于直线对称. (2)当时，求直线在轴上的截距的取值范围. 变式6-4．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【方法技巧与总结】 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型： （1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可； （2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程； （3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 【题型七：角平分线问题】 例7．已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为. (1)求点的坐标；(2)求直线的方程. 变式7-1．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　) A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0 变式7-2．已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程． 变式7-3．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为． （I）求顶点的坐标；（II）求直线的方程． 【方法技巧与总结】 角平分线问题属于对称性问题，角一边上一点关于角平分线对称点在角的另一边上. 【题型八：其他问题】 例8．如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 变式8-1．如图，已知的顶点为，，，AD是BC边上的高，AE是的平分线．    (1)求高AD所在直线的方程； (2)求AE所在直线的方程．（提示：在上取与长度相等的向量，则的方向就是的方向．） 变式8-2．已知的顶点，，且重心的坐标为． (1)求的面积； (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的一般式方程． 变式8-3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C坐标分别为，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A． (1)当E点坐标为时，求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程； (2)求与面积之和S的最小值． 变式8-4．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.    (1)若直线与直线的法向量平行，求直线的方程； (2)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 一、单选题 1．下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2.若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3.“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.过直线和的交点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5.已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 6.已知点，线段AB的垂直平分线的方程是，则实数m，n的值分别是(　　) A．－2,2 B．－7,3 C．3,2 D．1，－2 7.已知直线：，则下列选项错误的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 8.如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 10.已知直线，点，，下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在 C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直 11.设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 三、填空题 12．设，直线过定点，直线过定点，直线经过点，并且以为法向量，则直线的方程为 ． 13.已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程是 ． 14.已知直线与直线，若，则的最大值为 . 四、解答题 15．已知直线，直线． (1)若，求实数的值；(2)若，求实数的值． 16.在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 17.已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 18.已知三个顶点坐标分别为，，． (1)试判断的形状； (2)求中的角B的角平分线所在直线的一般方程． 19．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置； (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.4&2.3 直线的方向向量与法向量、两条直线的位置关系 课程标准 学习目标 （1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直。 （1）理解直线的方向向量与法向量的概念; （2）会判断两直线位置关系； （3）会利用两直线的位置关系处理问题.（难点) 知识点01 直线的方向向量与法向量 1 直线的方向向量 （1）我们把与直线平行的非零向量都称为的方向向量，用它们来表示直线的方向. （2）斜率为的直线的方向向量为的非零实数倍. 2 直线的法向量 （1）与直线垂直的非零向量称为直线的一个法向量. （2）直线的一般式方程的一次项系数组成的向量是直线的一个法向量. 【即学即练1】 （多选）已知直线l的方向向量为，且经过点，则下列点中在直线l上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意求得直线方程再逐个检验点是否在直线上即可得出结论. 【详解】由题意可知，直线l的方程可表示为， 即； 经检验可得点，，在直线l上，不在直线l上. 故选：ACD 知识点02 两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：若，则与的倾斜角与相等，则，即. 因此若，则；反之时，，由倾斜角范围及正切函数的单调性可知，因此. ② 当时，直线的斜率不存在，此时. ③ 若存在斜率的两直线重合，此时仍然有.故可用斜率相等证明三点共线时. 【即学即练2】 已知，，，求证：三点共线. 解析 直线的斜率，直线的斜率，． 直线与直线的倾斜角相同且过同一点， 直线与直线为同一直线． 故三点共线． 知识点03 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 解释 ① 证明：直线的方向向量分别是，，于是 ，即； ② 当直线或的倾斜角为时，若，则另一条直线的倾斜角为；反之亦然. 【即学即练3】 过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出该直线的方程，由点在该直线上，即可得出该直线方程. 【详解】设该直线方程为 由点在该直线上，则，即 即该直线方程为 故选：C 【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题. 知识点04 两条直线的交点 1 两条直线的交点 设两条直线的方程是， 两条直线的交点坐标就是方程组的解. (1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行； (3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合. 2 经过两直线交点的直线系 过两条已知直线和交点的直线系方程 (这个直线系下不包括直线，解题时注意检验是否满足题意) 【即学即练4】 求经过点和两直线，交点的直线方程． 解析 设所求直线方程为． 点在直线上，．． 所求方程为， 即． 【题型一：直线的方向向量与法向量】 例1． 已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程变为，可得定点 .根据的方向向量，可得斜率为，代入点斜式方程，化简为一般式即可. 【详解】可变形为， 解得，即点坐标为. 因为，所以直线的斜率为，又过点 ， 代入点斜式方程可得，整理可得. 故选：A. 变式1-1．若直线的倾斜角为，则直线的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线斜率，得到方向向量，再取到法向量. 【详解】直线的倾斜角为， 直线的斜率， 直线的一个方向向量为，则直线的一个法向量为． 故选：B. 变式1-2．已知直线l的一个方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直线的方向向量求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程. 【详解】因为直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率为， 又直线经过点，所以直线l的方程为，即. 故选：A. 变式1-3．已知是直线上一点，且是直线的一个法向量，则直线的方程为 【答案】 【分析】设直线上另一点为，根据向量垂直得到关系式，整理得直线的方程. 【详解】设直线上另一点为，则， 由得， 即， 所以直线的方程为， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 1 斜率为的直线的方向向量为的非零实数倍. 2 与直线垂直的非零向量称为直线的一个法向量. 3 直线的一般式方程的一次项系数组成的向量是直线的一个法向量. 【题型二：判断直线的位置关系】 例2．已知点，，，，顺次连接，，，，所构成的图形是（    ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．以上都不对 【答案】B 【分析】利用两点斜率公式求直线AB，BC，CD，DA的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系，由此判断四边形的形状. 【详解】由已知可得：，，, ∴  ，，，即，不平行于，，，故构成的图形为直角梯形. 故选：B. 变式2-1．直线和直线的位置关系是（    ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 【答案】B 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 变式2-2．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为 ，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 变式2-3．（多选）已知直线，，则（    ） A．当变化时，的倾斜角不变 B．当变化时，过定点 C．与可能平行 D．与不可能垂直 【答案】AB 【分析】对四个选项一一验证： 对于A：由直线的斜率为即可判断； 对于B：由直线恒过定点即可判断； 对于C：用反证法证明； 对于D：当， 与垂直，即可判断. 【详解】对于A：当变化时，直线的斜率为，所以的倾斜角不变.故A正确； 对于B：直线恒过定点.故B正确； 对于C：假设与平行，则，即，这与相矛盾，所以与不可能平行.故C不正确； 对于D：假设与垂直，则，即，所以与可能垂直.故D不正确. 故选：AB 【方法技巧与总结】 1 对于斜率分别为，的两条直线，有，有； 2 对于直线和， 若，则；若，则. 【题型三：根据直线位置关系求参数】 例3．已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立与的方程，由恒有解判断B；取时，与重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D. 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确； 联立方程组，得，此方程恒有解， 故对任意的，与都有公共点，B正确； 当时，，此时与重合，故C错误； 因为的斜率为1，当时，与不垂直； 当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确； 故选：C. 变式3-1．已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 变式3-2．设直线，,若，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的充要条件列方程得，从而可得，解三角方程即可得答案. 【详解】因为直线，，且， 则，所以，即 所以，故 可以取到. 故选：A. 变式3-3．已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据得到，再将化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D 【方法技巧与总结】 1 对于斜率分别为，的两条直线，有，有； 2 对于直线和， 若，则；若，则. 【题型四：根据直线位置关系求直线方程】 例4．(多选)下列结论中正确的有（    ） A．过点且与直线平行的直线的方程为 B．过点且与直线垂直的直线的方程为 C．若直线与直线平行，则的值为3 D．过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 【答案】ABC 【分析】对于A，由互相平行直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于B，由互相垂直直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于C，由直线平行的充要条件列出方程，解方程对比即可,注意检验；对于D，注意到当截距均为0时，也是有可能的，故可以判断D错误. 【详解】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确； 对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确； 对于C，因为直线与直线平行， 所以，解得或， 注意到当时，两直线重合，所以，故C正确； 对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误. 故选：ABC. 变式4-1．过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设线的方程为，再根据经过点，待定系数即可得答案. 【详解】由题可得，设平行于直线的直线的方程为， 因为直线过点， 所以，解得， 所以直线的方程为. 故选：D. 变式4-2．过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线垂直设出直线方程，代入，求解即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 代入，得，解得， 所以与直线垂直的直线方程为 故选：D. 变式4-3．(多选)已知等腰直角的直角顶点为，若点，则过点且与边所在直线平行的直线方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意求出点B的坐标，再利用直线的平行关系结合直线的点斜式即可求得答案. 【详解】设点坐标为，根据题意知， 即，解得或， 当点的坐标是时，过点且与边所在直线平行的直线方程是，即； 当点的坐标是时，过点且与边所在直线平行的直线方程是，即. 故选：AC. 【方法技巧与总结】 1 对于斜率分别为，的两条直线，有，有； 2 平行于直线的直线系方程； 垂直于直线的直线系方程. 【题型五：直线位置关系的几何应用】 例5．已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为即可. 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 变式5-1．已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 变式5-2．(多选)已知点，，下列结论正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，则 B．若直线的斜率为，则 C．若，则为直角三角形 D．若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【分析】求出直线的斜率可判断A；由两直线的位置关系可判断B，C，D. 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 变式5-3．过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 变式5-4． 已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】证明  ． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 【方法技巧与总结】 在证明或求解平面几何中的平行和垂直问题，可以利用直线斜率间的关系进行求解. 【题型六：直线的垂直平分线】 例6．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程． 【详解】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 变式6-1．以为端点的线段的垂直平分线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两点坐标分别求出其中点坐标和，再根据，求出，从而由点斜式即可得解. 【详解】由，知线段AB的中点坐标为， 又由斜率公式可得， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为． 故选：D. 变式6-2．已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】由题意直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ． 故选：C    变式6-3．已知 ， ，其中且，直线经过点和的中点. (1)求证：关于直线对称. (2)当时，求直线在轴上的截距的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由题意只需证明和垂直即可，利用斜率公式可得和的斜率，即得； （2）由题可得，利用函数的单调性结合条件即得. 【详解】（1）因为， ， 所以的中点为， 又直线经过点和的中点， 所以，， 所以，即，又直线经过的中点， 所以关于直线对称； （2）由题可知直线方程为， 其在轴上的截距， 因为， ∴，即， 所以直线在轴上的截距的取值范围是. 变式6-4．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 【方法技巧与总结】 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型： （1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可； （2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程； （3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 【题型七：角平分线问题】 例7．已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为. (1)求点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）设点，由，所在的直线方程建立方程求解即可； （2）根据角平分线的性质求关于直线的对称点，即可求直线方程. 【详解】（1）设，则由题意可知①， 又，所以②， 联立①②方程解得，即； （2）   设关于直线的对称点，则有的中点在直线上， 即，解之得， 显然直线为的角平分线，即直线与重合， 则，所以直线的方程为. 变式7-1．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在的直线方程为(　) A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0 【答案】C 【详解】设点A（3,1）关于直线的对称点为，则 ，解得 ，即，所以直线的方程为，联立 解得 ，即 ,又，所以边AC所在的直线方程为，选C. 点睛：本题主要考查了直线方程的求法，属于中档题．解题时要结合实际情况，准确地进行求解． 变式7-2．已知：的顶点和的角平分线所在直线方程为，求边所在直线方程． 【答案】 【分析】根据斜率公式和中点坐标公式求出点关于直线的对称点为的坐标，根据对称性和直线的两点式方程求出边所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线的斜率为， 于是有 解方程组，得，所以点的坐标为． 点也在边所在的直线上， 所以边所在直线方程为：， 化简可求得方程为. 【点睛】本题考查了应用三角形的性质求三角形一边所在的直线方程，考查了点关于直线对称的应用，考查了斜率公式和中点坐标公式，考查了数学运算能力. 变式7-3．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为． （I）求顶点的坐标； （II）求直线的方程． 【答案】（1）.（2）. 【详解】分析：（I）设顶点的坐标为；由顶点在直线上，所以        在直线上， 列方程组求解即可；（II）设顶点关于直线的对称点为，根据中点在对称轴上,以及直线垂直斜率之积为，列方程组求得的值，利用两点式可得结果. 详解：（I）设顶点的坐标为； 因为顶点在直线上，所以        由题意知的坐标为， 因为中点在直线上，所以， 即；                         联立方程组，解得顶点的坐标为 （II）设顶点关于直线的对称点为， 由于线段的中点在直线上，得方程， 即                           由直线与直线垂直，得方程， 即；                                 联立方程组，得 显然在直线上，且顶点的坐标为， 所以直线的方程为，整理得. 点睛：本题主要考查直线的方程以及解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 【方法技巧与总结】 角平分线问题属于对称性问题，角一边上一点关于角平分线对称点在角的另一边上. 【题型八：其他问题】 例8．如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点B在第一象限内，. (1)若，求的面积的最大值和取得面积最大值时的直线的方程； (2)设，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】(1)， (2)证明见解析，直线恒过定点. 【分析】（1）设，由距离公式结合基本不等式得出，进而得出的面积的最大值，并由取等条件得出直线AB方程； （2）讨论直线的斜率，设出直线方程，由得出，进而得出定点. 【详解】（1）设. 由，得，即. ， 当且仅当时取等号. 所以的面积， 当的面积取最大值时，， 直线的方程为： ，即. （2） 若直线的斜率不存在，有，又，解得， 即直线的方程为； 若直线的斜率存在，则直线的方程， 化简得， 两边同除，又， 所以，整理得， 得过定点所以直线恒过定点. 变式8-1．如图，已知的顶点为，，，AD是BC边上的高，AE是的平分线．    (1)求高AD所在直线的方程； (2)求AE所在直线的方程．（提示：在上取与长度相等的向量，则的方向就是的方向．） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，由垂直关系求出直线的斜率，并求出其方程作答. （2）求出与同向且长度等于的向量，再求出即得直线的方向向量，再求出直线方程作答. 【详解】（1）依题意，直线的斜率，于是边上高所在直线的斜率， 所以直线方程为，即. （2）依题意，，在向量方向上取，使， 而，则，令， 显然平分，于是的平分线所在直线的方向向量为，即直线的斜率为3， 所以直线的方程为，即. 变式8-2．已知的顶点，，且重心的坐标为． (1)求的面积； (2)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．求的欧拉线的一般式方程． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）设，再根据重心的坐标公式可得，再根据三角形面积求解即可； （2）设，根据外心在边中垂线上，及到顶点距离相等列方程可得，再根据斜率与点斜式公式，结合重心求解即可. 【详解】（1）设，则由重心的坐标为，有， 解得，即. 故是以为底，为高的三角形，面积.    （2）设的外心，则由外心性质可得在的中垂线上，即， 由，，， 则，即，解得，即. 又，故欧拉线的斜率为， 故的欧拉线的方程为，即.      变式8-3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C坐标分别为，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A． (1)当E点坐标为时，求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程； (2)求与面积之和S的最小值． 【答案】(1)或或； (2). 【分析】（1）根据给定条件，分直线过原点与不过原点，结合直线方程的截距式求解作答. （2）设点E的横坐标为t，根据给定条件求出t的范围，再将S表示为t的函数，并求出最小值作答. 【详解】（1）令过点且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l， 当直线l过原点时，直线l在x，y轴上的截距都为0，其方程为， 当直线l不过原点时，设直线l的方程为或，于是得或， 解得或，直线l的方程为或， 所以所求方程为：或或. （2）依题意，直线，因点E在线段BC上，则设点，，设， ，由得：，显然，则，有， ， ， 当且仅当，即时取等号， 所以与面积之和S的最小值. 变式8-4．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.    (1)若直线与直线的法向量平行，求直线的方程； (2)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，． 【分析】（1）由题设直线，代入点求出，即可得解； （2）设，，根据求出、，从而求出直角梯形的面积，设，，依题意可得，当时，求出直线的方程，即可求出直线过定点坐标，当时，也可得到直线过定点. 【详解】（1）由题设直线，将点代入得， 解得，故直线． （2）因为，设，，由，，， 即有， 可得，，，，， 梯形的面积为，由题意可得梯形的面积为6， 设，，可得，即， 当时，直线的方程为， 将代入上式可得． 由，解得，则直线经过定点． 当时，的方程为，过点，综上所述直线过定点． 一、单选题 1．下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D 2.若直线过点，且的方向向量为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的方向向量与斜率的关系求得直线斜率，根据点斜式建立直线方程，化简为直线的一般式方程即可得解. 【详解】解：∵的方向向量为， ∴直线的斜率， 又∵直线过点， ∴直线的方程为：，即. 故选：B. 3.“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由，即，解得， 经检验时，两直线平行，故. 综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件. 故选：C 4.过直线和的交点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程组，求出交点坐标.设所求直线的方程为，把交点坐标代入，求出，即得所求直线的方程. 【详解】解方程组得，即交点坐标为. 所求直线与直线平行， 设所求直线的方程为，把点代入得， 所以所求直线的方程为. 故选：. 【点睛】本题考查直线的方程，属于基础题. 5.已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆，由正弦定理进行求解. 【详解】如图，∵，， ∴四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆， 设半径为，则， 在中，由正弦定理得， ∴， 又，的倾斜角分别是， ∴，而， ∴.    故选：C 6.已知点，线段AB的垂直平分线的方程是，则实数m，n的值分别是(　　) A．－2,2 B．－7,3 C．3,2 D．1，－2 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质即可求解. 【详解】∵线段的垂直平分线的方程是， ∴线段的中点在直线上， 且直线与直线互相垂直 ∴ ∴ 故选：C. 7.已知直线：，则下列选项错误的是（    ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当实数变化时，直线恒过点 D．原点到直线的距离最大值为 【答案】C 【分析】A项：根据与直线平行可求出值，即可求解； B项：根据与直线垂直可求出值，即可求解； C项：将直线整理得：，从而求出定点，即可求解； D项：当原点与直线过的定点连线垂直直线时有最大距离，从而求解. 【详解】对于A项：当直线与直线平行，得斜率为：，解得：，故A项正确； 对于B项：当直线与直线垂直，得斜率：，解得：，故B项正确； 对于C项：直线化简为：，由，解得：，即l恒过定点，故C项错误； 对于D项：当原点与直线的定点的连线垂直于直线时距离最大，由两点间距离得：，故D项正确. 故选：C. 8.如图，已知，，，，，一束光线从点出发射到上的点，经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点），则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接与直线分别交于，连接，分别与直线交于，由题意，在线段之间即可，算出两点的坐标结合斜率公式即可得到答案. 【详解】设关于直线对称的点为，关于直线对称的点为，连接 与直线分别交于，连接，分别与直线交于， 由题意，在线段之间即可， 又，直线的方程为，设，则 ，解得，所以， 同理可得关于直线对称的点，所以直线：， 又直线方程为：，所以， 所以直线方程为：， 即，由，得，所以， 又易得方程为：，所以， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查求点关于直线对称的点、两直线的交点的问题，涉及到入射光线、反射光线，考查学生的数学计算能力，是一道有一定难度的题. 二、多选题 9．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于 B．在轴上的截距等于 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】CD 【分析】根据题意求出直线的方程，然后逐个分析判断即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 因为直线经过点，所以直线的方程为， 即， A，直线的斜率，则倾斜角等于，A错误； B，当时，，所以在轴上的截距等于，B错误； C，因为直线的斜率，直线直线的斜率为，，所以两直线垂直，C正确； D，因为直线的斜率，直线的斜率，不过（1，-2），所以两直线平行，D正确. 故选：CD 10.已知直线，点，，下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在 C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直 【答案】CD 【分析】利用直线过定点的求法，结合直线斜率公式逐项分析即可得解. 【详解】直线，故时，，故直线l恒过定点，故A错误； 当时，直线，斜率，故B错误； 当时，直线，斜率，故倾斜角为，故C正确； 当时，直线，斜率，而， 故，故直线与直线垂直，故D正确. 故选：CD. 11.设a为非零实数，直线，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．恒过点 D．当时，不经过第一象限 【答案】BD 【分析】根据题意，由两直线平行垂直的关系即可判断AB，将点代入直线方程即可判断C，分别讨论，以及即可判断D. 【详解】若，则，解得或（舍），故A错误； 若，则，解得或（舍），故B正确； 将点代入直线，可得，故不过点，故C错误； 若不经过第一象限，当时，此时，则， 解得且；当时，即，此时不经过第一象限；当时，即，此时不经过第一象限；综上所述，当且时，不经过第一象限，故D正确； 故选：BD 三、填空题 12．设，直线过定点，直线过定点，直线经过点，并且以为法向量，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】计算直线定点得到，，，设直线方程为，将点代入得到答案. 【详解】直线，取得到，故过定点， 直线，即，取得到，故过定点， ，设直线为，代入，解得， 即，即. 故答案为： . 13.已知点，，则线段AB的垂直平分线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出中点的坐标，利用两直线垂直得到所求直线的斜率，点斜式写出方程，再化为一般式． 【详解】线段AB的中点为，，故垂直平分线的斜率， 线段AB的垂直平分线的方程是，即 故答案为： 14.已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【分析】根据直线垂直的条件得，根据基本不等式得，从而可得结果. 【详解】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1） ， ，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2） ， ，若，则，由此求参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 16.在平面直角坐标系xOy中，四边形的顶点坐标分别为、、、，其中．试判断四边形的形状． 【答案】四边形OPQR为矩形. 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式计算判断即可. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率，直线的斜率， 显然，，在四边形中，，， 因此四边形为平行四边形，又，则， 所以四边形为矩形. 17.已知平面内两点，． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率与直线垂直的直线的斜率乘积为和点斜式求解即可； （2）求出线段垂直平分线的方程为，故点在直线上，设点为，根据等腰直角三角形两直角边垂直，所在直线斜率存在，斜率之积为建立等式求解即可． 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即． （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为， 即． 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得：， 解得或， 所以点坐标为或， 则直线的方程为或． 18.已知三个顶点坐标分别为，，． (1)试判断的形状； (2)求中的角B的角平分线所在直线的一般方程． 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形 (2) 【分析】（1）根据斜率公式与两点间的距离公式求出，，，，即可判断； （2）由（1）可得角的角平分线即为边上的中线，求出、的中点的坐标，再根据斜率公式求出，最后由点斜式求出直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）解：因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）解：由（1）知是以为直角的等腰直角三角形， 所以角的角平分线即为边上的中线， 易求中点坐标，所以直线的斜率， 故角的角平分线为，化为一般式为． 19．足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择. (1)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置； (2)若选择线路，则甲带球多少码时，到达最佳射门位置. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题意表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置； （2）建立平面直角坐标系，从而利用斜率公式表示出，，然后表示出，从而利用基本不等式求出的最大值，进而得到取得最大值时点的位置. 【详解】（1）若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. （2）若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 则，直线的方程为， 设点，其中， ，， 所以 ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 当且仅当时，等号成立，此时，， 由题意知，因为函数在上单调递增， 所以最大时，最大， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$