1.4 空间向量的应用讲义- 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（山东专用）

专题1.4 空间向量的应用 【基本知识梳理】 知识点一： 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4、空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点二： 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 知识点三： 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点四： 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 知识点五： 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 知识点六： 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。 【题型1 求直线的方向向量和平面的法向量】 1.若点P(1，0，－2)，Q(3，1，1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B.(1，3，2) C．(2，1，3) D.(3，2，1) 2.(多选)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) A. B. C. D. 3.(山东省济宁市兖州区2021-2022学年高二上学期期中)（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（       ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 4.(山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期期中)（多选）已知向，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 【题型2 空间中直线、平面的平行与垂直】 1.（山东省2023-2024学年高二上学期10月适应性联考）已知直线上有两点，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 2.（山东省济宁市2021-2022学年高二上学期期末）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______． 3.（山东省滨州市惠民县2023-2024学年高二上学期期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 4.（山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上学期期中）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. （1）用表示向量； （2）在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 5.（山东省2023-2024学年高二上学期10月适应性联考）如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 【题型3 空间中直线、平面的距离问题】 1.（山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期中）已知空间三点，，． （1）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标； （2）求点C到直线AB的距离． 2.（山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期中）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 3.（山东省潍坊五县市2022-2023学年高二上学期期中）已知棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ） A. 0 B. C. D. 4.（山东省青岛市第五十八中学2023-2024学年高二上学期期中）正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离． 【题型4 空间中线线夹角问题】 1.（山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期期中）已知向，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 2.（山东省潍坊2023-2024学年高二上学期期中）如图，在长方体中，，分别是，的中点，，且.求并求直线与所成角的余弦值； 3.（山东省潍坊五县市2022-2023学年高二上学期期中）如图，四边形是正方形，平面，且. (1)求平面与平面的距离； (2)若，求直线与直线所成的角的余弦值. 4.（山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，． （1）求异面直线与所成角的大小． （2）求直线到平面的距离． 【题型4 空间中线面夹角问题】 1.（山东省潍坊五县市2022-2023学年高二上学期期中）已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 2.（2023-2024山东普高大联考11月联合质量测评）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 3.（山东省山师大附中2023-2024学年高二上学期期中）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. （1）求证：； （2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 4.（山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二上学期期中）如图在直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点， (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大． 【题型5 空间中二面角问题】 1.（山东省临沂市沂水县2022-2023学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，，，，点M为棱PA的中点． (1)设，，，用，，表示，； (2)若底面ABCD，且，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值． 2.（山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 3.（山东省德州市2023-2024学年高二上学期期中）如图，两个等腰直角和，，，平面平面，M为斜边的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 4.（山东省淄博市第五中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点E在底面圆周上，，，点是的中点.      (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 5.（山东省2023-2024泰安市学年高二上学期期中） 如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将△ADE沿折起，使得点D到点P位置，且． （1）求证：平面平面； （2）已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置． 6.（山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期期中）如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）． （1）若为的中点，证明：． （2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 空间向量的应用 【基本知识梳理】 知识点一： 空间中点、直线、平面的向量表示 1、点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、直线的方向向量 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量． 【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量；（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算． 3、直线的向量表示 直线l的方向向量为，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使①，把代入①式得②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 4、空间平面的向量表示 如图（1），设两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．这样，点与向量和不仅可以确定平面，还可以具体表示出内的任意一点． 进一步地，如图（2），取定空间任意一点，可以得到，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，使（*）.我们把（*）式称为空间平面的向量表示式． 知识点二： 平面的法向量 1、平面法向量的定义 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合． 2、平面法向量的性质 （1）平面的一个法向量垂直于平面内的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0． 知识点三： 空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得. 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 知识点四： 空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 知识点五： 用向量法求空间距离 1、点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为，则点P到直线l的距离为（如图）． 【注意】也可以用此法求“两条平行直线直接的距离”，即在一直线上任取一点，再利用点到直线的距离求得. 2、点到平面的距离 已知平面的法向量为，是平面内的任一点，是平面外一点，过点作则平面的垂线，交平面于点，则点到平面的距离为（如图）. 注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 知识点六： 用向量法求空间角 1、异面直线所成角 若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则. 2、直线与平面所成角 1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为．则． 2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤： （1）建立适当的空间直角坐标系， （2）求出两条异面直线的方向向量的坐标， （3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角， （4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角． 3、求两条异面直线所成角的两个关注点 （1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角． （2）范围：异面直线所成角的范围是，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值． 3、平面与平面的夹角 平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角. 若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则. 【注意】二面角取向量的夹角还是补角，可以通过平面图形观察，判断二面角是锐角还是钝角来解决。 【题型1 求直线的方向向量和平面的法向量】 1.若点P(1，0，－2)，Q(3，1，1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3) B.(1，3，2) C．(2，1，3) D.(3，2，1) 解析：选C.依题意，直线l的一个方向向量为＝(3，1，1)－(1，0，－2)＝(2，1，3)，经检验，其他三个选项均不符合要求．故选C. 2.(多选)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是(　　) A. B. C. D. 解析：选AD.如图，因为CC1，AA1，BB1均垂直于平面ABC，故选项A，D中，可以作为平面ABC的法向量．故选AD. 3.(山东省济宁市兖州区2021-2022学年高二上学期期中)（多选）在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（       ） A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为 C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】 求出即可判断的正误，求出平面的法向量判断的正误，求出平面的法向量判断的正误. 【详解】 由题意，,,,,, ∵，∴向量为直线的一个方向向量，故正确,不正确； 设平面的法向量为， 则, 由，得， 令得，则正确; 设平面的法向量为，则， 由，得， 令得，则不正确. 故选：. 4.(山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期期中)（多选）已知向，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】A由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B与同向的单位向量是即可判断；C由，应用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；D应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断. 【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误； B：与同向的单位向量是，正确； C：由，故，正确； D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，错误. 故选：BC 【题型2 空间中直线、平面的平行与垂直】 1.（山东省2023-2024学年高二上学期10月适应性联考）已知直线上有两点，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面平行等价于直线的方向向量与面的法向量垂直，根据数量积运算求出的值. 【详解】因为直线上有两点， 所以直线的一个方向向量为 又因为，平面的一个法向量为， 所以，即， 解得. 故选：D. 2.（山东省济宁市2021-2022学年高二上学期期末）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题设可得，结合向量共线的坐标表示求参数即可. 【详解】 由题设，平面与平面的法向量共线， ∴，则，即，解得. 故答案为：. 3.（山东省滨州市惠民县2023-2024学年高二上学期期中）如图所示，在直三棱柱中，，，，. （1）求证：； （2）在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）在上存在点使得平面，且为的中点． 【解析】 【分析】（1）本题首先以为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出、，最后根据即可证得； （2）本题可假设点存在，则，然后通过得出，最后求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，，，所以， 如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，， 所以，，即. 【小问2详解】 若存在点使平面，则，， ，，，， 因为平面，所以存在实数、，使成立， 则，解得， 故在上存在点使平面，此时点为中点. 4.（山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上学期期中）如图所示，在三棱柱中，，是的中点. （1）用表示向量； （2）在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，时，. 【解析】 【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 5.（山东省2023-2024学年高二上学期10月适应性联考）如图，在长方体中，，，分别的中点．    (1)求证：平面； (2)判断与平面是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不垂直，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量数量积计算判断即得. 【详解】（1）在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    由，，分别的中点，得， ，显然平面的一个法向量， 则，于是，有平面，而平面， 所以平面. （2）由（1）知，，则有，而， 于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面， 所以与平面不垂直. 【题型3 空间中直线、平面的距离问题】 1.（山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期中）已知空间三点，，． （1）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标； （2）求点C到直线AB的距离． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据点线距离向量公式求解即可. 【小问1详解】 ，， 设， ，， ，． ，整理得． ， ． 或． 【小问2详解】 取，， 则，． C到直线AB的距离为． 2.（山东省泰安市2023-2024学年高二上学期期中）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 3.（山东省潍坊五县市2022-2023学年高二上学期期中）已知棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面之间的距离为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用坐标法，由题可得平面，然后利用点到平面的距离的向量求法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以，即，又平面， 所以平面， 故点到平面的距离即为直线到平面的距离，又 所以点到平面的距离为，即直线与平面之间的距离为. 故选：B. 4.（山东省青岛市第五十八中学2023-2024学年高二上学期期中）正四棱柱中，，，为中点，为下底面正方形的中心．求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离. （2）利用向量法求得到平面的距离. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 所以到直线的距离为: .    （2）由（1）得 设平面的法向量为， 则，故可设， 所以点到平面的距离为． 【题型4 空间中线线夹角问题】 1.（山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期期中）已知向，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 和夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】A由向量共线定理，应用坐标运算判断是否存在使；B与同向的单位向量是即可判断；C由，应用向量夹角的坐标公式求夹角余弦值；D应用平面法向量的求法求平面ABC的一个法向量，即可判断. 【详解】A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误； B：与同向的单位向量是，正确； C：由，故，正确； D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，错误. 故选：BC 2.（山东省潍坊2023-2024学年高二上学期期中）如图，在长方体中，，分别是，的中点，，且.求并求直线与所成角的余弦值； 【答案】； 【解析】 【分析】由勾股定理可直接求出；建系，利用空间向量法求出异面直线的夹角即可； 【详解】 连接，因为在长方体中，则， 则， 在中，， 所以； 以为原点，所在直线为轴建立坐标系， 则所以 设与所成的角，则， 因为异面直线所成的角时锐角或直角，则直线与所成角的余弦值为 3.（山东省潍坊五县市2022-2023学年高二上学期期中）如图，四边形是正方形，平面，且. (1)求平面与平面的距离； (2)若，求直线与直线所成的角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】(1)根据题意，利用线面平行的判定先证平面，同理可得平面，然后利用面面平行的判定证明平面平面.将面到面的距离转化为点到面的距离即可求解； (2) 在上取一点使得，连接，证明，说明为直线与直线所成的角，在中利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，平面， 平面，所以平面， 因为，同理平面，又， 所以平面平面. 所以点到到平面的距离即为平面与平面的距离. 因为，且为点到到平面的距离， 所以平面与平面的距离为3. （2）如图所示，在上取一点使得，连接，则四边形为平行四边形，所以四边形为平行四边形，所以， 则为直线与直线所成的角， 在中，，由余弦定理可得： . 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 4.（山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，． （1）求异面直线与所成角的大小． （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求异面直线所成的角； （2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离即可. 【小问1详解】 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 因为底面为直角梯形，，，， 所以， 则，，，， ，， 设异面直线与所成角为，则， 所以异面直线与所成角大小为． 【小问2详解】 ，平面，平面，平面， 直线到平面的距离即为点到平面的距离． 设平面的法向量为，，， 则，取，得． ，点到平面的距离． 【题型4 空间中线面夹角问题】 1.（山东省潍坊五县市2022-2023学年高二上学期期中）已知直线的方向向量为,平面的法向量为,则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算线的方向向量和面的法向量夹角的余弦值的绝对值,也即是线与面夹角的正弦值,由此即可选出选项. 【详解】解:由题知, 记直线与平面所成角为, 则, 所以直线与平面所成的角为. 故选:A 2.（2023-2024山东普高大联考11月联合质量测评）如图，在长方体中，为上一点，已知，，，． （1）求直线和平面的夹角； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与平面所成夹角为，判断为等腰直角三角形，即可求出， （2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点到平面的距离，求出法向量即可求出． 【小问1详解】 解：依题意，平面，连接，则与平面所成夹角为， ， ∴为等腰直角三角形，则， ∴直线和平面的夹角为， 【小问2详解】 解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，、、的方向为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， ，，， 设平面的法向量， 由，取，可得， ∴点到平面的距离. 3.（山东省山师大附中2023-2024学年高二上学期期中）如图，在梯形中，，四边形为矩形，且平面，. （1）求证：； （2）点在线段（不含端点）上运动，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，利用正余弦定理可证，再利用线线垂足证明线面垂直，进而可得证； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 证明：由已知可得四边形是等腰梯形， 过作，垂足为，则， 在中，， 则，可得， 在中，由余弦定理可得， ， 则，， 又平面，平面， ， ，，平面， 平面， 又为矩形， ，则平面， 而平面， ； 【小问2详解】 平面，且， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，设， 则，又， 设平面法向量为， 由， 取，得， 又， ， ，， 则. 4.（山东省淄博市临淄中学2023-2024学年高二上学期期中）如图在直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点， (1)证明：； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）先证明以为顶点引出的三条棱两两垂直，然后据此建立空间直角坐标系，利用空间向量证明垂直关系即可； （2）结合上一小问的建系，利用法向量表示出线面角后进行求解即可. 【详解】（1） 在直三棱柱中，平面 侧面为正方形，则 又且，则， 又且平面，则平面则 如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正半轴建立空直角坐标系 则 则 所以，即 （2） 设平面的法向量 由（1）知 则即 令，得 设与平面所成角为 ，又 所以当时，取最小值，即取得最大值． 所以当时，直线与平面所成角的正弦值最大． 【题型5 空间中二面角问题】 1.（山东省临沂市沂水县2022-2023学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，，，，点M为棱PA的中点． (1)设，，，用，，表示，； (2)若底面ABCD，且，求平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）结合向量的加法和减法运算化简即可； （2）分别求出平面BCM与平面ABCD的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解； 【详解】（1）； ； （2）由面，面，则， 又，则，故两两垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，， 可设平面ABCD的法向量为，， 设平面BCM的法向量为，则，即，令，， 故，平面BCM与平面ABCD所成角的余弦值为. 2.（山东省烟台市2022-2023学年高二上学期期中）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点． (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，则可得∥平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解； （2）求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】（1）连接交于点，连接． 因为是的中点，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面． 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离. 由题知，，，两两垂直，所以，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，． 所以，，．设面的一个法向量， 则，令，则 又， 所以点到平面的距离为． 即直线到平面的距离为． （2）由（1）知，平面的一个法向量． 又，， 设平面的一个法向量面，则 ，所以，取． 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为 3.（山东省德州市2023-2024学年高二上学期期中）如图，两个等腰直角和，，，平面平面，M为斜边的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点D，可证得，，从而得平面，进而得结论； （2）建立空间直角坐标系，计算平面与平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算可得结果. 【小问1详解】 取中点D，连接，，如图， 又M为的中点，∴，由，则， 又为等腰直角三角形，，，∴， 又，平面， ∴平面，又平面，∴． 【小问2详解】 由（1）知，，又平面平面，是交线，平面， 所以平面，即两两互相垂直， 故以D为原点，，，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，，， ∴，， 设为平面的一个法向量， 则，令，即， 平面的一个法向量为， ， 由图可知，二面角的平面角是钝角， 则二面角的余弦值为. 4.（山东省淄博市第五中学2023-2024学年高二上学期期中）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点E在底面圆周上，，，点是的中点.      (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平面，证得，，进而证得平面，得到，设点到平面的距离为，结合，即可求得点到平面的距离； （2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为线段是圆的直径，所以，可得， 又因为平面，且平面，所以，， 所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 设点到平面的距离为， 则由，可得， 所以，即点到平面的距离为. （2）解：由（1）可知， 以点为坐标原点，，所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 由（1）可知，平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则， 即二面角的余弦值为.    5.（山东省2023-2024泰安市学年高二上学期期中） 如图，在矩形中，，，E为线段中点，现将△ADE沿折起，使得点D到点P位置，且． （1）求证：平面平面； （2）已知点M是线段上的动点（不与点P，C重合），若使平面与平面的夹角为，试确定点M的位置． 【答案】（1）证明见解析; （2）点M为线段的中点 【解析】 【分析】（1）先证明平面，进而证得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量表示平面与平面的夹角为，进而确定点M的位置. 【小问1详解】 ∵E为中点，， ， 又，四边形为矩形， ， ， ． 又，，AP，平面， 平面， 又平面， 平面平面． 【小问2详解】 过点E作平面，以E为坐标原点，以，，所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，，． ，，， 设，， 则， 设是平面的一个法向量，则 即， 取，则， ． 又为平面的一个法向量， ， ∵平面与平面的夹角为， ，解得， 点M为线段的中点． 6.（山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二上学期期中）如图，直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，点在棱上运动（不包括端点）． （1）若为的中点，证明：． （2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别取，的中点，，连接，则可建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出的坐标，计算其数量积，即可证明结论； （2）求出平面的法向量，确定平面的法向量，根据空间角的向量求法，可求得的值，结合二次函数性质，即可确定的取值范围. 【小问1详解】 证明：分别取，的中点，，连接 由直三棱柱的底面边长和侧棱长都为2，可知， 且平面平面，故; 以为坐标原点，以所在直线为周，建立空间直角坐标系如图所示， 因为直三棱柱的底边长和侧棱长都为2，为的中点， 所以，，，，， 故，，则， 所以，即． 【小问2详解】 设，则点，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，， 故， 又平面的一个法向量为， 所以， 因为，则，所以， 故的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$