专题3.2 函数的单调性及最值（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题3.2 函数的单调性及最值 【考纲要求】 1. 理解函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性. 2. 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法. 【考向预测】 1.定义法求函数的单调性 2.函数的最值 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 考点一：判断函数的单调性 【例1】下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． 【例2】函数的图象如图所示，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增 【变式探究】函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【例3】证明：函数是减函数． 【变式探究】一次函数且. （1）求的值； （2）证明在上单调递增. 求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间.特别注意：单调区间必为定义域的子集． 考点二：由单调性求最值 【例1】若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【变式探究】已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C．1 D．2 【例2】若函数在区间上的最大值为6，则 . 【变式探究】函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【例3】如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 【变式探究】若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 (1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m； (2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m. 考点三：利用单调性判断大小及求参数范围 【例1】设函数是上的减函数，则 （ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 【变式探究】如果在区间上为减函数，则的取值（ ） A． B． C． D． 【例3】设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式探究】若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的单调性及最值 【考纲要求】 1. 理解函数单调性的概念，会用定义法证明函数的单调性. 2. 掌握用函数的单调性求最大值和最小值的方法. 【考向预测】 1.定义法求函数的单调性 2.函数的最值 1．函数的单调性 (1)增函数与减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． ②如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (2)单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 (1)最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2)最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 考点一：判断函数的单调性 【例1】下列函数中，在区间上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，是过原点，经过一、三象限的一条直线，在上为增函数，所以A正确， 对于B，是一次函数，且，所以上为减函数，所以B错误， 对于C，是反比例函数，图像在一、三象限的双曲线，在上是减函数，所以C错误， 对于D，是二次函数，对称轴为轴，开口向下的抛物线，在上是减函数，所以D错误， 故选：A. 【变式探究】下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A中，根据幂函数的性质，可得函数为奇函数，不符合题意； 对于B中，函数，满足，所以函数为奇函数，不符合题意； 对于C中，根据二次函数的图象与性质，可得函数在为单调递减函数，不符合题意； 对于D中，函数，可得，所以函数为偶函数，当，可得为单调递增函数，符合题意. 故选：D. 【例2】函数的图象如图所示，则（ ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增 【答案】A 【解析】由图像可知，图像在上从左到右是“上升”的， 则函数在上是单调递增的； 图像在上从左到右是“下降”的， 则函数在上是单调递减的. 故选：A. 【变式探究】函数的单调区间为（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在单调递增，在单调递减 D．在单调递减，在单调递增 【答案】D 【解析】的对称轴为，开口向上， 所以在在单调递减，在单调递增， 故选：D. 【例3】证明：函数是减函数． 【答案】证明见解析 【解析】证明：任取，，且， 则， ∵，∴，即， ∴， ∴函数是减函数． 【变式探究】一次函数且. （1）求的值； （2）证明在上单调递增. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】解：（1）一次函数且， 则，则. （2）证明：由（1）得，在上任取，，令， 则 ，，， 在上是单调递增函数． 求函数的单调区间和判断函数的单调性方法一致．通常有以下几种方法：(1)复合函数法：f(g(x))的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解；(3)图象法：可由函数图象的直观性写出它的单调区间.特别注意：单调区间必为定义域的子集． 考点二：由单调性求最值 【例1】若函数在区间上的最大值是4，则实数的值为（ ） A．-1 B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【解析】当时，在区间上为增函数， 则当时，取得最大值，即，解得； 当时，在区间上为减函数， 则当时，取得最大值，即，解得舍去， 所以， 故选：B. 【变式探究】已知函数，则的最大值为（ ）． A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】因为在上单减，所以在上单减， 即在上单减， 所以f(x)的最大值为. 故选：D. 【例2】若函数在区间上的最大值为6，则 . 【答案】4 【解析】函数在区间上单调递增， 于是得，解得：， 故答案为：4. 【变式探究】函数在区间上的最大值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为函数在区间单调递减， 所以当x=0时取得最大值：， 故选：B. 【例3】如果奇函数在区间上单调递增且有最大值6，那么函数在区间上（       ） A．单调递增且最小值为﹣6 B．单调递增且最大值为﹣6 C．单调递减且最小值为﹣6 D．单调递减且最大值为﹣6 【答案】A 【解析】因为为奇函数，则在对称区间上单调性相同， 所以在上为单调递增函数， 根据的图像关于原点对称，且， 所以在上的最小值为， 故选：A. 【变式探究】若偶函数在区间上是增函数且最小值为﹣4，则在区间上是（       ） A．减函数且最小值为﹣4 B．增函数且最小值为﹣4 C．减函数且最大值为4 D．增函数且最大值为4 【答案】A 【解析】在区间，上是增函数，最小值是， ，又为偶函数， 在，上单调递减， （5）． 即在区间，上的最小值为， 综上，在，上单调递减，且最小值为， 故选：A． (1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m； (2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m. 考点三：利用单调性判断大小及求参数范围 【例1】设函数是上的减函数，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，选项A、B、C都不正确； 因为，所以， 因为在上为减函数，所以，故D正确. 故选：D 【变式探究】已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是在上的减函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【例2】已知函数在区间（-∞，1]是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1] 【答案】A 【解析】对称轴为，开口向上， 要想在区间（-∞，1]是减函数，所以， 故选：A. 【变式探究】如果在区间上为减函数，则的取值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意； 当时，显然不成立； 当时，要使在上为减函数， 则，解得：，∴； 综上： ， 故选：C． 【例3】设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数为偶函数，则，， 当时，是减函数， 又，则， 则， 故选：C. 【变式探究】若偶函数在上是减函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是偶函数，所以， 在上是减函数，所以在上是增函数， 所以，故， 故选：B. 在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$