专题3.1 函数的概念及其表示（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

3.1 函数的概念及其表示 【考纲要求】 1. 理解函数的概念，会求函数的定义域、值域、解析式. 2. 会判断两个函数是否是相同函数. 3. 理解分段函数和复合函数的含义，并会求相应的函数值. 【考向预测】 1.函数的三要素 2.相同函数 3.分段函数、复合函数 1．函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 4．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 考点一：函数的定义域 【例1】函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要是函数有意义，必须，解之得， 则函数的定义域为， 故选：D． 【变式探究】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得且， 函数的定义域为， 故选：C． 【例2】函数的定义域为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得x的取值范围为：， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【变式探究】函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数解析式有意义，需满足 解得:， 故选：C. 【例3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵的定义域为，∴， 由，得， 则函数的定义域为， 故选：A. 【变式探究】若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数的定义域为，，即， 所以，即函数的定义域为，， 故选：A. 求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出． 考点二：函数的值域 【例1】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因此该函数的对称轴为：， 因为，所以当时，函数有最小值，最小值为， 而，所以最大值为，因此值域为， 故选：C. 【变式探究】函数的值域是（    ）. A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2] 【答案】D 【解析】由，则，解得， 所以函数的定义域为， 令，当时，， 所以，所以函数的值域为[0，2]， 故选：D. 【例2】函数值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 故选：D. 【变式探究】的值域为 ． 【答案】 【解析】由可得，故的值域为， 故答案为：. 【例3】函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为是定义域上的增函数， 所以当时，， 所以，的值域为：. 故答案为：. 【变式探究】函数，若，则函数的值域为 . 【答案】 【解析】因为函数为增函数， 所以最小值为， 最大值为， 函数的值域为. 故答案为：. 求函数值域的常用方法：①单调性法，②配方法，③分离常数法，④数形结合法；⑤换元法，⑥判别式法，⑦不等式法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握． 考点三：函数的解析式 【例1】已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 令，， 则， 故选：B. 【变式探究】已知，求的解析式； 【答案】或 【解析】解：由于，所以， 由于时，；时，， 故的解析式是 （或)． 【例2】已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设一次函数， 则， 由得， 即，解得， ， 故选：A． 【变式探究】已知是一次函数，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意设，则， ∴，解得或， ∴或， 故选：D. 【例3】已知函数，那么f(x)的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵f（x+1）＝x2﹣x+3，令x+1＝t，则x＝t﹣1， ∴f（t）＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）+3＝t2﹣2t+1﹣t+1+3＝t2﹣3t+5， 则f（x）＝x2﹣3x+5， 故选：C． 【变式探究】已知，求． 【答案】 【解析】解：令， 所以． 【例4】已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令为，则， 与联立可解得，， 故选：D． 【变式探究】若，则 . 【答案】 【解析】由题意，可知， 联立解得， 故答案为：. 由y＝f(g(x))的解析式求函数y＝f(x)的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g(x)的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，将f(x)作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f(x)的解析式，含f或f(－x)的类型常用此法． 考点四：相同函数 【例1】下列各组函数中，为同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】A：的定义域为，的定义域为，故A中的两个函数不是同一函数； B：的定义域为，的定义域为，故B中的两个函数不是同一函数； C：，定义域为R，的定义域为R，故C中的两个函数是同一函数； D：与的解析式不同．所以D中的两个函数不是同一函数， 故选：C． 【变式探究】下列各组函数中，表示同一个函数的是 . ①，                 ②， ③，                ④， 【答案】③ 【解析】对于①：两个函数定义与不同：f（x）的定义域为，g（x）的定义域为R，故不是同一个函数； 对于②：f（x）定义域为R，g（x）定义域，定义域不同，故不是同一个函数； 对于③：f（x）与g（x）定义域均为R，解析式也一样，故是同一个函数； 对于④：f（x）定义域为，g（x）定义域为，故不是同一个函数， 故答案为：③． 【例2】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】对于A，两个函数的定义域都是，，对应关系完全一致，所以两函数是相同函数，故A符合题意； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故B不符题意； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 故两函数不是相同函数，故C不符题意； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，故两函数不是相同函数，故D不符题意， 故选：A. 【变式探究】下列各组函数是同一函数的是 . ①与           ②与 ③与              ④与 【答案】④ 【解析】对于①，f（x）＝x﹣1（x∈R），与g（x）1＝x﹣1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数； 对于②，f（x）＝x（x∈R），与g（x）|x|（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数； 对于③，f（x）＝x0＝1（x≠0），g（x）1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数； 对于④，f（x）＝x2﹣2x﹣1（x∈R），与g（t）＝t2﹣2t﹣1（t∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数．综上，是同一函数的序号为④， 故答案为：④． 两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断． 考点五：分段函数、复合函数 【例1】已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】因函数，则， 所以， 故选：C. 【变式探究】函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 故， 故选：D. 【例2】已知函数，部分与的对应关系如表：则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由表知，， 则， 故选：D． 【变式探究】已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由题图可知，由题表可知， 故， 故选:D． 【例3】已知f（x）= 求的值． 【答案】0 【解析】解：， ， ． 【变式探究】已知函数，求，的值. 【答案】 【解析】解：． 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 函数的概念及其表示 【考纲要求】 1. 理解函数的概念，会求函数的定义域、值域、解析式. 2. 会判断两个函数是否是相同函数. 3. 理解分段函数和复合函数的含义，并会求相应的函数值. 【考向预测】 1.函数的三要素 2.相同函数 3.分段函数、复合函数 1．函数的有关概念 函数的定义 设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 ， 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A的集合叫做函数的定义域 值域 函数值y的集合叫做函数的值域 2．相同函数 一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数． 3．函数定义域、值域、解析式的求法 （1）求定义域的方法：当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑： ①分母不为零； ②偶次根号的被开方数、式大于或等于零； ③零次幂的底数不为零； ④对数函数的真数要大于零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. 注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. （2）求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法；⑥不等式法；⑦图象法等. （3）求解析式的常用方法：①待定系数法；②换元法；③方程(组)法等. 4．分段函数 (1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 5．复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 考点一：函数的定义域 【例1】函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【例2】函数的定义域为（        ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【例3】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】若函数的定义域为，则的定义域为（       ） A． B． C． D． 求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数x的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在x轴上的投影所对应的实数的集合；当函数y＝f(x)用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合，一般通过列不等式(组)求其解集．常见的条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等．若已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，则函数y＝f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出． 考点二：函数的值域 【例1】函数在区间上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的值域是（    ）. A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2] 【例2】函数值域是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】的值域为 ． 【例3】函数的值域为 . 【变式探究】函数，若，则函数的值域为 . 求函数值域的常用方法：①单调性法，②配方法，③分离常数法，④数形结合法；⑤换元法，⑥判别式法，⑦不等式法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握． 考点三：函数的解析式 【例1】已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，求的解析式； 【例2】已知是一次函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式探究】已知是一次函数，，则（    ） A． B． C． D．或 【例3】已知函数，那么f(x)的表达式是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】已知，求． 【例4】已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若，则 . 由y＝f(g(x))的解析式求函数y＝f(x)的解析式，应根据条件，采取不同的方法：①若函数g(x)的类型已知，则用待定系数法；②已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围；③函数方程法(即解方程组法)，将f(x)作为一个“未知数”，建立方程(组)，消去另外的“未知数”，便得到f(x)的解析式，含f或f(－x)的类型常用此法． 考点四：相同函数 【例1】下列各组函数中，为同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式探究】下列各组函数中，表示同一个函数的是 . ①，                 ②， ③，                ④， 【例2】下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式探究】下列各组函数是同一函数的是 . ①与           ②与 ③与              ④与 两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全一致，与函数的自变量和因变量用什么字母表示无关．在对函数解析式进行化简变形时应注意定义域是否发生改变(即是否是等价变形)；对于含绝对值的函数式可以展开为分段函数后再判断． 考点五：分段函数、复合函数 【例1】已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式探究】函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，部分与的对应关系如表：则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 【例3】已知f（x）= 求的值． 【变式探究】已知函数，求，的值. 求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$