专题2.4 基本不等式、线性规划（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题2.4 基本不等式、线性规划 【考纲要求】 1. 掌握基本不等式的基本形式，会用基本不等式求最值. 2. 理解不等式组表示的区域范围，能用线性规划的知识解决简单的问题. 【考向预测】 1.基本不等式求最值. 2.简单的线性规划问题 1．重要不等式及基本不等式 (1)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． (2)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数． (3)重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ 2ab (当且仅当a＝b时取等号)． (4)基本不等式：a＞0，b＞0，则 ≥，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (5)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有最小值，即a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.简记为：积定和最小． (6)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即ab≤2，亦即ab≤(a＋b)2；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即ab≤.简记为：和定积最大． 2．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (1)二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． 由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． (2)线性规划 ①不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为目标函数．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． ②一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ③满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解． 线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内． ④用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 首先，要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)； 设z＝0，画出直线l0； 观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解； 最后求得目标函数的最大值或最小值． ⑤利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解． 考点一：利用基本不等式求最值 【例1】若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 【变式探究】若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　) A. B. C．2 D. 【例2】已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为 ． 【变式探究】函数y＝(x＞－1)的值域为________． 【例3】若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C．3 D. 【变式探究】已知向量m＝(2，1)，n＝(2－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为(　　) A. B．1 C．2 D．4 【例4】点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________． 【变式探究】已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值. 在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值． 考点二：基本不等式中“1”的巧用 【例1】已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 【变式探究】设，向量a ， ，若，则的最小值为__________． 【例2】若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 【变式探究】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 考点三：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【例1】不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的(　　) A．左下方 B．左上方 C．右下方 D．右上方 【变式探究】点在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ． 【例2】若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为(　　) A．－7 B．－1 C．1 D．2 【变式探究】若变量x，y 满足约束条件 则z＝2x－y 的最小值等于(　　) A．－ B．－2 C．－ D．2 【例3】不等式组所表示的平面区域的面积为(　　) A．1 B. C. D. 【变式探究】不等式组表示的平面区域的面积为________． 【例4】若变量x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最小值为(　　) A. B．6 C. D．4 【变式探究】设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置． 2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 基本不等式、线性规划 【考纲要求】 1. 掌握基本不等式的基本形式，会用基本不等式求最值. 2. 理解不等式组表示的区域范围，能用线性规划的知识解决简单的问题. 【考向预测】 1.基本不等式求最值. 2.简单的线性规划问题 1．重要不等式及基本不等式 (1)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的算术平均数． (2)如果a＞0，b＞0，那么 叫做这两个正数的几何平均数． (3)重要不等式：a，b∈R，则a2＋b2≥ 2ab (当且仅当a＝b时取等号)． (4)基本不等式：a＞0，b＞0，则 ≥，当且仅当a＝b时等号成立，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (5)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有最小值，即a＋b≥2，a2＋b2≥2ab.简记为：积定和最小． (6)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即ab≤2，亦即ab≤(a＋b)2；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即ab≤.简记为：和定积最大． 2．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (1)二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． 由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． (2)线性规划 ①不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为目标函数．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数． 另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示． ②一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ③满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的最优解． 线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内． ④用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 首先，要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域)； 设z＝0，画出直线l0； 观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解； 最后求得目标函数的最大值或最小值． ⑤利用线性规划研究实际问题的解题思路： 首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数． 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解． 考点一：利用基本不等式求最值 【例1】若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 【答案】2 【解析】由xy＝1得x2＋2y2＝x2＋≥2， 当且仅当x＝±时等号成立． 故答案为：2. 【变式探究】若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　) A. B. C．2 D. 【答案】 【解析】∵x＞0，y＞0， ∴4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)， ∴12xy＋3xy≤30，∴xy≤2， ∴xy的最大值为2. 故选：C. 【例2】已知t＞0，则函数f(t)＝的最小值为 ． 【答案】－2 【解析】∵t＞0， ∴f(t)＝＝t＋－4≥－2，当且仅当t＝1时，f(t)min＝－2. 故答案为：－2. 【变式探究】函数y＝(x＞－1)的值域为________． 【答案】[9，＋∞) 【解析】∵x＞－1，∴x＋1＞0，令m＝x＋1，则m＞0， 且y＝＝m＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当m＝2时取等号，故ymin＝9. 又当m→＋∞或m→0时，y→＋∞，所以原函数的值域是：[9，＋∞)． 故答案为：[9，＋∞). 【例3】若a＞1，则a＋的最小值是(　　) A．2 B．a C．3 D. 【答案】C 【解析】∵a＞1， ∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝2＋1＝3，当且仅当a＝2时等号成立． 故选：C. 【变式探究】已知向量m＝(2，1)，n＝(2－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为(　　) A. B．1 C．2 D．4 【答案】A 【解析】依题意得2a＝2－b，即2a＋b＝2(a＞0，b＞0)， ∴2＝2a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当2a＝b＝1时取等号， ∴ab的最大值是. 故选：A. 【例4】点(m，n)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2m＋log2n的最大值是________． 【答案】－2 【解析】由条件知，m＞0，n＞0，m＋n＝1， ∴mn≤＝，当且仅当m＝n＝时取等号， ∴log2m＋log2n＝log2mn≤log2＝－2. 故答案为：－2. 【变式探究】已知0＜x＜，求x(4－3x)的最大值. 【答案】 【解析】已知0＜x＜，∴0＜3x＜4. ∴x(4－3x)＝(3x)(4－3x)≤＝， 当且仅当3x＝4－3x，即x＝时“＝”成立． ∴当x＝时，x(4－3x)取最大值为. 在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等．“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值． 考点二：基本不等式中“1”的巧用 【例1】已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 【答案】C 【解析】依题意，得＋＝·(a＋b)＝[5＋]≥＝， 当且仅当 即时取等号， 即＋的最小值是. 故选：C. 【变式探究】设，向量a ， ，若，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】因为，所以4x+（1﹣x）y=0，又x＞0，y＞0， 所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9． 当且仅当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立． 则（x+y）min=9． 故答案为：9． 【例2】若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 【答案】D 【解析】因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)， 即3a＋4b＝ab，且 即a＞0，b＞0， 所以＋＝1(a＞0，b＞0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4， 当且仅当＝时取等号． 故选：D. 【变式探究】已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 【答案】(1)64； (2)18 【解析】解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x＞0，y＞0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立． (2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得x＝，∵x＞0，∴y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立． 解法二：由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立． 利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①，当且仅当时取等号；②，，当且仅当时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”． 考点三：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【例1】不等式x－2y＋6＞0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的(　　) A．左下方 B．左上方 C．右下方 D．右上方 【答案】 【解析】画出直线并取原点代入知C正确． 故选：C. 【变式探究】点在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是 ． 【答案】 【解析】在2x－3y＋6＝0的上方，则2×－3t＋6＜0，解得t＞. 故答案为： . 【例2】若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为(　　) A．－7 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】作出不等式组 表示的可行域如图中阴影部分所示，当平行直线系z＝3x－y过点A(－2，1)时取最小值，即zmin＝3×(－2)－1＝－7. 故选：A. 【变式探究】若变量x，y 满足约束条件 则z＝2x－y 的最小值等于(　　) A．－ B．－2 C．－ D．2 【答案】A 【解析】可行域如图中阴影部分，当直线过点A，z＝2x－y有最小值－. 故选：A. 【例3】不等式组所表示的平面区域的面积为(　　) A．1 B. C. D. 【答案】D 【解析】解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由 得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝. 故选：D. 【变式探究】不等式组表示的平面区域的面积为________． 【答案】4 【解析】不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，∴S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4. 故答案为：4. 【例4】若变量x，y满足约束条件 则z＝3x＋2y的最小值为(　　) A. B．6 C. D．4 【答案】C 【解析】作出如图所示的可行域，当直线y＝－x＋经过A时z取得最小值．联立 解得 此时，z＝3×1＋2×＝. 故选：C. 【变式探究】设变量x，y满足约束条件 则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数可化为y＝－x＋z，由图可知，当直线y＝－x＋z经过点(1，1)时，z取得最小值3. 故选：B. 1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax＋By＋C＝0不经过原点，则把原点代入Ax＋By＋C，通过Ax＋By＋C的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置． 2．求目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b＞0时，截距取最大值，z也取最大值；截距取最小值，z也取最小值；②当b＜0时，截距取最大值，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$