1.1 探索勾股定理(2) ——验证勾股定理课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册

1.1 探索勾股定理（2） ——验证勾股定理 第一章 勾股定理 解：③④的面积之和，⑦⑧⑨⑩的面积之和，③⑧⑩的面积之和，④⑦⑨的面积之和均恰好等于①的面积. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给两种以上的方案． 课前热身 D 解：如图，作△ABC的高CD. 则AD=BD= AB=3（cm）. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD²=AC²－AD²=16=4²，所以CD=4cm. 所以S△ABC= AB·CD=12（cm²）. 4.如图，求等腰三角形ABC的面积． 复习回顾 回顾：勾股定理的内容是什么？ 在Rt△ABC中, ∠C=90° 由勾股定理得：a2+b2=c2 a A B C b c ∟ 股 勾 弦 问题：你还记得如何探索发现勾股定理吗？ 测量、数格子 思考：若将上节课的方格背景去掉，如何验证勾股定理？ 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 如左图,分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形,可利用这个图形说明勾股定理.为了计算图中大正方形的面积,小明对这个大正方形适当割补后,得到了右图. 探索新知 (1)你能将图中所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的关系式表示出来吗? (2)图①,图②中正方形ABCD的面积分别是多少?你有哪些表示方法? (3)你能分别利用图①,图②验证勾股定理吗?试一试. 图1-1-17 解:能. 由题图①中正方形ABCD的面积的两种表示方法,可知(a+b)2= 2ab+c2,a2+2ab+b2=2ab+c2,a2+b2=c2. 由题图②中正方形ABCD的面积的两种 表示方法,可知(b-a)2=c2-2ab,b2-2ab+a2= c2-2ab,a2+b2=c2. 由此可验证勾股定理,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 回溯历史 验证二：赵爽弦图 c a b c a b b c a b c 验证一：毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. 例2 (教材典题)我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 例题讲解 解:如图,其中点A表示小王的位置,点C,B表示两个时刻敌方汽车的位置.则在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理,得AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300. 敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60= 108000(m),即它行驶的速度为108 km/h. 例3 观察图1-1-19,判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2 =c2. 图1-1-19 解:通过数格子的方法可以得出,题图中左边三角形,即钝角三角形中,a2+b2<c2;题图中右边三角形,即锐角三角形中,a2+b2>c2.故题图中三角形的三边长不满足a2+b2=c2. 例题讲解 在△ABC中,三边长分别是a,b,c(c为最长边). (1)当△ABC为直角三角形时,a2+b2=c2; (2)当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2; (3)当△ABC为钝角三角形时,a2+b2<c2. 结论总结 勾股定理 验证 实际应用 计算面积法、拼图法 建模、构造直角三角形 课堂小结 　 1.课堂上,王老师要求学生设计图形来验证勾股定理,同学们经过讨论,给出两种图形(如图1-1-20),其中能验证勾股定理的是 (　　) A.①行,②不行 B.①不行,②行 C.①②都行 D.①②都不行 A 图1-1-20 课堂检测 2.如图1-1-21是某学校的长方形水泥操场,如果一学生要从点A走到点C,那么他至少要走 (　　) A.90米 B.120米 C.100米 D.140米 图1-1-21 C 3.有一棵9米高的大树,如果大树距离地面4米处折断(未完全折断),那么小孩至少离开大树　　　　米之外才是安全的.  3 4.如图1-1-22所示,两位同学为了测量风筝离地面的高度,测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离BD为8米.已知牵线放风筝同学的身高AB为1.6米,放出的风筝线长度BC为17米(其中风筝本身的长宽忽略不计),求此刻风筝离地面的高度CE. 图1-1-22 解:由题意得∠BDC=90°,BC=17,BD=8,DE=1.6. 在Rt△CDB中, CD==15, 所以CE=CD+DE=15+1.6=16.6(米), 所以此刻风筝离地面的高度CE为16.6米. 解：如图，OA=0.5m，只要AB的长度大于0.8m，这个箱子就能放进储藏室内.因为OA=0.5m，OB=1.2m，所以AB²=1.2²－0.5²=1.19. 因为1.19>0.8²，所以AB>0.8m， 所以这个箱子能放进储藏室内. 5.某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m的半圆形，一个长、宽、高分别是1.2m，1m，0.8m的箱子能放进储藏室吗？ 1876年，美国总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用右图验证了勾股定理．你能利用这个图形验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系. 另外的证法 $$