第08讲 直线的点斜式方程和直线的两点式方程（4个知识点+3个要点+1个易错点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 直线的点斜式方程和直线的两点式方程（4个知识点+3个要点+1个易错点+6种题型+过关检测） 知识点1：直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点2：直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点3：直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 知识点4：直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 要点1：直线恒过定点问题 求直线过定点的策略 (1)将方程化为点斜式,求得定点的坐标; (2)将方程变形,把x,y看作参数的系数,因为此式子对于任意的参数值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即得直线过的定点坐标. 要点2：直线的图形特征问题 求直线图象有关问题的策略 (1)将直线方程化为斜截式,找到直线的斜率和截距; (2)通过研究直线斜率和截距的数值特征确定直线的图象特征， 要点3：灵活选用直线方程的不同形式求方程 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 题型1：直线的点斜式方程 【例题1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 题型2：直线的斜截式方程 【例题2】（2021高二上·全国·专题练习）下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【变式2】（2021高二上·全国·专题练习）已知直线的斜率与直线的斜率相等，且直线与直线在轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的斜截式方程： (1)斜率是，在y轴上的截距是； (2)倾斜角是，在y轴上的截距是5． 题型3：点斜式方程和斜截式方程的应用 【例题3】（21-22高二上·四川南充·阶段练习）若直线不过第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·海南海口·阶段练习）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为 . 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线不经过第一象限，求实数k的取值范围. 题型4：直线的两点式方程 【例题4】（高二上·吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程． 【变式3】（21-22高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的两点式方程. （1），；     （2），． 题型5：直线的截距式方程 【例题5】（高二·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为 ． 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【变式3】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 题型6：直线方程的综合应用 【例题6】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（22-23高二上·湖北武汉·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【变式2】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【变式3】（22-23高二上·江苏）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为. (1)求点和点的坐标； (2)求边上的高所在的直线的斜截式方程. 易错点：忽略直线截距可正、可负、可为0的情况而致误 【例题1】直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍，求直线的方程. 【变式1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（22-23高二上·江西抚州·期中）已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为 . 【变式3】（23-24高二上·重庆江津·期中）已知直线l过点． (1)若直线l与垂直，求直线l的一般式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点且斜率为2的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 11．（23-24高二上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线垂直的直线方程是 C．两条平行直线与之间的距离为 D．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课前预习）如果直线既不平行于轴也不平行于轴，则且，两点式方程可以写成 ． 13．（21-22高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线的倾斜角是，且过点，则直线在y轴上的截距是 . 14．（23-24高二上·北京东城·期末）直线：的斜率为 ；过点且垂直于的直线方程是 . 四、解答题 15．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，求直线的斜截式方程； 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 17．（2023高二上·江苏·专题练习）求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 18．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知的三个顶点是，， (1)求边所在直线的方程； (2)求边中线所在直线的方程； 19．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知的顶点，线段的中点为，且. (1)求的值； (2)求边上的中线所在直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 直线的点斜式方程和直线的两点式方程（4个知识点+3个要点+1个易错点+6种题型+过关检测） 知识点1：直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 知识点2：直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 知识点3：直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 知识点4：直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 要点1：直线恒过定点问题 求直线过定点的策略 (1)将方程化为点斜式,求得定点的坐标; (2)将方程变形,把x,y看作参数的系数,因为此式子对于任意的参数值都成立,故需系数为零,解方程组可得x,y的值,即得直线过的定点坐标. 要点2：直线的图形特征问题 求直线图象有关问题的策略 (1)将直线方程化为斜截式,找到直线的斜率和截距; (2)通过研究直线斜率和截距的数值特征确定直线的图象特征， 要点3：灵活选用直线方程的不同形式求方程 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 题型1：直线的点斜式方程 【例题1】（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）过点且斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的点斜式方程形式，可直接得到结果. 【详解】过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 故选： 【变式1】（24-25高二上·上海·课后作业）直线绕点逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线互相垂直求直线的斜率，再代入点斜式方程，即可求解. 【详解】由两直线互相垂直，可知，直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）求经过点，倾斜角是直线倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． 【答案】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合点斜式方程求解即可. 【详解】因为直线的斜率为，所以该直线倾斜角为， 所以所求直线的倾斜角为，其斜率为， 所以所求直线的点斜式方程为． 【变式3】（24-25高二上·全国·课堂例题）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率； (2)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的点和斜率即可利用直线的点斜式方程求得答案； （2）先根据倾斜角求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程求得答案. 【详解】（1）由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为． （2）由题意知，直线的斜率， 故所求直线的点斜式方程为． 题型2：直线的斜截式方程 【例题2】（2021高二上·全国·专题练习）下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线斜截式方程形式可直接得到结果. 【详解】直线斜截式方程形式为，可知B中直线为斜截式方程. 故选：B. 【变式1】（2022高二·全国·专题练习）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为 ． 【答案】 【分析】由倾斜角为可得斜率为1，用点斜式写出直线方程再化成斜截式方程即可. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 【变式2】（2021高二上·全国·专题练习）已知直线的斜率与直线的斜率相等，且直线与直线在轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】. 【分析】由已知的直线方程可确定斜率和在轴上的截距，由此可得斜截式方程. 【详解】直线可化为：，的斜率为； 直线可化为：，在轴上的截距为； 直线的斜截式方程为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的斜截式方程： (1)斜率是，在y轴上的截距是； (2)倾斜角是，在y轴上的截距是5． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜截式直接列出方程； （2）由倾斜角得出直线斜率，再列出斜截式方程. 【详解】（1）因为直线的斜率是，在轴上的截距是，所以该直线的斜截式方程为. （2）因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为， 又因为直线在轴上的截距为5， 所以该直线的斜截式方程为. 题型3：点斜式方程和斜截式方程的应用 【例题3】（21-22高二上·四川南充·阶段练习）若直线不过第三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线不过第三象限求得的取值范围. 【详解】过点，若直线不过第三象限，则. 故选：B 【变式1】（21-22高二上·山东枣庄·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线垂直可得直线的斜率，再由点斜式方程即可得解. 【详解】因为直线的斜率为，直线与该直线垂直， 所以直线的斜率， 又直线经过点，所以直线的方程为即. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·海南海口·阶段练习）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程，化为斜截式即可求. 【详解】由直线，得， 设直线的斜率为，则由直线与直线垂直， 则，则直线为，即， 即直线在轴上的截距为. 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）已知直线不经过第一象限，求实数k的取值范围. 【答案】 【分析】先根据一次函数的图像不过第一象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】由题意知,该直线在y轴上的截距不大于零,且斜率不大于零, 即，得. 所以k的取值范围是. 题型4：直线的两点式方程 【例题4】（高二上·吉林长春·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，当 ，时，直线的两点式方程为，将点和点代入即可得解. 【详解】解：因为所求直线过点和点，根据直线的两点式方程可得： 所求直线方程为. 故选B. 【点睛】本题考查了直线的两点式方程，属基础题. 【变式1】（21-22高二上·上海金山·阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案. 【详解】当直线过两点，时，其两点式方程为， 则直线的两点式方程为， 故答案为：. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先求得线段BC的中点D的坐标，再代入直线的两点式方程即可解决. 【详解】因为，，所以线段BC的中点D的坐标为． 又BC边上的中线经过点， 所以BC边上中线的两点式方程为． 【变式3】（21-22高二上·全国·课后作业）求经过下列两点的直线的两点式方程. （1），；     （2），． 【答案】（1）；（2）； 【分析】根据直线的两点式方程求解即可. 【详解】因为直线的两点式方程为：， 因为，， 所以直线的两点式方程：； 因为，， 所以直线的两点式方程：； 题型5：直线的截距式方程 【例题5】（高二·全国·课后作业）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为　(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中点坐标公式得到点的坐标，即可得到直线的两点式方程，由两点式方程转化为截距式方程即可. 【详解】解：因为三顶点坐标为， 又为的中点，为的中点，由中点坐标公式可得：， 则直线的两点式方程为：，故截距式方程为. 故选：A 【变式1】（23-24高二上·安徽·阶段练习）过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据题意设直线方程为，求截距，列式求解即可. 【详解】由题意可知：直线斜率存在且不为0，设直线方程为， 令，解得；令，解得； 可得，解得或， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【答案】答案见解析 【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式. 【详解】过A，B两点的直线的两点式方程是. 化为点斜式为：， 斜截式为：， 截距式为：. 【变式3】（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式得到直线的方程，再转换为斜截式； （2）利用截距式得到直线的方程； 【详解】（1）由题意得的方程为，其斜截式方程为. （2）设的截距式方程为. 由题意得，得，所以的截距式方程为 题型6：直线方程的综合应用 【例题6】（23-24高二上·天津和平·期中）经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式方程即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·湖北武汉·期中）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大 B．过点的直线方程都可以表示为： C．经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为： D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系，以及点斜式，两点式，截距式方程的适用范围，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：当直线的倾斜角时，倾斜角越大，斜率越大；当时，不存在斜率； 当时，倾斜角越大，斜率越大，故A错误； 对B：当直线斜率不存在时，不可以用表示，故B错误； 对C：经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为， 能用方程表示，故C正确， 对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为，，故D错误. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知直线经过点，斜率为2. (1)求直线的截距式方程. (2)若直线与垂直，且，在y轴上的截距相等，求的截距式方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再化成直线的截距式方程即得. （2）求出直线的斜率及方程，再化成直线的截距式方程即可. 【详解】（1）依题意，直线的方程为：，即， 所以直线的截距式方程为. （2）由直线与垂直，得直线的斜率为，由（1）知，直线在y轴上的截距为， 于是直线的方程为，即， 所以直线的截距式方程为 【变式3】（22-23高二上·江苏）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为. (1)求点和点的坐标； (2)求边上的高所在的直线的斜截式方程. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）联立方程组求解即可；（2）由（1）得直线的斜率为即可解决. 【详解】（1）由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点， 由， 得，故， 由， 所以所在直线方程为， 所在直线方程为， 由，得 所以点和点的坐标为，. （2）由（1）知所在直线方程为， 所以直线的斜率为， 因为， 所以直线所在的方程为，即， 所以直线的斜截式方程为 易错点：忽略直线截距可正、可负、可为0的情况而致误 【例题1】直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍，求直线的方程. 【错解】设直线的方程为，又直线过点，解得，直线的方程为，即. 【错因分析】忽略横、纵截距都为0的情况 【正解】当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为，又直线过点，解得，.直线的方程为，即. 当直线在轴上的截距为零时，则直线过原点，设其方程为，直线过点，解得，直线的方程为，即. 综上所述，所求直线的方程为或. 【变式1】（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0，结合直线的截距式方程求解，即可得答案. 【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意， 若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得， 此时直线方程为，符合题意； 即经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条 故选：C. 【变式2】（22-23高二上·江西抚州·期中）已知直线经过点，且在，轴上的截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分类讨论截距为和不为即可. 【详解】若直线经过原点，则方程为； 若直线不经过原点，设方程为， 故，得，所以方程为. 故答案为：或. 【变式3】（23-24高二上·重庆江津·期中）已知直线l过点． (1)若直线l与垂直，求直线l的一般式方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的一般式方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程； （2）分别讨论截距为和截距不为，两种情况分类讨论，进而求得直线的方程. 【详解】（1）解：由直线的斜率为，则直线的斜率为， 则直线的方程为，即. （2）解：当截距为0时，直线的方程为； 当截距不为0时，直线设为，代入,解得， 可得直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点且斜率为2的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的点斜式方程写出即可. 【详解】由点斜式可得直线的方程为， 化为. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率判断直线的倾斜角进而判断各个选项； 【详解】易知直线的斜率为，直线的斜率为， 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1， 检验4个选项，知只有B选项满足题意． 故选：B. 4．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合倾斜角的定义分析求解. 【详解】因为直线过点，且倾斜角为， 可知直线与x轴垂直，所以直线的方程为. 故选：D. 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线不经过第一象限，且，，均不为零，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化为，分析即可得出答案. 【详解】由不经过第一象限，且，，均不为零， 化为， ，， 与必然同号，. 故选：D. 6．（23-24高二上·浙江金华·期中）已知直线，当满足一定条件时，它们的图形可能是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为，的斜率为b，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，， 不成立，D错误. 故选：B. 7．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，进而求出倾斜角即得. 【详解】依题意，直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为. 故选：A 8．（23-24高二上·北京顺义·期中）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时，方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上所求直线方程为或. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 10．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【答案】ABD 【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD． 【详解】当或时，直线方程不能写成，故A错误； 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B错误； 设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为．令， 得直线在x轴上的截距为，于是，故C正确； 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 故选：ABD． 11．（23-24高二上·四川宜宾·期末）下列说法正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线垂直的直线方程是 C．两条平行直线与之间的距离为 D．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 【答案】BC 【分析】结合各个选项所给条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，因为，令，得到，所以直线在轴上的截距为，故选项A错误， 对于选项B，因为直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程是，即，故选项B正确， 对于选项C，由得到，所以两平行线间的距离，故选项C正确， 对于选项D，当两坐标轴上截距均为时，直线方程为，所以选项D错误， 故选：BC. 三、填空题 12．（24-25高二上·全国·课前预习）如果直线既不平行于轴也不平行于轴，则且，两点式方程可以写成 ． 【答案】 【分析】略 【详解】略 13．（21-22高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线的倾斜角是，且过点，则直线在y轴上的截距是 . 【答案】 【分析】先求出斜率，利用点斜式写出直线方程，再得到纵截距. 【详解】直线的倾斜角是，且过点，所以斜率为 故直线的方程为，整理得， 所以直线在y轴上的截距为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·北京东城·期末）直线：的斜率为 ；过点且垂直于的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【详解】直线可化为，故斜率为， 过点且垂直于的直线的斜率为1，故方程为，即 故答案为：， 四、解答题 15．（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，求直线的斜截式方程； 【答案】 【分析】由题意可得斜率，再由直线的斜截式方程即得答案. 【详解】解：因为倾斜角， 所以斜率， 由斜截式可得直线方程为. 16．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程. 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 17．（2023高二上·江苏·专题练习）求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 【答案】或 【分析】对截距不为0及为0进行分类，设出直线并代点计算即可得. 【详解】①当截距不为0时，设直线的方程为， 又过点，所以， 解得，所以直线的方程为； ②当截距为0时，设直线的方程为， 又过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或. 18．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知的三个顶点是，， (1)求边所在直线的方程； (2)求边中线所在直线的方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. （2）求出边的中点的坐标，进而进出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程求解即得. 【详解】（1）依题意，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）依题意，边的中点，而，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 19．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知的顶点，线段的中点为，且. (1)求的值； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中点坐标公式以及垂直满足的斜率关系即可求解， （2）根据中点公式以及斜率公式即可根据点斜式求解方程. 【详解】（1）因为，所以的坐标为， 因为，所以， 解得. （2）设线段的中点为，由（1）知，则， 所以， 所以直线的方程为，化简得， 即边上的中线所在直线的方程为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$