4.3.2（1）等比数列的前n项和公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

1 【解】由an＋1＝2an2，a1＝2可知an>0(n∈N*)， 两边同时取以2为底的对数得 log2an＋1＝log2(2an2)＝log22＋log2an2＝1＋2log2an. 令bn＝log2an，则bn＋1＝2bn＋1. 令bn＋1＋t＝2(bn＋t)，则bn＋1＝2bn＋t，则t＝1. ∴bn＋1＋1＝2(bn＋1)， ∴{bn＋1}为等比数列，且首项为b1＋1＝log2a1＋1＝2，公比为2， ∴bn＋1＝2·2n－1＝2n，即bn＝2n－1，∴log2an＝2n－1，∴an＝ . 微专题 求数列通项公式的方法 （3）构造法 ④对数型： anp＝man－1q(其中m，p，q为常数) 已知数列{an}的首项a1＝2，且满足an＋1＝2 an2，求数列{an}的通项公式． 2 ⑤倒数型： an＝ (其中k，b为常数) [天津红桥区2019期中]已知正项数列{an}满足a1＝1， an＋1＝ ，则a5的值为__________． 微专题 求数列通项公式的方法 （3）构造法 【解析】由递推关系可得anan＋1＋2an＋1＝2an， 即anan＋1＝2an－2an＋1， 据此有 － ＝ ，又 ＝1， 故数列 是首项为1，公差为 的等差数列， 则 ＝1＋ ×(5－1)＝3，故a5＝ . 4.3.2 等比数列的前n项和公式 第一课时　等比数列的前n项和公式 3 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题． 学习目标 情境导入 国际象棋起源于古印度，相传国王要赏赐国际象棋的发明者，问问他想要什么？宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……依次，每一个格子里都必须是前一个格子麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格。“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求。这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？ 问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 提示　思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 则有， Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 乘q有， qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 上述等比数列求前n项和的方法,称为“错位相减法”. 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， ⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一 Sn＝________________ 公式二 Sn＝________________ 一、等比数列的前n项和公式 注： （1）注意对q进行分类（2）n——项数 （3）——末项 问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn的函数特征吗？ 1. 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函数. 2.当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的前n项和公式是Sn＝ . 即Sn是n的指数型函数. 注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. A(qn－1) na1 试一试 1.数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝____. 解析　∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列， 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一 Sn＝________________ 公式二 Sn＝________________ 一、等比数列的前n项和公式 公式三 例1　 例1　 跟踪练习 为等比数列{}的前n项和，数列{}的公比为q. （1） =2，求q； （2） + =66， =128， =126 ，求q. 18 19 20 错位相减法 等差 等比 二、错位相减法 21 例2（错位相减法）数列{}的前n项和为，=·求. 23 24 本课小结： 本节课我们学习了： 1.数列的前n项和公式； 2.利用等比数列前n项和公式判断等比数列； 3.错位相减法. 问题2　同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？ ＝18 446 744 073 709 551 615， 然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧.大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年. 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1. 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝. 注意点：(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (例如1＋2＋22＋…＋2n＝)； (3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项； (例如1＋2＋22＋…＋2n＝). ∴3－2k＝0，即k＝. (1) 求该等比数列的前n项的和： 1，，，，……； (2)求数列的前n项的和. [跟进训练] 1．(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝eq \f(7,2)，S6＝eq \f(63,2)，则a2·a4＝(　　) A．4　　　　B．8　　　　C．16　　　　D．32 (2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则eq \f(S5,S2)等于(　　) A．11　　　　B．5　　　　C．－8　　　　D．－11 (1)A　(2)D　[(1)因为S3＝eq \f(7,2)，S6＝eq \f(63,2)，即S6≠2S3，所以q≠1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a1(1－q3),1－q)＝\f(7,2)，,\f(a1(1－q6),1－q)＝\f(63,2)，))两式相除可得eq \f(1－q3,1－q6)＝eq \f(1,9)，所以q3＝8，即q＝2，a1＝eq \f(1,2)，则a2·a4＝aeq \o\al(2,1)q4＝eq \f(1,4)×24＝4．故选A． (2)在等比数列{an}中，设首项为a1，公比为q．由已知得q＝1不成立，因此q≠1．由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，即a1q·(8＋q3)＝0，由等比数列的性质知q＝－2，所以eq \f(S5,S2)＝eq \f(\f(a1(1－q5),1－q),\f(a1(1－q2),1－q))＝eq \f(1－q5,1－q2)＝－11，故选D．] 知识点2　错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫做__________．一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为____数列，{bn}为____数列． 2．如何求和S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn． [解]　当x＝0时，S＝0， 当x＝1时，S＝1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n(n＋1),2)， 当x≠1且x≠0时，S＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn ① xS＝x2＋2x3＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1 ② ①－②得(1－x)S＝(x＋x2＋…＋xn)－nxn＋1＝eq \f(x(1－xn),1－x)－nxn＋1 ∴S＝eq \f(x(1－xn),(1－x)2)－eq \f(nxn＋1,1－x)． 两式相减得：－Sn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1 ＝eq \f(2(1－2n),1－2)－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2， 所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2． (2)令cn＝eq \f(1,2)anbn＝n·2n 所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n， 2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1， 提示　S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1 $$