专题3.2 概率的进一步认识单元提升卷-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）

第3章 概率的进一步认识单元提升卷 【北师大版】 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 2．（3分）（23-24九年级·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 3．（3分）（23-24九年级·山东滨州·期末）“从一个布袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为”的意思是（    ） A．布袋中有1个红球和5个其它颜色的球 B．摸球6次就一定有1次摸中红球 C．如果摸球次数很多，那么平均每摸球6次就有1次摸中红球 D．布袋中共有6个红球，从中摸到了一个红球 4．（3分）（23-24九年级·山东·期末）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（      ） A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C．从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 5．（3分）（23-24九年级·山东东营·期末）小鸡孵化场孵化出只小鸡，在只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出只，其中左右记号的大约是（      ） A．只 B．只 C． 只 D．只 6．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）. A． B． C． D． 7．（3分）（23-24九年级·山东青岛·期末）“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（23-24·河南·二模）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（23-24九年级·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 12．（3分）（23-24九年级·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 13．（3分）（23-24九年级·辽宁铁岭·期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ． 14．（3分）（23-24·河南新乡·三模）小月、小梅两位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随意落座，则小月坐在小梅正对面的概率是 ． 15．（3分）（23-24九年级·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 16．（3分）（23-24·上海·二模）定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24九年级·广东揭阳·期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件． 从口袋中任意取出一个球，是一个白球； 从口袋中一次任取个球，全是蓝球； 从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了． 18．（6分）（23-24九年级·江苏淮安·期末）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷． 为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有三个出入闸口， 分别记为A，B，C． (1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是 ； (2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率． 19．（8分）（23-24九年级·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． (1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． (2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 20．（8分）（23-24九年级·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 21．（8分）（23-24九年级·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校九年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 22．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期末）常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 23．（8分）（23-24九年级·山东济南·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．      (1)通过观察图形得到 ； (2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 概率的进一步认识单元提升卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 1． 选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（23-24九年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】事件：人中至少有人性别相同是必然事件， 事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数是随机事件， ∴事件是必然事件，事件是随机事件， 故选：． 2．（3分）（23-24九年级·贵州·期末）从标有数字1，2，3，…，20的20张卡片中任意抽取一张，下列事件中，可能性最大的是（    ） A．卡片上的数字是质数 B．卡片上的数字是2的倍数 C．卡片上的数字是合数 D．卡片上的数字是3的倍数 【答案】C 【分析】根据可能性最大的是就是符合条件的卡片最多的求解即可． 【详解】解：A、卡片上的数字是质数的有：2，3，5，7，11，13，17，19，共8张； B、卡片上的数字是2的倍数有：，，，，，，，，，，共10张； C、卡片上的数字是合数有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，共11张； D、卡片上的数字是3的倍数有：，，，，，，共6张． ∵， ∴卡片上的数字是合数可能性最大． 故选：C． 【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 3．（3分）（23-24九年级·山东滨州·期末）“从一个布袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为”的意思是（    ） A．布袋中有1个红球和5个其它颜色的球 B．摸球6次就一定有1次摸中红球 C．如果摸球次数很多，那么平均每摸球6次就有1次摸中红球 D．布袋中共有6个红球，从中摸到了一个红球 【答案】A 【分析】根据概率的意义、概率公式逐项判断即可得． 【详解】解：A、布袋中有1个红球和5个其它颜色的球，摸出1个球恰好是红球的概率为，则此项正确，符合题意； B、由于红球的个数不确定，摸球6次不一定有1次摸中红球，则此项错误，不符合题意； C、由于红球的个数和球的总个数不确定，如果摸球次数很多，那么平均每摸球6次不一定有1次摸中红球，则此项错误，不符合题意； D、由于布袋中共有6个红球，是否有其他球不确定，或是只有红球，所以概率为不确定或1，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率计算公式即可得． 4．（3分）（23-24九年级·山东·期末）某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（      ） A．一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B．任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C．从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 【答案】C 【分析】本题考查了频率估计概率，根据大量的实验后，事件发生的频率逐步稳定在一个固定值的附近，这个固定值大致约等于这个事件发生的概率，观察图象，找出四个选项中的概率为左右的符合条件，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、一副扑克牌去掉大小王后， 从中任抽一张牌是红桃的概率是，不符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是，不符合题意； 、从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字的概率是，符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，不符合题意； 故选：． 5．（3分）（23-24九年级·山东东营·期末）小鸡孵化场孵化出只小鸡，在只上做记号，再放入鸡群中让其充分跑散，再任意抓出只，其中左右记号的大约是（      ） A．只 B．只 C． 只 D．只 【答案】A 【分析】先计算出做记号的小鸡概率为=，再任意抓出50只，则其中做有记号的大约是×50=3只． 【详解】解：小鸡孵化场孵化出1000只小鸡，在60只上做记号，则做记号的小鸡概率为=，再任意抓出50只，其中做有记号的大约是×50=3只． 故选A． 【点睛】此题考查概率的应用．任意抓出50只中有记号的只数=50×做记号的小鸡概率． 6．（3分）（23-24九年级·全国·单元测试）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照题意分别找出点C所在的位置的个数，再找出其中满足的面积为1的C点个数，再根据概率公式求出概率即可． 【详解】解：如图所示， 点C所放在格点上的位置共有16种可能，而能使△ABC的面积为1的点共有如图4种可能， 故恰好使△ABC的面积为1的概率为：. 故本题正确答案为C. 【点睛】熟练掌握三角形的基本概念和求随机事件的概率是解本题的关键. 7．（3分）（23-24九年级·山东青岛·期末）“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是几何概率，正方形的性质，勾股定理的应用，先求出大正方形的面积和阴影部分面积，再利用几何概率公式计算即可，正确计算出图形的面积是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，阴影部分是一个正方形， 设大正方形的边长为， ∴大正方形的对角线长为，面积为， ∴阴影部分的边长为， ∴， ∴(该点取到阴影部分)， 故选：A． 8．（3分）（23-24·河南·二模）河南省教育厅高度重视安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育活动．某数学兴趣小组准备了4张印有安全图标的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率和概率公式，熟练掌握列表法或画树状图法求概率是解题的关键．把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图得到所有的组合情况，只有C卡片正面是轴对称图形，找出没有轴对称图形的情况，用概率公式计算即可求解． 【详解】把四张卡片分别记为：A、B、C、D，画树状图，如图： 共有12种情况，都是等可能性，这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的情况有6种（只有C卡片正面是轴对称图形），则这两张卡片的正面图案中没有轴对称图形的概率是． 故选：A． 9．（3分）（23-24九年级·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 10．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期中）在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ） A．两次求助都用在第1题 B．两次求助都用在第2题 C．在第1第2题各用一次求助 D．两次求助都用在第1题或都用在第2题 【答案】D 【分析】根据题意，分类讨论，列举或画出树状图列出等可能的情况，根据概率公式求出每一种情况下的概率，即可判断． 【详解】解：①若两次求助都用在第1题， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用两次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除AB选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除AC选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除BC选项，只剩D一个选项，答对的概率是1， 因此第一题答对的概率为：，第2题答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ②若在第1第2题各用一次求助， 假设D选项是第1题的正确选项，选手可以排除的是A选项，使用一次求助时存在三种等可能的情况： 第一种：求助排除A选项，还剩BCD三个选项，答对的概率是， 第二种：求助排除B选项，还剩CD两个选项，答对的概率是， 第三种：求助排除C选项，还剩BD两个选项，答对的概率是， 因此第一题答对的概率为：， 第2题使用一次求助后，还剩3个选项，其中只有一个正确选项，因此答对的概率为， 故此时该选手通关的概率为：； ③两次求助都用在第2题， 画树状图如下：上层A、B、C表示第一题剩下的三个选项，下层A、B表示第二题剩下的二个选项，    共有6种等可能的结果，其中该选手通关的可能只有1种，故此时该选手通关的概率为：. ∵ ， ∴两次求助都用在第1题或都用在第2题时，该选手通关的概率大， 故选：D． 【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握画树状图的方法、概率公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 12．（3分）（23-24九年级·安徽安庆·期末）某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润） 沃柑总质量 … 100 200 300 400 500 损坏沃柑质量 … 沃柑损坏的频率（精确到0.001） … 【答案】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键． 从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案． 【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为， 设每千克沃柑的实际售价定为元， 则有， 解得， 所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润． 故答案为：． 13．（3分）（23-24九年级·辽宁铁岭·期末）某鱼塘养了1000条草鱼、500条鲤鱼、若干条鲫鱼，鱼塘主通过多次捕捞试验发现，捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右．若鱼塘主随机在鱼塘里捕捞一条鱼，捕捞到草鱼的概率约为 ． 【答案】0.5/ 【分析】根据捕捞到鲫鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到草鱼的概率． 【详解】解：∵捕捞到鲫鱼的频率稳定在0.25左右， 设鲫鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=500， 经检验：x=500是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到草鱼的概率约为: ， 故答案为：0.5. 【点睛】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由鱼的数量和鲫鱼出现的频率可以计算出草鱼的数量,进而估算出捕捞到草鱼的概率． 14．（3分）（23-24·河南新乡·三模）小月、小梅两位同学去学校餐厅吃饭，并在如图所示的四座餐桌处随意落座，则小月坐在小梅正对面的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举求概率，正确画出树状图是解答本题的关键．根据题意画出树状图，找到所有可能结果和符合条件的结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：设四个座位，正对面的分别为①和②，③和④，根据题意画出树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小月和小梅坐正对面的结果有：①②，②①，③④，④③，共4种， ∴小月坐在小梅正对面的概率为． 故答案为：． 15．（3分）（23-24九年级·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键． 16．（3分）（23-24·上海·二模）定义：若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如，2不是“连加进位数”，因为不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为产生进位现象；51是“连加进位数”，因为产生进位现象．如果从0，1，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是 ． 【答案】 【分析】按照定义将数据依次代入进行验证，找出规律，得到“连加进位数”的个数，进而求出概率. 【详解】当n=0时，，不是连加进位数， 当n=1时，，不是连加进位数， 当n=2时，，不是连加进位数， 当n=3时，，是连加进位数， 故0到9中，0、1、2不是连加进位数； 当n=10时，，不是连加进位数， 当n=11时，，不是连加进位数， 当n=12时，，不是连加进位数， 当n=13时，，是连加进位数， 故10到19中，10、11、12不是连加进位数； 以此类推，20到29中，20、21、22不是连加进位数，30到39中，30、31、32不是连加进位数，40以后全部是连加进位数，所以连加进位数总共88个， 故取到“连加进位数”的概率是. 【点睛】本题考查概率的算法，根据题意筛选出符合条件的的情况数目是解题的关键. 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）（23-24九年级·广东揭阳·期末）在一个不透明的口袋中装着大小、外形等一模一样的个红球、个蓝球和个白球，它们已经在口袋中被搅匀了．请判断以下事情是不确定事件、不可能事件，还是必然事件． 从口袋中任意取出一个球，是一个白球； 从口袋中一次任取个球，全是蓝球； 从口袋中一次任意取出个球，恰好红蓝白三种颜色的球都齐了． 【答案】不确定事件；不可能事件；必然事件 【分析】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、篮球或白球，即可判断； （2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，即可判断； （3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，即可做出判断． 【详解】（1）从口袋中任意取出一个球，可能是红球、蓝球或白球，所以这个事件是不确定事件； （2）口袋中只有三个蓝球，则从口袋中一次任取个球，不可能全是蓝球，所以这个事件是不可能事件； （3）由于口袋中有个红球、个蓝球和个白球，任意一种或两种颜色的球的总数都小于9，所以从口袋中一次任意取出个球，必然是三个颜色都有，因此这个事件是必然事件． 【点睛】本题考查了不确定事件、不可能事件、必然事件的概念，熟练掌握各种事件的概念是判断此类问题的依据． 18．（6分）（23-24九年级·江苏淮安·期末）随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，人们的出行方式越来越多，出行越来越便捷． 为保障旅客快捷、安全的出入车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有三个出入闸口， 分别记为A，B，C． (1)一名乘客通过该站闸口时，选择B闸口通过的概率是 ； (2)当两名乘客通过该站闸口时，请用画树状图或列表法求这两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵有A，B，C三个闸口， ∴一名乘客通过此地铁闸口时，选择B闸口通过的概率为， 故答案为：； （2）解：根据题意画图如下： 共有9种等可能情况，其中两名乘客选择不同闸口通过的有6种， ． 19．（8分）（23-24九年级·山西临汾·期末）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成． (1)某兴趣小组从某个二维码中截取部分开展数学活动．如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.6附近，据此可以估计这个区域内黑色部分的总面积为______． (2)另一兴趣小组对由三个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率，频率与概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （1）利用频率估计概率，再计算面积即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）画树状图如图： 由树状图知，共有8种等可能结果，其中恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的有3种结果， 所以恰好是一个黑色小正方形和两个白色小正方形的概率为 20．（8分）（23-24九年级·河北廊坊·期末）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戏，一人为蒙眼人，捉另外两人，捉到一人，记为捉一次；被捉到的人成为新的蒙眼人，接着捉……一直这样玩（每次捉到一人）．请用树状图解决下列问题， (1)若甲为开始蒙眼人，捉两次，求第二次捉到丙的概率； (2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，应该谁为开始蒙眼人？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】（1）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉两次所有可能出现的情况，进而求出捉2次，捉到丙的概率； （2）用树状图法列举出甲为开始蒙眼人，捉三次所有可能出现的情况，通过甲、乙、丙被捉到的次数得出结论． 【详解】（1）解：如图1，甲为开始蒙眼人，捉两次，所有可能出现的结果如下：    共有4种可能出现的结果，其中第2次捉到丙的只有1种， 所以甲为开始蒙眼人，捉两次，第二次捉到丙的概率为． （2）如图2，若甲为开始蒙眼人，捉三次，所有可能出现的结果情况如下：    共有8种可能出现的结果，其中第3次提到甲的有2种，捉到乙的有3种，捉到丙的有3种， 根据所有结果出现的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，应该甲为开始蒙眼人． 【点睛】本题考查用树状图法求随机事件发生的概率．列举出所有可能出现的结果是正确解答的关键． 21．（8分）（23-24九年级·贵州贵阳·期末）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校九年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 22．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期末）常州地铁一号线是常州市第一条开工建设的地铁线路，于2014年10月28日开工建设，于2019年9月21日开通运营，小张和小林准备利用课余时间，以问卷调查的方式对常州居民的出行方式进行调查．如图是常州地铁一号线的路线图（部分），小张和小林商量好准备从旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C）这三站中，各选不同的一站作为问卷调查的站点． (1)在这三站中，小张选取问卷调查的站点是森林公园站的概率是 ； (2)请你用画树状图或列表法分析，求小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率．（各站点可用相应的英文字母表示：旅游学校站（代号A）、新龙站（代号B）、森林公园站（代号C） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了根据概率公式计算概率，用画树状图或列表法求概率． （1）根据题意可知共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况，然后根据概率公式计算概率即可． （2）列出表格，得出总的情况数，再得出小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：∵共有3个站，选取每个站都是等可能的，小张选取问卷调查的站点是森林公园站只有1种情况 ∴在这三站中，小张随机选取的站是森林公园站的概率是； （2）列表如下： A B C A (A，A) (B，A) (C，A) B (A，B) (B，B) (C，B) C (A，C) (B，C) (C，C) ∴共有9种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的结果有4种， ∴小张和小林选取问卷调查的站点正好相邻的概率为． 23．（8分）（23-24九年级·山东济南·期末）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图1是由边长为的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，分别是五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，图2是一个用该“七巧板”拼成的“台灯”形状装饰图，放入长方形中，装饰图中三角形的顶点F在边上，三角形的边和分别在边、上，使得．      (1)通过观察图形得到 ； (2)一只蚂蚁在长方形内爬行，已知它停在长方形内任意一点的可能性相同，那么它停在“台灯”上与空白区域的可能性相同吗？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)可能性不同，见解析 【分析】本题通过七巧板考查正方形的性质，勾股定理，几何概率，理解题意，发现与图1中的正方形对角线间的关系，以及掌握几何概率公式是解题的关键． （1）观察可以发现正好等于正方形的对角线长，利用勾股定理求出对角线长即可； （2）根据几何概率公式分别求出它停在“台灯”上与空白区域的概率，即可作出判断． 【详解】（1）解：对比图2与图1，可以发现正好等于正方形的对角线长， ∵正方形的边长为， ∴对角线长为， 故答案为：， （2）解：不相同． 说明：∵， ∴， ∴(它停在“台灯”上）， 它停在空白区域， ， ∴它停在“台灯”上与空白区域的可能性不相同． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$