4.5.2用二分法求方程的近似解课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2 用二分法求方程的近似解 池州一中 王真 函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线， 且有f(a)·f(b)<0 ，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存 在c=(a,b) ，使得f(c) =0 ，这个c也就是方程f(x)=0 的解。 方程 f (x)=0 有实数解 。函数 y=f (x) 有零点 。函数 y=f (x) 的图象与 x 轴有公共点 2、判断在某个区间是否存在零点的方法 1、函数的零点与方程的解的关系： 复习引入 零点存在定理：（1）回答了 “有没有变号零点” 存在问题，若有， 可以判断变号零点所处的区间； （2）没有回答 “有几个零点”，如果是单调函数， 在某区间上有零点的话，则只能有一个； （3）某区间内即使有变号零点，此定理也没有解决 “这个零点是什么”的问题。 下面我们来解决 “求变号零点的近似值 ”的问题 。 复习引入 （一）引入问题，探讨方法 问题1. 我们已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3） 内存在一个零点，如何求出这个零点？ 思考1: 你能求出函数f(x)=lnx+2x-6零点的精确值吗？ 不能求出，在实际问题中，往往只需求出满足一 定精确度的近似解. 思考2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求 的零点的近似值吗？ 2.5 为区间(a,b)的中点 2.5到零点 x0 的距离 1 2.5 0.5 0.5 x0 思考3：当精确度为0.5时， 3可以看作零点的一个近 似值吗？为什么？ 可以 >0 <0 问题探究 求函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值的方法 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小， 那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的 近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法， 逐步缩小 零点所在的范围. 1 2 3 4 5 f(x)=lnx+2x-6 ∵f(2)<0 ，f(3)>0∴x0 =(2 ，3) ∵f(2.5)<0 ，f(3)>0∴x0 =(2.5 ，3) ∵f(2.5)<0 ，f(2.75)>0∴x0 =(2.5 ，2.75) ∵f(2.5)<0 ，f(2.625)>0∴x0 =(2.5 ，2.625) ∵f(2.5)<0 ，f(2.5625)>0∴x0 =(2.5 ，2.5625) ∵f(2.53125)<0 ，f(2.5625)>0 ∴x0 =(2.53125 ，2.5625) 问题探究 问题探究 由于(2，3)=(2.5，3)=(2.5，2.75)... ，所以零点所在的范围变小 了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小，这样， 我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满 足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近 似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值. 区间 中点的值 中点函数近似值 当精确度为0.01时,由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01 所以,我们可以在区间（2.53125,2.5390625)上任取一数值作为 零 点的近似值(取区间的一个端点值如2.53125),即方程lnx+2x-6=0的近 （二）解决问题，实施方法 问题2：当精确度为0.01时，求函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值. 似解 科网ZXXK] 归纳出二分法的定义： （三）总结提炼，规范方法 1. 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε; 2. 求区间(a,b)的中点c； 3. 计算f(c) ； 若f(c)=0，则c就是函数的零点c ； 若f(a)·f(c)<0，此时零点x0 =(a,c) ，则令b=c;若f(b)·f(c)<0，此时零点x0 =(c,b) ， 则令a=c; 4. 判断是否达到精度ε ,若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b)，否则重复步骤2~4； 由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0 的满足精确度ε 的近似值， 为了方便，我们统一取区间端点值a(或b). 用二分法求函数零点近似值的步骤 （四）例题实践，熟悉方法 例 借助信息技术，用二分法求方程 2x＋3x=7函数的近似解（精确 度为0.1） 【解析】原方程即2x＋3x－7=0 ，令f(x) =2x＋3x－7，用信息技术画出函数 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273 y =f (x)的图象，并列出它的对应值表. 观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0 . 区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.33 (1,1.5) 1.25 -0.87 (1.25,1.5) 1.375 -0.28 (1.375,1.5) 1.4375 0.02 (1.375,1.4375) 由于 |1.375－1.4375|=0.0625<0.1， 所以原方程的精确度为0.1的近似解可以为1.375 （或为1.4375）. 解析:能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a,b]上连续不断,并且 有f(a)·f(b)<0,由图象可得,只有③能满足此条件,故不能用 “二分法” 求其零点的是①②④,故选C. （五）练习运用，巩固方法 1 、通过下列函数的图象,判断不能用 “二分法”求其零点的是( C ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 解析:由参考数据可知f(2.25)f(2.3125)<0,且|2.312 5-2.25|=0.062 5<0.1, 所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的近似值,也即 为方程x-3+log3x=0的近似根. f(2)≈-0.369 1 f(2.25)≈-0.011 9 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.5)≈0.334 0 f(2.375)≈0.162 4 f(2.281 25)≈0.031 9 则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)为( C) A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 2 、若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计 算,参考数据如下: 3.试用二分法求5的算术平方根（精度为0.2） 解： 注意：二分法并不适用于所有零点 ，只能求函数 的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的. （六）梳理小结 用二分法求方程的近似解 不断缩小零点所在区间 算法思想 （程序化） 总结实施二分法的步骤 从特殊到一般 归纳推理的思想 函数思想 （化归 ） 函数零点 极限思想（逼近） 方程的解 二分法求方程近似解，计 算量较大，重复步骤多，这可 以让计算机来完成，但是得是 人设计好计算程序，由计算机 执行，其程序框图为： （七）扩展延伸 教科书习题4.5第4,5，8题. 布置作业 $$