第24章 相似三角形 章节测试练习卷-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第24章 相似三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（2021九年级·上海·专题练习）如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 2．（21-22九年级上·上海青浦·期末）下列图形，一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，且，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．，方向相同 D． 4．（19-20九年级上·上海·期中）如图，如果D、E分别在的两边、上，由下列条件中可以推出的有（　　）    A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 9．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 10．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 11．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，，如果，，，那么 ． 12．（20-21九年级上·上海宝山·期中）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 13．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，点分别在上，，则 ． 14．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 15．（22-23九年级上·上海·开学考试）在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为 ． 16．（19-20九年级上·上海·阶段练习）如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米，它们的周长之差60厘米，那么这两个三角形的周长分别是 . 17．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为 ． 18．（20-21九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝ ． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，． 求证：； 20．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 21．（24-25九年级上·全国·课后作业）阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 22．（23-24·上海崇明·期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 23．（20-21九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，一盏路灯（点处）距离地面米，身高米的小明（图中线段）与路灯底部（处）的距离米，    (1)求此时小明在路灯照射下的影长． (2)若小明想让自己的影长与身高相等，那么他应该向哪个方向走多少米? 24．（2024·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 25．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 26．（九年级上·上海·阶段练习）梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心． （1）求证：G1G2//AD； （2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值． 27．（2023·上海徐汇·一模）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第24章 相似三角形 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1．（2021九年级·上海·专题练习）如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（    ） A．处 B．处 C．处 D．处 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则对应边的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC==2，BC==，， ∴，即， ∴BP=4，PD=4， 只有符合这样的要求，故P点应该在． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 2．（21-22九年级上·上海青浦·期末）下列图形，一定相似的是（    ） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个菱形 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解． 【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似； B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似； C.两个等边三角形，角都是60°，故相似； D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似； 故选C． 【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知，且，下列说法中，不正确的是（    ） A． B． C．，方向相同 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面向量，熟练掌握向量的基本性质和运算是解答的关键．根据向量的和与差运算可以得到向量与的关系即可解答． 【详解】解：，，且， ，即， ，，与方向相反， ∴选项A，B，D正确，C错误， 故选：C 4．（19-20九年级上·上海·期中）如图，如果D、E分别在的两边、上，由下列条件中可以推出的有（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线截线段对应成比例直接判定即可得到答案； 【详解】解：A、由，不能得到，故本选项不合题意， B．由不能得到，故本选项不合题意， C．由，能得到，故本选项合题意， D．由，不能得到，故本选项符不合题意， 故选：C； 【点睛】本题考查平行线截线段对应成比例． 5．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 【详解】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，其中，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，变形计算即可． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 8．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故答案为：． 9．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据是的比例中项，得到，代入计算即可． 本题考查了比例中项的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：6． 10．（2024·上海杨浦·三模）已知在梯形中，，点、分别是边、的中点，，设，那么 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，梯形中位线定理；由梯形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点、分别是边、的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 11．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，，如果，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 12．（20-21九年级上·上海宝山·期中）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为，那么其较长边用含的代数式表示为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：设较长边为b， ∵所得到的矩形ABCD与原矩形相似， ∴， 整理得，， 解得，b=， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，点分别在上，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，正确写出对应线段线是解题的关键．利用平行线分线段成比例可得到，代入可求得，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 14．一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它形状相同的四边形最小边长为6，则另一个四边形的周长是 ． 【答案】36 【详解】根据对应边成比例，得出该四边形的另三条边的长分别是8，10，12．所以周长为6＋8＋10＋12＝36． 15．（22-23九年级上·上海·开学考试）在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键 ． 【详解】解：当时，， 则， ∴， 故答案为：4 ． 16．（19-20九年级上·上海·阶段练习）如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米，它们的周长之差60厘米，那么这两个三角形的周长分别是 . 【答案】100cm, 40cm 【分析】运用相似三角形的周长比等于相似比进行作答即可. 【详解】解：设小三角形的周长是x厘，则大三角形的周长是（x+60）厘米 由题意得：（x+60）：x=35：14， 解得x=40. 所以大三角形的周长是100厘米. 故答案为100cm和40cm. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,熟记并灵活应用相似三角形的周长的比等于相似比是解答的关键. 17．（22-23九年级上·上海徐汇·期中）定义：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又叫做位似比，这个点叫做位似中心．如图，已知点A、B、C的坐标分别为，，，点P坐标为．以点P为位似中心，与△ABC位似，且位似比为，那么点B的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】他两种情况：①当与△ABC，在点P同侧时，②当与△ABC，在点P两 侧时，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况：如图，①当与△ABC，在点P同侧时，连接过点，在上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②当与△ABC，在点P两 侧时，连接过点，在延长线上取点使， ∵，， ∴，， ∴， ∴点横坐标为1-2=-1， ∴； 综上，的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查求位似变换点的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 18．（20-21九年级上·上海金山·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若进行以下操作，在边BC上从左到右依次取点D1、D2、D3、D4，过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F2；过点D2作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E2、F2；过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3，则4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝ ． 【答案】40400 【分析】由D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得＝，因为AB＝5，BC＝4，所以有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下规律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20． 【详解】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB， ∴＝，即＝， ∵AB＝5，BC＝4， ∴4D1E1+5D1F1＝20， 同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2020E2020+5D2020F2020＝20， ∴4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2020＝40400； 故答案为：40400． 【点睛】本题考查平行线的性质，探索规律．能够根据平行线的性质和等量代换得到4D1E1+5D1F1＝20是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9题，19-23题每题6分，24-27题每题7分，满分58分） 19．（2024九年级上·上海·专题练习）如图，在中，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由平行得两组相等的同位角，即可证明三角形相似． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 20．（2024·上海黄浦·二模）如图，D是边上点，已知，，．    (1)求边的长； (2)如果（点A、C、D对应点C、B、D），求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点． （1）证明，由相似的性质可得出，然后计算出，代入求值即可． （2）由得出，由勾股定理的逆定理得出，进一步得出，由等量代换即可求出，即的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∵，即 ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 21．（24-25九年级上·全国·课后作业）阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【答案】(1)①若，则；②若，则 (2)见解析 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意写出答案即可； （2）运用设参法，证明①时，设设，则，，求出，即可得出结论．同理可证明②． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则． （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． 22．（23-24·上海崇明·期末）如图，点E在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上． (1)填空：＝ ，＝ ； (2)图中与相等的向量是 ，与相反的向量是 ； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)，； (2)；或 (3)详见解析 【分析】（1）根据向量的和的定义求解即可； （2）根据相等向量，相反向量的定义判断即可； （3）分别以E，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点F，连接，即为所求． 本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 【详解】（1）解：＝， ； 故答案为：，； （2）解：∵是平行四边形， ∴， ∴图中与相等的向量是，与相反的向量是或； 故答案为：；或； （3）如图，即为所求； 23．（20-21九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，一盏路灯（点处）距离地面米，身高米的小明（图中线段）与路灯底部（处）的距离米，    (1)求此时小明在路灯照射下的影长． (2)若小明想让自己的影长与身高相等，那么他应该向哪个方向走多少米? 【答案】(1)小明在路灯照射下的影长为米 (2)沿方向走米， 【分析】（1）依题意，，则，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）设影子长为，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即此时小明在路灯照射下的影长为米； （2）解：依题意，如图所示，设影子长为， 小明的影长与身高相等，    同理可得， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 由（1）可得 ∴ 即沿方向走米， 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．（2024·上海徐汇·二模）如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，． (1)求证：； (2)分别连接、，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定 （1）连结，可得，，进而即可得到结论； （2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可． 【详解】（1）证明：连结． ∵四边形是菱形， ∴； 又，， ∴，； ∴，； ∴． （2）证明：连接 ∵， ∴； ∵， ∴； 又， ∴； 又， ∴四边形是梯形； ∵,即； 又∵，即； ∵四边形是菱形， ∴； ∴； ∴； ∴梯形是等腰梯形． 25．（22-23九年级上·上海·开学考试）如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴.   将，，代入，得. 解得 ． （2）解：∵， ∴. ∵， ∴.    将，代入，得. 解得. 26．（九年级上·上海·阶段练习）梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC和BD相交于点O，G1和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心． （1）求证：G1G2//AD； （2）延长AG1交BC于点P，当P为BC的黄金分割点时，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF．易得EF为的中位线，故EF//AD，根据重心的性质可得，即//，即可得证； （2）根据点P为黄金分割点，可得，再根据中位线的性质即可求解． 【详解】（1）连接、并延长交AO、OD于点E、F，连接EF． 因为、为三角形AOB和三角形COD的重心， 所以点E、F为AO、DO的中点， 所以EF为的中位线， 所以EF//AD， 又因为， 所以//， 所以//． （2） 因为点P为黄金分割点， 所以， 又因为RQ是中位线， 所以RQ//BC，， 因为AD//PQ， 所以， 所以． 【点睛】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割，掌握重心的性质是解题的关键． 27．（2023·上海徐汇·一模）如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)、10或7 【分析】（1）证，则有，由，得到，然后根据相似三角形的性质即可求解； （2）由可得 ，根据可得，从而得到，推出，从而得到 问题得以解决； （3），因而当当是等腰三角形时，也是等腰三角形，然后只需分三种情况——，，讨论，就可解决问题． 【详解】（1） （2） 整理得： （3）当是等腰三角形时，长为、10或7 解题过程如下： ∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形 第一种情况：当时，则有 第二种情况：当时，则有 第三种情况：当时，作 于H，如图， 则有 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，解题的关键是面积法、分类讨论的思想的运用． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$