专题5.2 等比数列（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题5.2 等比数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：等比数列及其通项公式 3 考点二：等比中项、等比数列的性质 4 考点三：等比数列的前n项和 5 考点四：等比数列的应用 6 【考纲要求】 1. 理解等比数列的概念，了解等比数列的通项公式和递推公式. 2. 掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 3. 能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 【考向预测】 1.等比数列的通项公式 2.等比中项及等比数列的性质 3.等比数列的前n项和 4.等比数列的简单应用 【知识导图】 【知识清单】 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 【考点分类剖析】 考点一：等比数列及其通项公式 例1．在数列中，，且，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【变式探究】1．在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．在等比数列中，，公比，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．8 例2．已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【变式探究】1．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【变式探究】2．公比为的等比数列满足，，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 例3．已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【变式探究】1．已知数列是等比数列，满足，公比，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式探究】2．已知为等比数列，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 例4．在数列中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知数列中，，，则（    ） A．2045 B．1021 C．1027 D．2051 【变式探究】2．已知数列{an}满足a1=2，若an+1=3an+2(n∈N*)，则a4=（    ） A．26 B．74 C．78 D．80 例5．已知等比数列的公比为4，则的值为（    ） A．4 B． C． D．16 【变式探究】1．设是等比数列，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式探究】2．已知等比数列{an}的公比，则等于（　　） A． B． C． D．9 考点二：等比中项、等比数列的性质 例1．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【变式探究】1．两个数4和9的等比中项是（    ） A．6 B． C． D． 【变式探究】2．已知实数是2、8的等比中项，则（    ） A． B． C．4 D．5 例2．在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式探究】1．已知等比数列的各项都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．在等比数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A．10 B．12 C．32 D．33 【变式探究】1．已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【变式探究】2．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．±6 例4．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【变式探究】1．设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．2 C．30 D．32 【变式探究】2．已知数列满足，若，则 A． B． C． D． 考点三：等比数列的前n项和 例1．等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【变式探究】1．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【变式探究】2．设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 例2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【变式探究】1．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．设为正项等比数列的前n项和，已知，，则的值为（    ） A．20 B．512 C．1024 D．2048 例3．记为等比数列的前n项和，若，，则公比（    ） A． B． C．3 D．2 【变式探究】1．已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为（    ） A． B． C．2 D． 【变式探究】2．若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 例4．等比数列中，，则的前项和（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例5．已知等比数列的前n项和为.且，，则（    ） A．16 B．19 C．28 D．36 【变式探究】1．等比数列的前项和，若，，则（    ） A．72 B．81 C．90 D．99 【变式探究】2．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（    ） A． B． C． D． 考点四：等比数列的应用 例1．某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【变式探究】1．剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（    ） A．860个 B．1730个 C．3072个 D．3900个 例2．某环保小组发现衡水市生活垃圾年增长率为b，2010年衡水市生产垃圾量为a吨，由此可以预测2020年垃圾量为 A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【变式探究】1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A．人 B．人 C．人 D．人 【变式探究】2．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 例3．某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（    ） A．16个 B．31个 C．32个 D．63个 【变式探究】1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．5盏 B．4盏 C．3盏 D．2盏 【变式探究】2．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得、、、个单位，递减的比例为.若某项比赛设有一等奖、二等奖、三等奖、四等奖各一名，奖金共有（）万元，按一等奖、二等奖、三等奖、四等奖的顺序进行“衰分”，已知三等奖奖金万元，二等奖、四等奖衰分所得的奖金和为万元，则“衰分比”与的值分别是（    ） A．     B．     C．     D．     原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 等比数列 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：等比数列及其通项公式 3 考点二：等比中项、等比数列的性质 7 考点三：等比数列的前n项和 10 考点四：等比数列的应用 15 【考纲要求】 1. 理解等比数列的概念，了解等比数列的通项公式和递推公式. 2. 掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 3. 能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 【考向预测】 1.等比数列的通项公式 2.等比中项及等比数列的性质 3.等比数列的前n项和 4.等比数列的简单应用 【知识导图】 【知识清单】 1.等比数列的概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab. 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝. 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 【考点分类剖析】 考点一：等比数列及其通项公式 例1．在数列中，，且，则等于（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据条件得到为公比为2的等比数列，从而求出答案. 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列， 所以. 故选：C 【变式探究】1．在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的定义知为等比数列，由得的通项公式. 【详解】∵，即： ， ∴为等比数列，公比， ∴ 故选：D. 【变式探究】2．在等比数列中，，公比，则（    ） A．2 B．3 C．1 D．8 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为是等比数列， 所以. 故选：C. 例2．已知等比数列为递增数列，若，，则公比（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列的角标性质结合单调性得出公比. 【详解】由，解得或； 数列是由正数组成的递增数列，，且. 故选：D 【变式探究】1．已知是等比数列的前n项和，，，则公比（    ） A． B． C．3或 D．或 【答案】D 【分析】利用等比数列通项和前n项和的基本量运算列出方程，求解即得. 【详解】由， 因，代入得，， 即，解得，或. 故选：D. 【变式探究】2．公比为的等比数列满足，，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式：，代入解关于的方程，即可得的值. 【详解】由，知，又， 则， ，解得（舍），或. 故选：C. 例3．已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】因为正项等比数列单调递增，所以，所以， 又，所以，所以， 故选B. 【变式探究】1．已知数列是等比数列，满足，公比，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为数列是等比数列，满足，公比， 所以. 故选：B 【变式探究】2．已知为等比数列，，，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由等比数列基本量的计算依次求得，，进一步即可得解. 【详解】由题得，，故， ，故，即，， 所以. 故选：D. 例4．在数列中，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，利用等比数列的定义得到数列表示首项为，公比为的等比数列，进而求得，得到答案. 【详解】由，可得，即， 又由，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列， 则，即. 故选：D. 【变式探究】1．已知数列中，，，则（    ） A．2045 B．1021 C．1027 D．2051 【答案】A 【解析】由数列递推关系式得到数列 为首项为4，公比为2的等比数列．求出其通项公式可得的值． 【详解】，变形为 即 故数列 为等比数列，首项为4，公比为2． ． 故选：A 【变式探究】2．已知数列{an}满足a1=2，若an+1=3an+2(n∈N*)，则a4=（    ） A．26 B．74 C．78 D．80 【答案】D 【分析】采用配凑法，可得数列是等比数列，然后可得数列的通项公式，最后可得结果. 【详解】由题可知：由， 所以 又，所以 则数列是以3为首项，3为公比的等比数列 所以 所以 故选：D 【点睛】本题考查根据递推关系求通项公式，考验观察能力以及熟悉常见的递推关系，快速求解通项公式，本题也可以使用待定系数法，假设，属基础题. 例5．已知等比数列的公比为4，则的值为（    ） A．4 B． C． D．16 【答案】A 【分析】利用等比数列项的性质化简计算即得. 【详解】因等比数列的公比为4，故. 故选：A. 【变式探究】1．设是等比数列，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设数列公比，利用题设联立求得公比，化简所求式，将公比代入计算即得. 【详解】设的公比为，由，得，所以， 从而． 故选：B． 【变式探究】2．已知等比数列{an}的公比，则等于（　　） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】由题意，根据等比数列的性质可得，即可求解. 【详解】等比数列{an}的公比， 则． 故选：D． 考点二：等比中项、等比数列的性质 例1．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ） A．12 B． C． D．30 【答案】C 【分析】根据等比中项定义直接求解即可. 【详解】记与的等比中项为G， 则， 所以. 故选：C 【变式探究】1．两个数4和9的等比中项是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比中项的定义即可得出． 【详解】设4和9的等比中项为，则，所以. 故选：B. 【变式探究】2．已知实数是2、8的等比中项，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】 由等比中项的定义列方程求解即可. 【详解】因为实数是2、8的等比中项， 所以，得， 故选：A 例2．在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用等比中项的含义可求答案. 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式探究】1．已知等比数列的各项都是正数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用等比中项的性质结合数列是正项数列可求得的值. 【详解】已知等比数列的各项都是正数，且，由等比中项的性质可得。 因此，. 故选：C. 【变式探究】2．在等比数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用等比中项的性质可求得的值. 【详解】由等比中项的性质可得，因此，. 故选：C. 例3．已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A．10 B．12 C．32 D．33 【答案】C 【分析】根据韦达定理及下标和性质计算可得. 【详解】因为，为函数的两个零点， 即，为关于的方程的两根， 所以，又为等比数列，所以. 故选：C 【变式探究】1．已知数列是等比数列，若，是的两个根，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程韦达定理得出，得出，再利用等比数列的性质，计算出结果； 【详解】若，是的两个根，则， 因为数列是等比数列，，. 故选：C. 【变式探究】2．在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．±6 【答案】A 【分析】应用等比数列通项公式性质求解即可. 【详解】因为是等比数列，所以. 故选：A. 例4．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得. 【详解】因为，，所以，解得，则． 故选：B 【变式探究】1．设是等比数列，且，，则（    ） A．12 B．2 C．30 D．32 【答案】D 【分析】利用等比数列的性质进行求解即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 因为， 所以由， 所以， 故选：D 【变式探究】2．已知数列满足，若，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推关系证得该数列是等比数列并可求公比，再由等比数列性质与已知即可求得答案. 【详解】由题可知，，则，所以数列是以为公比的等比数列， 则，所以. 故选：D 【点睛】本题考查由递推关系求等比数列的公比，还考查了由等比数列性质求值，属于基础题. 考点三：等比数列的前n项和 例1．等比数列的首项，公比，则等于（    ） A． B．31 C． D．63 【答案】D 【分析】利用等比数列前项和公式求解. 【详解】因为等比数列的首项，公比， 所以. 故选：D. 【变式探究】1．已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前5项和为（    ） A．11 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列前n项和公式求解. 【详解】根据题意，. 故选：A 【变式探究】2．设等比数列的前项和为，则（    ） A． B．63 C． D．31 【答案】A 【分析】由题意知，继而由，解得， 利用等比数列的前项和公式代入求值即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由，解得， 故． 故选：A. 例2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】设出公比根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列通项的基本量计算求出答案. 【详解】设数列的公比为， 则，得， 解得或（舍）， 所以. 故选：C. 【变式探究】1．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设公比，将等式运用公式化简求出，再代入通项公式即可求得. 【详解】设等比数列的公比为，由可知（否则不成立）， 则有，化简得，，解得，， 于是，. 故选：C. 【变式探究】2．设为正项等比数列的前n项和，已知，，则的值为（    ） A．20 B．512 C．1024 D．2048 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式和求和公式即可求出结果，再运用等比数列求和公式时要对进行分类讨论. 【详解】设正项等比数列的公比为，则当时，由得： ，不满足，所以，则， 又因为，,所以可得：， 化简得：，解得， 所以， 故选：C. 例3．记为等比数列的前n项和，若，，则公比（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】由等差数列求和公式基本量的计算即可得解. 【详解】若，，则，解得，符合题意. 故选：D. 【变式探究】1．已知正项等比数列的前项和为，若，则数列的公比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的求和公式，结合正项等比数列求出最后的结果. 【详解】设数列的公比为，显然，则，解得或（舍去）. 故选C. 【变式探究】2．若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，依次求出，依题即可求得公比. 【详解】由，时，， 时，由解得，， 依题意，. 故选：C. 例4．等比数列中，，则的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式整理方程，解得公比，利用求和公式，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，由，则， 解得，所以. 故选：B. 【变式探究】1．已知数列是递增的等比数列,且,,则数列的前n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得,进而可得,然后利用求和公式即得. 【详解】设数列的公比为, 由题意可得：, 又数列是递增的等比数列, 所以, 所以, 所以数列的前项和为. 故选:A. 【变式探究】2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由表达式可知利用等比数列求和公式计算即可. 【详解】由可知， 该表达式是一个以首项为1，公比为3的等比数列，共有项 故， 故选：C. 例5．已知等比数列的前n项和为.且，，则（    ） A．16 B．19 C．28 D．36 【答案】C 【分析】利用，，成等比数列求解. 【详解】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列前n项性质，熟记性质是关键，是基础题. 【变式探究】1．等比数列的前项和，若，，则（    ） A．72 B．81 C．90 D．99 【答案】B 【解析】由等比数列的性质，得到成等比数列，即可求解. 【详解】， 由等比数列的性质，可得成等比数列， 则，即， 解得，即. 故选：B. 【变式探究】2．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列前和的性质，简单计算即可得到结果. 【详解】设该等比数列的前和为， 则，，成等比数列， 所以 故选：C 考点四：等比数列的应用 例1．某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（    ） A．2200元 B．1600元 C．2400元 D．3600元 【答案】B 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 【变式探究】1．剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式求解． 【详解】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴， 故选：C． 【变式探究】2．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（    ） A．860个 B．1730个 C．3072个 D．3900个 【答案】C 【分析】根据题意和等比数列的概念可知该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，进而得出首项和公比，即可求出. 【详解】由题设知， 该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且，公比． 由，， 得． 故选：C． 例2．某环保小组发现衡水市生活垃圾年增长率为b，2010年衡水市生产垃圾量为a吨，由此可以预测2020年垃圾量为 A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【详解】解：2010年产生的垃圾量是a吨，所以2011年产生的垃圾量是a（1+b）吨，2012年产生的垃圾量是a（1+ b）（1+ b）=a（1+ b）2吨．据此类推：2020年产生的垃圾量=2010年产生的垃圾量×（1+增长的百分比）10吨，即a（1+ b）10吨．故选C． 【变式探究】1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】D 【分析】先由题意得出该问题是等比数列部分求和的问题，由求和公式即可解决. 【详解】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有： , 故选D. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和，做题的关键在于认真分析题意，得出该问题的实质即是等比数列求和，即可求解，属于基础题型. 【变式探究】2．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】由题意设每年偿还x万元，根据题意列出方程求解即可. 【详解】设每年偿还x万元， 则， 所以， 解得． 故选：B 例3．某种细胞进行分裂时，第一次一个分成两个，第二次两个分成四个，……，以此类推，则一个细胞经过五次分裂后共有细胞（    ） A．16个 B．31个 C．32个 D．63个 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式可得答案. 【详解】细胞分裂后细胞个数是一个以2为首项，2为公比的等比数列， 则一个细胞经过五次分裂后共有细胞个数为. 故选：C 【变式探究】1．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（    ） A．5盏 B．4盏 C．3盏 D．2盏 【答案】C 【分析】先设塔的顶层共有灯a盏，根据题意则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列，再由等比数列前n项和公式求解. 【详解】设塔的顶层共有灯a盏， 则各层的灯数从上到下构成一个以2为公比的等比数列， 由 得 故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，还考查了抽象概括和运算求解的能力，属于基础题. 【变式探究】2．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁衰分得、、、个单位，递减的比例为.若某项比赛设有一等奖、二等奖、三等奖、四等奖各一名，奖金共有（）万元，按一等奖、二等奖、三等奖、四等奖的顺序进行“衰分”，已知三等奖奖金万元，二等奖、四等奖衰分所得的奖金和为万元，则“衰分比”与的值分别是（    ） A．     B．     C．     D．     【答案】B 【分析】根据“衰分”的知识列方程，由此求得“衰分比”与的值. 【详解】设“衰分比”为，甲衰分得万元， 则，，， 解得、、. 故选:B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$