精品解析：河南省周口市沈丘县博士学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

2023-2024学年九年级下期开学考试题数学 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30分） 1. 下列调查中，调查方式选择最合理的是（　　） A. 调查“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查 B. 调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查 C. 检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查 D. 企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 2. 为了解全校学生的上学方式，在全校1000名学生中随机抽取了150名学生进行调查．下列说法正确的是（　　） A. 总体是全校学生 B. 样本容量是1000 C. 个体是每名学生的上学时间 D. 样本是随机抽取的150名学生的上学方式 3. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A B. C. D. 4. 抛物线y＝x2－6x＋3的顶点坐标为( ) A. (3，－6) B. (3，12) C. (－3，－9) D. (－3，－6) 5. 如图，已知在⊙中，是弦，半径，垂足为点，要使四边形为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）． A. B. C. D. ． 6. 如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ） A. AE⊥DE B. AE//OD C. DE=OD D. ∠BOD=50° 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A. B. C. D. 2 8. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为了调查学生考试成绩情况，从班中抽取总分前十名的学生，这种抽样调查______（“适合”或“不适合”）． 12 抛物线经过点，则________． 13. 如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 14. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳___________名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73） 15. 如图，正方形的边长为4，点E是上的一点，将沿折叠至，若，恰好与以正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为_____________． 三、解答题（共75分） 16. 如图，点A，B，C，D⊙O上，＝．求证： （1）AC＝BD； （2）△ABE∽△DCE． 17. 已知二次函数的图象经过原点，当时，函数有最小值为． （1）求这个二次函数的表达式，并画出图象； （2）利用图象填空：这条抛物线的开口向____________，顶点坐标为____________，对称轴是直线____________，当____________时，． 18. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 19. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 20. 第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：．“龙江奶”；．“龙江肉”；．“龙江米”；．“龙江杂粮”；．“龙江菜”；．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的居民有多少人？ （2）补全条形统计图，在扇形统计图中类的百分比是______； （3）如果该社区有人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？ 21. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 22. 如图，在△ABC中，，BC为直径，D为任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）填空：①当∠CAD的度数为 时，四边形ABDC是正方形； ②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 ． 23. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由； （3）在以为直径的相切于点E，x轴于点D，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年九年级下期开学考试题数学 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题 3 分，共 30分） 1. 下列调查中，调查方式选择最合理的是（　　） A. 调查“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查 B. 调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查 C. 检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查 D. 企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可． 【详解】A．了解“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查，故A正确； B．了解一批飞机零件的合格情况，适合全面调查，故B错误； C．了解检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，调查范围广，适合抽样调查，故C错误； D．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，适合全面调查，故D错误， 故选A． 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 2. 为了解全校学生的上学方式，在全校1000名学生中随机抽取了150名学生进行调查．下列说法正确的是（　　） A. 总体是全校学生 B. 样本容量是1000 C. 个体是每名学生的上学时间 D. 样本是随机抽取的150名学生的上学方式 【答案】D 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念解答即可. 【详解】A. 总体是全校学生的上学方式，故本选项错误； B. 样本容量是150，故本选项错误； C. 个体是每名学生的上学方式，故本选项错误； D. 样本是随机抽取的150名学生的上学方式，本选项正确. 故答案选D. 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题的关键是熟练的掌握总体、个体、样本、样本容量的概念. 3. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数． 4. 抛物线y＝x2－6x＋3的顶点坐标为( ) A. (3，－6) B. (3，12) C. (－3，－9) D. (－3，－6) 【答案】A 【解析】 【详解】∵y=x²−6x+3=x²−6x+9−9+3， =(x−3)²−6， ∴抛物线顶点坐标为(3,−6). 故选A. 5. 如图，已知在⊙中，是弦，半径，垂足为点，要使四边形为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）． A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据垂径定理，可知，若再加上，则四边形满足对角线互相平分，可判定为平行四边形；再结合已知条件，则满足对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B符合题意． 考点：1．垂径定理；2．菱形的判定． 6. 如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ） A. AE⊥DE B. AE//OD C. DE=OD D. ∠BOD=50° 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥AE，根据平行线的性质以及角平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠EAD， ∴∠EAD=∠ODA， ∴OD∥AE， ∴AE⊥DE．故选项A、B都正确； ∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°， ∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故选项D正确； ∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB， ∴DE=DF<OD，故选项C不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】连接CD，根据∠ACB=90°，∠B=30°可以得到∠A的度数，再根据AC=CD以及∠A的度数即可得到∠ACD的度数，最后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接CD，如图所示： ∵ACB=90°，∠B=30°，AB=8， ∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=4， 由题意得：AC=CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD=60°， ∴的长为：＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径． 8. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为；③顶点坐标为；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】①∵a=－1，∴抛物线的开口向下，故①正确； ②对称轴为直线x=﹣1，故②错误； ③顶点坐标为（﹣1，3），故③正确； ④∵对称轴为直线x=﹣1，抛物线开口向下，∴x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确． 综上所述：正确的有①③④． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数y=a（x﹣h）2+k的性质，主要是抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数的增减性． 9. 如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为； ③菜园面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得 ， 其中，即， ①的长不可以为，原说法错误； ③菜园面积的最大值为，原说法正确； ②当时，解得或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 10. 如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象： 【详解】∵AB与⊙O相切， ∴∠BAP=90°， ∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°， ∴AB=， ∴△APB的面积，（0≤x≤2）． ∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分． 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 为了调查学生考试成绩情况，从班中抽取总分前十名的学生，这种抽样调查______（“适合”或“不适合”）． 【答案】不适合 【解析】 【分析】本题考查抽样调查，在抽取样本时，必须是随机的，且具有代表性和广泛性，各个层次的对象都要有所体现．根据所选的样本是否满足抽样调查的特点解答即可． 【详解】解：为了调查学生考试成绩情况，从班中抽取总分前十名的学生，样本不具有代表性和广泛性，故这种抽样调查不适合， 故答案为：不适合． 12. 抛物线经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质 ，已知式子的值，求代数式的值，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想． 【详解】解：把点代入 得：， 化简得：， ∴ ， 故答案为：． 13. 如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】设平移后的抛物线解析式为y=x2+2x-1+b， 把A（0，3）代入，得 3=-1+b， 解得b=4， 则该函数解析式为y=x2+2x+3． 故答案为：y=x2+2x+3 14. 为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳___________名观众同时观看演出．（取3.14，取1.73） 【答案】184 【解析】 【分析】过点O作的垂线段，交于点，根据直角三角形的边长关系求出的角度，阴影面积即为扇形的面积减去三角形的面积，随机可以求出容纳观众的数量． 【详解】解：如图，过点O作的垂线段，交于点， 圆心O到栏杆的距离是5米， 米， ， ，米， ， ， ， 可容纳的观众 阴影部分面积（人）， 最多可容纳184名观众同时观看演出， 故答案为：184． 【点睛】本题考查了弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为4，点E是上的一点，将沿折叠至，若，恰好与以正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为_____________． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，涉及正方形的性质、勾股定理、切线长定理以及折叠的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 连接，由O为正方形的中心，得到，又与为圆O的切线，根据切线长定理得到平分，可得出，由折叠可得，再由正方形的内角为直角，可得出为，在直角中，设，利用所对的直角边等于斜边的一半得到，再由正方形的边长为4，得到为4，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵O为正方形的中心， ， 又与都为圆O的切线， 平分，即， ，即， 又沿着折叠至， ， ， 在中，设，则，又， 根据勾股定理得：，即， 解得： ， ． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证： （1）AC＝BD； （2）△ABE∽△DCE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似． 【小问1详解】 ∵＝ ∴＝ ∴ ∴BD=AC 【小问2详解】 ∵∠B=∠C ∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DCE 【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键． 17. 已知二次函数的图象经过原点，当时，函数有最小值为． （1）求这个二次函数的表达式，并画出图象； （2）利用图象填空：这条抛物线的开口向____________，顶点坐标为____________，对称轴是直线____________，当____________时，． 【答案】（1）图形见解析；（2）上　 【解析】 【分析】（1）由于当时，函数有最小值为，则可设顶点式为，再把原点坐标代入求出即可，然后利用描点法画抛物线； （2）根据抛物线的性质可确定抛物线顶点坐标和对称轴方程即可． 【详解】解：（1）∵当时，函数有最小值为， ∴二次函数的表达式为， ．∵二次函数的图象经过原点， ∴ ∴， ．∴二次函数的表达式为． 函数如图所示： （2）这条抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是直线，当时，． 18. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围； （2）把点A（3，0）代入二次函数解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴△=， ∴m＞﹣1； 故答案为：m＞﹣1； （2）∵二次函数的图像过点A（3，0）， ∴， ∴m=3， ∴二次函数的解析式为：， 令x=0，则y=3，∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：，∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为：x=1， ∴，解得：， ∴P（1，2）． 19. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，证出，即可得出结论； （2）根据，分别求出和即可得出答案． 【小问1详解】 连接、， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 ，， 为等腰直角三角形， 设，则， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定定理、扇形的面积、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理． 20. 第二十二届中国绿色食品博览会上，我省采用多种形式，全方位展示“寒地黑土”“绿色有机”金字招牌，大力推介以下绿色优质农产品：．“龙江奶”；．“龙江肉”；．“龙江米”；．“龙江杂粮”；．“龙江菜”；．“龙江山珍”等，为了更好地了解某社区对以上六类绿色优质农产品的关注程度，某校学生对社区居民进行了抽样调查（每位居民只选最关注的一项），根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整统计图．请根据两幅统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次参与调查的居民有多少人？ （2）补全条形统计图，在扇形统计图中类的百分比是______； （3）如果该社区有人，估计关注“龙江杂粮”的居民有多少人？ 【答案】（1）本次参与调查的居民有人； （2）补全条形统计图见解析，； （3）关注“龙江杂粮”的居民有人； 【解析】 【分析】（1）根据项关注的人数为人，项关注占总人数的百分数为即可解答； （2）根据条形统计图和扇形统计图可知各项的关注人数，再根据总人数为即可解答； （3）抽样调查中项关注人数为人，抽样调查中的总人数为人即可解答． 【小问1详解】 解：∵项关注的人数为人，项关注占总人数的百分数为， ∴本次参与调查的总人数有（人）， 【小问2详解】 解：∵本次参与调查总人数是人，项关注人数所占百分数为， ∴项关注的人数为（人）， ∴项关注的人数为（人）， ∴项所占百分数为； ∴如图所示， 故答案； 【小问3详解】 解：∵项关注人数为人，本次调查的总人数为人， ∴该社区关注关注“龙江杂粮”居民有（人）； 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计整体，读懂条形统计图和扇形统计图的信息是解题的关键． 21. 商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量（台）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示： 销售单价（元） … 50 60 70 … 月销量（台） … 90 80 70 … （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？ 【答案】（1） （2）护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意设， 由表知，当时，；当时，； 以上值代入函数解析式中得：， 解得：， 所以y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售利润为W元， 则， 整理得：， 由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则， ∵，， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，且最大值为2400； 答：当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元． 22. 如图，在△ABC中，，BC为的直径，D为任意一点，连接AD交BC于点F，EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD． （1）求证：△ABE≌△ACD； （2）填空：①当∠CAD的度数为 时，四边形ABDC是正方形； ②若四边形ABDC的面积为4，则AD的长为 ． 【答案】（1）见解析；（2）①45°；② 【解析】 【分析】（1）利用已知条件可证明，，又因为，即可证明结论； （2）①四边形ABDC是正方形，则，又因为，因此，可推出；②利用面积可求出正方形ABCD的边长为2，利用勾股定理即可求出AD的长． 【详解】解：（1）证明∵BC为直径 ∴ ∴ 又 ∴ 又 ∴ 又 ∴△ABE≌△ACD． （2）①∵四边形ABDC是正方形， ∴ ∵，BC为的直径 ∴ ∴ 故答案为：45°； ②∵四边形ABDC的面积为4 ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点有全等三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、正方形的性质、等腰三角形的性质等，考查范围较广，但难度不大． 23. 如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与y轴交于点，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标； （2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使的值最小？若存在，求的最小值，若不存在，请说明理由； （3）在以为直径的相切于点E，x轴于点D，求直线的解析式． 【答案】（1），， （2）存在，的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标． （2）根据轴对称的性质，线段的长即为的最小值． （3）连接，根据是的切线得到，，从而证得，设，在中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段的解析式即可． 【小问1详解】 解：由题意，设抛物线的解析式为 ∵抛物线经过， ∴， 解得：． ∴抛物线的解析式为，即：． 令时，， 解得：或． ，． 【小问2详解】 解：存在． 如图1，由（1）知：抛物线的对称轴l为， 因为A、B两点关于l对称，连接交l于点P，则，所以的值最小． ，， ，． ． ． ∴的最小值为． 小问3详解】 解：如图2，连接， 是的切线， ，． 由题意，得，， ∵在与中， ， ． ，． 设，则， ∵在中，， ∴，解得． ． 设直线的解析式为， ∵直线过点，两点， 则，解得：． ∴直线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$