周段学情调研(8)-【学仕邦】2024-2025学年九年级全一册数学大联考单元期末测试卷（沪科版）

２７　 (时间 ６０ 分钟　 满分 １００ 分) 考查内容:２３.２ 解直角三角形及其应用 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、选择题(本大题共 ８ 小题ꎬ每小题 ４ 分ꎬ满分 ３２ 分) 每小题都给出 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 四个选项ꎬ其中只有一个是正确的. １.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬＡＢ＝ １５ꎬｓｉｎ Ａ＝ １ ３ ꎬ则 ＢＣ 的值是 (　 　 ) Ａ.４５　 Ｂ.５　 Ｃ. １ ５ Ｄ. １ ４５ 第 １ 题图 　 　 　 　 　 第 ２ 题图 　 　 　 　 　 第 ３ 题图 ２.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ则下列各式中正确的是 (　 　 ) Ａ.ｃ＝ ｂ􀅰ｓｉｎ Ｂ Ｂ.ｂ＝ ｃ􀅰ｓｉｎ Ｂ Ｃ.ａ＝ ｂ􀅰ｔａｎ Ｂ Ｄ.ｂ＝ ｃ􀅰ｔａｎ Ｂ ３.如图ꎬ一名滑雪运动员沿着倾斜角为 ３４°的斜坡ꎬ从 Ａ 处滑行至 Ｂ 处ꎬ已知 ＡＢ ＝ ５００ ｍꎬ则这名滑 雪运动员的高度下降了(ｓｉｎ ３４°≈０.５６ꎬｃｏｓ ３４°≈０.８３ꎬｔａｎ ３４°≈０.６７) (　 　 ) Ａ.４１５ ｍ Ｂ.３３５ ｍ Ｃ.２８０ ｍ Ｄ.２５０ ｍ ４.如图ꎬ为了测量一条河流的宽度ꎬ一测量员在河岸边相距 ２００ ｍ 的 ＰꎬＱ 两点分别测定对岸一棵 树 Ｔ 的位置ꎬＴ 在点 Ｐ 的正北方向ꎬ且 Ｔ 在点 Ｑ 的北偏西 ７０°方向ꎬ则河宽(ＰＴ 的长)可以表示成 (　 　 ) Ａ.２００ｔａｎ ７０° ｍ Ｂ. ２００ ｔａｎ ７０° ｍ Ｃ.２００ｓｉｎ ７０° ｍ Ｄ. ２００ ｓｉｎ ７０° ｍ 第 ４ 题图 　 　 　 　 第 ５ 题图 ５.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＢＣＡ ＝ ９０°ꎬＡＣ ＝ ８ ｃｍꎬＡＢ 的垂直平分线 ＭＮ 交 ＡＣ 于点 Ｄꎬ连接 ＢＤ.若 ｃｏｓ∠ＢＤＣ＝ ３ ５ ꎬ则 ＢＣ 的长为 (　 　 ) Ａ.３ ｃｍ Ｂ.４ ｃｍ Ｃ.５ ｃｍ Ｄ.６ ｃｍ ６.如图ꎬ某高楼顶部有一信号发射塔ꎬ在矩形建筑物 ＡＢＣＤ 的 ＡꎬＣ 两点测得该塔顶端 Ｆ 的仰 角分别为 ４５°和 ６０°ꎬ矩形建筑物的宽度 ＡＤ ＝ ２０ ｍꎬ高度 ＤＣ ＝ ３０ ｍꎬ则信号发射塔顶端 Ｆ 到 地面的距离是 (　 　 ) Ａ.(３５ ３ ＋５５)ｍ Ｂ.(２５ ３ ＋４５)ｍ Ｃ.(２５ ３ ＋７５)ｍ Ｄ.(５０＋２０ ２ )ｍ 第 ６ 题图 　 　 第 ７ 题图 　 　 第 ８ 题图 　 　 第 ９ 题图 ７.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图ꎬ已知她的目高 ＡＢ 为 １.５５ ｍꎬ她站在 Ａ 处看路 灯顶端 Ｏ 的仰角为 ３５°ꎬ再往前走 ３ ｍ 站在 Ｃ 处时看路灯顶端 Ｏ 的仰角为 ６５°ꎬ则路灯顶端 Ｏ 到地 面的距离是(ｓｉｎ ３５°≈０.６ꎬｃｏｓ ３５°≈０.８ꎬｔａｎ ３５°≈０.７ꎬｓｉｎ ６５°≈０.９ꎬｃｏｓ ６５°≈０.４ꎬｔａｎ ６５°≈２.１) (　 　 ) Ａ.３.２ ｍ　 Ｂ.３.９ ｍ　 Ｃ.４.７ ｍ　 Ｄ.５.４ ｍ ８.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＣＢ 中ꎬ∠Ｃ ＝ ９０°ꎬ∠ＡＢＣ ＝ ３０°ꎬ延长 ＣＢ 使 ＢＤ ＝ ＡＢꎬ连接 ＡＤꎬ得∠ＡＤＣ ＝ １５°ꎬ则 ｔａｎ １５°＝ ＡＣ ＣＤ ＝ １ ２＋ ３ ＝ ２－ ３ (２＋ ３)(２－ ３) ＝ ２－ ３ .类比这种方法ꎬ计算 ｔａｎ ２２.５°的值是 (　 　 ) Ａ. ２ ＋１ Ｂ. ２ －１ Ｃ. ２ Ｄ. １ ２ 二、填空题(本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ满分 ２０ 分) ９.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬＡＣ＝ ５ ３ ꎬＡＢ＝ １０ꎬ则∠Ｂ＝ 　 　 . １０.如图ꎬ测量河宽 ＡＢ(假设河的两岸平行)ꎬ在 Ｃ 点测得∠ＡＣＢ ＝ ３０°ꎬ在 Ｄ 点测得∠ＡＤＢ ＝ ６０°ꎬ ＣＤ＝ ６０ ｍꎬ则河宽 ＡＢ 是　 　 ｍ(结果保留根号) . 第 １０ 题图 　 　 第 １１ 题图 　 　 图 １　 　 　 　 　 　 　 　 图 ２　 　 　 　 　 第 １２ 题图 １１.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＢＡＤ 中ꎬ延长斜边 ＢＤ 至点 Ｃꎬ使 ＤＣ ＝ １ ２ ＢＤꎬ连接 ＡＣ.若 ｔａｎ Ｂ ＝ ５ ３ ꎬ则 ｔａｎ∠ＣＡＤ 的 值是　 　 . １２.如图 １ 所示是某路灯ꎬ图 ２ 是此路灯在铅垂面内的示意图ꎬ灯芯 Ａ 在地面上的照射区域 ＢＣ 长为 ７ ｍꎬ从 ＢꎬＣ 两处测得灯芯 Ａ 的仰角分别为 α 和 βꎬ且 ｔａｎ α＝ ６ꎬｔａｎ β＝ １. (１)灯芯 Ａ 到地面的高度为　 　 ｍ. (２)立柱 ＤＥ 的高为 ６ ｍꎬ灯杆 ＤＦ 与立柱 ＤＥ 的夹角∠Ｄ＝ １２０°ꎬ灯芯 Ａ 到顶部 Ｆ 的距离为 １ ｍꎬ 且 ＤＦ⊥ＡＦꎬ则灯杆 ＤＦ 的长度为　 　 ｍ. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２８　 三、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ６ 分ꎬ满分 １２ 分) １３.(１)在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬａ＝ ２ ３ ꎬｂ＝ ２ꎬ求 ｃ 和∠Ａ 的度数. (２)在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬ∠Ａ＝ ４５°ꎬｃ＝ ６ꎬ求 ａꎬｂ. １４.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ａ＝ ３０°ꎬ∠Ｂ＝ ４５°ꎬＡＣ＝ ２ ３ ꎬ求 ＡＢ 的长. 第 １４ 题图 四、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ８ 分ꎬ满分 １６ 分) １５.一副直角三角尺按如图所示放置ꎬ点 Ｃ 在 ＦＤ 的延长线上ꎬＡＢ∥ＣＦꎬ∠Ｆ ＝∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬ∠Ｅ ＝ ４５°ꎬ∠Ａ＝ ６０°ꎬＡＣ＝ １０ꎬ求 ＣＤ 的长. 第 １５ 题图 １６.某市为了加快 ５Ｇ 网络信号覆盖ꎬ在市区附近小山顶架设信号发射塔ꎬ如图所示.小军为了知道 发射塔的高度ꎬ从地面上的一点 Ａ 测得发射塔顶端点 Ｐ 的仰角是 ４５°ꎬ向前走 ６０ ｍ 到达点 Ｂ 测 得点 Ｐ 的仰角是 ６０°ꎬ测得发射塔底部点 Ｑ 的仰角是 ３０°.请你帮小军计算出信号发射塔顶点 Ｐ 到地面的距离.(结果精确到 ０.１ ｍꎬ ３≈１.７３２) 第 １６ 题图 五、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 １０ 分ꎬ满分 ２０ 分) １７.一个足球场的四角各有一盏探照灯ꎬ其中一盏探照灯 Ｂ 的位置如图所示ꎬ灯杆 ＡＢ 垂直于地面ꎬ 已知看台 ＡＣ 的长为 １０ ｍꎬＡＣ 的坡度 ｉ ＝ ３ ４ ꎬ灯光受灯罩的影响ꎬ最远端的光线与地面的夹角 ∠ＢＤＣ＝ ２７°ꎬ最近端的光线恰好与地面交于看台的底端 Ｃ 处ꎬ且与地面的夹角∠ＢＣＧ ＝ ６０°ꎬ点 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 在同一平面内ꎬ求 ＣＤ 的长.(结果精确到 １ ｍꎬ参考数据:ｓｉｎ ２７°≈０.４５ꎬｃｏｓ ２７°≈０.９ꎬ ｔａｎ ２７°≈０.５ꎬ ３≈１.７) 第 １７ 题图 １８.如图ꎬ为了测量河对岸 ＡꎬＢ 两点间的距离ꎬ某数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 Ｃꎬ测得 ＡꎬＢ 均在 Ｃ 的北偏东 ３７°方向上ꎬ沿正东方向行走 ９０ ｍ 至观测点 Ｄꎬ测得 Ａ 在 Ｄ 的正北方向上ꎬＢ 在 Ｄ 的北偏西 ５３°方向上.(参考数据:ｓｉｎ ３７°≈０.６０ꎬｃｏｓ ３７°≈０.８０ꎬｔａｎ ３７°≈０.７５) (１)求证:ＢＤ⊥ＡＢ. (２)求 ＡꎬＢ 两点间的距离. 第 １８ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 周段学情调研（八）】 1.B2.B3.C4.B5.B6.C7.C8.B 960°10.3031.512.(1)6(2)5 13.解：(1)c=√a+b=√/12+4=4. 设PC=xm.在Rt△APC中，∠A=45°，则AC= tanB=么.2-3 PC=xm.,∠PBC=60°，∴.∠BPC=30°. a253∠B=30. 在△BPC中，BC= 3 PC= .∴.∠A=90°-30°=60 3 3 m. (2:i血A=m45°=g,即2.2 ,AB=AC-BC=60m,则x- 26 3x=60,解得x= ∴.a=32=b. 90+30V5≈142.0m. 14.解：过点C作CD⊥AB于点D,∴.∠ADC= 答：信号发射塔顶点P到地面的距离为142.0m ∠BDC=90. 17.解：延长BA交DG于点E,则∠BED=90° A30 h459个B ∠B=45°，∴.∠BCD=∠B=45°，∴.CD=BD ∠A=30°，AC=23,∴.CD=√3， 3.AE3 .BD=CD=3. :AC的坡度=4心CE4' .设AE=3xm.则CE=4xm 由勾股定理，得AD=√AC-CD=3, 在RL△ACE中， ∴.AB=AD+BD=3+3. AC=√AE+CE=√(3x)2+(4x)2=5.x(m). 15.解：过点B作BM⊥FD于点M. :AC=10m,∴.5.x=10,解得x=2, .'AE=3x=6 m,CE=4x=8 m. 在Rt△BCE中，∠BCG=6O°， ∴.BE=CE·tan60°=83(m). 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10. 在Rt△BED中，∠BDC=27°， ∴.∠ABC=30°，BC=AC·tan60°=103. ∴DE= BE 83 tan27°0.5 =16w3(m), :AB∥CF,∴.∠BCM=30°， .DC=DE-CE=163-8≈19(m),.CD的长 ·MB=BC·sin30°=103x=53, 2 约为19m. 18.解：(1)证明：根据题意，得∠BDC=90°-53°= CW=BC·cs30=10,3x5 =15 37°，∠BCD=90°-37°=53°， 在Rt△BMD中，∠BMD=90°，∠EDF=45°， ∴.∠BDC+∠BCD=90°，∴.∠CBD=90°， ∴.BD⊥AB. .MD=MB=53, (2)根据题意，∠ADC=90°，∠BCD=53°， ∴.CD=CM-MD=15-53. ∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37° 16.解：延长PQ交直线AB于点C,由题意可知， ∠BCP=90°. 在△1CD中，2sA.CD=0m. 12 ∴AC=CD90 5am36.9°=CD=0.75.CD=0.75BD sin A 0.60 =150(m). BD BD⊥AB, AC=AD-CD,..15=0.15BD,..BD=100 m, .∠CBD=90°，即△BCD是直角三角形， .CD=0.75BD=75m,.山高CD为75m. BC 19.解：(1)在Rt△ADF中，AF=30cm,DF=24cm, 六CD=sin L BDC, 由勾股定理，得AD=√AF-DF=√30-24= .BC=CD·sin∠BDC≈90x0.60=54(m), 18(cm). ∴.AB=AC-BC=150-54=96(m). (2)过点E作EH⊥AB,垂足为H 答：A,B两点间的距离为96m. 单元学情调研（三） 1.D2.C3B4.A5.D 6.A7.B8.D9.B10.D 号21201Bn 14.(1)3 2 e 图2 AE=AD+DC+CE=68 cm, 15.解：sin(a+30)= 2,且(a+30)为锐角， .EH=AE·sin75°≈68×0.97=65.96≈66(cm), ∴.点E到AB的距离约是66cm. .a+30°=45°，.a=15°， 20.解：(1)过点B作BE⊥AD于点E. sin(a+45)=sin 60 在Rt△ABE中，.∠A=45°，AB=√2， .'AE=BE=1. 在R△BDE中，in∠ADB=BD3 BE 1 16.解：原式= 2 哥} 3 2 ②532 +313+22 17.解：设DE=xm. (2)过点B作BF⊥DC于点F,则∠BFD= ,∠CDE=60°，∠AEB=90°， ∠BED=∠ADC=90°，.四边形BEDF是矩形， .CE=DE·tan60°=√3xm, .DF BE =1,BF DE =BD2-BE2 ∴.BE=BC+CE=(4+3x)m. √32-12=22 ∠BAE=30°， DC=3,∴.FC=2, ∴.AE=√3BE=(43+3x)m, 则BC=√BF2+FC=√(2√2)+22=25. .∴.43+3x=20+x,解得x=10-23. 21解：(1)过点B作BD⊥AC于点D,作BF⊥CE .BE=4+√3(10-23)=105-2≈15.3(m). 于点F 故BE的长为15.3m. 18.解：在R△ABD中，an∠ABD= 东 BD .tan 420=AD =0.9,.AD=0.9BD 在RI△BCD中，an∠CBD=CD C BD' 由题意，得∠NAB=30°，∠GBE=75 13