周段学情调研(6)-【学仕邦】2024-2025学年九年级全一册数学大联考单元期末测试卷（沪科版）

１５　 (时间 ６０ 分钟　 满分 １００ 分) 考查内容:２２.３ 相似三角形的性质~２２.５ 综合与实践　 测量与误差 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一、选择题(本大题共 ８ 小题ꎬ每小题 ４ 分ꎬ满分 ３２ 分) 每小题都给出 Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ 四个选项ꎬ其中只有一个是正确的. １.若两个相似三角形的对应边之比是 １ ∶４ꎬ则它们的对应中线之比是 (　 　 ) Ａ.１ ∶２　 Ｂ.１ ∶４　 Ｃ.１ ∶８　 Ｄ.１ ∶１６ ２.两个相似三角形的最短边分别是 ５ ｃｍ 和 ３ ｃｍꎬ它们的周长之差为 １２ ｃｍꎬ则小三角形的周长是 (　 　 ) Ａ.１４ ｃｍ　 Ｂ.１６ ｃｍ　 Ｃ.１８ ｃｍ　 Ｄ.３０ ｃｍ ３.如图ꎬ△ＡＢＣ 与△ＤＥＦ 位似ꎬ点 Ｏ 为位似中心ꎬ相似比为 ２ ∶３.若△ＡＢＣ 的周长为 ４ꎬ则△ＤＥＦ 的周 长是 (　 　 ) Ａ.４ Ｂ.６ Ｃ.９ Ｄ.１６ 第 ３ 题图 　 　 　 　 第 ４ 题图 　 　 　 第 ５ 题图 ４.如图ꎬＤꎬＥ 分别是△ＡＢＣ 的边 ＡＢꎬＡＣ 的中点.若△ＡＤＥ 的面积为 １ꎬ则四边形 ＤＥＣＢ 的面积为 (　 　 ) Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.６ ５.某数学兴趣小组来到时代广场ꎬ设计用手电来测量广场附近某大厦 ＣＤ 的高度.如图ꎬ点 Ｐ 处放 一水平的平面镜ꎬ光线从点 Ａ 出发经平面镜反射后刚好射到大厦 ＣＤ 的顶端 Ｃ 处.已知 ＡＢ⊥ＢＤꎬ ＣＤ⊥ＢＤꎬ测得 ＡＢ＝１.５ ｍꎬＢＰ＝ ２ ｍꎬＰＤ＝ ５２ ｍꎬ则该大厦的高度约为 (　 　 ) Ａ.３９ ｍ Ｂ.３０ ｍ Ｃ.２４ ｍ Ｄ.１５ ｍ ６.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬＡＤ 是中线ꎬＢＣ＝ ８ꎬ∠Ｂ＝∠ＣＡＤꎬ则线段 ＡＣ 的长是 (　 　 ) Ａ.４　 Ｂ.４ ２ 　 Ｃ.６　 Ｄ.４ ３ 第 ６ 题图 　 　 　 　 第 ７ 题图 ７.如图ꎬ在▱ＡＢＣＤ 中ꎬ点 Ｅ 为边 ＣＤ 上一点ꎬ连接 ＡＥꎬＢＥꎬＢＤꎬ且 ＡＥꎬＢＤ 相交于点 Ｆ.若 Ｓ△ＤＥＦ ∶Ｓ△ＡＢＦ ＝ ４ ∶２５ꎬ则 ＤＥ ∶ＥＣ 的值是 (　 　 ) Ａ.２ ∶３　 Ｂ.２ ∶５　 Ｃ.３ ∶５　 Ｄ.３ ∶２ ８.如图ꎬ在正方形 ＡＢＣＤ 中ꎬＥꎬＦ 分别在边 ＡＤꎬＣＤ 上ꎬＡＦꎬＢＥ 相交于点 Ｇ.若 ＡＥ ＝ ３ＥＤꎬＤＦ ＝ＣＦꎬ则 ＡＧ ＧＦ 的值是 (　 　 ) 第 ８ 题图 Ａ. １ ３ Ｂ. ５ ４ Ｃ. ６ ５ Ｄ. ７ ６ 二、填空题(本大题共 ４ 小题ꎬ每小题 ５ 分ꎬ满分 ２０ 分) ９.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬ点 Ｄ 在边 ＡＢ 上ꎬ点 Ｅ 在边 ＡＣ 上ꎬ且 ＤＥ∥ＢＣ.若 ＡＥ＝ ４ꎬＥＣ＝ ２ꎬＢＣ＝ ４ꎬ则 ＤＥ＝ 　 　 . 第 ９ 题图 　 　 　 第 １０ 题图 　 　 　 第 １１ 题图 　 　 　 第 １２ 题图 １０.如图ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ点 ＡꎬＢ 的坐标分别为(－４ꎬ４)ꎬ(０ꎬ４)ꎬ点 ＣꎬＤ 的坐标分别为(０ꎬ１)ꎬ (２ꎬ１) .若线段 ＡＢ 和 ＣＤ 是位似图形ꎬ且位似中心在 ｙ 轴上ꎬ则位似中心的坐标是　 　 . １１.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬＣＥ ∶ＥＢ＝ １ ∶２ꎬＤＥ∥ＡＣ.已知 Ｓ△ＡＢＣ ＝ ９ꎬ则 Ｓ△ＡＥＤ ＝ 　 　 . １２.如图ꎬ△ＡＢＣ 是一张直角三角形彩色纸ꎬ∠ＡＣＢ＝ ９０°ꎬＡＣ＝ ３０ ｃｍꎬＢＣ＝ ４０ ｃｍꎬＣＤ⊥ＡＢ 于点 Ｄ. (１)ＣＤ＝ 　 　 . (２)将斜边上的高 ＣＤ 进行五等分ꎬ然后裁出 ４ 张宽度相等的长方形纸条(长方形有两个顶点依 次落在边 ＡＣꎬＢＣ 上)ꎬ则这 ４ 张长方形纸条的面积和是　 　 ｃｍ２ . 三、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ６ 分ꎬ满分 １２ 分) １３.已知两相似三角形对应角平分线的比为 ３ ∶１０ꎬ且大三角形的面积为 ４００ ｃｍ２ . (１)求小三角形的面积. (２)若这两个三角形的周长差为 ５６０ ｃｍꎬ分别求它们的周长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １６　 １４.已知△ＡＢＣ 在平面直角坐标系中的位置如图所示ꎬ点 ＡꎬＢꎬＣ 的坐标分别为(１ꎬ０)ꎬ(４ꎬ－１)ꎬ(３ꎬ 第 １４ 题图 ２)ꎬ△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 与△ＡＢＣ 是以点 Ｐ 为位似中心的位似图形. (１)请画出点 Ｐ 的位置ꎬ并写出点 Ｐ 的坐标. (２) 以点 Ｏ 为位似中心ꎬ在 ｙ 轴左侧画出△ＡＢＣ 的位似图形 △Ａ２Ｂ２Ｃ２ꎬ使相似比为 １􀏑１.若点 Ｍ(ａꎬｂ)为△ＡＢＣ 内一点ꎬ直接写 出点 Ｍ 在△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 内的对应点的坐标. 四、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 ８ 分ꎬ满分 １６ 分) １５.如图ꎬ某数学兴趣小组利用硬纸板自制的 Ｒｔ△ＡＢＣ 来测量操场旗杆 ＭＮ 的高度ꎬ他们通过调整 测量位置ꎬ使边 ＡＣ 与旗杆顶点Ｍ 在同一直线上ꎬ边 ＡＢ 与地面平行.已知 ＡＣ＝ ０.８ ｍꎬＢＣ＝ ０.５ ｍꎬ 点 Ａ 到地面的距离 ＡＤ＝ １.５ ｍꎬ到旗杆的水平距离 ＡＥ＝ ２０ ｍꎬ求旗杆 ＭＮ 的高度. 第 １５ 题图 １６.如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ＝ ９０°ꎬＡＣ＝ ３ꎬＢＣ＝ ４. (１)在 ＡＢ 上求作一点 Ｄꎬ使△ＡＢＣ∽△ＣＢＤ(尺规作图ꎬ保留作图痕迹ꎬ不写作法) . (２)在(１)的条件下ꎬ求△ＡＣＤ 的周长. 第 １６ 题图 五、(本大题共 ２ 小题ꎬ每小题 １０ 分ꎬ满分 ２０ 分) １７.小明同学用两块含 ３０°的直角三角尺按如图所示放置ꎬ∠ＡＣＢ ＝∠ＡＥＤ ＝ ９０°ꎬ∠ＡＢＣ ＝∠ＡＤＥ ＝ ３０°ꎬＣ 是 ＤＥ 的中点.求证: (１)ＡＤ⊥ＢＤ. (２)ＢＤ＝ＤＥ. 第 １７ 题图 １８.如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬ点 ＤꎬＥꎬＦ 分别在边 ＡＢꎬＢＣꎬＡＣ 上ꎬＤＥ∥ＡＣꎬＥＦ∥ＡＢ. (１)求证:△ＢＤＥ∽△ＥＦＣ. (２)设ＡＦ ＦＣ ＝ １ ２ . ①若 ＢＣ＝ １２ꎬ求线段 ＢＥ 的长ꎻ ②若△ＥＦＣ 的面积是 ２０ꎬ求△ＡＢＣ 的面积. 　 第 １８ 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ ＡＢ＝ １０ ｃｍ. ∵ ＢＰ＝ ３ｔꎬＣＱ＝ ２ｔꎬ∴ ＢＱ＝ ８－２ｔ. ①当△ＢＰＱ∽△ＢＡＣ 时ꎬＢＰ ＢＡ ＝ ＢＱ ＢＣ ꎬ即３ｔ １０ ＝ ８－２ｔ ８ ꎬ 解得 ｔ＝ ２０ １１ . ②当△ＢＰＱ∽△ＢＣＡ 时ꎬＢＰ ＢＣ ＝ ＢＱ ＢＡ ꎬ即３ｔ ８ ＝ ８－２ｔ １０ ꎬ 解得 ｔ＝ ３２ ２３ . 综上所述ꎬ当 ｔ ＝ ２０ １１ ｓ 或 ３２ ２３ ｓ 时ꎬ△ＢＰＱ 与 △ＡＢＣ 相似. (２)如图 ２ꎬ过点 Ｐ 作 ＰＭ⊥ＢＣ 交 ＢＣ 于点 Ｍꎬ ＡＱꎬＣＰ 相交于点 Ｎꎬ 图 ２ ∴ ＰＢ＝ ３ｔꎬＰＭ＝ ９ ５ ｔꎬＢＭ＝ １２ ５ ｔꎬＭＣ＝ ８－１２ ５ ｔ. ∵ ∠ＮＡＣ＋∠ＮＣＡ＝ ９０°ꎬ∠ＰＣＭ＋∠ＮＣＡ＝ ９０°ꎬ ∴ ∠ＮＡＣ＝∠ＰＣＭꎬ且∠ＡＣＱ＝∠ＰＭＣ＝ ９０°ꎬ ∴ △ＡＣＱ∽△ＣＭＰꎬ∴ ＡＣ ＣＭ ＝ ＣＱ ＭＰ ꎬ 即 ６ ８－１２ ５ ｔ ＝ ２ｔ ９ ５ ｔ ꎬ解得 ｔ＝ １３ １２ . 周段学情调研(六) １.Ｂ　 ２.Ｃ　 ３.Ｂ　 ４.Ｂ　 ５.Ａ　 ６.Ｂ　 ７.Ａ　 ８.Ｃ ９. ８ ３ 　 １０.(０ꎬ２)　 １１.２　 １２.(１)２４　 (２)４８０ １３.解:(１)设小三角形的面积为 Ｓ. ∵ 两相似三角形对应角平分线的比为 ３ ∶１０ꎬ ∴ 两相似三角形的相似比为 ３ ∶１０ꎬ ∴ Ｓ ４００ ＝ ３ １０ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ９ １００ ꎬ∴ Ｓ ＝ ３６ꎬ即小三角形的面 积为 ３６ ｃｍ２ . (２)由(１)可知两三角形的相似比为 ３ ∶１０ꎬ设 两三角形的周长分别为 Ｃ小三角形和 Ｃ大三角形ꎬ 则 Ｃ小三角形 􀏑 Ｃ大三角形 ＝ ３ ∶ １０ꎬ 且 Ｃ大三角形 － Ｃ小三角形 ＝ ５６０ꎬ解得 Ｃ小三角形 ＝ ２４０ ｃｍꎬＣ大三角形 ＝ ８００ ｃｍꎬ 即小三角形的周长为 ２４０ ｃｍꎬ大三角形的周长 为 ８００ ｃｍ. １４.解:(１)如图所示ꎬ点 Ｐ 即为所求ꎬ点 Ｐ 的坐标 为(０ꎬ－２) . (２)如图所示ꎬ△Ａ２Ｂ２Ｃ２ 即为所求ꎬ点 Ｍ 对应 点的坐标为(－ａꎬ－ｂ) . １５.解:根据题意ꎬ得∠ＡＥＭ ＝ ９０°ꎬＡＤ⊥ＤＮꎬＡＤ∥ ＭＮꎬＡＥ∥ＤＮꎬ点 Ｂ 在线段 ＡＥ 上. ∵ ∠ＭＡＥ＝∠ＢＡＣ ꎬ∴ Ｒｔ△ＭＡＥ∽Ｒｔ△ＢＡＣ ꎬ ∴ ＭＥ ＢＣ ＝ＡＥ ＡＣ . ∵ ＡＣ＝ ０.８ ｍꎬＢＣ＝ ０.５ ｍꎬＡＥ＝ ２０ ｍꎬ ∴ ＭＥ＝ＡＥ ×ＢＣ ＡＣ ＝ １２.５ ｍ. ∵ ＡＤ⊥ＤＮꎬＡＤ∥ＭＮꎬＡＥ∥ＤＮꎬ ∴ 四边形 ＡＤＮＥ 为矩形ꎬ∴ ＥＮ＝ＡＤ＝ １.５ ｍꎬ ∴ ＭＮ＝ＭＥ＋ＥＮ＝ １２.５＋１.５＝ １４(ｍ) . 答:旗杆 ＭＮ 的高度为 １４ ｍ. １６.解:(１)∵ △ＡＢＣ∽△ＣＢＤꎬ∴ ∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°. 反之ꎬ∠ＡＣＢ＝∠ＣＤＢ ＝ ９０°ꎬ∠ＡＢＣ ＝∠ＣＢＤꎬ则 △ＡＢＣ∽△ＣＢＤ. 如图ꎬ过点 Ｃ 作边 ＡＢ 上的垂线ꎬ点 Ｄ 即为 所求. (２) ∵ ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬ ＡＣ ＝ ３ꎬ ＢＣ ＝ ４ꎬ ∴ ＡＢ ＝ ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝ ３２＋４２ ＝ ５ꎬ ∴ △ＡＢＣ 的周长为 ３＋４＋５＝ １２. —７— ∵ △ＡＢＣ∽△ＡＣＤꎬ∴ △ＡＢＣ 的周长 △ＡＣＤ 的周长 ＝ＡＢ ＡＣ ＝ ５ ３ ꎬ ∴ △ＡＣＤ 的周长为３６ ５ . １７.证明: ( １) ∵ ∠ＡＣＢ ＝ ∠ＡＥＤ ＝ ９０°ꎬ∠ＡＢＣ ＝ ∠ＡＤＥ＝ ３０°ꎬ ∴ △ＡＣＢ∽△ＡＥＤꎬ∴ ＡＢ ＡＤ ＝ＡＣ ＡＥ . ∵ ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝ ６０°ꎬ∴ ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥꎬ ∴ △ＡＢＤ∽△ＡＣＥꎬ∴ ∠ＡＤＢ＝∠ＡＥＣ＝ ９０°ꎬ ∴ ＡＤ⊥ＢＤ. (２)由(１)ꎬ得△ＡＢＤ∽△ＡＣＥꎬ∴ ＢＤ ＣＥ ＝ ＡＢ ＡＣ ＝ ２ꎬ ∴ ＢＤ＝ ２ＣＥ. 又∵ Ｃ 是 ＤＥ 的中点ꎬ∴ ＤＥ＝ ２ＣＥꎬ∴ ＢＤ＝ＤＥ. １８.解:(１)证明:∵ ＤＥ∥ＡＣꎬ∴ ∠ＤＥＢ＝∠ＦＣＥ. ∵ ＥＦ∥ＡＢꎬ∴ ∠ＤＢＥ＝∠ＦＥＣꎬ ∴ △ＢＤＥ∽△ＥＦＣ. (２)①∵ ＥＦ∥ＡＢꎬ∴ ＢＥ ＥＣ ＝ ＡＦ ＦＣ ＝ １ ２ . ∵ ＥＣ＝ＢＣ－ＢＥ＝ １２－ＢＥꎬ∴ ＢＥ １２－ＢＥ ＝ １ ２ ꎬ 解得 ＢＥ＝ ４. ②∵ ＡＦ ＦＣ ＝ １ ２ ꎬ∴ ＦＣ ＡＣ ＝ ２ ３ . ∵ ＥＦ∥ＡＢꎬ∴ △ＥＦＣ∽△ＢＡＣꎬ ∴ Ｓ△ＥＦＣ Ｓ△ＡＢＣ ＝ ＦＣ ＡＣ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ４ ９ ꎬ ∴ Ｓ△ＡＢＣ ＝ ９ ４ Ｓ△ＥＦＣ ＝ ９ ４ ×２０＝ ４５. 单元学情调研(二) １.Ｃ　 ２.Ｃ　 ３.Ａ　 ４.Ｂ　 ５.Ｂ ６.Ｃ　 ７.Ｂ　 ８.Ｂ　 ９.Ｃ　 １０.Ｂ １１.∠Ｃ＝∠Ｅ 或∠ＢＡＣ ＝∠ＤＡＥ 或∠ＢＡＤ ＝∠ＣＡＥ 或 ＡＢ ＡＤ ＝ＢＣ ＤＥ 　 １２.５０　 １３.８　 １４.(１)４５°　 (２)９ ２ ２０ １５.解:设 ａ ５ ＝ ｂ ７ ＝ ｃ ８ ＝ ｋꎬ则 ａ＝ ５ｋꎬｂ＝ ７ｋꎬｃ＝ ８ｋ. 由 ３ａ－２ｂ＋ｃ＝ ９ꎬ得 １５ｋ－１４ｋ＋８ｋ＝ ９ꎬ 解得 ｋ＝ １ꎬ∴ ａ＝ ５ꎬｂ＝ ７ꎬｃ＝ ８ꎬ ∴ ２ａ＋４ｂ－３ｃ＝ ２×５＋４×７－３×８＝ １４. １６.解: △ＤＢＥ ∽ △ＧＡＤ (或 △ＤＢＥ ∽ △ＥＣＨ 或 △ＤＢＥ∽△ＧＦＨ) .理由如下: ∵ △ＡＢＣꎬ△ＤＥＦ 均为等边三角形ꎬ ∴ ∠Ｂ＝∠Ａ＝ ６０°ꎬ∠ＥＤＦ＝ ６０°ꎬ ∴ ∠ＢＤＥ＋∠ＢＥＤ＝１２０°ꎬ∠ＢＤＥ＋∠ＡＤＧ＝１２０°ꎬ ∴ ∠ＢＥＤ＝∠ＡＤＧꎬ ∴ △ＤＢＥ∽△ＧＡＤ.(其余理由略) １７.解:∵ △ＡＤＥ∽△ＡＣＢꎬ ∴ ∠ＡＤＥ＝∠ＡＣＢꎬ∠ＡＥＤ＝∠ＡＢＣ. ∵ ＡＦ 是∠ＢＡＣ 的平分线ꎬ ∴ ∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＦ. ∵ ∠ＡＧＤ＝∠ＣＡＦ＋∠ＡＥＤꎬ ∠ＡＦＣ＝∠ＢＡＦ＋∠ＡＢＣꎬ ∴ ∠ＡＧＤ＝∠ＡＦＣꎬ∴ △ＡＧＤ∽△ＡＦＣꎬ ∴ ＡＧ ＡＦ ＝ＡＤ ＡＣ ＝ ２ ３ ꎬ∴ ＡＧ ∶ＧＦ＝ ２ ∶１. １８.解:∵ ＤＥ∥ＢＣꎬ∴ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣꎬ∴ ＡＤ ＡＢ ＝ＡＥ ＡＣ . ∵ ＢＤ＝ ２ｘꎬ∴ ＡＤ＝ ８－２ｘꎬＡＢ＝ ８ꎬＡＥ＝ ｙꎬＡＣ＝ ６ꎬ ∴ ８ －２ｘ ８ ＝ ｙ ６ ꎬ ∴ ｙ＝ － ３ ２ ｘ＋６ꎬ自变量 ｘ 的取值范围为 ０≤ｘ≤４. １９.解:(１)如图ꎬ以点 Ｂ 为圆心ꎬＢＡ 为半径ꎬ作弧 交 ＢＣ 于点 Ｄꎬ作 ＢＤ 的垂直平分线交 ＢＡ 于点 Ｅꎬ连接 ＡＤꎬＤＥ. (２)△ＡＤＣ 和△ＡＢＣ ２０.解:(１)如图所示ꎬ点 Ｐ 即为所求ꎬ点 Ｐ 的坐标 为(－５ꎬ－１) . (２)如图所示ꎬ△ＯＡ２Ｂ２ 即为所求. (３)(２ａꎬ２ｂ) —８—