精品解析：安徽省合肥市中锐学校高中部2023-2024学年高一下学期期末数学复习试卷

合肥中锐学校高中部2023~2024学年下学期期末复习试卷 高一数学试题卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项正确答案.） 1. 已知集合，若，则的值可以为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或2 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，已知，，，则角的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 5. 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数，若，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是（ ） A 事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等 B. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥 C. 事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件 D. 事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 图象的对称中心为， D. 直线是图象的一条对称轴 11. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 13. 已知函数是幂函数，则的值为__________． 14. 在圆中，已知弦，则的值为_________． 四、解答题（共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求 （2）若，面积为，求的周长． 16. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）若本校历史方向学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 17. 如图，，都垂直于平面，平面平面，且，为中点，求证： （1）平面； （2）平面． 18. 已知函数. （1）诺为偶函数，求的值； （2）若为奇函数，求的值； （3）在（2）的情况下，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 19. 学生甲和学生乙组成“最美校园队”参加猜成语活动，每轮活动有学生甲、学生乙各猜一个成语，已知学生甲每轮猜对的概率为0.75，学生乙每轮猜对的概率为0.8，在每轮活动中，学生甲与学生乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求 （1）“最美校园队”在两轮活动中猜对0个成语的概率； （2）“最美校园队”在两轮活动中猜对1个成语的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥中锐学校高中部2023~2024学年下学期期末复习试卷 高一数学试题卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项正确答案.） 1. 已知集合，若，则的值可以为（ ） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 1或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数在复平面内的坐标表示可得答案. 【详解】解：由题意得： 在复平面上对应的点为，该点在第四象限. 故选：D 3. 在中，已知，，，则角的度数为（　　） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数. 【详解】由，得，于是， 由正弦定理得， ∴， 故选：B. 4. 将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解. 【详解】， 又该组数据的分位数为22， 则，解得. 故选：C 5. 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断. 【详解】设，在平面内作， 因为平面平面，所以， 因为，所以∥， 因为，， 所以， 而当平面平面，直线，时，与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 6. 函数，若，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】分和代入函数解析式求出即可. 【详解】由已知可得，当时，代入已知函数可得， 解得或（舍去），所以； 当，代入已知函数可得， 解得或（舍去），所以； 综上所述，a的值为. 故选：A 7. 已知向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由投影向量定义，结合向量数量积和模的坐标运算求解. 详解】由． 故选：A 8. 如图1，在菱形ABCD中，，，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为，如图2，则二面角的余弦值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】为中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】如图所示：为中点，连接，，则，， 平面平面，且平面，平面， 故为二面角的平面角， 在中，，， 在中，. 故选：A 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.） 9. 先后抛掷质地均匀的硬币两次，则下列说法正确的是（ ） A. 事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”相等 B. 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”互斥 C. 事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”互为对立事件 D. 事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据列举法判断选项A，根据互斥事件、对立事件和相互独立的概念判断BCD. 【详解】先后抛掷质地均匀的硬币两次，样本空间中共含有：正正、正反、反正、反反4个样本点， 事件“恰有一次正面向上”与事件“恰有一次反面向上”在每次随机试验中同时出现或同时不出现，故这两个事件相等，A正确； 事件“至少一次正面向上”与事件“至少一次反面向上”能同时发生，不是互斥事件，B错误； 除事件“两次正面向上”与事件“两次反面向上”外还可能出现“一次正面，一次反面”，故这两个事件不互为对立事件，C错误； 先后抛掷质地均匀的硬币两次，显然第一次的结果不会影响第二次的结果，所以事件“第一次正面向上”与事件“第二次反面向上”相互独立，D正确； 故选：AD 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 图象的对称中心为， D. 直线是图象的一条对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】利用部分图象，求出解析式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】对于A，由图象可知，， 又图象过，则，又，则，A错误； 对于B，又图象过，则，故，B正确； 对于C，所以的解析式为， 由，得， 所以图象的对称中心为，，C正确， 对于D，， 所以直线不是图象的一条对称轴，D错误. 故选：BC. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C． 【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确； 平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错； 设（），，，， ， ， 所以， ， 所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是， 记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确． 故选：ABC． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】设圆锥的底面半径为r， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的表面积为． 故答案为：. 13. 已知函数是幂函数，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据幂函数的定义求出m的值即可. 【详解】由题意知，，解得或. 故答案为：或. 14. 在圆中，已知弦，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】设圆心，为半径，为弦，可得在上的投影为，再根据，计算求得结果． 【详解】如图，设圆心，为半径，为弦， 故在上的投影为， ， 故答案为：. 四、解答题（共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求 （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果； （2）由三角形的面积可求得，再结合（1）中得到的式子可求出的值，从而可求出三角形的周长. 【小问1详解】 因为，，（为外接圆的半径）， 又因为， 所以，即， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以的周长为6 16. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； （3）若本校历史方向的学生约为300人，估计其中数学成绩在85分以上的人数. 【答案】（1），； （2）平均值81.5，中位数82； （3）114人. 【解析】 【分析】（1）先计算出乙样本中数据在的频率，从而求出，根据频率之和为1得到方程，求出； （2）中点值作代表，计算出甲样本数据的平均值估计值，再判断出乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，得到方程，求出； （3）计算出乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率，从而估计其中数学成绩在85分以上的人数. 【小问1详解】 由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得. 【小问2详解】 甲样本数据的平均值估计值为 ； 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为，所以乙样本数据的中位数在第4组. 设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82. 【小问3详解】 乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为， 由样本估计总体得（人）， 故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人. 17. 如图，，都垂直于平面，平面平面，且，为的中点，求证： （1）平面； （2）平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，证得四边形为平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）连接，利用面面垂直的性质，证得平面，得到，再由平面，证得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，取的中点，连接，， 因为为的中点，为的中位线，所以，， 又因为，都垂直于平面，且，所以，， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 连接，因为，为的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为面，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 因为，且平面， 所以平面. 18. 已知函数. （1）诺为偶函数，求的值； （2）若为奇函数，求的值； （3）在（2）的情况下，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求参数； （2）根据奇函数的定义求参数； （3）将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可. 【小问1详解】 若为偶函数，则， 即， 则，解得. 【小问2详解】 若为奇函数，则， 即， 则，解得. 【小问3详解】 由题意可得，则， 因函数在上单调递增， 所以， 则，故的取值范围为. 19. 学生甲和学生乙组成“最美校园队”参加猜成语活动，每轮活动有学生甲、学生乙各猜一个成语，已知学生甲每轮猜对的概率为0.75，学生乙每轮猜对的概率为0.8，在每轮活动中，学生甲与学生乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求 （1）“最美校园队”在两轮活动中猜对0个成语的概率； （2）“最美校园队”在两轮活动中猜对1个成语的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件为相关代号，再利用对立事件、互斥事件和独立事件的相关概率公式即可即可； （2）利用互斥事件加法公式和独立事件的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，，，表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件， ，，表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件， ，，，，表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件． ，，，， ， ， ， 所以，“最美校园队”在两轮活动中猜对0个成语的概率为 ． 【小问2详解】 “最美校园队”在两轮活动中猜对1个成语的概率为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$