精品解析：重庆市巴渝学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

重庆市巴渝学校八年级春季开学收心检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项 一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数﹣2023的绝对值是（　　） A. 2023 B. ﹣2023 C. D. 2. 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 无法确定 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数（k，b为常数，且，y随着x的增大而减小，且，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的外角，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列语句，是真命题是(　　) A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，甲、乙两地相距720米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中分别表示甲、乙两人离B地的距离y（单位：米），下列说法正确的是（ ） A. 乙先走5分钟 B. 甲的速度比乙的速度快 C. 12分钟时，甲乙相距160米 D. 甲比乙先到2分钟 9. 关于x，y的方程组与有相同的解，则 a 4b 3 的值为（　　） A. 1 B. 6 C. 10 D. 12 10. 有n个依次排列整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②④⑤ 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11 计算：________． 12. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点C在上，且，则点C所表示的数是_________________． 13. 将直线向下平移5个单位长度，平移后直线的解析式为______． 14. 已知直线不过第二象限，则k的范围为___． 15. 如图,在中,,分别是边上的点,将沿折叠,使点的对称点恰好落在的中点处．若,,则的长为____________cm． 16. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是_____． 17. 已知点、、在数轴上表示数、、的位置如图所示：化简：． 18. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：8162．∵，∴8162是“中积数”：又如：5234，∵，∴5234不是“中积数”，若一个“中积数”为，则这个数为______；对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是______． 三、解答题：（本大题8个小题，21题共8分，其他各答题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程组： （1）； （2）． 21. 已知：如图，中，，，为中点，为上一点，于． （1）尺规作图：作的角平分线交于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）中所作的图形中，求证：．补全下列证明过程： 证明：，， __________， 平分， ， __________， ， ， ，， __________， ≌（__________）， ． 22. 为进一步加强学生对“垃圾分类”的重视程度，某中学初一、初二年级组织了“垃圾分类知识”比赛，现从初一、初二年级各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 初一年级10名学生的成绩是：69，78，96，77，68，95，86，100，85.86； 初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87； 初一、初二年级抽取学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 初一年级 84 85.5 c 初二年级 84 b 92 （1）的值为 　　； （2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若两个年级共有2500人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的学生共有多少人？ 23. 如图，将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的； (2)写出三个顶点的坐标； (3)已知点P在x轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为4，求点P的坐标． 24. 老友粉入选广西非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进甲、乙两种品牌老友粉，已知甲品牌老友粉比乙品牌老友粉每袋进价少2元，用2700元购进甲品牌老友粉与用3300元购进乙品牌老友粉的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌老友粉每袋的进价； （2）本次购进甲、乙品牌老友粉共800袋，均按13元出售，且购进甲品牌老友粉的数量不超过乙品牌老友粉数量的3倍．若该批老友粉全部售完，则该超市应购进甲、乙两种老友粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少？ 25 如图一，已知直线与轴交于点，与y轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交 轴于点，当，求出，两点的坐标； （3）将直线向左平移个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴，点在直线上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，在ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD． （1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长； （2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC； （3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴渝学校八年级春季开学收心检测 数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卷上，不得在试卷上直接作答 2．作答前认真阅读答题卷上的注意事项 一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 实数﹣2023的绝对值是（　　） A. 2023 B. ﹣2023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案． 【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数， 所以，﹣2023的绝对值等于2023． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键． 2. 有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当第三边为斜边时和当第三边为直角边时，分别根据勾股定理计算即可． 【详解】解：分类讨论：当第三边为斜边时，第三边长为； 当第三边为直角边时，第三边长为． 故第三边长为5或． 故选C． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 4. 已知一次函数（k，b为常数，且，y随着x的增大而减小，且，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据y随着x的增大而减小，得到，再根据，得到，进而得到直线过二，三，四象限，进行判断即可． 【详解】解：∵y随着x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图像过二，三，四象限， 故符合题意的只有B选项； 故选B． 【点睛】本题考查判断一次函数的图像．熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 5. 如图，是的外角，．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质及三角形的内角和定理即可求解． 【详解】∵， ∴∠B= ∴∠A=180°-∠B- 故选B． 【点睛】此题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟知三角形的内角和等于180°． 6. 下列语句，是真命题的是(　　) A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 内错角相等 D. 同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的定义以及平行线的性质和对顶角的性质分别判断得出即可． 【详解】A．对顶角相等，所以A选项为真命题； B．两直线平行，同位角相等，所以B选项为假命题； C．两直线平行，同错角相等，所以C选项为假命题； D．两直线平行，同旁内角互补，所以D选项为假命题． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了命题和定理，熟练掌握相关定理是解题关键． 7. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 已知，甲、乙两地相距720米，甲从A地去B地，乙从B地去A地，图中分别表示甲、乙两人离B地的距离y（单位：米），下列说法正确的是（ ） A. 乙先走5分钟 B. 甲的速度比乙的速度快 C. 12分钟时，甲乙相距160米 D. 甲比乙先到2分钟 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象可判断选项A、D，根据题意结合图象分别求出甲乙两人的速度，进而判断选项B、C． 【详解】解：A．由图象可知，甲先走5分钟，故本选项不合题意； B．甲的速度为：（米分），乙的速度为：（米分），，故本选项不合题意； C．12分钟时，甲乙相距：（米，故本选项不合题意； D．由图象可知，甲比乙先到2分钟，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解题的关键． 9. 关于x，y的方程组与有相同的解，则 a 4b 3 的值为（　　） A. 1 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的解，再将解代入中求出，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴与的解相同， 由解得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，能利用其中系数确定的方程先求出它们的解，再求出其中字母系数的值． 10. 有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ①②④ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，第项为，进一步验证即可得到结论． 【详解】解：第一项是a2， 第二项是a2+2a+1， 用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则， 将b1加2记为b2，则， 将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是， 当a＝2时，第三项是，②正确； 将b2加2记b3，则，①正确； 第三项与b3相加作为第四项，则第四项是， 将b3加2记为b4，则， 第四项与b4相加作为第五项，则第五项是， 第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误； … 综上所述：，第项为， 第2022项为，④错误； 当时， ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】1 【解析】 12. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点C在上，且，则点C所表示的数是_________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查数轴与实数；首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段的长度，然后由利用两点间的距离公式便可解答．解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B， ∴， ∵， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 13. 将直线向下平移5个单位长度，平移后直线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的平移变换，解答本题的关键在于熟练掌握函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”，根据平移的法则即可得出平移后的函数表达式． 【详解】解：将函数向下平移5个单位，根据数图象平移的法则“左加右减，上加下减”，得： ． 故答案为：． 14. 已知直线不过第二象限，则k的范围为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴且， 解得． 当时，，也符合题意 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与的符号有直接的关系．需要特别注意不经过第二象限可能只经过第一、三象限． 15. 如图,在中,,分别是边上的点,将沿折叠,使点的对称点恰好落在的中点处．若,,则的长为____________cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻着变换问题,勾股定理应用．根据题意设,利用题目已知将,,表示出来,在中应用勾股定理即可求得本题答案． 【详解】解:∵将沿折叠, ∴,设,即, ∵, ∴, ∵恰好落在的中点,, ∴, ∴在中应用勾股定理:, ∴,解得：, 故答案为:． 16. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x、y的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用确定P点坐标，然后根据二元一次方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标进行判断即可． 【详解】解：把）代入，即，解得， 所以P点坐标为， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是． 故答案为． 17. 已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示：化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简． 【详解】根据数轴可知，则可知，， 故答案：b． 18. 如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：8162．∵，∴8162是“中积数”：又如：5234，∵，∴5234不是“中积数”，若一个“中积数”为，则这个数为______；对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减，解题时要熟练掌握并能灵活计算是关键．依据题意，根据定义可得，进而得出，即可求解；根据定义可得，再结合已知条件得，得出，根据整除可得 能被整除，根据题意，要求最小的“中积数“，进而从开始分析，逐个计算，即可求解． 【详解】由题意得, ， ∴解得: ， ∴这个数为； 又由题意“中积数”， 又， ∴这个“中积数”为， 又， ∴这个“中积数”为， 又由题意, ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∵能被整除， ∴能被整除， ∵要求最小“中积数”， ∴当，而，，不合题意； 当时，，则能被整除， ∵且为正整数， 都不能被整除， ∴时，不合题意. 当 时，，则能被整除， 且为正整数， 当时 ， ， ， ∴最小的“中积数“为， 故答案为:，． 三、解答题：（本大题8个小题，21题共8分，其他各答题共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并同理二次根式即可； （）利用立方根、算术平方根的定义、绝对值的性质先化简，再合并即可求解； 本题考查了二次根式混合运算，实数的混合运算，掌握二次根式的性质和立方根、算术平方根的定义及绝对值的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 20. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②，可得， 解得， 将代入①，可得， 所以，该方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 由，可得， 解得， 将代入①，可得， 解得， 所以，该方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法：加减消元法和代入消元法． 21. 已知：如图，中，，，为中点，为上一点，于． （1）尺规作图：作的角平分线交于．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（）中所作的图形中，求证：．补全下列证明过程： 证明：，， __________， 平分， ， __________， ， ， ，， __________， ≌（__________）， ． 【答案】（1）作图见解析 （2）；；；． 【解析】 【分析】（）根据角平分线的画法作图即可； （）根据题意完成证明过程即可； 本题考查了角平分线的画法和性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，射线即为所求； 【小问2详解】 证明：，， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ≌（）， ． 故答案为：；；；． 22. 为进一步加强学生对“垃圾分类”的重视程度，某中学初一、初二年级组织了“垃圾分类知识”比赛，现从初一、初二年级各抽取10名同学的成绩进行统计分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），绘制了如下的图表，请根据图中的信息解答下列问题． 初一年级10名学生的成绩是：69，78，96，77，68，95，86，100，85.86； 初二年级10名学生的成绩在C组中的数据是：86，87，87； 初一、初二年级抽取学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 初一年级 84 85.5 c 初二年级 84 b 92 （1）的值为 　　； （2）根据以上数据，你认为该校初一、初二年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若两个年级共有2500人参加了此次比赛，估计参加此次比赛成绩优秀（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）173 （2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由见解析； （3）875人 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据可以计算出b、c的值，本题得以解决； （2）根据统计图中的数据可以解答本题； （3）根据统计图中的数据可知七年级的优秀率是，八年级是，两个年级一起，乘以总人数，从而可以解答本题． 【小问1详解】 由七年级的成绩可知，， 由统计图中的数据可知，， 故答案为：173 ； 【小问2详解】 根据以上数据，该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级，说明八年级成绩好于七年级，故该校八年级学生掌握垃圾分类知识较好， 答：八年级学生掌握垃圾分类知识较好，两个年级的平均数一样，但是八年级学生的中位数高于七年级； 【小问3详解】 数据可知，七年级比赛成绩优秀的有3人，则七年级的优秀率是， 八年级的C组3个，占比为30%，根据扇形统计图可知八年级的优秀率是， 则参加此次比赛成绩优秀（）的学生人数是人， 答：参加此次比赛成绩优秀（）的学生有875人． 【点睛】此题考查数据的计算，能正确计算部分的百分比，中位数，众数，优秀率，能依据数据的计算结果做出决策. 23. 如图，将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到． (1)画出平移后的； (2)写出三个顶点的坐标； (3)已知点P在x轴上，以A1、B1、P为顶点的三角形面积为4，求点P的坐标． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）将△ABC的三个顶点分别向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，连接各点，可以得到△A1B1C1； （2）利用网格，找到各点横纵坐标即可找到△A1B1C1三个顶点的坐标； （3）由于以A1、B1、P为顶点的三角形得高为4，底为B1P，利用三角形的面积公式即可求出B1P的长，从而求出B1P的长． 【详解】（1）画图如下： （2）由图可知：A1(0，4)；B1(2，0)；C1(4，1)． （3）∵A1O=4，三角形的面积为4， ∴×4B1P=4， ∴B1P=2， ∴P(0，0)，(4，0)． 【点睛】本题考查了作图-平移变换，要注意找到关键点，将关键点平移，然后连接关键点即可． 24. 老友粉入选广西非物质文化遗产名录．为满足消费者需求，某超市购进甲、乙两种品牌老友粉，已知甲品牌老友粉比乙品牌老友粉每袋进价少2元，用2700元购进甲品牌老友粉与用3300元购进乙品牌老友粉的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌老友粉每袋的进价； （2）本次购进甲、乙品牌老友粉共800袋，均按13元出售，且购进甲品牌老友粉的数量不超过乙品牌老友粉数量的3倍．若该批老友粉全部售完，则该超市应购进甲、乙两种老友粉各多少袋才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲品牌老友粉每袋9元，乙品牌老友粉每袋11元 （2）当购进甲种老友粉600袋，乙种老友粉200袋时获利最大，最大利润为2800元 【解析】 【分析】（1）设甲品牌老友粉每袋x元，则乙品牌老友粉每袋元，根据用2700元购进甲品牌老友粉与用3300元购进乙品牌老友粉的数量相同列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设超市获得利润为y元，购进甲种老友粉m袋，则购进乙种老友粉袋．根据购进甲品牌老友粉的数量不超过乙品牌老友粉数量的3倍求出m的取值范围，再根据一次函数的性质求出答案即可． 小问1详解】 解：设甲品牌老友粉每袋x元，则乙品牌老友粉每袋元， 由题意， 解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解 ∴， 答：甲品牌老友粉每袋9元，乙品牌老友粉每袋11元 【小问2详解】 解：设超市获得利润为y元，购进甲种老友粉m袋，则购进乙种老友粉袋． ∵， ∴， ， ∵， ∴y随m的增大而增大． ∴当时，y的值最大 乙种老友粉的数量（袋）． 答：当购进甲种老友粉600袋，乙种老友粉200袋时获利最大，最大利润为2800元． 【点睛】此题考查了分式方程、一次函数、一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． 25. 如图一，已知直线与轴交于点，与y轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）如图二，点在直线上且在轴左侧，过点作轴交直线于点，交 轴于点，当，求出，两点的坐标； （3）将直线向左平移个单位得到直线交轴于点，点是点关于原点对称点．过点作直线轴，点在直线上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）；； （3）或或． 【解析】 【分析】（）将点代入，求出点D的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （）设，则，，由题意可得，则，求出x的值即可求出点的坐标； （）分别求出，，设，分三种情况讨论：当时，或；当时，； 【小问1详解】 将点代入， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，； 【小问3详解】 由题意可得直线解析式为， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，，， 当时，， 解得， ∴或； 当时，， 解得或（舍）， ∴； 综上所述：的坐标为或或． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图像性质，熟练掌握一次函数的图像性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 26. 如图，在ABC中，∠ABC＝60°，点D，E分别为AB，BC上一点，BD＝BE，连接DE，DC，AC＝CD． （1）如图1，若AC＝3，DE＝2，求EC的长； （2）如图2，连接AE交DC于点F，点M为EC上一点，连接AM交DC于点N，若AE＝AM，求证：2DE＝MC； （3）在（2）的条件下，若∠ACB＝45°，直接写出线段AD，MC，AC的等量关系． 【答案】（1）9﹣；（2）见解析；（3）MC+AD＝AC 【解析】 【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先判断出△BDE是等边三角形，求出BD，设出DG=a，则BD=2+a，进而表示出CG，最后用勾股定理建立方程求出a，即可得出结论； （2）在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP，先判断出△ABE≌△APM，得出∠APM=∠60°，进而得出∠MPQ=∠DEC=120°，再判断出∠EDC=∠ACB，进而判断出△MPQ≌△DEC（ASA），得出MQ=CD，进而判断出△APC≌△QPM（AAS），即可得出结论； （3）在MC上取一点P，使PM＝DE，先根据等边三角形的性质判断出PE=AD，进而得出BC=MC+AD，再构造特殊直角三角形找出BC与AC的关系，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，过点C作CG⊥AB于G， ∴∠AGC＝∠AGB＝90°， ∵AC＝CD， ∴AG＝DG， 设DG＝a， ∵BD＝BE，∠ABC＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD＝DE＝2， ∴BG＝BD+DG＝2+a， 在Rt△BGC中，∠BCG＝90°﹣∠ABC＝30°， ∴BC＝2BG=4+2a，CG＝BG＝6+a， 在Rt△DGC中，CD＝AC＝3， 根据勾股定理得，CG2+DG2＝CD2， ∴(6+a)2+a2＝90， ∴a＝或a＝（舍）， ∴BC＝EC+BE＝EC+BD， ∴EC+BD＝2(BD+DG)， ∴EC＝BD+2DG＝2+2a＝2+2×＝9﹣； （2）如图2，在MC上取一点P，使MP＝DE，连接AP， ∵△BDE是等边三角形， ∴∠BED＝60°，BE＝DE， ∴∠DEC＝120°，BE＝PM， ∵AE＝AM， ∴∠AEM＝∠AME， ∴∠AEB＝∠AMP， ∴△ABE≌△APM（SAS）， ∴∠APM＝∠ABC＝60°， ∴∠APC＝120°＝∠DEC， 过点M作AC的平行线交AP的延长线于Q， ∴∠MPQ＝∠APC＝120°＝∠DEC， ∵AC＝CD， ∴∠ADC＝∠DAC， ∴∠CDE＝180°﹣∠BDE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC， 在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠DAC＝120°﹣∠DAC＝∠CDE， ∵MQ//AC， ∴∠PMQ＝∠ACB， ∴∠PMQ＝∠EDC， ∴△MPQ≌△DEC（ASA）， ∴MQ＝CD， ∵AC＝MQ， ∴△APC≌△QPM（AAS）， ∴CP＝MP， ∴CM＝MP+CP＝2DE； （3）MC+AD＝AC． 如备用图，在MC上取一点P，使PM＝DE， 由（2）知，MC＝2CP＝2DE，△ABE≌△APM， ∴AB＝AP， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴BP＝AB， ∵BE＝BD， ∴PE＝AD， ∴BC＝BE+PE+CP＝DE+PE+DE＝2DE+AD＝MC+AD， 过点A作AH⊥BC于H，设BH＝m， 在Rt△ABH中，AH＝BH＝m， 在Rt△ACH中，∠ACB＝45°， ∴∠CAH＝90°﹣∠ACB＝45°＝∠ACB， ∴CH＝AH＝m，AC＝AH＝m， ∵MC+AD＝BC＝BH+CH＝m+m＝(1+)m， ∴MC+AD＝AC． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$