2.3　三角形的内切圆 学案 2023--2024学年浙教版九年级数学下册

浙教版数学九年级专题培优 专题12　三角形的内切圆 【知识梳理】 1．三角形内切圆的概念 与三角形三边都_______的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的_______，三角形叫做圆的_______三角形．三角形的内心是三角形的三条_______的交点． 2．三角形内心的性质 (1)内心是三角形三条_______的交点． (2)内心到三角形三条边的_______相等． (3)内心与三角形顶点的连线_______内角． 注意三角形内心与三角形外心的区别． 3．几个结论 (1)如图，⊙I切△ABC三边于点D、E、F，则 AD＝AF＝(______________)， BD＝BE＝(______________)， CE＝CF＝(______________)． (2)当∠C为直角时，△ABC内切圆的半径r＝(______________)，外接圆半径R＝_______. (3)S△ABC＝_______(其中r、l分别是三角形内切圆的半径和周长)． (4)∠BIC＝_______＋∠A，∠DIF＝_______－∠A． 【例题探究】 【例1】　如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是(　　) A．60° B．65° C．70° D．75° 【思路点拨】　连结OB，OC，根据点O是△ABC的内心，可得∠BOC＝90°＋∠A＝130°，再根据点O是△DBC的外心，可得∠D＝∠BOC，即可得出答案． 【例2】　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D，连结AI，BI.若BI＝4，BD＝，则AB的长为(　　) A． B． C．8 D．6 【思路点拨】　因为I为△ABC的内心，可得∠BID＝∠BAI＝45°，从而得出△BID∽△BAI，利用相似三角形对应边成比例即可求得AB的长． 【例3】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC的内心，若OA＝4，OB＝OC，则BC的长为 ________． 【思路点拨】　过点O作OA的垂线，分别交AB，AC于点E，D，可得△ADE是等腰直角三角形，求得AE，AD的长，再证△OEB∽△CDO，由相似三角形的性质可求得BE，CD的长，再由勾股定理即可求得结果． 【例4】　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB，交AC于点F，则EF的长为(　　) A． B． C． D． 【思路点拨】　过点E作EG∥BC，交AC于点G，由题意可得EF＝AF，CG＝EG，再证△ABC∽△FEG，即可得到EF∶EG∶FG＝AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，根据斜边的长列方程即可得到结论． 【例5】　如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，它的内切圆为⊙O，⊙O与边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，延长CO，交斜边AB于点G. 求：(1)⊙O的半径长． (2)线段DG的长． 【思路点拨】　(1)由勾股定理求得AB的长，设⊙O的半径为r，则r＝(AC＋BC－AB)；(2)过点G作GH⊥AC于点H，由△AGH∽△ABC求得GH的长，进而得出CG的长，再在Rt△ODG中，由勾股定理求得DG的长． 【例6】　已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式－－海伦公式S＝(其中a、b、c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积)，并给出了证明． 例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴p＝＝6， ∴S＝＝＝6. 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9. (1)用海伦公式求△ABC的面积． (2)求△ABC的内切圆半径r. 【思路点拨】　(1)先根据BC、AC、AB的长求出p，再代入海伦公式计算S的值即可；(2)根据公式S＝r(AC＋BC＋AB)，代入可得关于r的方程，解方程得r的值． 【例7】　如图，△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D，连结BD. (1)求证：BD＝DI. (2)若OI⊥AD，求的值． 【思路点拨】　(1)连结IB，证明∠BID＝∠IBD即可；(2)连结OD，交BC于点E，作IG⊥AC于点G，可证△BDE≌△AIG，则AG＝BE＝BC，根据三角形内心的性质可得AG＝(AB＋AC－BC)，由上即可得出的值． 【答案解析】 【知识梳理】 1．三角形内切圆的概念 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点． 2．三角形内心的性质 (1)内心是三角形三条角平分线的交点． (2)内心到三角形三条边的距离相等． (3)内心与三角形顶点的连线平分内角． 注意三角形内心与三角形外心的区别． 3．几个结论 (1)如图，⊙I切△ABC三边于点D、E、F，则 AD＝AF＝(AB＋AC－BC)， BD＝BE＝(AB＋BC－AC)， CE＝CF＝(AC＋BC－AB)． (2)当∠C为直角时，△ABC内切圆的半径r＝(a＋b－c)，外接圆半径R＝. (3)S△ABC＝rl(其中r、l分别是三角形内切圆的半径和周长)． (4)∠BIC＝90°＋∠A，∠DIF＝180°－∠A． 【例题探究】 【例1】　如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是(　　) A．60° B．65° C．70° D．75° 【解题过程】　如图，连结OB，OC， ∵∠A＝80°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°. ∵点O是△ABC的内心， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－×100°＝130°. ∵点O是△DBC的外心， ∴∠D＝∠BOC＝65°. 故选B. 【方法归纳】　三角形内心与外心是两个不同的概念．三角形内心是三个内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等；而三角形外心是三条边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等． 【例2】　如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D，连结AI，BI.若BI＝4，BD＝，则AB的长为(　　) A． B． C．8 D．6 【解题过程】　∵I为△ABC的内心，∠BAC＝90°， ∴CI平分∠ACB，BI平分∠ABC，AI平分∠CAB， ∴∠BID＝∠ICB＋∠IBC＝(∠ACB＋∠ABC)＝(180°－∠BAC)＝45°， ∠BAI＝∠BAC＝45°， ∴∠BID＝∠BAI. ∵∠IBD＝∠ABI， ∴△BID∽△BAI， ∴＝，即＝， ∴AB＝. 故选A． 【方法归纳】　本题考查了三角形内心的性质、相似三角形的判定与性质，熟记三角形内心的性质是解题的关键． 【例3】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是△ABC的内心，若OA＝4，OB＝OC，则BC的长为 ________． 【解题过程】　如图，过点O作OA的垂线，分别交AB，AC于点E，D， ∵点O是△ABC的内心，∠BAC＝90°，OA＝4， ∴∠EAO＝∠DAO＝45°， ∴∠AEO＝∠ADO＝45°， ∴OE＝OD＝OA＝4，AE＝AD＝8，∠BEO＝∠ODC＝135°. ∵点O是△ABC的内心，∠BAC＝90°， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)＝×90°＝45°， ∴∠BOC＝135°， ∴∠EOB＋∠DOC＝45°. ∵∠EBO＋∠EOB＝180°－∠BEO＝45°， ∴∠EBO＝∠DOC， ∴△OEB∽△CDO， ∴＝＝. ∵OB＝OC， ∴＝＝， ∴EB＝8，CD＝4， ∴AB＝BE＋AE＝8＋8＝16，AC＝AD＋CD＝8＋4＝12， ∴BC＝＝＝20. 故填20. 【方法归纳】　本题考查了三角形内心的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【例4】　如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点E是△ABC的内心，过点E作EF∥AB，交AC于点F，则EF的长为(　　) A． B． C． D． 【解题过程】　如图，过E作EG∥BC，交AC于点G，则∠BCE＝∠CEG. ∵点E是△ABC的内心， ∴∠BCE＝∠ACE， ∴∠ACE＝∠CEG， ∴CG＝EG. 同理可得，EF＝AF. ∵BC∥GE，AB∥EF， ∴∠BCA＝∠EGF，∠BAC＝∠EFG， ∴△ABC∽△FEG. ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， ∴EF∶EG∶FG＝AB∶BC∶AC＝3∶4∶5. 设EF＝AF＝3k，则EG＝CG＝4k，FG＝5k. ∵AC＝10， ∴3k＋5k＋4k＝10， ∴k＝， ∴EF＝3k＝. 故选A． 【方法归纳】　本题主要考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形． 【例5】　如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，它的内切圆为⊙O，⊙O与边AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，延长CO，交斜边AB于点G. 求：(1)⊙O的半径长． (2)线段DG的长． 【解题过程】　(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝5. ∴⊙O的半径r＝(AC＋BC－AB)＝×(4＋3－5)＝1. (2)如图，过点G作GH⊥AC于点H，连结OD、OF，设GH＝x. 由题意知，∠ACB＝90°，CG平分∠ACB， ∴∠GCH＝45°，∴HC＝GH＝x. ∵∠GHA＝∠BCA＝90°，∠A＝∠A， ∴△AGH∽△ABC， ∴＝，即＝，解得x＝. ∴CG＝x＝. ∵⊙O与AC相切于点F， ∴在Rt△FOC中，OC＝OF＝. ∴OG＝CG－CO＝－＝. ∵⊙O与边AB相切于点D，∴∠ODG＝90°， ∴DG＝＝. 【方法归纳】　本题考查三角形内切圆的性质、相似三角形的判定与性质．根据三角形内心的条件添加合适的辅助线是解题的关键． 【例6】　已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式－－海伦公式S＝(其中a、b、c是三角形的三边长，p＝，S为三角形的面积)，并给出了证明． 例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面积可以这样计算： ∵a＝3，b＝4，c＝5， ∴p＝＝6， ∴S＝＝＝6. 事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决． 根据上述材料，解答下列问题： 如图，在△ABC中，BC＝5，AC＝6，AB＝9. (1)用海伦公式求△ABC的面积． (2)求△ABC的内切圆半径r. 【解题过程】　(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9， ∴p＝＝＝10， ∴S＝＝＝10， ∴△ABC的面积为10. (2)∵S＝r(BC＋AC＋AB)， ∴10＝r(5＋6＋9)，解得r＝. ∴△ABC的内切圆半径r＝. 【方法归纳】　一般三角形ABC的内切圆的半径，通常可以利用公式S＝r(AC＋BC＋AB)进行求解，只要求出三角形ABC的周长和面积，即可求得三角形内切圆的半径． 【例7】　如图，△ABC内接于圆O，I是△ABC的内心，AI的延长线交圆O于点D，连结BD. (1)求证：BD＝DI. (2)若OI⊥AD，求的值． 【解题过程】　(1)如图，连结IB. ∵点I是△ABC的内心， ∴∠4＝∠5，∠2＝∠3. ∵∠1＝∠5， ∴∠1＝∠4. ∵∠BID＝∠3＋∠4，∠IBD＝∠2＋∠1， ∴∠BID＝∠IBD， ∴BD＝DI. (2)如图，连结OD，交BC于点E，过点I作IG⊥AC于点G. ∵∠4＝∠5， ∴＝， ∴OD⊥BC． ∵OI⊥AD， ∴AI＝ID＝BD. ∵IG⊥AC， ∴∠BED＝∠AGI＝90°. 又∵∠1＝∠5， ∴△BDE≌△AIG， ∴AG＝BE＝BC． ∵AG＝(AB＋AC－BC)， ∴BC＝(AB＋AC－BC)，即AB＋AC＝2BC， ∴＝2. 【方法归纳】　本题综合运用了三角形内心的性质、圆的基本性质、全等三角形等知识，(2)问难度较大．在本题的条件下，有如下重要结论：①DB＝DI＝DC；②当OI⊥AD时，有AB＋AC＝2BC． 学科网（北京）股份有限公司 $$