专题11　直线与圆的位置关系 讲义2024-2025学年浙教版数学九年级专题培优

浙教版数学九年级专题培优 专题11　直线与圆的位置关系 【知识梳理】 1．直线与圆的三种位置关系以及判别方法 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： (1)d＜r⇔直线l和⊙O_______； (2)d＝r⇔直线l和⊙O_______； (3)d＞r⇔直线l和⊙O_______． 2．切线的判定方法 (1)根据圆心到直线的距离等于_______来判定； (2)经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的_______． 一般地，当圆与直线公共点的位置不确定时，用方法(1)证明圆的切线；当公共点的位置确定时，用方法(2)证明圆的切线． 3．切线的性质定理 (1)经过切点的半径垂直于圆的切线． 如图，∵直线AB与⊙O相切于点C，CD为⊙O的直径， ∴OC⊥AB. (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心． 如图，∵直线AB与⊙O相切于点C，CD⊥AB， ∴CD是⊙O的直径． 4．切线长定理 (1)概念：从圆外一点作圆的切线，我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做_______． (2)性质：过圆外一点所作的圆的两条切线长_______． 5．在利用切线的性质进行计算或证明时，经常利用切线与过切点的半径垂直构造直角三角形，将已知条件集中到直角三角形中解决． 【例题探究】 【例1】　在平面直角坐标系xOy中，以M(3，4)为圆心，半径为5的圆与x轴的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【思路点拨】　求出点M到x轴的距离d，再与⊙M的半径5比较大小即可做出判断． 【例2】　如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE与⊙O相切于点B，连结AC，∠D＝120°，∠ACB＝40°，则∠CBE的度数为(　　) A．80° B．70° C．60° D．75° 【思路点拨】　连结OB，OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据三角形的内角和定理求出∠CAB，根据圆周角定理求出∠BOC，进一步求出∠OBC，根据切线的性质即可求出∠CBE的度数． 【例3】　如图，在△ABC中，O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD. (1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． (2)若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长． 【思路点拨】　(1)连结OB，证明AD∥OB，由AD⊥CB可得OB⊥CB，即可判断BC与⊙O的位置关系；(2)证明△CBO∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例即可求出⊙O的半径． 【例4】　如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于B，D两点，与AC交于点E，连结AB，AD，AB＝BE. (1)求证：AB＝BM. (2)若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径． 【思路点拨】　(1)只要证明∠AMD＝∠PAB，即可得出AB＝BM；(2)连结BC，先求出EM与AE的长度，再证明△MAE∽△CBA，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【例5】　如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连结AD. (1)求证：∠OCA＝∠ADC． (2)若AD＝2，tanB＝，求OC的长． 【思路点拨】　(1)连结OA，根据切线的性质和平行线的条件可得∠AOC＝90°，∠OCA＝45°，根据圆周角定理可得∠ADC＝∠AOC＝45°，即可证明结论；(2)过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△AED中求出AE的长，在Rt△AEB中求出AB的长，在Rt△FAB中求出AF的长，在Rt△FOC中利用锐角三角函数即可得出OC的长． 【例6】　如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线，交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由． (2)当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长． 【思路点拨】　(1)根据当点P是的中点时，得出弧PBA＝弧PCA，推出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，再由△ABE∽△ADP，即可求得DP的长． 【例7】　如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP. (1)求证：直线CP是⊙O的切线． (2)若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离． (3)在(2)的条件下，求△ACP的周长． 【思路点拨】　(1)连结AN，证明∠ACP＝90°，即可解决问题；(2)过点B作BH⊥AC于点H，利用△CAN∽△CBH求出BH的长；(3)先求出AH的长，再利用△ABH∽△APC求PC、AP的长，进而求出△ACP的周长． 【答案解析】 【知识梳理】 1．直线与圆的三种位置关系以及判别方法 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： (1)d＜r⇔直线l和⊙O相交； (2)d＝r⇔直线l和⊙O相切； (3)d＞r⇔直线l和⊙O相离． 2．切线的判定方法 (1)根据圆心到直线的距离等于半径来判定； (2)经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线． 一般地，当圆与直线公共点的位置不确定时，用方法(1)证明圆的切线；当公共点的位置确定时，用方法(2)证明圆的切线． 3．切线的性质定理 (1)经过切点的半径垂直于圆的切线． 如图，∵直线AB与⊙O相切于点C，CD为⊙O的直径， ∴OC⊥AB. (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心． 如图，∵直线AB与⊙O相切于点C，CD⊥AB， ∴CD是⊙O的直径． 4．切线长定理 (1)概念：从圆外一点作圆的切线，我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长． (2)性质：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等． 5．在利用切线的性质进行计算或证明时，经常利用切线与过切点的半径垂直构造直角三角形，将已知条件集中到直角三角形中解决． 【例题探究】 【例1】　在平面直角坐标系xOy中，以M(3，4)为圆心，半径为5的圆与x轴的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【思路点拨】　求出点M到x轴的距离d，再与⊙M的半径5比较大小即可做出判断． 【解题过程】　∵圆心M(3，4)， ∴圆心M到x轴的距离为d＝4. ∵r＝5， ∴d＜r. ∴⊙M与x轴相交． 故选B. 【方法归纳】　直线和圆的位置关系：①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r.解决此类问题，可通过比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系进行判定，但要注意d表示圆心到直线的距离． 【例2】　如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE与⊙O相切于点B，连结AC，∠D＝120°，∠ACB＝40°，则∠CBE的度数为(　　) A．80° B．70° C．60° D．75° 【思路点拨】　连结OB，OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据三角形的内角和定理求出∠CAB，根据圆周角定理求出∠BOC，进一步求出∠OBC，根据切线的性质即可求出∠CBE的度数． 【解题过程】　如图，连结OB，OC， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝120°， ∴∠ABC＝180°－120°＝60°. ∵∠ACB＝40°， ∴∠BAC＝180°－60°－40°＝80°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝160°. ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝(180°－160°)÷2＝10°. ∵BE与⊙O相切于点B， ∴∠OBE＝90°， ∴∠CBE＝90°－10°＝80°. 故选A． 【方法归纳】　本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【例3】　如图，在△ABC中，O是AC上(异于点A，C)的一点，⊙O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD. (1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由． (2)若AC＝10，DC＝8，求⊙O的半径长． 【思路点拨】　(1)连结OB，证明AD∥OB，由AD⊥CB可得OB⊥CB，即可判断BC与⊙O的位置关系；(2)证明△CBO∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例即可求出⊙O的半径． 【解题过程】　(1)BC与⊙O相切．理由如下： 如图，连结OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA． ∵AB平分∠CAD， ∴∠DAB＝∠CAB， ∴∠DAB＝∠OBA， ∴AD∥OB. ∵AD⊥CB， ∴OB⊥CB， ∴BC与⊙O相切． (2)设⊙O的半径为r， ∵∠D＝90°，AC＝10，DC＝8， ∴AD＝＝6. ∵AD∥OB， ∴△CBO∽△CDA， ∴＝，即＝， ∴r＝， ∴⊙O的半径长为. 【方法归纳】　本题主要考查切线的判定方法、三角形相似的判定和性质、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 【例4】　如图，AC为⊙O的直径，AP为⊙O的切线，M是AP上一点，过点M的直线与⊙O交于B，D两点，与AC交于点E，连结AB，AD，AB＝BE. (1)求证：AB＝BM. (2)若AB＝3，AD＝，求⊙O的半径． 【思路点拨】　(1)只要证明∠AMD＝∠PAB，即可得出AB＝BM；(2)连结BC，先求出EM与AE的长度，再证明△MAE∽△CBA，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【解题过程】　(1)∵AP为⊙O的切线，AC为⊙O的直径， ∴AP⊥AC， ∴∠CAB＋∠PAB＝90°，∠AMD＋∠AEM＝90°. ∵AB＝BE， ∴∠AEB＝∠CAB， ∴∠AMD＝∠PAB， ∴AB＝BM. (2)如图，连结BC， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°，∴∠C＋∠CAB＝90°. ∵∠CAB＋∠MAB＝90°， ∴∠C＝∠MAB. ∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D， ∴∠AMD＝∠D＝∠C， ∴AM＝AD＝. ∵AB＝3，AB＝BM＝BE， ∴EM＝6， ∴AE＝＝. ∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°， ∴△MAE∽△CBA， ∴＝，∴＝， ∴CA＝5， ∴⊙O的半径为2.5. 【方法归纳】　本题是圆与相似三角形的综合题，解题的关键是熟练运用切线的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理以及等腰三角形的性质． 【例5】　如图，AB与⊙O相切于点A，半径OC∥AB，BC与⊙O相交于点D，连结AD. (1)求证：∠OCA＝∠ADC． (2)若AD＝2，tanB＝，求OC的长． 【思路点拨】　(1)连结OA，根据切线的性质和平行线的条件可得∠AOC＝90°，∠OCA＝45°，根据圆周角定理可得∠ADC＝∠AOC＝45°，即可证明结论；(2)过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△AED中求出AE的长，在Rt△AEB中求出AB的长，在Rt△FAB中求出AF的长，在Rt△FOC中利用锐角三角函数即可得出OC的长． 【解题过程】　(1)如图，连结OA交BC于点F， ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB，即∠OAB＝90°. ∵OC∥AB， ∴∠AOC＝∠OAB＝90°， ∴∠ADC＝∠AOC＝45°. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝45°， ∴∠OCA＝∠ADC． (2)如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠ADE＝45°，AD＝2， ∴AE＝AD＝. ∵tanB＝＝， ∴BE＝3AE＝3， ∴AB＝＝2. 在Rt△ABF中，tanB＝＝， ∴AF＝AB＝. ∵OC∥AB， ∴∠OCF＝∠B， ∴tan∠OCF＝＝tan∠B＝. 设OC＝r，则OF＝r－， ∴3(r－)＝r，解得r＝， ∴OC＝. 【方法归纳】　题目中若有切线的条件，往往是连结过切点的半径． 【例6】　如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线，交AB的延长线于点D. (1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由． (2)当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长． 【思路点拨】　(1)根据当点P是的中点时，得出弧PBA＝弧PCA，推出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，再由△ABE∽△ADP，即可求得DP的长． 【解题过程】　当点P是的中点时，DP是⊙O的切线． 理由如下：如图，∵AB＝AC，∴＝. 又∵＝，∴＝， ∴PA是⊙O的直径． ∵＝，∴∠1＝∠2. ∵AB＝AC，∴PA⊥BC． ∵DP∥BC， ∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线． (2)如图，连结OB，设PA交BC于点E. 由垂径定理，得BE＝BC＝6. 在Rt△ABE中，AE＝＝＝8. 设⊙O的半径为r，则OE＝8－r. 在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝. ∵DP∥BC，∴△ABE∽△ADP， ∴＝，即＝，解得DP＝. 【方法归纳】　本题是条件探索性问题，可以先猜出P点的位置，再用切线的判定方法证明是切线． 【例7】　如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP. (1)求证：直线CP是⊙O的切线． (2)若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离． (3)在(2)的条件下，求△ACP的周长． 【思路点拨】　(1)连结AN，证明∠ACP＝90°，即可解决问题；(2)过点B作BH⊥AC于点H，利用△CAN∽△CBH求出BH的长；(3)先求出AH的长，再利用△ABH∽△APC求PC、AP的长，进而求出△ACP的周长． 【解题过程】　(1)如图，连结AN. ∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC． ∵AC为⊙O的直径，∴AN⊥BC， ∴∠CAN＝∠BAN，BN＝CN. ∵∠CAB＝2∠BCP，∴∠CAN＝∠BCP. ∵∠CAN＋∠ACN＝90°， ∴∠BCP＋∠ACN＝90°，即AC⊥PC， ∴直线CP是⊙O的切线． (2)如图，过点B作BH⊥AC，垂足为点H. 由(1)得BN＝CN＝BC＝. ∵AN⊥BC，∴sin∠CAN＝. 又∵∠CAN＝∠BCP，sin∠BCP＝， ∴＝，∴AC＝5. ∴AN＝＝2. ∵∠ANC＝∠BHC＝90°，∠ACN＝∠BCH， ∴△CAN∽△CBH，∴＝， ∴＝，∴BH＝4，即点B到AC的距离为4. (3)∵CH＝＝＝2， ∴AH＝AC－CH＝5－2＝3. ∵BH∥PC，∴△ABH∽△APC， ∴＝，∴＝， ∴CP＝， ∴AP＝＝＝， ∴△ACP的周长为AC＋PC＋AP＝5＋＋＝20. 【方法归纳】　本题考查切线的判定与性质等知识．(2)(3)问涉及线段长度的计算，通常可以考虑解直角三角形或找相似三角形解决． 学科网（北京）股份有限公司 $$