实战演练12 排列组合的常见考法技巧（7大常考点归纳）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

实战演练12 排列组合的常见考法技巧 ①特殊元素（位置）法 ②捆绑法 ③插空法 ④倍缩法 ⑤排数问题 ⑥分组分配问题 ⑦涂色问题 一、排列组合中常见问题及其技巧 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法 3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 5.涂色问题常用方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 二、方法技巧分类 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． ⑦涂色问题 解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 ①特殊元素（位置）法 一、单选题 1．（2024·广东佛山·二模）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，排第1名，有种方法，排丁和戊，有种方法，排余下2人，有种方法， 所以这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（种）. 故选：B 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 【答案】C 【分析】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先排左右两端，有种排法， 再排中间4个位置，有种排法， 所以不同的排法种数为种. 故选：C. 3．（2024·全国·模拟预测）中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】C 【分析】根据“特殊元素（位置）优先法”，先安排生行、净行和旦行，再安排其他行即可. 【详解】由题意，生行、净行由男生扮演，则从3名男生中选2人，再全排列，有种扮演方式； 旦行由女生扮演，则从2名女生中选1人，有种扮演方式； 剩下的2人有种扮演方式， 故共有（种）不同的人物角色扮演方式． 故选：C 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由排列数的计算以及古典概型概率计算公式即可得解. 【详解】在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩， 在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是. 故选：A. 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 【答案】A 【分析】利用间接法，先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数，结合排列数运算求解. 【详解】先考虑甲乙不相邻的不同排列方式数，再减去甲站在一端且甲乙不相邻的排列方式数， 所以总数为种， 故选：A. 6．（2025·四川内江·模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（    ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 【答案】C 【分析】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】首先将名老师排在中间个位置中的个位置，再将其余名学生全排列， 故不同排列方式共有（种）. 故选：C 7．（2024·四川成都·三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率结合组合数的计算求解即可. 【详解】从11所学校中任选3所学校共有种选法. 其中排名为第一名或第五名的学校，可以分为三种情况： 第一类：只含有排名为第一名的学校的有种选法； 第二类：只含有排名为第五名的学校的有种选法； 第三类：同时含有第一名和第五名学校的有种选法； 共种选法.根据概率公式可得. 故选：D. 8．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两个原理，结合排列、组合应用列式计算即可. 【详解】①A校去乙地有种； ②A校与另一所学校去丙地有种， ③A校单独去丙地有种， 所以共有种， 故选：B． 9．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（    ） A．192种 B．252种 C．268种 D．360种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算即得. 【详解】若甲乙不值班，值班安排有种； 若甲乙只有一人不值班，值班安排有种； 若甲乙都值班，值班安排有种， 所以值班安排共有252种. 故选：B 10．（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（    ） A．87 B．129 C．132 D．138 【答案】A 【分析】按千位数分别是5，7，8进行分类讨论即可. 【详解】若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有（个）； （①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200，则其千位上的数字是5，7或8） 若千位数字是7，则共有（个）； 若千位数字是8，则共有（个）． 故符合条件的四位数共有（个）． 故选：A ②捆绑法 一、单选题 1．（2024·江西九江·三模）考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得，，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．72 D．144 【答案】D 【分析】利用捆绑法、全排列和分步乘法计数原理即可解答. 【详解】第一步：将三个偶数看成一个整体，与三个奇数进行全排列共种排法； 第二步：将三个偶数进行全排列共； 根据分步乘法计数原理可得： 将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为. 故选：D. 2．（24-25高三·上海·课堂例题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 【答案】A 【分析】运用捆绑法，结合排列定义进行求解即可. 【详解】把甲、乙捆绑在一起，相当于一个人，再与剩下的五人一起全排列， 所以不同的安排方案共有种， 故选：A 3．（24-25高三·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 【答案】C 【分析】利用捆绑法、插空法可得答案. 【详解】1和2，3与4，5与6，分别捆绑在一起，看作三个元素进行排列， 7与8利用插空法，可得 故选：C. 4．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解. 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 5．（24-25高三上·上海·课后作业）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先把3个男生排列在一起，再排列6名女生，最后插空安排2组男生结合乘法原理计算即可. 【详解】根据题意，分3步进行分析： ①将4名男生分成1、3的两组，将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，有种，这样与第4个男生看成是2组男生； ②将6名女生全排列，有种情况，排好后有7个空位； ③将分好的2组安排到7个空位中，有种情况，则不同的排法有种． 故选:D． 6．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（    ） A．44种 B．48种 C．72种 D．80种 【答案】B 【分析】利用间接法，首先将五个节目全排列，减去独唱类节目相邻，再减去歌舞类节目相邻，最后加上独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻的情况即可. 【详解】依题意五个节目全排列有种排法； 若独唱类节目相邻，则有种排法； 若歌舞类节目相邻，则有种排法； 若独唱类节目相邻且歌舞类节目也相邻，则有种排法； 综上可得同类节目不相邻的安排方式共有种. 故选：B ③插空法 一、单选题 1．（2024·山东·模拟预测）某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（   ） A．120 B．72 C．64 D．48 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不相邻的排列问题列式计算即得. 【详解】依题意，两名老师不相邻，所以不同的站法种数为. 故选：B 2．（2024·浙江金华·三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（    ） A．36 B．54 C．60 D．72 【答案】D 【分析】利用分步计数原理与插空法即可求解. 【详解】根据题意，完成这件事可分三部： 第一步，选数字，有种； 第二步，将选好的三个数字确定一个重复的数字，有种； 第三步，安排这三个数字在三个位置上，且相邻数位上的数字不同， 即先安排两个不同的数字，再让两个相同的数字取插空，则有种排序方法； 由分步计数原理可得这样的四位数共有个. 故选：D 3．（2024·海南海口·二模）某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（    ） A．72 B．96 C．144 D．240 【答案】C 【分析】分三步，首先除代表甲与代表乙以外的3名代表全排，其次将代表甲与代表乙插入3名代表排好后产生的4个空位，最后安排记者在两端，由分步计数，相乘可得结果. 【详解】第一步除代表甲与代表乙以外的3名代表的排法有种， 第二步由代表甲与代表乙不相邻，利用插空法，将代表甲与代表乙插入其他3名代表排好后产生的4个空位，方法为种， 第三步将记者安排在两端有种， 所以共有种排法. 故选：C. 4．（2024高三·全国·专题练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（    ） A．72 B．120 C．144 D．3 【答案】B 【分析】先排歌舞类节目，然后将三个歌舞类节目中间的两个空位排满，分成两种情况：第一种，插入的是两个小品类节目，第二种，插入的是一个小品一个相声，进而求得排法总数. 【详解】先排歌舞类节目方法数为，然后将三个歌舞类节目中间的两个空位排满， 分成两种情况： 第一种，插入的是两个小品类节目，方法数为； 第二种，插入的是一个小品一个相声，方法数为． 所以总的排法种数为 故选：B 5．（2024·云南·二模）某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节目(3个歌唱节目和2个舞蹈节目).根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保持不变，再在节目单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排最后，则不同的插入方法一共有（    ） A．18种 B．20种 C．30种 D．34种 【答案】B 【分析】本题根据排列组合的基本原理，相邻问题采用“捆绑法”，不相邻问题采用“插空法”.由题意，原5个节目安排好以后，中间产生四个空档，然后对新插入的两个朗诵节目分为相邻和不相邻两种情况插入即可得出结果. 【详解】由题意得：（1）新插入的两个朗诵节目相邻时：有种方法， （2）新插入的两个朗诵节目不相邻时：有种方法， 综上得：共有种方法. 故选：B. 6．（2024·安徽·三模）某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同的安排方法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】B 【分析】先排第一及最后一个节目，再排歌唱节目，最后用插空法计算即可得. 【详解】先从3个不同的舞蹈节目选出2个分别安排在第一及最后一个，有种， 再将3个不同的歌唱节目排成一列，有种， 3个不同的歌唱节目中间有2个空，从中选1个安排最后一个节目，有种， 故共有. 故选：B. ④倍缩法 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将5个球全排列，再除以2个红球全排列数和3个黄球全排列数. 【详解】因为5个球有种排法，因为同色球不加以区分，2个红球有种排法，3个黄球排有种排法，所以共有种排法． 故选：D． 2．（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【分析】利用排列数公式，以及顺序一定问题，列式求解. 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有种方法. 故选：C 3．（2024·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 4．（23-24高三上·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 【答案】C 【分析】分首位为2、1计算出每种情况的结果数，再相加即可. 【详解】当首位为2时，这样的五位数有个； 当首位为1时，这样的五位数有个. 综上，这样的五位数共有个. 故选：C. 5．（23-24高三上·江苏·开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 【答案】B 【分析】先求得六人的全排列数，结合题意，利用定序排列的方法，即可求解. 【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有种不同的排法， 其中甲、乙、丙三人的全排列有种不同的排法， 其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为种. 故选：B. ⑤排数问题 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】完全平方数、新定义问题 【详解】因为两位数的完全平方数有（提示：完全平方数指一个数能表示成某个整数的平方的形式），所以具有“性质”的三位数有，共4个． 故选：D. 2．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 【答案】A 【分析】分有和没有两种情况讨论，选项出数字，再排列. 【详解】若这三个数字里没有，则共有个， 若这三个数字里有，则共有个，则共有个. 故选：A. 3．（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出组成无重复的三位数的个数，再求出是偶数的三位数的个数，根据古典概型求出概率即可. 【详解】因为由1，2，3组成没有重复数字的三位数的个数为；， 由1，2，3组成没有重复数字的三位数的偶数的个数为：， 所以由1，2，3组成没有重复数字的三位数，从中任取一个为偶数的概率为. 故选：D 4．（2024·四川雅安·三模）从五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论分别求没有重复数字的四位数、偶数的个数，结合古典概型运算求解. 【详解】若选择的4个数中有0，则没有重复数字的四位数有个； 若选择的4个数中无0，则没有重复数字的四位数有个； 所以没有重复数字的四位数共有个. 若个位数为0，则没有重复数字的偶数有个； 若个位数不为0，则没有重复数字的偶数有个； 所以没有重复数字的四位数共有个. 综上所述：该数为偶数的概率为. 故选：C. 5．（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（    ） A．20种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】求不同填法需要4步，填中间一列有2种方法，再填1有3种方法， 与1同列的只能是3或4，有2种方法，最后两个区域，填两个数字有2种方法， 所以不同填法种数是. 故选：B 6．（2024·浙江·模拟预测）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出基本事件总数n，再求出数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可. 【详解】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数， 基本事件总数， 数字3在五位数中位于1和5之间的基本事件个数， 则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为． 故选：D． 7．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列共有项，且，，，则这样的数列有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据题目该数列相邻两项之差或，因为，已确定，所以只需先判断到相邻两项之差有几个和几个及其排列方法数，就能对应得到中间七项可能的排列方法数. 计算可得相邻两项之差中有个和个，利用排列组合可得. 【详解】设，因为，所以或. 可设，…，中有个2和个, 则，解得，， 即，…，中有个和个，因此这样的数列共有个. 故选：A 8．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（    ）个. A．212 B．213 C．224 D．225 【答案】D 【分析】先对数字位数分类讨论，在对五位数的首位数字进行分类讨论：①首位为1，2；②首位为3.然后分析千位数的选取，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分数字位数讨论： 一位数5个； 两位数有个； 三位数有个； 四位数有个； 五位数分以下两种情况讨论： ①首位数字为1或2，此时共有个； ②首位数字为3，则千位数从0或1中选择一个，其余三个数位任意排列， 此时共有个. 综上所述，共有个比小的数. 故选：D. ⑥分组分配问题 一、单选题 1．（2024高三下·江西新余·专题练习）将5本不同的书分给3位同学，则每位同学至少有1本书的不同分配方式共有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出将5本不同的书分成三份的方法数，再求出将分好的三份书籍分发给3位同学的方法数即可根据分步乘法计算原理求解. 【详解】由题可先将5本不同的书分成三份，共有种方法， 再将分好的三份书籍分发给3位同学的方法数有种， 所以将5本不同的书分给3位同学共有种分法. 故选：C. 2．（24-25高三上·山西·开学考试）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解. 【详解】先将五门课程分成3,1,1和2,2,1这样两种情况，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式 故选：A 3．（2024·江西·模拟预测）某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（    ） A．24 B．288 C．576 D．1152 【答案】A 【分析】根据条件，先将男生分成四组，有1种分法，再将女生分到四组有种分法，再利用分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意可知，先将男生平均分成四组有：种方法， 再将女生安排到四组有：种方法，所以组队方法的总数为. 故选：A. 4．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．20种 【答案】C 【分析】分一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目与每个场地都承办两个项目两种情况讨论，按照先分组，再分配的方法计算可得. 【详解】若一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目，则有种安排； 若每个场地都承办两个项目，则有种安排； 综上可得一共有种不同的安排方法. 故选：C 5．（2024·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） ． A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录取，②四人都被录取，再由分类加法计数原理即可求． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况； ②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校， 有种不同的录用情况； 所以共有种不同的录用情况． 故选：B． 6．（2024·贵州贵阳·三模）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地，B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有（    ） A．462种 B．300种 C．402种 D．390种 【答案】D 【分析】分情况分别求出安排种数，再根据分类加法原理相加即可. 【详解】若三个场地分别承担个项目，则有种安排； 若三个场地分别承担个项目，则有种安排； 若三个场地分别承担个项目，则有种安排， 综上，不同的安排方法共有种. 故选：D. 7．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先把名大学生按照分成三组，再将三个组分到个班，计算可得答案． 【详解】将名大学生分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名， 则将名大学生分成三组，一组人，另两组都是人，有种方法， 再将组分到个班，共有种不同的分配方案， 故选：B． 8．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 【答案】C 【分析】利用分类加法计数原理，结合分组分配问题和排列组合知识求解． 【详解】由题意可知，分两种情况讨论， ①工厂安排1人，有种， ②工厂安排2人，有种， 所以不同的安排方法有种． 故选：C． 9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（    ） A．20种 B．14种 C．10种 D．7种 【答案】B 【分析】按照分组，分配的方法，结合组合和排列数公式，即可求解. 【详解】第一步：将4名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人， 共有种分法； 第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法， 则不同的安排方法有（种）. 故选：B. 10．（24-25高三上·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（    ） A．360 B．640 C．1350 D．1440 【答案】C 【分析】根据题意按照或分类分组，结合排列组合求出种类，最后相加即可. 【详解】解析：将2名金牌导游分配到3个景区，有种分配方法， 若每个风景区都要有银牌导游，则将银牌导游分成三组，各组人数分别为或. 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种； 当银牌导游分成三组的人数为时，此时共有种分配方法. 所以不同分配方法有种. 故选:C. ⑦涂色问题 一、单选题 1．（2024·四川成都·二模）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ） ① ② ③ A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布计数乘法原理及古典概型概率公式可得结果. 【详解】依题意，对三个部分着色由分布计数乘法原理共有种不同的方法， 设“任意有公共边的两块着不同颜色”,事件A共有种不同方法， 由古典概型的概率公式, 故选：A. 2．（23-24高三上·河北·期末）中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（    ）种    A．144 B．264 C．288 D．432 【答案】B 【分析】先求出正面区域的可能的色彩设计方法，再求出反面区域的可能的色彩设计方法，由分步乘法计数原理即可得出答案. 【详解】4种色彩设为1、2、3、4，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有种不同方法， 对于中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为1、2、3， 则反面颜色也可选1、2、3，但与正面不能同色，故对应为2、3、1和3、1、2两种． 反面颜色也能选1、2、4，与正面1、2、3对应分别为2、1、4，2、4、1，4、1、2三种． 同理反面颜色选1、3、4也为3种，反面选2、3、4也为3种， 则正面用三色为1、2、3，反面颜色对应有11种， 所以双面绣不同色彩设计方法共有种． 故选：B． 3．（2024·四川成都·二模）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由分步计数原理计算“用四种不同得颜色要对如图形中的五部分进行着色”和“任意有公共边的两块着不同颜色”的涂色方法，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，用四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，每个部分都有4种涂色方法，则有种涂色方法； 若其中任意有公共边的两块着不同颜色，有两种情况：①只用三种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法；②用四种颜色涂这5个区域，则有种涂色方法，所以若其中任意有公共边的两块着不同颜色，共有144种涂色方法，故四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为. 故选：C 4．（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由排列组合以及分类加法计数原理求解个数，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】使用4种颜色给四个区域涂色，有种涂法； 使用3种颜色给四个区域涂色，共有种涂法； （使用3种颜色给四个区域涂色有两类情况：①区域A与区域C涂同一种颜色，区域B与区域D涂另外2种颜色； ②区域B与区域D涂同一种颜色，区域A与区域C涂另外2种颜色） 使用2种颜色给四个区域涂色，共有种不同的涂法． 所以所有的涂色方法共有（种），故使用2种颜色给四个区域涂色的概率为． 故选：B 5．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【答案】A 【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可 【详解】满足条件的摆放方案可分为两类， 第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种， 故选：A. 6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．420 C．336 D．120 【答案】B 【分析】分三种情况，用三种颜色，四种颜色，五种颜色，求出每种情况数相加得到答案. 【详解】当只用三种颜色时，同色且同色， 5种颜色选择3种，且有种选择， 当只用四种颜色时，同色或同色， 从5种颜色中选择4种，再从和中二选一，涂相同颜色， 故有种选择， 当用五种颜色时，每个顶点用1种颜色，故有种选择，    综上，共有种选择. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实战演练12 排列组合的常见考法技巧 ①特殊元素（位置）法 ②捆绑法 ③插空法 ④倍缩法 ⑤排数问题 ⑥分组分配问题 ⑦涂色问题 一、排列组合中常见问题及其技巧 1.对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法． 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法 3.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法． 4.分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配． (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种： ①完全均匀分组，每组元素的个数都相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种： ①相同元素的分配问题，常用“挡板法”； ②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配； ③有限制条件的分配问题，采用分类求解． 5.涂色问题常用方法 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法； （2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数； （3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 二、方法技巧分类 ①特殊元素（位置）法 对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑，位置优先法和元素优先法是解决排列组合问题最常用的方法。若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素；若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件。 ②捆绑法 捆绑法指将联系密切或必须排在一起的元素“捆绑”成一个整体，再与其他元素进行排列，同时要注意合并后内部元素也必须排列.（注意捆绑元素是同元还是不同元），“捆绑”将特殊元素特殊对待，能大大降低分析问题的难度.采用捆绑法分析排列组合问题,剩余元素的处理应考虑其是排列问题还是组合问题,对于组合问题需将“顺序”带来的影响消除掉. ③插空法 插空法在分析元素不相邻问题时较为常用，即先将无特殊要求的元素排列好，而后看其产生多个满足题意的空，再将不能相邻的元素插入，使其满足题目的相关要求. ④倍缩法 部分不同元素在排列前后的顺序固定不变（不一定相邻）的排列问题，称之为定序（排列）问题．定序问题可以用倍缩法. ⑤排数问题 对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位. ⑥分组、分配问题 ①整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数． ③不等分问题，只需先分组，后排列，分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． ⑦涂色问题 解决涂色问题的一般思路 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题 ①特殊元素（位置）法 一、单选题 1．（2024·广东佛山·二模）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 3．（2024·全国·模拟预测）中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻的不同排列方式的个数为（    ） A．36种 B．48种 C．54种 D．64种 6．（2025·四川内江·模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（    ） A．72种 B．144种 C．288种 D．576种 7．（2024·四川成都·三模）成实外教育集团自2000年成立以来，一直行走在民办教育的前端，致力于学生的全面发展，对学生的教育视为终身己任，在教育事业上砥砺前行，永不止步.截至目前，集团已开办29所K-12学校和两所大学，其中高中教育学校有11所.集团拟召开综合考评会.经考评后，11所学校得分互不相同，现从中任选3所学校的代表交流发言，则排名为第一名或第五名的学校代表去交流发言的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．60种 9．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有（    ） A．192种 B．252种 C．268种 D．360种 10．（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（    ） A．87 B．129 C．132 D．138 ②捆绑法 一、单选题 1．（2024·江西九江·三模）考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”，我们把它和自然数1到6依次相乘，得，，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（    ） A．24 B．36 C．72 D．144 2．（24-25高三·上海·课堂例题）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，则不同的安排方案共有（    ） A．1440种 B．1360种； C．720种 D．960种 3．（24-25高三·上海·课堂例题）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有（    ）个．（用数字作答） A．128 B．256 C．576 D．684 4．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 5．（24-25高三上·上海·课后作业）现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（2024·内蒙古包头·三模）一个小型联欢会要安排1个诗词朗诵类节目，2个独唱类节目，2个歌舞类节目，则同类节目不相邻的安排方式共有（    ） A．44种 B．48种 C．72种 D．80种 ③插空法 一、单选题 1．（2024·山东·模拟预测）某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法种数为（   ） A．120 B．72 C．64 D．48 2．（2024·浙江金华·三模）从数字1，2，3，4中选出3个不同的数字构成四位数，且相邻数位上的数字不相同，则这样的四位数个数为（    ） A．36 B．54 C．60 D．72 3．（2024·海南海口·二模）某记者与参加会议的5名代表一起合影留念（6人站成一排），则记者站两端，且代表甲与代表乙不相邻的排法种数为（    ） A．72 B．96 C．144 D．240 4．（2024高三·全国·专题练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（    ） A．72 B．120 C．144 D．3 5．（2024·云南·二模）某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节目(3个歌唱节目和2个舞蹈节目).根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保持不变，再在节目单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排最后，则不同的插入方法一共有（    ） A．18种 B．20种 C．30种 D．34种 6．（2024·安徽·三模）某年级在元旦活动中要安排6个节目的表演顺序，其中有3个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，要求第一个和最后一个都必须安排舞蹈节目，且不能连续安排3个歌唱节目，则不同的安排方法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 ④倍缩法 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排法种数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 3．（2024·北京石景山·一模）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 4．（23-24高三上·河南驻马店·期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（    ） A．8个 B．12个 C．18个 D．24个 5．（23-24高三上·江苏·开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．360 B．480 C．600 D．720 ⑤排数问题 一、单选题 1．（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·广西·三模）已知这个数字，从中取三个不同的数字，把其中最大的数字放在个位上排成三位数，这样的三位数有（    ） A．55个 B．70个 C．40个 D．35个 3．（2024·四川雅安·三模）从三个数字组成的没有重复数字的三位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川雅安·三模）从五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·海南·模拟预测）将“1，2，2，3，4，5”这6个数字填入如图所示的表格区域中，每个区域填一个数字，1不在区域且三列中只有中间一列区域的数字之和为7，若中间一列填2和5，则不同的填法有（    ） A．20种 B．24种 C．36种 D．48种 6．（2024·浙江·模拟预测）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则数字3在五位数中位于1和5之间（可以不相邻）的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）数列共有项，且，，，则这样的数列有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（2024·河北·模拟预测）用能组成没有重复数字且比32000小的数字（    ）个. A．212 B．213 C．224 D．225 ⑥分组分配问题 一、单选题 1．（2024高三下·江西新余·专题练习）将5本不同的书分给3位同学，则每位同学至少有1本书的不同分配方式共有（    ）种. A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山西·开学考试）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键．其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“九章算术”，“古今数学思想”，“数学原理”，“世界数学通史”，“算术研究”五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为（ ）． A．种 B．种 C．种 D．种 3．（2024·江西·模拟预测）某校羽毛球队的4名男生和4名女生分成四组，参加四场混合双打比赛（每名队员只限参加一场比赛），则组队方法的总数为（    ） A．24 B．288 C．576 D．1152 4．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目.现有，两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．20种 5．（2024·广西柳州·模拟预测）有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（    ） ． A．40种 B．60种 C．80种 D．120种 6．（2024·贵州贵阳·三模）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地，B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有（    ） A．462种 B．300种 C．402种 D．390种 7．（24-25高三上·广东·开学考试）某中学数学组来了名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的，，三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 8．（2024·河南·二模）将甲，乙等5人全部安排到四个工厂实习，每人只去一个工厂，每个工厂至少安排1人，且甲，乙都不能去工厂，则不同的安排方法有（    ） A．72种 B．108种 C．126种 D．144种 9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（    ） A．20种 B．14种 C．10种 D．7种 10．（24-25高三上·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（    ） A．360 B．640 C．1350 D．1440 ⑦涂色问题 一、单选题 1．（2024·四川成都·二模）现有两种不同的颜色要对如图形中的三个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ） ① ② ③ A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河北·期末）中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝，它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技．某中学为弘扬中国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选，且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（    ）种    A．144 B．264 C．288 D．432 3．（2024·四川成都·二模）现有四种不同的颜色要对如图形中的五个部分进行着色，其中任意有公共边的两块着不同颜色的概率为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 6．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知正四棱锥，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（    ） A．240 B．420 C．336 D．120 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$