精品解析：山西省2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

山西省2023—2024学年九年级第一学期期末质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 在下列交通标志中，其文字上方的图形为中心对称图形的是（ ） A. 限速标志 B. 直行 C. 环岛行驶 D. 禁止车辆临时或长时间停放 3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 零下的天气，狂风暴雨 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 射击运动员射击一次，命中9环 D. 实心铁球漂浮在水面上 5. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C 当时， D. 当时， 6. 如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，连接，．若，，则的长为（ ） A B. 5 C. D. 6 7. 天气越来越冷，家用暖风机的市场需求逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，点B，C的坐标分别为，．将绕标原点顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. 该函数的最大值为4 B. 对称轴为直线 C. 方程有两个相等的实数根 D. 当时，的值随x的值的增大而减小 10. 如图1是一个圆形分格干果盒，这种干果盒既美观又实用，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇形的一部分．如图2是它的截面示意图（小格的厚度忽略不记），通过测量得到，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是 _________________． 12. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为________． 13. 某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 草莓损坏的频率 根据表中数据可以估计，这批草莓损坏率为________．（结果保留两位小数） 14. 如图，正五边形内接于，对角线与交于点F，则的度数为________． 15. 如图，矩形的边和均在坐标轴上，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点D，且与，分别交于点E和点F．若矩形的面积为6，则的面积为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）解方程：． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图交于点，． （1）求反比例函数的解析式． （2）当时，请直接写出x的取值范围． 18. 铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义的教育，在12月上上旬开展了以“以国家之名祭民族之魂”为主题的写作活动，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华，通过评审，九年级确定三名男生和两名女生的文章适合全校广播． （1）若从中随机选取一名学生的文章进行广播，则选中女生的文章的概率为________． （2）若从中选取两名同学的文章进行广播，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率． 19. 如图，四边形是平行四边形，以边为直径作，与边相切于点D．点E是上一点，连接，． （1）试判断与数量关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 20. 苦荞是自然界中甚少的药食两用作物．山西特产专卖店销售广灵苦荞，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每天可售出斤．经市场调查发现，单价每降低元，平均每天多售出斤．设每斤广灵苦荞的售价为元，请解答下面的问题． （1）若该专卖店销售广灵苦荞想每天获利元，求每斤的售价． （2）当每斤的售价为多少元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大？ 21. 阅读材料，完成任务： 图象法解一元二次方程 我们知道，一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，其实，解一元二次方程还有另外一种很有趣的方法——图象法，顾名思义，即通过观察图象得到方程的解的一种方法，下面举一个例子加以说明． 例：解方程． 方法一：如图1，我们在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数的图象．通过观察图象发现，该二次函数的图象与x轴有两个交点，分别是和，因此可得一元二次方程的解为，． 方法二：将变形为．所以原方程的解可以转化为二次函数的图象与直线交点的横坐标． …… 任务： （1）用图象法解一元二次方程体现的数学思想是________； A．数形结合 C．公理化 B．分讨论 （2）如图2，是二次函数的图象，请你在同一平面坐标系中，画出一次函数的图象，并直接写出一元二次方程的解； （3）实际上，除用图象法解一元二次方程外，初中数学还有一些问题可以用图象法解决．例如：用图象法求一元一次方程的解．请你再举出一例． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 如图1，将边长为4的正方形绕点B按逆时针方向旋转到正方形的位置，且点A落在对角线上，与相交于点H．请判断和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”提出问题：请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的阴影面积； （3）“奋进小组”提出问题：如图2，在正方形的边上分别取中点E，G，以和为正方形的边，构造正方形，点F为正方形内一点．若将正方形绕着点A旋转，当B，E，G三点共线时，请直接写出的长． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． （2）若，求m的值． （3）在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山西省2023—2024学年九年级第一学期期末质量检测 数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若是关于x的一元二次方程的解，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的解， ∴， ∴． 故选：B． 2. 在下列交通标志中，其文字上方的图形为中心对称图形的是（ ） A. 限速标志 B. 直行 C. 环岛行驶 D. 禁止车辆临时或长时间停放 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】A. 中，，故方程没有实数根，选项符合题意； B. 中，，故方程有两个不相等的实数根，选项不符合题意； C. 中，，故方程有两个相等的实数根，选项不符合题意； D. 中，，故方程有两个不相等的实数根，选项不符合题意； 故选：A． 4. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 零下的天气，狂风暴雨 B. 直角三角形的两锐角互余 C. 射击运动员射击一次，命中9环 D. 实心铁球漂浮在水面上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：A、零下的天气，狂风暴雨，是不可能事件，故本选项不符合题意； B、直角三角形的两锐角互余，是必然事件，故本选项不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，故本选项符合题意； D、实心铁球漂浮在水面上，是不可能事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 函数表达式为 B. 在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用．将代入求出U的值，根据反比例函数的性质逐一判断即可． 详解】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意； ∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，内接于，为的直径，的平分线交于点D，连接，．若，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，先得出，再推出，得出，根据勾股定理得出，进而根据勾股定理得出答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 7. 天气越来越冷，家用暖风机的市场需求逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，根据题目意思列出一元二次方程求解，即可． 【详解】解：设平均增长率为x，依题意： ， 即， ∴，（舍）， ， 故选：D． 8. 如图，在等边三角形中，点B，C的坐标分别为，．将绕标原点顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，旋转变换，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过点A作于H，y轴于D，过点作x轴于E．先求出，通过证明求出． 【详解】解：如图，过点A作于H，y轴于D，过点作x轴于E． 由题意可得，， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：B 9. 已知二次函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ） A. 该函数的最大值为4 B. 对称轴为直线 C. 方程有两个相等的实数根 D. 当时，的值随x的值的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的性质．先利用待定系数法求得函数的解析式，再利用二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； ∵， ∴当时，该函数的最大值为，故选项A错误，不符合题意； ∴当时，的值随x的值的增大而减小，故选项D正确，符合题意； 对于方程即， ， ∴方程有两个不相等的实数根，故选项C错误，不符合题意； 故选：D． 10. 如图1是一个圆形分格干果盒，这种干果盒既美观又实用，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇形的一部分．如图2是它的截面示意图（小格的厚度忽略不记），通过测量得到，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积．根据阴影部分的面积是大扇形的面积-小扇形的面积即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积是， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 方程两边同时开方得：， 解得， 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，直接根据二次函数图象平移的法则“上加下减，左加右减”即可得出结论． 【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到新抛物线解析式为， 故答案为：． 13. 某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 草莓损坏的频率 根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为________．（结果保留两位小数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率．根据表格中的草莓损坏的频率为，估计草莓损坏的概率即可． 【详解】解：根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为， 故答案为：． 14. 如图，正五边形内接于，对角线与交于点F，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理、等腰三角形的性质以及三角形外角定理，先根据正多边形内角和公式求出内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出，最后根据三角形外角定理即可得出答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴，， ∴， 则， 故答案为：． 15. 如图，矩形的边和均在坐标轴上，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点D，且与，分别交于点E和点F．若矩形的面积为6，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质和中点坐标公式，设点，则，由题意得、和，进一步得到和，结合面积公式求得，利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 设点，则， ∵矩形的对角线的交点D， ∴，，， ∵点E和点F在反比例函数的图象上， ∴，， 则，即，解得， 那么． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：． （2）解方程：． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解题的关键． 通过移项、提公因式等即可得出答案； （2）可用因式分解法解该方程 【详解】（1） 解： 或 或 （2） 解： 或 或 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图交于点，． （1）求反比例函数的解析式． （2）当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数为； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解， （1）先求得点坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可； （2）在函数图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上边的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 将代入反比例函数可得， ∴反比例函数为； 【小问2详解】 解：由两函数图象的交点可知当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上边， ∴当时，或． 18. 铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义的教育，在12月上上旬开展了以“以国家之名祭民族之魂”为主题的写作活动，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华，通过评审，九年级确定三名男生和两名女生的文章适合全校广播． （1）若从中随机选取一名学生的文章进行广播，则选中女生的文章的概率为________． （2）若从中选取两名同学的文章进行广播，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法，用列表法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提． （1）根据概率的定义直接进行计算即可； （2）用列表法表示所有等可能出现的结果，再概率概率的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：一共有5名学生，其中女有2名，所以从中随机选中女生的文章的概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 用列表法表示所有等可能出现的结果如下： 共有20种等可能出现的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生文章的结果有12种， 所以恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率为：． 19. 如图，四边形是平行四边形，以边为直径作，与边相切于点D．点E是上一点，连接，． （1）试判断与的数量关系，并说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行四边形性质得到，根据圆切线性质得到,得到，得到是等腰直角三角形，得到，得到； （2）连接，根据圆周角定理得到，根据圆直径为10得到半径，根据弧长公式得到． 本题主要考查了平行四边形，圆的切线和圆周角，等腰直角三角形，圆弧长．熟练掌握平行四边形性质，圆的切线性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，圆弧长公式，是解决问题的关键． 【小问1详解】 ，理由： 连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵与边相切于点D， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 苦荞是自然界中甚少的药食两用作物．山西特产专卖店销售广灵苦荞，其进价为每斤元，按每斤元出售，平均每天可售出斤．经市场调查发现，单价每降低元，平均每天多售出斤．设每斤广灵苦荞的售价为元，请解答下面的问题． （1）若该专卖店销售广灵苦荞想每天获利元，求每斤的售价． （2）当每斤的售价为多少元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大？ 【答案】（1）每斤的售价为元或元 （2）当每斤的售价为元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大 【解析】 【分析】（1）由题意，每千克销售利润为元，每天可售出千克，根据该专卖店销售广灵苦荞想每天获利元，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据题意可得，根据二次函数的图象与性质即可求出结果． 【小问1详解】 根据题意可得， ， ，， 每斤的售价是元或元； 【小问2详解】 设每天获利元，根据题意可得 当时，取最大值， 当每斤的售价为元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用,理解题意，找出题目中的相等关系列出方程和函数解析式及二次函数的性质是解本题的关键． 21. 阅读材料，完成任务： 图象法解一元二次方程 我们知道，一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，其实，解一元二次方程还有另外一种很有趣的方法——图象法，顾名思义，即通过观察图象得到方程的解的一种方法，下面举一个例子加以说明． 例：解方程． 方法一：如图1，我们在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数的图象．通过观察图象发现，该二次函数的图象与x轴有两个交点，分别是和，因此可得一元二次方程的解为，． 方法二：将变形为．所以原方程的解可以转化为二次函数的图象与直线交点的横坐标． …… 任务： （1）用图象法解一元二次方程体现的数学思想是________； A．数形结合 C．公理化 B．分讨论 （2）如图2，是二次函数的图象，请你在同一平面坐标系中，画出一次函数的图象，并直接写出一元二次方程的解； （3）实际上，除用图象法解一元二次方程外，初中数学还有一些问题可以用图象法解决．例如：用图象法求一元一次方程的解．请你再举出一例． 【答案】（1）A （2）和4； （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了数形结合的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． （1）用二次函数图象的交点解释一元二次方程根的意义，体现了数形结合的数学思想，进而可得答案； （2）用两点法作出一次函数的图象，观察出两图象的交点，交点的横坐标即为方程的解； （3）依照例题，描点画出图象，利用数形结合即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象体现了形，一元二次方程的根体现了数，将二者联系，体现了数形结合的思想， 故选：A； 【小问2详解】 解：对于，当时，；当时，； 描点、连线，画出一次函数的图象如图， 观察图象，与的交点坐标为和， ∴方程的解为和4， 即一元二次方程的解为和4； 【小问3详解】 解：直线经过和， 直线经过和， 画出图象如图， 观察图象，交点为， ∴方程的解为1． 22. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题： 如图1，将边长为4的正方形绕点B按逆时针方向旋转到正方形的位置，且点A落在对角线上，与相交于点H．请判断和的数量关系，并说明理由． 数学思考： （1）请你解答老师提出的问题； 深入探究： （2）“善思小组”提出问题：请求出旋转后的图形与原图形重叠部分的阴影面积； （3）“奋进小组”提出问题：如图2，在正方形的边上分别取中点E，G，以和为正方形的边，构造正方形，点F为正方形内一点．若将正方形绕着点A旋转，当B，E，G三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长为． 【解析】 【分析】（1）计算正方形的对角线长，推出是腰长为的等腰直角三角形，通过计算得出； （2）证明，利用三角形的面积公式计算即可求解； （3）连接交于点，求得正方形的边长为2和对角线的长，分两种情况，画出图形，利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）， ∵正方形的边长为4， ∴对角线，， ∴是腰长为的等腰直角三角形， ∴， 而， ∴； （2）连接， 由旋转的性质和正方形的性质知，， ∵， ∴， 由（1）知， ∴旋转后的图形与原图形重叠部分的阴影面积； （3）连接交于点， ∵正方形的边长为2， ∴，， 如图，当B，E，G三点共线时， ， ∴； 如图，当B，E，G三点共线时， ， ∴； 综上，的长为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． （2）若，求m的值． （3）在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在请说明理由． 【答案】（1），,；直线的解析式为 （2） （3）当或时，为等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把，代入并求出k，b的值即可； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于m的方程，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解：对于，当时，， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，, 当时，， ∴； 设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点P横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，（不合题意，舍去） ∴； 【小问3详解】 解：由②知,，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴, 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$