精品解析：2019年河北省普通高等学校对口招生考试数学试题

2019年河北省普通高等学校对口招生考试 数学 说明： 一､本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分.其中第一道大题(15个小题）为选择题. 二､答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记. 三､做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四､考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 设集合，则集合的子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】列出集合的子集即可求解. 【详解】因为集合， 所以集合A的子集有，共8个. 故选：D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，可判断A、B、C错误；根据不等式的性质，可判断D正确. 【详解】取满足， 此时，，， 故A、B、C错误； 因为， 所以，即，故D正确. 故选：D 3. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的定义验证充分性、必要性即可. 【详解】在△ABC中，，，， 由，可得或（舍去），充分性成立 在△ABC中，当，可得，必要性成立. 所以在△ABC中，“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 已知一次函数关于原点对称，则二次函数一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇偶性和有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数与二次函数的奇偶性求解. 【详解】∵一次函数关于原点对称， ∴ ∴二次函数， 令，则， 故二次函数为偶函数， 故选:B. 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的性质得到最小正周期，从而得解. 【详解】因为， 又因为的最小正周期为， 所以的最小正周期为. 故选：A. 6. 设向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，且， 则， 解得. 故选：A. 7. 二次函数图像的顶点坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标求解参数即可. 【详解】因为二次函数图像的顶点坐标为. 所以，解得. 故选：C. 8. 在等差数列中，为前项和，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，可得首项和公差，据此可求解. 【详解】由题意，可得 ，解得， 所以. 故选：C 9. 在等比数列中，.若，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的下标和性质与对数的运算求解即可. 【详解】因为等比数列中，. 所以. 所以. 故选：A. 10. 下列四组函数中，图像相同的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域，再结合解析式判断即可. 【详解】函数的定义域为.函数的定义域为.故A错误. 函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误. 函数的定义域为.函数的定义域为.故C错误. 函数的定义域为.函数的定义域也为. 定义域及对应关系均相同，则两函数图像相同.故D正确. 故选：D. 11. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行斜率相等即可得出答案. 【详解】两直线平行，则斜率相等，可设平行于直线 的直线方程为， 该直线过点，代入得，得 故所求直线方程为. 故选：B. 12. 北京至雄安将开通高铁，共设有6个高铁站（包含北京站和雄安站）则需设计不同车票的种类有（ ） A. 12种 B. 15种 C. 20种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列组合的相关知识求解即可. 【详解】由题可知：6个高铁站需设计种. 故选:D. 13. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用通项公式求解. 【详解】由于， 令，得， 所以常数项为. 故选：A 14. 在正方体中，棱与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定异面直线所成的角，再利用正方体的特点即可得得解. 【详解】 如图所示，连接，. 因为，所以为与所成的角. 又因为在正方体中，. 所以为等边三角形. 所以. 故选：. 15. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线方程可知：，且焦点在轴上，将之代入渐近线方程即可. 【详解】由双曲线可知，，且焦点在轴上， 所以渐近线方程是. 故选：A 二､填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. 已知函数满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，求解函数的值. 【详解】∵,令， ∵， ∴故为奇函数， ∵， ∴, ∴, 故 ∴. 故答案为:. 17. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，结合一元二次不等式、含绝对值的不等式与对数型函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数. 所以，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 18. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算、对数运算、特殊三角函数值、绝对值的几何意义求解即可. 【详解】. . 故答案为： 19. 若不等式解集为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理求得a、b的值，再根据对数的运算即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 则方程的两个根为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 20. 数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过观察写出数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，令数列为. ； ； ； 所以. 故答案为：. 21. 若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据内积的运算公式可求解. 【详解】由，可得，解得. 故答案为：2. 22. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件求出正余弦值，再结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为. 所以. 所以. 故答案为：. 23. 已知以为焦点的椭圆交轴正半轴于点，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到焦距与顶点坐标，进而得到焦点三角形的面积. 【详解】因为椭圆. 所以. 所以. 所以. 因为椭圆交轴正半轴于点. 所以. 设为上焦点，为下焦点. 所以. 故答案为：. 24. 已知，则按由小到大的顺序排列为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数是上的减函数.所以. 因为函数是上的增函数.所以. 因为函数是上的增函数.所以. 综上所述，. 故答案为：. 25. 在正方体中，与为异面直线的棱共有__________条. 【答案】4 【解析】 【分析】根据异面直线的定义可判断. 【详解】 如图，与为异面直线的棱有：，共4条. 故答案为：4. 26. 某学校参加2019北京世界园艺博览会志原活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中有2名女生2名男生的选法有__________种. 【答案】30 【解析】 【分析】分别从女生和男生中各选取2人，再由分步计数原理可求解. 【详解】第一步，从5名女生中选取2名女生，共有种方法； 第二步，从3名男生中选取2名男生，共有种方法； 所以选出的4人中有2名女生2名男生的选法种数有 （种）. 故答案为：30 27. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式进行化简即可得解. 【详解】. 故答案为：. 28. 设，其中为的内角.若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解，再由同角三角函数的基本关系式和三角形内角的范围得到答案. 【详解】因为.且. 所以.解得. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 29. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及定义域列不等式组可求解. 【详解】不等式可化为 ， 由①，可得， 解得或； 由②，可得； 所以不等式的解集为. 故答案为： 30. 一口袋里装有4个白球和4个红球，现在从中任意取3个球，则取到既有白球又有红球概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合组合的运用，根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】一口袋里装有4个白球和4个红球，现在从中任意取3个球， 则取到既有白球又有红球有两种情况：一红两白和两红一白. 两种情况的事件数相同，均为. 总的事件数为. 所以从中任意取3个球，则取到既有白球又有红球的概率为. 故答案为：. 三､解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明､证明过程和演算步骤） 31. 设集合，若，求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，再由集合的并集结果求解参数即可. 【详解】因为集合或. 集合. 又因为集合. 所以，解得. 所以的取值范围为. 32. 某广告公司计划设计一块周长为16米的矩形广告牌，设计费为每平方米500元.设该矩形一条边的边长为米，面积为平方米. （1）写出与的函数关系式； （2）问矩形广告牌长和宽各为多少米时，设计费用最多，最多费用为多少元？ 【答案】（1） （2）当矩形广告牌长和宽都为4米时面积最大，设计费用最多，最多费用为8000元. 【解析】 【分析】（1）根据条件得到另一边的长度，进而得到函数解析式. （2）由函数解析式求解最值即可. 【小问1详解】 由题可知，矩形的另外一条边长为米. 则矩形的面积. 【小问2详解】 因为. 故当时，矩形面积最大.最大面积为16平方米. 此时设计费用为元. 即当矩形广告牌长和宽都为4米时面积最大，设计费用最多，最多费用为8000元. 33. 若数列是公差为的等差数列，且前5项的和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求证为等比数列并指出公比； （3）求数列的前5项之积. 【答案】（1） （2）证明见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式结合通项公式即可求解. （2）根据指数函数的值域结合等比数列的定义即可求解. （3）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列数列公差为d，且，. 则，解得.所以. 【小问2详解】 由（1）得，.因为， 所以.故为等比数列，公比. 【小问3详解】 由（1）得，.由（2）得. 所以数列的前5项之积为： . 34. 函数. （1）求该函数的最小正周期； （2）当为何值时，函数取最小值，最小值为多少？ 【答案】（1） （2）当时，函数取最小值，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式进行化简，再根据即可求得函数周期； （2）根据正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，所以函数的最小值为， 此时，解得. 综上所述，当时，函数取最小值，最小值为. 35. 过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于两点. （1）求直线的方程； （2）求线段的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线方程得到焦点坐标，利用点斜式即可得出直线方程. （2）设出点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由抛物线，可得焦点. 所以直线方程为：.即. 【小问2详解】 设. 联立，可得. 所以. 又因为. 所以. 36. 如图所示，底面为矩形，平面，平面与底面所成的角为为的中点. （1）求的长度； （2）求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直得到线线垂直，进而得到二面角的平面角即可求解. （2）运用等腰三角形的三线合一，以及线面垂直的性质与判定，以及面面垂直的判定定理即可得证. 【小问1详解】 因为底面是矩形，可得， 又因为平面，平面.所以， 因为，所以平面. 因为平面，所以. 所以为平面与平面所成角的平面角， 所以. 由，可得. 因为是的中点. 所以 【小问2详解】 由为的中点，且为等腰直角三角形.可得. 由（1）可知. 所以平面. 因为平面.所以. 因为，平面.所以平面. 因为平面. 所以平面平面. 37. 一颗骰子连续抛掷3次，设出现能被3整除的点的次数为. （1）求； （2）求的概率分布. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求解即可. （2）根据概率分布的求法求解即可. 【小问1详解】 能被3整除的点只有3和6，则在一次抛掷中出现的概率为. 从而出现不能被3整除的点的概率为. 所以. 【小问2详解】 依题意知的所有可能取值为0，1，2，3. 所以.. .. 所以的概率分布为 0 1 2 3 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2019年河北省普通高等学校对口招生考试 数学 说明： 一､本试卷共6页，包括三道大题37道小题，共120分.其中第一道大题(15个小题）为选择题. 二､答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记. 三､做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四､考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回. 一､选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 设集合，则集合的子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一次函数关于原点对称，则二次函数一定（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇偶性和有关 5. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 6. 设向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 二次函数图像的顶点坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在等差数列中，为前项和，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 16 9. 等比数列中，.若，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 10. 下列四组函数中，图像相同的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 北京至雄安将开通高铁，共设有6个高铁站（包含北京站和雄安站）则需设计不同车票的种类有（ ） A. 12种 B. 15种 C. 20种 D. 30种 13. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. B. C. D. 14. 在正方体中，棱与所成的角为（ ） A. B. C. D. 15. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. 已知函数满足，则______． 17. 函数的定义域为__________. 18 计算：__________. 19. 若不等式的解集为，则__________. 20. 数列的通项公式为__________. 21. 若，则__________. 22. 已知，则__________. 23. 已知以为焦点的椭圆交轴正半轴于点，则的面积为__________. 24. 已知，则按由小到大的顺序排列为__________. 25. 在正方体中，与为异面直线的棱共有__________条. 26. 某学校参加2019北京世界园艺博览会志原活动，计划从5名女生，3名男生中选出4人组成小分队，则选出的4人中有2名女生2名男生的选法有__________种. 27. 已知，则__________. 28. 设，其中为的内角.若，则__________. 29. 不等式的解集为__________. 30. 一口袋里装有4个白球和4个红球，现在从中任意取3个球，则取到既有白球又有红球的概率为__________. 三､解答题（本大题共7小题，共45分.请在答题卡中对应题号下面指定的位置作答，要写出必要的文字说明､证明过程和演算步骤） 31. 设集合，若，求的取值范围. 32. 某广告公司计划设计一块周长为16米的矩形广告牌，设计费为每平方米500元.设该矩形一条边的边长为米，面积为平方米. （1）写出与的函数关系式； （2）问矩形广告牌长和宽各多少米时，设计费用最多，最多费用为多少元？ 33. 若数列是公差为等差数列，且前5项的和. （1）求数列的通项公式； （2）若，求证为等比数列并指出公比； （3）求数列的前5项之积. 34. 函数. （1）求该函数的最小正周期； （2）当为何值时，函数取最小值，最小值为多少？ 35. 过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于两点. （1）求直线的方程； （2）求线段的长度. 36. 如图所示，底面为矩形，平面，平面与底面所成的角为为的中点. （1）求的长度； （2）求证：平面平面. 37. 一颗骰子连续抛掷3次，设出现能被3整除的点的次数为. （1）求； （2）求的概率分布. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$