6.5 直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高一下学期高教版(2021)中职数学基础模块下册

6.5 直线与圆的位置关系 高教版 基础模板(下) 导 练 探 例 结 情境1 观察自行车，图中有哪些圆与直线的位置关系. 相交 相离 相切 导 练 探 例 结 情境2 观察星空中的流星，如果将地球视为一个圆，流星的轨迹可以视为直线，那么流星与地球有哪些位置关系？. 相交 导 练 探 例 结 情境2 观察星空中的流星，如果将地球视为一个圆，流星的轨迹可以视为直线，那么流星与地球有哪些位置关系？. 相离 导 练 探 例 结 情境3 太阳从西方落下，如果将太阳视为一个圆，地面可以视为直线，图中有哪些圆与直线的位置关系？. 相交 相离 相切 导 练 探 例 结 归纳 以上三个情境中，圆与直线的位置关系及交点个数. （1）相离：无交点； （2）相切：仅有一个交点； （3）相交：有两个交点． 导 练 探 例 结 探究 三种情况下，圆心到直线的距离d与半径r的关系. d<r d=r d>r 导 练 探 例 结 探究 判断直线与圆的位置关系的方法. 设圆的标准方程为 则圆心C(a，b)到直线 的距离为 通过比较d与r的大小， 就可以判断直线与圆的位置关系． 导 练 探 例 结 探究 判断直线与圆的位置关系的方法. 根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断； ∆>0 两个交点 相交 ∆=0 一个交点 相切 ∆<0 无交点 相离 导 练 探 例 结 例1 判断直线l:2x+y+5=0与圆C:x2+y2-10x=0的位置关系. 解法一 将圆的方程x2+y2-10x=0化为圆的标准方程 (x-5)2+y2=25, 则圆心坐标为(5,0)，圆的半径为r=5. 因为圆心C (5,0)到直线l:2x+y+5=0的距离 即d>r,所以直线与圆相离. 同时平方 45>25 导 练 探 例 结 例1 判断直线l:2x+y+5=0与圆C:x2+y2-10x=0的位置关系. 解法二 将直线l与圆C的方程联立,得方程组 由①得 y=-2x-5， 代入②有 x2+(-2x-5)2-10x=0, 化简得 x2+2x+5=0. 因为Δ=22-4×1×5=-16<0,所以方程组没有实数解,即直线l与圆C没有交点,直线与圆相离. 导 练 探 例 结 例 已知直线y=x+1和圆x2+y2=13.求出它们的位置关系. 解：联立方程组 x2+(x+1)2=13 所以直线和圆的位置关系是相交. x2+x2+2x+1=13 2x2+2x-12=0 x2+x-6=0 a=1,b=1,c=-6 △=b2-4ac =(1)2-4×1×(-6) =25 0 ＞ 导 练 探 例 结 ∴直线与圆相交 直线化为x-y+1=0 < 例 已知直线y=x+1和圆x2+y2=13.求出它们的位置关系. 导 练 探 例 结 法一：联立方程，由交点个数确定直线与圆的位置关系 得 当△>0， 方程组有两组不等的实数解，直线与圆有两个公共点，因此直线与圆相交; 导 练 探 例 结 法一：联立方程，由交点个数确定直线与圆的位置关系 得 当△=0， 方程组只有一组实数解，直线与圆有只有一个公共点，因此直线与圆相切; 导 练 探 例 结 法一：联立方程，由交点个数确定直线与圆的位置关系 得 当△<0， 方程组没有实数解，直线与圆没有公共点，因此直线与圆相离. 导 练 探 例 结 探究 在平面直角坐标系中,如果过点P能作出圆的切线,那么,如何求这条切线的方程呢? M M 导 练 探 例 结 例3 经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？ (1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2). 解 由圆的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),圆的半径r=2. (1)点P(0,-2)到圆心C的距离为 即|CP|>r,所以点P在圆外,过点P有两条直线与圆C相切. 导 练 探 例 结 例3 经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？ (1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2). 解 由圆的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),圆的半径r=2. (2)点Q(1,1)到圆心C的距离为 即|CQ|=r,所以点Q在圆上,过点Q有且只有一条直线与圆C相切. 导 练 探 例 结 例3 经过下列各点与圆C:(x+1)2+(y-1)2=4有几条切线？ (1)P(0,-2)；(2)Q(1,1); (3)R(0,2). 解 由圆的方程(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为C(-1,1),圆的半径r=2. (3)点R(0,2)到圆心C的距离为 即|CR|<r,所以点R在圆内,过点R不存在与圆C相切的直线. 导 练 探 例 结 例4 已知圆O:x2+y2=1,判断过点 与圆O有几条切线,并求切线方程. 分析 求切线方程的关键是求出切线的斜率k,可以利用圆心到切线的距离等于圆的半径来确定k. 解 由圆O:x2+y2=1,得圆心坐标为O(0,0),半径r=1.因为 即|OQ|>r,所以点Q在圆外,过点Q与圆O有两条切线. 设所求切线l的斜率为k,切线过点 ， 则切线l的方程为 即 圆心O到切线l的距离为 因为圆心到切线的距离等于圆的半径,所以 化简得k2+1=2,解得k1=1,k2=-1,所以切线的方程为 即 导 练 探 例 结 思路1分析:d=r 解: 例 导 练 探 例 结 例 思路2分析:k1×k=-1 解: =-1 k1×k=-1 导 练 探 例 结 圆心（0,0） 设切线斜率为k 化为一般式kx-y+3-k=0 ，切线方程为y-3=k(x-1) 例 导 练 探 例 结 例 圆心（0,0） 设切线斜率为k ，切线方程为y-3=k(x-1) =3 k1×k=-1 导 练 探 例 结 探究 如图，AB为圆C的弦 思考如何求|AB|. 法2：直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|, 则 法:1：将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 导 练 探 例 结 例5 已知直线x+y=2与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交于P和Q两点,求弦PQ的长度. 解法一 由圆的方程(x-1)2+(y+2)2=9可知圆心坐标为 C(1,-2),圆的半径为r=3.因为圆心到直线x+y-2=0的距离为 故弦PQ的长度为 导 练 探 例 结 例5 已知直线x+y=2与圆(x-1)2+(y+2)2=9相交于P和Q两点,求弦PQ的长度. 解法二 解方程组 得直线与圆的交点坐标为P(4,-2)和Q(1,1).由两点间距离公式,得 故弦PQ的长度为 . 导 练 探 例 结 例 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 得交点A(1,3),B(2,0), |AB|= 法1： 法2： 弦长=2 2 导 练 探 例 结 例 求直线x－y－1＝0与圆x2＋y2＝13相交所得的弦长． 解 圆x2＋y2＝13的圆心坐标为(0，0)，半径r＝ 圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝ 弦长=2 = 导 练 探 例 结 拓展 如图所示，已知圆C的圆心为(4，－2)，直线L：2x＋y－1＝0与圆的相交弦AB长为4，求圆的方程． 解：圆心到直线L的距离d＝ 且AB＝4. ＋d2＝r2 ∴半径r＝ ＝3. ∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋2)2＝9. 导 练 探 例 结 拓展 直线x+y=0与x2+y2-2x+4y+1=0交于A，B两点，那么弦AB的中点坐标为（ ）． y=﹣x x2+(﹣x)2﹣2x+4×(﹣x)+1=0 x2+x2﹣2x﹣4x+1=0 2x2﹣6x+1=0 导 练 探 例 结 1.填空： (1)直线l与圆C相交,则直线l和圆C有___个公共点; (2)直线l与圆C相切,则直线l和圆C有___个公共点. 导 练 探 例 结 2.已知圆C:x2+y2=1,点A(1,0)、B(1,1)、C(0,1). (1)过点A(1,0)且与圆C:x2+y2=1相切的直线有___条,切线斜率为____; (2)过点B(1,1)与圆C:x2+y2=1相切的直线有___条,切线斜率为_____; (3)过点C(0,1)与圆C:x2+y2=1相切的直线有___条,切线斜率为_____. 导 练 探 例 结 3. 判断下列直线与圆的位置关系： (1)直线x+y=2，圆x2+y2=2； (2)直线y=3，圆(x-2)2+y2=4； (3)直线2x-y+3=0，圆x2+y2-2x+6y-3=0. 导 练 探 例 结 4.求过点P(3,2),且与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切的方程. 5. 已知直线x+y+1=0与圆(x-1)2+(y+2)2=16相交P和Q两点,求弦PQ的长度. 导 练 探 例 结 三种情况下，圆心到直线的距离d与半径r的关系. d<r d=r d>r 导 练 探 例 结 判断直线与圆的位置关系的方法. 根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断； ∆>0 两个交点 相交 ∆=0 一个交点 相切 ∆<0 无交点 相离 导 练 探 例 结 弦的求法 法2：直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|, 则 法:1：将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2), $$