2.3 有理数的加减运算 讲义 2024-2025学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第二章 有理数及其运算 2.3有理数的加减运算 知识点一 有理数加法法则 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 归纳：有理数加法的一般步骤：（1）判断两加数的符号；（2）确定结果的符号；（3）确定是利用两加数的绝对值的和还是差进行计算。即“先符号，后绝对值”。 例1 计算：（1）（+2）+（-11）；（2）（+22）+（+12）；（3）（）（）；（4）（-3.4）+4.3； （5）0+（-23） 规律总结：两个有理数的和与两个加数之间的关系：①两个正数相加，和大于任何一个加数；②一个正数和一个负数相加，和介于两个加数之间；③两个负数相加，和小于任何一个加数。 知识点二 有理数加法的运算律 1.运算律： ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变.字母表示： ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，它们的和不变.字母表示： 2.加法运算律的运用技巧 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到简化计算的目的，通常有下列加法运算技巧： （1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； （2）符号相同的数先相加——“同号结合法”； （3）分母相同（或分母成倍数关系易化成同分母）的数先相加——“同分母结合法”； （4）相加得整数的几个数先相加“凑整法”； （5）整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”； （6）带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆分法”。 例2 计算：（1）(+7.6)+(-18)+(+3.4)+(-12)； （2）(-83)+(+26)+(-17)+(-26)+(+15)； （3）0.75+0.125++()； （4）()+() 知识点三 有理数减法法则 1.有理数减法法则：减一个数，等于加这个数的相反数。 2.有理数减法运算转化成加法运算的具体步骤： （1）根据有理数的减法法则，把减号变成加号，把减数变为它的相反数。 （2）按照有理数的加法法则进行计算。 归纳：将减法转化为加法时要注意“两变一不变”：减法变加法，减数变为它的相反数，被减数不变。如： 例3 计算：（1）(-32)-(+5)； （2）(-3)-(-25)； （3）12-21； （4）0-() 知识点四 有理数的加减法统一成加法的意义 1.加、减法统一成加法：算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)可以按照运算顺序从左到右逐一计算，也可以运用有理数减法法则，改写成(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，统一为只有加法运算的和式。 2.有理数加减混合运算算式的读法：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略。如上式可写成-8+10-6-4。这个式子仍可看成和式，按式子表示的意义读作“负8，正10，负6，负4的和”，按运算意义读作“负8加10减6减4”。 方法技巧：省略括号的方法——（1）若括号前是“+”号，则省略括号及括号前的“+”号后，原括号内的各项不变号；（2）若括号前是“-”号，则省略括号及括号前的“-”号后，原括号内各项的符号变为与原来相反的符号。 例4 把写成省略括号、加号的和的形式，并把它读出来。 知识点五 有理数加减混合运算的方法和步骤 1.进行有理数的加减混合运算时，先统一成加法，并写成省略加号和括号的形式，再运用加法法则和运算律进行运算。 2.运用加法交换律、加法结合律，可使运算简便。 3.有理数加减混合运算的技巧：（1）正数和负数分别相结合；（2）同分母分数或比较容易通分的分数相结合；（3）互为相反数的两数相结合；（4）其和为整数的数相结合；（5）带分数一般化为假分数或整数和分数两部分，再分别相结合。 例5 计算：. 知识点六 有理数加减混合运算的实际应用 很多实际问题都可以转化为有理数的加减混合运算来解决。解决此类问题时要弄清谁是基准点。 “水位的变化”问题是典型的利用有理数的加减混合运算的实际问题，解决这类问题首先要读懂题意，找出基准点是警戒水位还是前一天的水位。 例6 下表为某个雨季某水库管理员记录的水库一周内的水位变化情况，警戒水位为150 m（上个星期日的水位达到警戒水位）. 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/m +0.38 +0.25 +0.54 +0.13 -0.45 +0.36 -0.19 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降。 (1)本周哪一天水位最高?有多少米? (2)根据给出的数据，求这个星期日的水位为多少米。（在不放水的情况下） 习题追练 题型一 有理数的加法与绝对值、相反数的综合应用 例1 若与互为相反数，求的值。 练1 已知，，且，求的值。 题型二 有理数的加法与数轴的结合 例2 在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中点A与点B的距离为2，点B与点C的距离为1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是。 （1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算的值；若以C为原点，又是多少？ （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且点C与点O的距离为28，求。 练2 已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 题型三 有理数加法的实际应用 例3 某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售。如果每套儿童服装以55元的价格为标准，实际出售时超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下（单位：元）：+2，-4，+2，+1，-2，-1,0，-2. （1）通过计算说明当他卖完这8套儿童服装后是盈利还是亏损。 （2）每套儿童服装的平均售价是多少元？ 练3 某市先关部门对标准容量为每瓶500 mL（误差允许范围±1.5 mL）的某种饮料进行抽检，抽取10瓶样品编号为1～10后进行检测，结果如下（单位：mL）：①498.9；②499.5；③500.5；④501.1；⑤500.2；⑥499.6；⑦499.8；⑧500.8；⑨501.5；⑩500.9. （1）这10瓶饮料的总容量是多少？请尝试用简便方法解决。 （2）单独从容量的角度分析，你对该产品有何评价？ 题型四 用作差法比较两个数的大小 例4 用作差法比较下面几对数的大小.（1）-5与-4；（2）-5与4. 练4 表示，的点在数轴上的位置如图所示，则 0, 0.（填“＞”“＜”或“＝”） 题型五 根据减法的意义列式求值 例5 一个数是，另一个数比这个数的绝对值的2倍小-5，求另一个数。 练5 -2的相反数与-5的绝对值的差是 . 题型六 利用有理数减法求数轴上两点间的距离 例6 已知A，B两点的数轴上表示的数分别为，. （1）对照数轴填写下表： 6 -6 -6 -6 2 -1.5 4 0 4 -4 -8 -1.5 A，B两点间的距离 （2）若A，B两点间的距离记为，试问与，有何数量关系？并用文字描述出来。 练6 （多选）数轴上点A，B表示的数分别是5，-3，它们之间的距离可以表示为（ ） A. B.-3-5 C. D. 题型七 “巧解”有理数加减混合运算 例7 计算：（1）；（2）；（3）；（4）. 练7 计算：（1）；（2）；（3）.；（4）. 题型八 有理数加减混合运算的实际应用 例8 某校组织学生进行春游，第一天沿江向上游走了 km，第二天又向上游走了 km，第三天向下游走了 km，第四天又向下游走了 km。这时学生队伍在出发点的上游还是下游？离出发点多远？（假设江是直的） 练8 某次数学单元检测，六（1）班第一小组六位同学计划平均成绩达到80分，组长在登记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数记为正，成绩记录如下：+10，-2，+15，+8，-13，-7. （1）本次检测成绩最高的为多少分？ （2）该小组实际总成绩与计划相比是超过还是不足？超过或不足多少分？ （3）本次检测小组成员中得分最高的与最低的相差多少分？ 题型九 利用有理数的加减混合运算探究规律 例9 做游戏，解答问题。从-56起，逐次加1，得到一连串整数：-55，-54，-53，-52，…。 （1） 第100个整数是什么？（2）求这100个整数的和。 （2） 校组织学生进行春游，第一天沿江向上游走了 km，第二天又向上游走了 km，第三天向下游 练9 -1，-2，+3，+4，-5，-6，+7，+8，-9-10，+11，+12，…是从-1开始的按一定规律写下去的一串数，求前2020个数的和。 题型十 巧用运算律简化运算 例10 观察下列式子： ； ； ； …。 请按上述规律，写出第（为正整数）个式子的计算结果： 。（写出最简计算结果即可） 练10 把前2020个数1,2,3，…，2020的每一个数的前面任意填上“+”号或“-”号，然后将他们相加，则所得结果为（ ） A.正数 B.偶数 C.奇数 D.有时为奇数，有时为偶数 综合提升练 1.下面算式正确的是（ ） A. B. C. D. 2.如图所示，方框中计算过程运用到的运算律是（ ） A.只有结合律 B.结合律和分配律 C.只有交换律 D.交换律和结合律 3.小马虎在计算时，误将“-”看出“+”，结果得13，则的值应为（ ） A.-28 B.54 C.69 D.-54 4.绝对值大于2且小于5的所有整数的和是（ ） A.0 B.7 C.14 D.28 5.若两个有理数之差与这两个有理数之和相等，则下列说法正确的是（ ） A.作为被减数的那个数一定为0 B.作为减数的那个数一定为0 C.这两个数一定相等 D.这两个数互为相反数 6.把-(-3)-4+(-5)写成省略括号的和的形式为 。 7.已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，且，，，则 。 8.若，，且，则的值为 . 9.计算：1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+…+2023+(-2024)+2025= . 10.计算：（1）(-12)+(-3)；（2）(-4.5)+(+6.3)；（3）（-99）+0；（4）；（5）(-3)-(-2). 11.计算：（1）-6+10-3+；（2）；（3）； 12.出租车司机姚师傅某天上午的营运全是一条笔直的东西走向的路上进行，如果规定向东为正，向西为负，那么他这天上午行车里程（单位：km）记录如下：+5，-3，+6，-7，+6，-2，-5，+4，+6，-8. （1）将第几名乘客送到目的地时，姚师傅刚好回到上午的出发点？ （2）经最后一名乘客送到目的地时，姚师傅距上午的出发点多远？在出发点的东面还是西面？ （3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3 km），超过3 km，超过部分每千米2元，则姚师傅在这天上午一共收入多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$