第06讲 图形的轴对称（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第06讲 图形的轴对称（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点2．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点3．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点4．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型强化 题型一．轴对称的性质 1．（2021秋•义乌市校级月考）下列图形中，对称轴最多的是　　 A．等边三角形 B．角 C．等腰三角形 D．线段 2．（2023秋•东阳市月考）如图，与关于直线对称，若，，则　　． 3．（2022秋•乐清市月考）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．若，，求的度数． 题型二．轴对称图形 4．（2020秋•奉化区期末）正五角星形共有　　条对称轴． 5．（2023秋•来凤县期末）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•安吉县期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形最少三种不同方法． 题型三．作图-轴对称变换 7．（2023秋•拱墅区期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）画出与关于直线成轴对称的△； （2）求的面积． 8．（2023秋•椒江区校级期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （Ⅰ）画出关于轴对称的图形△，并写出，，的坐标； （Ⅱ）直接写出△的面积为 　　． 题型四．轴对称-最短路线问题 9．（2023秋•桐乡市月考）小颖的爸爸要在某条街道上修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，要使点到，的距离之和最短，则下列作法正确的是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•恩施市期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 　　． 11．（2021秋•义乌市期中）如图，、两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离千米，千米，且千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元． （1）请在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹） （2）最低费用为多少？ 分层练习 一、单选题 1．如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若的面积为18．则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．12 C．9 D．无法确定 2．下列电动汽车车标是轴对称图形的是（    ） A．小鹏 B．理想 C．零跑 D．比亚迪 3．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠＝30°，则∠B的度数为（　　） A．90° B．100° C．70° D．80° 5．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 6．如图，和关于直线l对称，连接，其中与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与点O重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 7．下列各组图中，左右两个图形成轴对称的是(     ) A． B． C． D． 8．如图所示，在四边纸片中，，，将纸片沿折叠，点点，处，且经过点B，交于点G，连接，若平分，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 9．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，经过反射的次数是(　　) A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 二、填空题 11．轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称 、 、 ． 12．如图，与关于直线l对称，若，，则 ． 13．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 14．观察下列各组图形，其中成轴对称的有 ．(填序号) 15．如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 16．如图，中，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．    三、解答题 17．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处．求∠1+∠2的度数． 18．如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，是折痕．    (1)试判断与的位置关系； (2)如果，求∠AEB的度数． 19．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)求出BF的长度； (2)求∠CAD的度数； (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 21．如图，三个顶点都在小方格的顶点上，请在的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）      22．如图，在中，，，点E为线段的中点，点F在边上，连结，沿将折叠得到． （1）如图1，当点P落在上时，求的度数． （2）如图2，当时，求的度数． 23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 24．台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量． 问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断． 问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？ 请用尺规作图在图（2）中作出这一点． 问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次． 考点：作图—应用与设计作图． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 图形的轴对称（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 知识点2．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 知识点3．作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 知识点4．轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题型强化 题型一．轴对称的性质 1．（2021秋•义乌市校级月考）下列图形中，对称轴最多的是　　 A．等边三角形 B．角 C．等腰三角形 D．线段 【分析】根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后选出对称轴最多的选项则可． 【解答】解：选项有三条对称轴；和选项各有一条对称轴；选项有两条对称轴．故选． 【点评】本题考查了轴对称图形的对称轴条数，比较简单． 2．（2023秋•东阳市月考）如图，与关于直线对称，若，，则　　． 【分析】根据轴对称的性质与三角形的内角和等于可得． 【解答】解：与关于直线对称， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称的性质与三角形的内角和定理，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和． 3．（2022秋•乐清市月考）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．若，，求的度数． 【分析】根据与关于直线对称确定对称点，从而确定对称线段、对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【解答】解：，， ， 再根据对称性， ， ． 【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型二．轴对称图形 4．（2020秋•奉化区期末）正五角星形共有　5　条对称轴． 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：正五角星形共有5条对称轴． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了轴对称图形，把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合． 5．（2023秋•来凤县期末）2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念解答即可． 【解答】解：、图形是轴对称图形，符合题意； 、图形不是轴对称图形，不符合题意； 、图形不是轴对称图形，不符合题意； 、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称是解题的关键． 6．（2023秋•安吉县期中）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使整个图形是一个轴对称图形最少三种不同方法． 【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 题型三．作图-轴对称变换 7．（2023秋•拱墅区期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）画出与关于直线成轴对称的△； （2）求的面积． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求的面积． 【解答】解：（1）如图，△即为所求． （2）的面积为． 【点评】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 8．（2023秋•椒江区校级期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （Ⅰ）画出关于轴对称的图形△，并写出，，的坐标； （Ⅱ）直接写出△的面积为 　5　． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可在图中画出关于轴对称的△，即可写出、、的坐标； （2）根据直角三角形的面积去计算△的面积． 【解答】解：（1）如图所示： ，，； （3）△的面积， 故答案为：5． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键． 题型四．轴对称-最短路线问题 9．（2023秋•桐乡市月考）小颖的爸爸要在某条街道上修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，要使点到，的距离之和最短，则下列作法正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】作点关于直线的对称点，连接对称点和点交于点，进而根据轴对称性质解答即可． 【解答】解：作点关于直线的对称点，连接对称点和点交于点，即为所求； 故选：． 【点评】此题考查轴对称中的最短路线问题，关键是作点关于直线的对称点． 10．（2023秋•恩施市期末）如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为 　2.4　． 【分析】如图，作点关于的对称点，连接，过点作于点．利用垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于点． 是的角平分线，与关于对称， 点在上，， ，，，， ， ， 的最小值为2.4． 故答案为：2.4． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到点关于的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 11．（2021秋•义乌市期中）如图，、两个小镇在河流的同侧，它们到河流的距离千米，千米，且千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元． （1）请在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最少．（不写作法，保留作图痕迹） （2）最低费用为多少？ 【分析】（1）根据题意，要使铺设水管的费用最少，则自来水厂与、两个小镇的距离和最小，所以作出点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即是水厂的位置． （2）首先根据勾股定理，求出的长度是多少，即可判断出铺设水管的长度最短是多少；然后根据总价单价数量，用每千米的费用乘以铺设的水管的长度，求出最低费用为多少即可． 【解答】解：（1）根据分析，水厂的位置为： （2）如图2，， 在直角三角形中，（千米），（千米）， （千米）， 铺设水管长度的最小值为50千米， 铺设水管所需费用的最小值为： （万元）． 答：最低费用为150万元． 【点评】（1）此题主要考查了轴对称最短路线问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． （2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了总价、单价、数量的关系：总价单价数量，单价总价数量，数量总价单价，要熟练掌握． 分层练习 一、单选题 1．如图，已知所在直线是的对称轴，点E、F是上的两点，若的面积为18．则图中阴影部分的面积是（    ） A．6 B．12 C．9 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质，可得阴影部分的面积正好等于的面积的一半，进而得出答案． 【详解】解：∵所在直线是的对称轴， ∴垂直平分，， ∴， ∴图中阴影部分的面积等于面积的一半． ∴阴影部分面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型． 2．下列电动汽车车标是轴对称图形的是（    ） A．小鹏 B．理想 C．零跑 D．比亚迪 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，逐一进行分析即可． 【详解】A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 3．下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠＝30°，则∠B的度数为（　　） A．90° B．100° C．70° D．80° 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，得出△ABC≌△，从而得出∠C＝∠＝30°，最后根据三角形内角和求出∠B的度数即可． 【详解】解：∵△ABC和△关于直线l对称，∠A＝50°，∠＝30°， ∴△ABC≌△， ∴∠C＝∠＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，根据轴对称的性质，求出∠B的度数，是解题的关键． 5．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（    ） A．以的速度，做竖直向上运动 B．以的速度，做竖直向下运动 C．以的速度运动，水平向左运动 D．以的速度，水平向左运动 【答案】B 【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点． 【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称， ∵∠AOC=45， ∴∠BOC=45°， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°， 则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质． 6．如图，和关于直线l对称，连接，其中与直线l交于点O，点D为直线l上一点，且不与点O重合，连接．下列说法错误的是（　　） A． B．线段被直线l垂直平分 C．为等腰三角形 D．线段所在直线的交点不一定在直线l上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵和关于直线l对称， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、∵和关于直线l对称， ∴线段被直线l垂直平分，正确，不符合题意； C、∵和关于直线l对称， ∴l是线段的垂直平分线， ∴为等腰三角形，正确，不符合题意； D、∵和关于直线l对称， ∴线段所在直线的交点一定在直线l上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 7．下列各组图中，左右两个图形成轴对称的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】根据轴对称图形的概念可得：是轴对称图形的是：A． 故选A． 【点睛】此题考查了轴对称图形，掌握好轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 8．如图所示，在四边纸片中，，，将纸片沿折叠，点点，处，且经过点B，交于点G，连接，若平分，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，连接，由平角的定义求出，由折叠可得，，进一步求出，，由三角形内角和定理得到，由折叠可得. 【详解】如图所示，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴中，， 由折叠可得， 故选：C． 9．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，对顶角，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据平行线的性质、折叠的性质可得，由对顶角相等和三角形内角和定理，可以计算出的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：如图所示，由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 由图可得，， ∵比大， ∴， ∴ 解得：， ∴， 故选：A． 10．如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出，该球最后落入1号袋，经过反射的次数是(　　) A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】C 【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．碰到边为一次，所以共有6次． 【详解】解：如图，共碰到边6次． 故选：C． 【点睛】本题考查生活中的轴对称问题，解题的关键是结合对称的知识画出图形求解． 二、填空题 11．轴对称图形都有自己的对称轴，请你尝试写出：只有1条对称轴、只有3条对称轴、有无数条对称轴的平面图形名称 、 、 ． 【答案】 等腰三角形（答案不唯一） 等边三角形（答案不唯一） 圆（答案不唯一） 【分析】根据轴对称图形的定义和常见的平面图形判断填空即可． 【详解】等腰三角形只有1条对称轴、等边三角形只有3条对称轴、圆有无数条对称轴． 故答案为：等腰三角形（答案不唯一），等边三角形（答案不唯一），圆（答案不唯一）． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义和求对称轴条数．掌握轴对称图形沿对称轴折叠后可重合是解题关键． 12．如图，与关于直线l对称，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据对称性质得到，计算即可． 【详解】∵，， ∴， 根据对称性质得到， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 13．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ． 【答案】40°/40度 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 14．观察下列各组图形，其中成轴对称的有 ．(填序号) 【答案】(1)(2)(4) 【分析】根据成轴对称的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做成轴对称，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】根据两个图形成轴对称的性质得出：（1）（2）（4）成轴对称图形， 故答案为(1)(2)(4)． 【点睛】此题主要考查了成轴对称图形的定义，掌握成轴对称的意义，判断是不是成轴对称的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合． 15．如图，在锐角△ABC中，AB＝ ，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是 ． 【答案】6 【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴M′H=M′N′， ∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB=，∠BAC=45°， ∴BH=AH ∴ ∴BH=6． ∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 16．如图，中，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．    【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，当时，   ， ， ； 如图，当时，   ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时，   ， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 17．如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处．求∠1+∠2的度数． 【答案】180° 【分析】根据翻折变换前后对应角不变，故∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF，∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°，进而求出∠1+∠2的度数． 【详解】解：∵将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处， ∴∠B＝∠HOG，∠A＝∠DOE，∠C＝∠EOF， ∵∠1+∠2+∠HOG+∠EOF+∠DOE＝360°， ∵∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠1+∠2＝360°﹣180°＝180°． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质和三角形的内角和定理，根据已知得出∠HOG+∠EOF+∠DOE＝∠A+∠B+∠C＝180°是解题关键． 18．如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，是折痕．    (1)试判断与的位置关系； (2)如果，求∠AEB的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】 （1）根据折叠的性质可得，再由，可得，即可求解； （2）由（1）得，，可得，再由折叠的性质可得，求出，即可求解． 【详解】（1）； ∵是的折叠后形成的， ∴， ∴； （2）由（1）得，， ∴， 由折叠可知， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质和判定是解题的关键． 19．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°． (1)求出BF的长度； (2)求∠CAD的度数； (3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)BF＝3cm (2)∠CAD＝18° (3)直线MN垂直平分线段EC 【分析】（1）先根据轴对称的性质得出BC＝ED＝4cm，再根据FC＝1cm，求出BF的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出∠EAD＝∠BAC＝76°，再根据∠EAC＝58°求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，ED＝4cm，FC＝1cm， ∴BC＝ED＝4cm， ∴BF＝BC﹣FC＝3cm． （2）解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC＝76°，∠EAC＝58°， ∴∠EAD＝∠BAC＝76°， ∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAC＝76°﹣58°＝18°． （3）解：直线MN垂直平分线段EC．理由如下：如图， ∵E，C关于直线MN对称， ∴直线MN垂直平分线段EC． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点（即这些小正方形的顶点）上，且它们的坐标分别是A（2，﹣3），B（5，﹣1），C（1，3），结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）请在如图坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出△A'B'C'各顶点坐标。 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【分析】（1）在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可； （2）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可； 【详解】（1）如图，△ABC为所求； （2）如图，△A'B'C'为所求；A′(-2，-3)，B′(-5，-1)，C′(-1，3) 【点睛】本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 21．如图，三个顶点都在小方格的顶点上，请在的方格中画出三个顶点都落在小方格的顶点上，且与成轴对称的三角形．（要求画出两种不同的三角形）      【答案】见解析 【分析】本题主要考查了网格作图——画成轴对称图形．解题的关键是熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称． 根据成轴对称的定义，图1，作点A，B关于对角线所在直线为对称轴的对称点D，E，连接，，，即可；图2，作点B，C关于对角线所在直线为对称轴的对称点F，G，连接，，，即可 （答案不唯一）． 【详解】如图1，作点A，B关于对角线所在直线为对称轴的对称点D，E，连接，，，即为所求作（答案不唯一）； 如图2，作点B，C关于对角线所在直线为对称轴的对称点F，G，连接，，，即为所求作（答案不唯一）． 22．如图，在中，，，点E为线段的中点，点F在边上，连结，沿将折叠得到． （1）如图1，当点P落在上时，求的度数． （2）如图2，当时，求的度数． 【答案】（1）90°；（2）60° 【分析】（1）证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题． （2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC，从而得到∠AEF和∠PEF，再根据平角的定义求出∠BEP． 【详解】解：（1）如图1中，∵折叠， ∴△AEF≌△PEF， ∴AE=EP， ∵点E是AB中点，即AE=EB， ∴BE=EP， ∴∠EPB=∠B=45°， ∴∠PEB=90°， ∴∠AEP=180°-90°=90°． （2）∵PF⊥AC， ∴∠PFA=90°， ∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF． ∴△AEF≌△PEF， ∴∠AFE=∠PFE=45°， ∵∠B=45°，∠C=60°， ∴∠BAC=180°-45°-60°=75°， ∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°， ∴∠BEP=180°-60°-60°=60°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，全等三角形的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到相等的线段和角． 23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有__________个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称作图、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出对应点，然后顺次连接即可； （2）利用网格，作线段AB的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：如图：满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． （3）解：如图，点Q即为所求． 24．台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动被称为智慧和技能的较量． 问题1：如图（1），如果母球P击中桌边点A，经桌边反弹击中相邻另一条桌边，再次反弹，那么母球P经过的路线BC与PA平行吗？证明你的判断． 问题2：在一张简易球桌ABCD上，如图（2）所示，目标球F、母球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打母球E先撞球台的CD边，过一次反弹后再撞击F球，他应将E球打到CD边上的哪一点？ 请用尺规作图在图（2）中作出这一点． 问题3：如图（3），在简易球台ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了 次；若AB=100，BC=99，母球P还终将会落入某个角落的球袋，则它在落入球袋之前，在桌子边缘总共回弹了 次． 考点：作图—应用与设计作图． 【答案】问题1 BC∥PA；问题2见解析；问题3比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次． 【详解】试题分析：（1）类似于光线的反射问题，可通过计算同旁内角互补，得出平行的结论； （2）入射角等于反射角，找出E点关于AB的对称点E1，连接E1F交AB于H根据对称图形的特点及对顶角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的长运用勾股定理求出E1F的长，因对应边EH=E1H，E1H即为所求； （3）根据当AB=4，AD=3时的例图及弹子的运行规律：每一条运行轨迹都是一个正方形的对角线，画出图形，即可得出结论． 解：（1）如图， ∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE， ∴∠PAB=180°﹣2∠BAE． 同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE． ∵∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°． ∴BC∥PA． （2）可作点E关于直线AB的对称点E1，连接E1F，E1F与AB交于点H，球E的运动路线就是EH→HF， 过点F作AB的平行线交E1E的延长线于点N， ； （3）如图， 母球P从角落A以45°角击出，在桌子边缘回弹若干次后，最终必将落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，与桌子边缘共回弹了5次； 设由DC边反弹，弹子撞击BC边的位置距离C点为K格，从BC边反弹后，弹子撞击AB边的位置距离B点为（99﹣k）格，距离A点为（k+1）格经过AB边反弹后，弹子撞击AD边的位置距离A点为（k+1）格，距离D点为[99﹣（K+1）]格，经AD反弹，弹子撞击DC边的位置距离D点为[99﹣（k+1）]格，距离C点为100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞击BC边的位置距离C点为k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞击边的次数为100+99﹣2=197次. 学科网（北京）股份有限公司 $$