22.4图形的位似变换（3知识点+4题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪科版）

22.4 图形的位似变换 课程标准 学习目标 ①了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； ②会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 ①了解位似图形的有关概念及性质，能利用位似变换将一个图形放大或缩小； ②运用图形的相似解决实际问题。 知识点01 位似图形的概念 ·如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 位似中心：O；位似比相似比 【即学即练1】（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【即学即练2】（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 知识点02 图形位似的性质 ·每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 到位似中心的距离比： 【即学即练3】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【即学即练4】如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是（    ）    A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 知识点03 图形的位似变换 ·由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换：利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 【即学即练5】（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图，已知，任取一点，连，，，分别取点，，，使，，，得，有下列说法： ①与是位似图形； ②与是相似图形； ③与的周长比为； ④与的面积比为． 则正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 作图：图形的位似变换 已知△ABC，求作△DEF，使它与△ABC位似，并且相似比为2． → → 作图步骤∶ ①确定 位似中心 ②分别连接并延长 位似中心 和能代表原图的 关键点 ； ③根据 相似比 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接 上述各点，得到放大或缩小的图形． 注意：根据位似中心的位置（位于位似中心的同侧或异侧），任意图形位似变换后可得到2个位似图形。 【题型一：位似图形相关概念辨析】 例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④ 变式1.下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 【方法技巧与总结】 ·位似一定相似，相似不一定位似，位似是相似的一种特殊情况． ·注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可． 【题型二：在坐标系中画位似图形】 例2．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．    (1)以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标； (2)若内部有一点，则其对应点的坐标是____________． 变式2-1．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为． (1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形； (2)点的对应点的坐标是 ；点的对应点的坐标是 ． 变式2-2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点． (1)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为； (2)把向上平移3个单位长度后得到，请画出； (3)的面积为______． 【方法技巧与总结】平面直角坐标系中的位似变换： ·位似中心在原点：相似比为k表示将原图形放大k倍（缩小k），若P(x，y)在原图形上，变换后的坐标为P’(kx，ky)或P’(-kx，-ky) ·位似中心不在原点： ①确定 位似中心 ②分别连接并延长 位似中心 和能原图形的 顶点 ； ③根据 相似比 ，确定所作的位似图形的顶点； ④ 顺次连接 上述各点，得到放大或缩小的图形． 【题型三：求位似图形的对应坐标】 例3．（2023·山西忻州·一模）如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 变式3-1．（22-23九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 变式3-2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、E在轴上，若正方形的边长为3，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 【题型四：在坐标系中根据相似比解决函数问题】 例4．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点C，以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，则经过点的反比例函数表达式为 ． 一、选择题 1．（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 2．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①② C．③④ D．②③④ 3．如图，在外任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，连接，得，则下列说法错误的是（     ）． A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比为1∶2 D．与的面积比为4∶1 4.年是紫禁城建成年暨故宫博物院成立周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图中大门的门框并画出相关的几何图形（图），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图中的四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　） A．四边形与四边形的相似比为： B．四边形与四边形的相似比为： C．四边形与四边形的周长比为： D．四边形与四边形的面积比为： 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 6.下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1） 二、填空题 8．如果两个五边形是位似图形，相似比为5∶3，且它们的周长和为240 cm，则大五边形与小五边形的周长差为 cm. 9．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，与的位似中心是点，相似比为，则 ． 10．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是 ． 11．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为 ． 三、解答题 12．如图，已知 是坐标原点，，，以原点 为位似中心，将 在其内部缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为 ）．    (1)画出缩小后的图形； (2)写出点的对应点坐标； (3)如果 内部一点 的坐标为 ，写出点 经位似变换后的对应点坐标． （23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．    (1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为； (2)以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为； (3)在边上求作点M，使得． （2024·上海普陀·一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.4 图形的位似变换 课程标准 学习目标 ①了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小； ②会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。 ①了解位似图形的有关概念及性质，能利用位似变换将一个图形放大或缩小； ②运用图形的相似解决实际问题。 知识点01 位似图形的概念 ·如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。 位似中心：O；位似比相似比 【即学即练1】（2024·宁夏银川·一模）大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中做了记载，如图，在实验中，物和像属于以下哪种变换（    ） A．平移变换 B．对称变换 C．旋转变换 D．位似变换 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似变换的特征是解题的关键． 根据位似变换的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，物和像属于位似变换， 故选：D． 【即学即练2】（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 知识点02 图形位似的性质 ·每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。 到位似中心的距离比： 【即学即练3】若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（    ） A．每对对应点所在的直线相交于同一点 B．两个图形上的对应线段必平行 C．两个图形上的对应线段之比等于相似比 D．两个图形的面积之比等于相似比的平方 【答案】B 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式．根据位似图形的性质，对各选项依次分析可得答案． 【详解】解：A、每对对应点所在的直线相交于同一点，故本选项不符合题意； B、两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，故本选项符合题意； C、根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，故本选项不符合题意； D、根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，故本选项不符合题意； 故选：B． 【即学即练4】如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是（    ）    A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得出与是位似图形，根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比以及根据面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； C、∵点D，E，F，为中点， ∴将的三边缩小到原来的得到， ∴与的周长之比为1：2，故C选项正确，不符合题意； D、∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为1：4，故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 知识点03 图形的位似变换 ·由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换：利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。 【即学即练5】（22-23九年级上·河北邯郸·期末）如图，已知，任取一点，连，，，分别取点，，，使，，，得，有下列说法： ①与是位似图形； ②与是相似图形； ③与的周长比为； ④与的面积比为． 则正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵任取一点，连，，，分别取点，，，使，，， 相当于将原图形缩小为原来的。 ∴与的相似比为：， ∴①与是位似图形，正确； ②与是相似图形，正确； ③与的周长比为，正确； ④与的面积比为，正确． 故选D． 作图：图形的位似变换 已知△ABC，求作△DEF，使它与△ABC位似，并且相似比为2． → → 作图步骤∶ ①确定 位似中心 ②分别连接并延长 位似中心 和能代表原图的 关键点 ； ③根据 相似比 ，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接 上述各点，得到放大或缩小的图形． 注意：根据位似中心的位置（位于位似中心的同侧或异侧），任意图形位似变换后可得到2个位似图形。 【题型一：位似图形相关概念辨析】 例1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比；⑤位似多边形的对应边平行．其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．③④ C．②③⑤ D．②③④ 【答案】A 【详解】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误，不符合题意； 位似图形一定有位似中心，②正确，符合题意； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，这两个图形是位似图形，③正确，符合题意； 位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误，不符合题意． 位似多边形的对应边平行，⑤错误，不符合题意． 故选：A． 变式1.下列说法中，正确的是（    ） A．两个多边形相似，则它们一定是位似图形 B．两个位似图形的位似中心可能不止一个 C．位似图形一定是相似图形 D．两个多边形相似，面积比一定是相似比 【答案】C 【详解】A. 两个多边形相似，则它们不一定是位似图形，，故该选项说法错误； B. 两个位似图形的位似中心只有一个，故该选项说法错误； C. 位似图形一定是相似图形，故该选项说法正确； D. 两个多边形相似，面积比是相似比的平方，故该选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念，相似多边形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键． 【方法技巧与总结】 ·位似一定相似，相似不一定位似，位似是相似的一种特殊情况． ·注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可． 【题型二：在坐标系中画位似图形】 例2．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为．    (1)以点为位似中心在的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形；并分别写出的对应点的坐标； (2)若内部有一点，则其对应点的坐标是____________． 【答案】(1)作图见解析；点的坐标为，点的坐标为； (2)． 【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，由图形即可； （）利用位似比及点的坐标即可求解； 本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求，由图可得点的坐标为，点的坐标为；    （2）解：∵内部有一点，位似比为， ∴其对应点的坐标为， 故答案为：． 变式2-1．如图，已知是坐标原点，两点的坐标分别为． (1)以点为位似中心在轴的左侧将放大到两倍（即新图与原图的相似比为），画出图形； (2)点的对应点的坐标是 ；点的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析； (2)点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是． 【分析】 本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用位似变换的性质得出对应点的位置即可； （2）直接利用（1）中的图形得出对应点的坐标即可． 【详解】（1）解：延长到，使得，延长到，使得，再连接，如图： ∴就是所求的三角形． （2）解：如图： ∴点的对应点的坐标是， 点的对应点的坐标是． 变式2-2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点O，A，B，C均为网格线的交点． (1)以点O为位似中心，在网格中画出的位似图形使原图形与新图形的相似比为； (2)把向上平移3个单位长度后得到，请画出； (3)的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)8 【分析】本题考查位似，平移作图，解题的关键是熟练掌握位似图形的画法，平移图形的画法， （1）根据画位似图形的一般步骤画图即可； （2）将的每一个顶点都向上平移3个单位，再连接各顶点即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，就是所求作的三角形； （2）解：如图所示，就是所求作的三角形． （3）解：的面积为． 【方法技巧与总结】平面直角坐标系中的位似变换： ·位似中心在原点：相似比为k表示将原图形放大k倍（缩小k），若P(x，y)在原图形上，变换后的坐标为P’(kx，ky)或P’(-kx，-ky) ·位似中心不在原点： ①确定 位似中心 ②分别连接并延长 位似中心 和能原图形的 顶点 ； ③根据 相似比 ，确定所作的位似图形的顶点； ④ 顺次连接 上述各点，得到放大或缩小的图形． 【题型三：求位似图形的对应坐标】 例3．（2023·山西忻州·一模）如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到点C的坐标为，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ∵以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为， ∴点C的对应点的坐标为或． 故选：C． 变式3-1．（22-23九年级上·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与位似，根据关于原点成位似图形的对应点的坐标的特征，进行求解即可． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴的坐标为或， 即：点的坐标是或； 故选D． 变式3-2．（2024·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、E在轴上，若正方形的边长为3，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换及相似三角形的判定与性质，正确求出的长是解题的关键； 根据位似变换的性质得到的长，进而得出，进而得出，即可求出点点坐标． 【详解】正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， 正方形的边长为3， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 点坐标为， 故选：B． 【方法技巧与总结】位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 【题型四：在坐标系中根据相似比解决函数问题】 例4．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点C，以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为，则经过点的反比例函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出，根据位似变换的性质、相似三角形的性质求出，进而求出过点的反比例函数表达式． 【详解】解：点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵以O为位似中心把四边形放大得到四边形，且相似比为， ∴， ∴， ∴过点的反比例函数表达式为：， 故答案为：． 一、选择题 1．（22-23八年级下·山东烟台·期末）视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 2．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确命题的序号是（    ） A．②③ B．①② C．③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质和定义（识别位似图形，关键是看两个相似多边形的对应顶点所在的直线是否相交于一点，相交于一点的就是位似图形，交点就是位似中心）逐个判断即可得． 【详解】解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，则原命题错误； ②位似图形一定有位似中心，则原命题正确； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形，则原命题正确； ④位似图形上任意一对对应点与位似中心的距离之比等于位似比，则原命题错误； 综上，正确命题的序号是②③， 故选：A． 3．如图，在外任取一点O，连接，并取它们的中点D，E，F，连接，得，则下列说法错误的是（     ）． A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比为1∶2 D．与的面积比为4∶1 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质可得： A、与是位似图形，故A选项正确，不符合题意； B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意； ∵点D，E，F，为中点， ∴将的三边缩小到原来的得到， ∴与的周长之比为2：1，故C选项不正确，符合题意； ∵面积比等于相似比的平方， ∴与的面积之比为4：1，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 4.年是紫禁城建成年暨故宫博物院成立周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图中大门的门框并画出相关的几何图形（图），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图中的四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　） A．四边形与四边形的相似比为： B．四边形与四边形的相似比为： C．四边形与四边形的周长比为： D．四边形与四边形的面积比为： 【答案】D 【分析】根据题意可判断：：，即得出：：，从而可判断四边形与四边形的相似比为：，由相似比即可求出其周长比和面积比，即可选择． 【详解】四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点， ∴：：， ∴：：， 四边形与四边形的相似比为：，周长的比为：，面积比为：． 故选D． 5．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了求位似图形的坐标，先根据题意可知有两种情况：在原点的同侧或原点的异侧，再根据将图形按照缩小就是对应点的坐标分别乘以即可得出答案． 【详解】解：当位似图形在原点同侧时，和的相似比是，点， ∴点； 当位似图形在原点异侧时，和的相似比是，点， ∴点． 所以点的坐标是或． 故选：B． 6.下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2） C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1） 【答案】D 【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，把B点的横纵坐标分别乘以或-即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小， ∴点B（-9，-3）的对应点B′的坐标是（-3，-1）或（3，1）． 故选：D． 二、填空题 8．如果两个五边形是位似图形，相似比为5∶3，且它们的周长和为240 cm，则大五边形与小五边形的周长差为 cm. 【答案】60 【分析】由如果两个五边形是位似图形，且位似比为5：3，且它们的周长和为240cm，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得它们的周长，继而求得答案． 【详解】解：∵两个五边形是位似图形，且位似比为5：3， ∴它们的周长比为：5：3， ∵它们的周长和为240cm， ∴它们的周长分别为：240×=150（cm），240×=90（cm）， ∴它们的周长差为：150-90=60（cm）． 故答案为60cm． 9．（23-24九年级上·福建泉州·期末）如图，与的位似中心是点，相似比为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查位似，涉及位似性质、相似与位似关系等知识，根据位似得到，利用相似比列式求解即可得到答案，熟练掌握位似与相似的关系是解决问题的关键． 【详解】解：与的位似中心是点， ， 相似比为， ，即，解得， 故答案为：． 10．（2024·安徽芜湖·一模）如图所示，在平面直角坐标系中已知点，，以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，则点A的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把在第一象限内放大，， ∴点A的对应点的坐标是点，即， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为5，则C点坐标为 ． 【答案】（，）． 【分析】根据位似比，得，得到DC=BC=，根据位似比，得，即，得到OB=，根据点的位置，把线段的长转化为点的坐标即可． 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3， ∴， ∴DC=BC=， 根据位似比，得， 即， ∴OB=， 根据点的位置， ∴点C（，）． 故答案为：（，）． 三、解答题 12．如图，已知 是坐标原点，，，以原点 为位似中心，将 在其内部缩小为原来的一半（即新图形与原图形的相似比为 ）．    (1)画出缩小后的图形； (2)写出点的对应点坐标； (3)如果 内部一点 的坐标为 ，写出点 经位似变换后的对应点坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3) 【分析】（1）由以原点O为位似中心，将 在其内部缩小为原来的一半，根据位似图形性质，可求得其对应点的坐标，继而画出图形； （2）结合（1）可求得B点的对应点坐标； （3）根据位似图形的性质，即可求得点M经位似变换后的对应点坐标． 【详解】（1）解：以原点O为位似中心，将 在其内部缩小为原来的一半如图所示，   ． （2）∵， B点的对应点坐标为：； （3）内部一点M的坐标为， 则点M经位似变换后的对应点坐标为：． （23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．    (1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点A、B坐标分别为； (2)以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为； (3)在边上求作点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，画位似图形，相似三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据A、B的坐标确定原点的位置以及x、y的轴的位置，然后建立坐标系即可； （2）把A、B、C的横纵坐标分别乘以2得到的坐标，再顺次连接即可； （3）取格点P、Q，连接交于M，点M即为所求 【详解】（1）解：如图所示坐标系即为所求； （2）解：如图所示，即为所求；    （3）解：如图所示，取格点P、Q，连接交于M，点M即为所求； 易证，则，即．    （2024·上海普陀·一模）综合实践 九年级第一学期教材第2页 结合教材图形给出新定义 对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．   图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形． 如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心． (1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） (2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．    ①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由． 【答案】(1)P；位似；相似 (2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析 【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解； （2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解． 【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形． 故答案为：P；位似；相似 （2）解：①如图，即为所求；    令，则， 解得：或0， ∴点A的坐标为， 设点B的坐标为， ∴，解得：或0， ∴点B的坐标为， ∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设经过O、、三点的抛物线的表达式为， 把点，，代入得： ，解得：， ∴经过O、、三点的抛物线的表达式为， ②和为位似三角形，理由如下： 如图，过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，    联立得： ，解得：或， ∴点M的坐标为， ∴，，， 同理点N的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴和为位似三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$