专题3.2 函数的性质（考点精讲）-【中职专用】2025年职教高考数学一轮复习讲练测（福建专用）

专题3.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：函数的单调性 2 考点二：函数的奇偶性 3 【考纲要求】 1. 理解函数单调性的定义，会根据函数的单调性，比较同一单调区间内函数值的大小；能根据函数图像判断函数的单调性并写出函数单调区间。 2. 理解函数的奇偶性的定义，会判断简单函数的奇偶性。 【考向预测】 1.函数的单调性 2.函数的奇偶性 【知识清单】 1．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 注：定义中的x1，x2有以下3个特征： (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 4.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性 例1．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 例2．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是 A． B． C． D． 例3．设函数则下列结论错误的是 A．D（x）的值域为{0,1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 例4．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 例5．下列函数中，满足“”的单调递增函数是 A． B． C． D． 【变式探究】1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A． B． C． D． 2．若奇函数在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则在区间[－7，－3]上（    ） A．单调递增且有最大值－5 B．单调递增且有最小值－5 C．单调递减且有最大值－5 D．单调递减且有最小值－5 3．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的最大值是：（    ） A． B． C． D． 5．函数的最大值为 . 考点二：函数的奇偶性 例1．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．3 例2．函数是奇函数的充要条件 A． B． C． D． 例3．对于定义域是的任意奇函数，都有（    ） A． B． C． D． 例4．已知，函数，为奇函数，则（    ）． A．0 B．1 C． D． 例5．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式探究】1．函数的图像（    ）． A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 2．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（    ）． A．0 B． C．1 D． 3．已知，，且是奇函数，则 ． 4．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 5．函数为偶函数，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 函数的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：函数的单调性 2 考点二：函数的奇偶性 3 【考纲要求】 1. 理解函数单调性的定义，会根据函数的单调性，比较同一单调区间内函数值的大小；能根据函数图像判断函数的单调性并写出函数单调区间。 2. 理解函数的奇偶性的定义，会判断简单函数的奇偶性。 【考向预测】 1.函数的单调性 2.函数的奇偶性 【知识清单】 1．增函数与减函数的定义 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1＜x2时 都有f(x1)＜f(x2) 都有f(x1)＞f(x2) 结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图示 注：定义中的x1，x2有以下3个特征： (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常规定x1<x2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3.函数最大值与最小值 最大值 最小值 条件 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 4.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 奇函数 条件 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I 结论 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) 图象特点 关于y轴对称 关于原点对称 【考点分类剖析】 考点一：函数的单调性 例1．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 例2．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断，即可得到结论. 【详解】选项：，是奇函数，在是增函数， 不满足条件； 选项：不是奇函数，不满足条件； 选项：是偶函数，不满足条件； 选项：定义域为， ，是奇函数， 在是减函数； 故选:D. 例3．设函数则下列结论错误的是 A．D（x）的值域为{0,1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 【答案】C 【详解】由函数表达式知D（x）的值域为{0,1}，故A正确； 对于任意的，均有，所以D（x）是偶函数，故B正确； 对于，取，则，所以D（x）是周期函数，C错误； 由函数单调性的定义可得D（x）不是单调函数，D正确. 故选：C. 例4．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　） A．在区间上是增函数，在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【详解】解：因为函数f（x）是偶函数，而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反， 所以f（x）在区间[-2，-1]上是增函数． 又因为f（x）=f（2-x），且f（x）=f（-x）， 故有f（-x）=f（2-x），即函数周期为2． 所以区间[3，4]上的单调性和区间[1，2]上单调性相同， 即在区间[3，4]上是减函数． 故选B 例5．下列函数中，满足“”的单调递增函数是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D． 【变式探究】1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D. 2．若奇函数在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，则在区间[－7，－3]上（    ） A．单调递增且有最大值－5 B．单调递增且有最小值－5 C．单调递减且有最大值－5 D．单调递减且有最小值－5 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，可以判定在区间[－7，－3]上单调递增，进而判定最值后做出选择. 【详解】因为在区间[3，7]上单调递增，且最小值为5，所以． 由奇函数在对称区间上单调性相同，可知在区间[－7，－3]上单调递增， 且有最大值． 故选：. 3．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 4．函数的最大值是：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论． 【详解】∵， ∴，最大值为． 故选：A. 5．函数的最大值为 . 【答案】2 【分析】分离常量，由函数可得函数单调递减，然后求解函数的最大值即可. 【详解】 由函数，得在单调递减， 即. 故答案为：2. 考点二：函数的奇偶性 例1．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】函数是奇函数，当时，， . 故选：A. 例2．函数是奇函数的充要条件 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为奇函数，求得的值，由此确定正确选项. 【详解】由于为奇函数，所以恒成立， 即， 恒成立， 由于，所以. 在四个选项中，与等价的是， 所以B选项符合. 故选：B 例3．对于定义域是的任意奇函数，都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为奇函数，可得，再对四个选项逐一判断即可得正确答案. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴， 又，∴， 故选：C 例4．已知，函数，为奇函数，则（    ）． A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义，结合正弦的诱导公式进行求解即可. 【详解】因为函数是R上的奇函数， 所以有， 即. 故选：A 例5．已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】试题分析：因为，代入条件等式再相加，得．故选B． 【变式探究】1．函数的图像 A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为(-2,2),又因为 所以函数f(x)为奇函数，所以关于原点对称. 2．已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】在中，令，则， 再令，得， ∴.又令，得，又∵，∴. 再令，得，∵，∴. ∴，故选A. 3．已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求参数. 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 4．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 5．函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据f(-x)=f(x)即得a的值. 【详解】由题得f（-x）=f(x),所以（-x+1）(-x+a)=(x+1)(x+a),所以（a+1）x=0对于x∈R恒成立，所a+1=0,所以a=-1. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$