2.2直线与圆的位置关系学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册问题导学单·第2章——圆与方程 A 第2章 圆与方程 2.2 直线与圆的位置关系 【学习目标】 1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 2．会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系； 3．理解一元二次方程根的判定及根与系数的关系，并能利用它们解一些简单的直线与圆的位置关系问题． 【温顾·习新】 思考　(1)直线与圆的位置关系有哪几种判定方法？ (2)如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 填空　直线与圆的位置关系及判断 (直线：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2) 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 个 个 个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d＝ d r d r d r 代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 图形 做一做　直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 【研讨·拓展】 【例1】已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线相交、相切、相离？ 【变式1-1】已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【例2】(1)过点M(2，4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程． (2)过点N(1，－2)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求其切线的方程． 【变式2-1】(1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的圆的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．3 【变式2-2】若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________． 【例3】求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 【变式3-1】 (1)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． (2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________________． 【例4】在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例5】(多选)方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值可以是(　　) A．k＝± B．k＝±2 C．k<－2或k>2 D．k<－3或k>3 【例6】过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________． 【例7】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2． (1)求圆C的方程； (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标． 【例8】几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据该结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点M(－1,2)，N(1,4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是________． 【例9】如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【变式9-1】如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒(精确到0.1，≈2.646)． 【变式9-2】如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝． (1)求新桥BC的长； (2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？ 【总结提炼】 1．牢记1个知识点：直线与圆的位置关系． 2．重点掌握3种方法：(1)直线与圆位置关系的判断方法； (2)求圆的切线方程的方法；(3)求直线与圆相交时弦长的方法． 3．注意1个易错点：在解决直线与圆的位置关系问题时，易漏掉直线斜率不存在的情况． 【拓展强化】 完成练习册相关课时作业 ·4· ·3· 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$