第十一章 三角形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十一章 三角形（A卷·提升卷） 考试范围：第11章；考试时间：120分钟；满分120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，图中三角形的个数共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【考点】三角形．版权所有 【答案】C 【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形，数出其个数即可得出结论． 【解答】解：图中是三角形的有：△AOC、△BOD、△AOB、△ABC、△ABD． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形，牢记三角形的定义是解题的关键． 2．下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【考点】三角形．版权所有 【答案】B 【分析】根据三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义一一判断即可． 【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误； ②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误； ③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的分类，等腰三角形的定义，等边三角形的定义等知识，解题的关键是掌握三角形的分类． 3．八（2）班四位同学画出如下线段BD，其中能表示△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】D 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：所给图形中，线段BD能表示△ABC的高的是D选项， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，掌握三角形高的概念是解题的关键． 4．若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A．①②都可以 B．①②都不可以 C．只有①可以 D．只有②可以 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】C 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边可进行判断． 【解答】解：三角形的两边之和大于第三边，两根长度分别为5cm和4cm的细木条做一个三角形的框架，可以把5cm的细木条分为两截． 理由：5＞4，满足两边之和大于第三边． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边是关键． 5．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】A 【分析】先根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF，则利用平角的定义得到∠AED+∠BEF＝90°，∠ADE+∠BFE＝128°，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°，则可计算出∠A+∠B＝142°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠C的度数． 【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了折叠的性质． 6．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】根据三角板的性质得出∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，再利用外角的性质计算即可． 【解答】解：由题意可得： ∠ACB＝60°，∠BAC＝45°， ∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°， 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 7．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，则以下结论： ①∠E＝∠A； ②∠BOC＝3∠E； ③∠BOC＝90°+∠A； ④∠BOC＝90°+∠E． 正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠A＝2∠E，∠BOC＝90°+∠A，∠BOC＝90°+∠E． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的角平分线，BO平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠E＝∠DCE﹣∠DBE ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠A，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180﹣（180°﹣∠A） ＝90°+∠A，故②、③错误． ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠E＝90°+∠E，故④正确． 综上所述，①④正确． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 8．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABC＝2∠ABP，∠ACM＝2∠ACP， 又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°， ∴∠ABC＝2×20°＝40°，∠ACM＝2×50°＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°． 9．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义得出，∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：①∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC＝2∠EAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠EAC＝2∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC，故①正确； ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确； ③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF， ∴2∠DCF+∠ACB＝180°， ∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF， ∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°， ∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠BAC＝2∠BDC， ∴，故③正确； ④∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠DCF， ∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°， ∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°， ∴∠DCF+∠ABD＝90°， ∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°， ∴，故④正确； ⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠DCF， ∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正确． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度． 10．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．45° 【考点】多边形内角与外角；三角形的外角性质．版权所有 【答案】B 【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD． 【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°， ∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°， ∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°， 故选：B． 【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 　三角形具有稳定性　． 【考点】三角形的稳定性．版权所有 【答案】三角形具有稳定性． 【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 12．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为 　13cm　． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为16cm， ∴AB+AD+BD＝16cm， ∴AB+AD+DC＝16cm， ∵AB比AC长3cm， ∴AB＝AC+3cm， ∴AC+3cm+AD+DC＝16cm， ∴AC+AD+DC＝13cm， ∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝13cm， 故答案为：13cm． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 13．在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　＜x＜　． 【考点】三角形三边关系；数轴．版权所有 【答案】＜x＜． 【分析】依据题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6，则AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x，结合能组成三角形，则，从而，计算可以得解，再由D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解，从而可以得解． 【解答】解：由题意，当D在线段BC内时，1＜x＜6， ∴AB＝2，BD＝x﹣1，CD＝6﹣x． 若能组成三角形， ∴． ∴． ∴＜x＜． 当D不在线段BC内，|BD﹣CD|＝|BC|＝5＞2＝AB，不满足三角形两边之差小于第三边的条件，故无解． 综上所述，＜x＜． 故答案为：＜x＜． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系、数轴，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 14．如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝　52°　． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】52°． 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的性质可求出∠E，利用三角形内角和定理求出∠5+∠6+∠1，得到∠MBC+∠NCB，从而求出∠DBC+∠DCB，再次利用角平分线的性质与三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图， ∵BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ， ∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4， ∵∠3+∠4＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E， ∴2∠F＝∠E＝32°， ∵BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN， ∴∠5+∠6＝，， ∴， ∵∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝32°， ∴∠5+∠6+∠1＝148°， ∴∠MBC+∠NCB＝2（∠5+∠6+∠1）＝296°， ∵BD，CD分别平分∠ABC，ACB， ∴∠DBC＝，， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝64°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠DBC+∠DCB）＝52°， 故答案为：52°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理三角形外角性质，角平分线的性质是解题的关键． 15．如图，点N是四边形ABCD的DC边上一点，沿BN折叠四边形，使点C落在边AD上的点M处，再沿BM，NM折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在BN上的点P处，则∠MBN的度数为 　30　°． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】30． 【分析】根据折叠的性质可得∠C＝∠BMN，∠AMB＝∠PMB，∠DMN＝∠PMN，可知∠NMB＝90°，进一步可得∠C得度数，再根据折叠的性质及同旁内角互补两直线平行得出AB∥CD，从而可得∠ABC＝90°，根据折叠的性质，可知∠CBN＝∠MBN，∠AMB＝∠MBN，进一步可得∠MBN的度数． 【解答】解：根据折叠得性质，可得∠C＝∠BMN，∠AMB＝∠PMB，∠DMN＝∠PMN， ∵∠DMN+∠PMN+∠BMP+∠AMP＝180°， ∴∠NMB＝90°， ∴∠DCB＝90°， 由折叠可知，∠BPM＝∠A，∠NPM＝∠D， ∵∠BPM+∠NPM＝180°， ∴∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠ABC＝90°， 根据折叠的性质，可知∠CBN＝∠MBN，∠AMB＝∠MBN， ∴3∠MBN＝90°， ∴∠MBN＝30°． 故答案为：30． 【点评】本题考查了折叠的性质、平行线的判定及性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0． （1）求c的取值范围； （2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围． 【考点】三角形三边关系；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；解二元一次方程组；解一元一次不等式组．版权所有 【答案】（1）c的取值范围为4＜c＜8； （2）x的取值范围为． 【分析】（1）根据非负数的性质和三角形的三边关系即可得到结论． （2）根据题意解不等式组即可得到结论． 【解答】解：（1）∵|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0， ∴， 解得a＝2，b＝6， ∵6﹣2＝4，6+2＝8， ∴4＜c＜8， ∴c的取值范围为4＜c＜8； （2）∵2x﹣c＝1， ∴c＝2x﹣1， ∴4＜2x﹣1＜8， ∴＜x＜， ∴x的取值范围为＜x＜． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，解不等式组，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 17．（8分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】（1）50° （2）12． 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴AB﹣BC＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 18．（8分）（1）已知四边形ABCD如图（1）所示．求证∠A+∠B+∠C+∠D＝360°． （2）如图（2）所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成 40°的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得∠BAE＝115°，∠DCE＝117°，如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？ 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】（1）360°；（2）该模板不合格；理由见解析部分． 【分析】（1）连接BD，根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长AB，CD交于点G，根据四边形内角和等于360°，结合垂直的定义，计算可求∠G的度数，然后根据题意进行判断． 【解答】（1）如图所示，连接BD ∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°， ∴∠C+∠CBD+∠CDB＝180°，∠ABC＝∠ABD+∠CBD，∠ADC＝∠ADB+∠CDB， ∴∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°． （2）不合格，理由如下： 延长AB，CD交于点G， ∵AE⊥EC， ∴∠E＝90°． ∵∠BAE＝115°，∠DCE＝117°，四边形AECG的内角和为360°， ∠G＝360°﹣（∠A+∠E+∠C）＝38°≠40°， ∴该模板不合格． 【点评】本题考查了多边形内角和定理与外角，关键是根据图形求出要求的角的度数． 19．（8分）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC边上，点M，N在BC边上，连接EN，FM交于点D，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C，连接EF． （1）求证：EF∥BC； （2）若∠2＝110°，∠DMN＝35°，求∠C的度数． 【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．版权所有 【答案】（1）证明见解析过程； （2）75°． 【分析】（1）先利用∠1+∠2＝180°及∠2＝∠FDN得出CF∥EN，进而得出∠C＝∠FNB，再由∠3＝∠C得出∠3＝∠FNB即可解决问题． （2）先根据∠2和∠DMN的度数得出∠DNM的度数，再根据EN∥FC即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠FDN， ∴∠1+∠FDN＝180°， ∴CF∥NE， ∴∠C＝∠ENB． 又∵∠3＝∠C， ∴∠3＝∠ENB， ∴EF∥BC． （2）解：∵∠2＝110°， ∴∠MDN＝70°． 又∵∠DMN＝35°， ∴∠DNM＝180°﹣70°﹣35°＝75°． ∵CF∥NE， ∴∠C＝∠DNM＝75°． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的判定与性质，熟知三角形内角和定理及平行线的判定与性质是解题的关键． 20．（9分）问题引入： （1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， 若∠A＝α，则∠BOC＝　　（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示，，， 若∠A＝α，则∠BOC＝　　（用α表示），填空并说明理由． （2）如图③所示，，，若∠A＝α，求∠BOC 　　（用α表示）． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1），； （2）． 【分析】（1）由三角形内角和为180度可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），结合角平分线（角三等分线）的定义即可求解； （2）由三角形内角和为180度可得∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），结合角三等分线的定义可得，可得结论． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α． 如图①所示，∵点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴． ∴； 如图②所示，∵，， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： ∵，，∠A＝α， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝ ＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB） ＝ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是记住三角形内角和为180°． 21．（9分）【探究发现】在学习完八年级上册数学之后，小明对几何推理证明问题兴趣浓厚，他从中华人民共和国国旗中的五角星开始了探究，已知国旗中五角星的五个角均相等，他画出了图①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出五个角的度数，此度数为 　36°　； 【拓展延伸】如图②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明； 【类比迁移】如图③，小明将点A落在BE上，点C落在BD上，那么∠CAD，∠B，∠ACE，∠D，∠E存在怎样的数量关系？请直接写出结果． 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】【探索发现】36°； 【拓展延伸】180°，证明见解析； 【类比迁移】180°． 【分析】【探究发现】如图①，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，再根据三角形内角和是180°，再根据五角星的五个角均相等，求出答案即可； 【拓展延伸】如图②，根据外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，再根据三角形内角和是180°求出答案即可； 【类比迁移】如图③，根据平角定义可得，∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°，根据三角形外角性质得∠BAC＝∠ACE+∠E，∠DAE＝∠B+∠D，然后等量代换即可． 【解答】解：【探究发现】如图①所示： ∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠1+∠2+∠E＝180°， ∴∠A+∠C+∠B+∠D+∠E＝180°， ∵∠A＝∠C＝∠B＝∠D＝∠E， ∵∠A＝∠C＝∠B＝∠D＝∠E＝180°÷5＝36° 故答案为：36°； 【拓展延伸】如图②所示： ∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∠1+∠2+∠E＝180°， ∴∠A+∠C+∠B+∠D+∠E＝180°； 【类比迁移】如图③所示： ∵∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°， ∠BAC＝∠ACE+∠E，∠DAE＝∠B+∠D， ∴∠ACE+∠E+∠CAD+∠B+∠D＝180°， 即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝180°． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． 22．（12分）如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D． 【特殊探究】 （1）若∠BAO＝60°，则∠D＝　45　°； 【推理论证】 （2）随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 （3）如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在点O左侧，点E在射线CO上运动（不与C，O重合），AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，当α＝70°时，求∠AGE的度数． 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义．版权所有 【答案】（1）45； （2）∠D的大小不会变，45°； （3）∠AGE的度数为55°或125°． 【分析】（1）由题意可得∠ABO＝30°，∠ABN＝150°，由BC平分∠ABN，AD平分∠OAB，可得，根据∠D＝∠ABC﹣∠BAD，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由AG平分∠EAB，EF平分∠AEC，可得，，设∠EAG＝∠BAG＝∠1，∠AEF＝∠CEF＝∠2，则∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠2，由题意知，分点E在AB上方，点E在AB下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠BAO＝60°， ∴∠ABO＝30°，∠ABN＝150°， ∵BC平分∠ABN，AD平分∠OAB， ∴， ∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°， 故答案为：45； （2）∵∠MON＝90°， ∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣∠MNO＝90°， ∵BC平分∠ABN，AD平分∠OAB， ∴， ∴， ∴∠D的大小不会变，度数为45°； （3）∵AG平分∠EAB，EF平分∠AEC， ∴，， 设∠EAG＝∠BAG＝∠1，∠AEF＝∠CEF＝∠2，则∠EAB＝2∠1，∠AEC＝2∠2， 由题意知，分点E在AB上方，点E在AB下方两种情况求解； 当点E在AB上方时，如图2， ∴∠EOB＝∠EAB+∠AEO，即α＝2∠1+180°﹣2∠2＝70°， 解得，∠2﹣∠1＝55°， ∴∠AGE＝∠2﹣∠1＝55°； 当点E在AB下方时，如图3， 由题意知，∠AOE＝α＝70°， ∵∠EAB+∠AEC+∠AOE＝180°， ∴2∠1+2∠2+70°＝180°， 解得，∠1+∠2＝55°， ∴∠AGE＝180°﹣∠EAG﹣∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠2＝125°； 综上所述，∠AGE的度数55°或125°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键． 23．（13分）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． （1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠EAD的度数；（写出解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系且说明理由； （3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）∠EAD＝10°；（2）∠EAD＝（∠ACB﹣∠ABC）；（3）∠EPD＝∠ACB﹣∠ABC． 【分析】（1）先求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出即可； （2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得∠CAE＝90°﹣（∠ABC+∠ACB），再根据直角三角形的性质可得∠CAD＝90°﹣∠ACB，然后由∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD代入计算可求解； （3）过A作AG⊥BC于G，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠ACB，再根据直角三角形的性质可得∠GAC＝90°﹣∠ACB，进而可求解． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°， ∴∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝×80°＝40°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝60°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°； （2）∠EAD＝（∠ACB﹣∠ABC）． 理由：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACB， ∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）﹣（90°﹣∠ACB）＝（∠ACB﹣∠ABC）， 即∠EAD＝（∠ACB﹣∠ABC）； （3）∠EPD＝∠ACB﹣∠ABC， 理由是：如图2，过A作AG⊥BC于G， ∵PD⊥BC， ∴AG∥PD， ∴∠GAE＝∠DPE， ∵∠CAB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°﹣∠ABC﹣∠ACB， ∵AG⊥BC， ∴∠AGC＝90°， ∴∠GAC＝90°﹣∠ACB， ∴∠GAE＝∠CAE﹣∠CAG＝90°﹣∠ABC﹣∠ACB﹣（90°﹣∠ACB）＝∠ACB﹣∠ABC， ∴∠EPD＝∠ACB﹣∠ABC． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形（A卷·提升卷） 考试范围：第11章；考试时间：120分钟；满分120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，图中三角形的个数共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 3．八（2）班四位同学画出如下线段BD，其中能表示△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 4．若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是（　　） A．①②都可以 B．①②都不可以 C．只有①可以 D．只有②可以 5．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 6．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（　　） A．90° B．100° C．105° D．110° 7．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，且交于点O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，则以下结论： ①∠E＝∠A； ②∠BOC＝3∠E； ③∠BOC＝90°+∠A； ④∠BOC＝90°+∠E． 正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 8．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 9．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝∠BAC；④∠ADB＝45°﹣∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．45° 评卷人 得 分 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数学原理是 　 　． 12．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm，AB比AC长3cm，则△ACD的周长为 　 　． 13．在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是﹣1、1、6、x，若线段AB、BD、CD能围成三角形，则x的范围是 　 　． 14．如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝　 　． 15．如图，点N是四边形ABCD的DC边上一点，沿BN折叠四边形，使点C落在边AD上的点M处，再沿BM，NM折叠这个四边形，若点A，D恰好同时落在BN上的点P处，则∠MBN的度数为 　 　°． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0． （1）求c的取值范围； （2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围． 17．（8分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 18．（8分）（1）已知四边形ABCD如图（1）所示．求证∠A+∠B+∠C+∠D＝360°． （2）如图（2）所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成 40°的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得∠BAE＝115°，∠DCE＝117°，如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？ 19．（8分）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC边上，点M，N在BC边上，连接EN，FM交于点D，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C，连接EF． （1）求证：EF∥BC； （2）若∠2＝110°，∠DMN＝35°，求∠C的度数． 20．（9分）问题引入： （1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， 若∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示，，， 若∠A＝α，则∠BOC＝　 　（用α表示），填空并说明理由． （2）如图③所示，，，若∠A＝α，求∠BOC 　 　（用α表示）． 21．（9分）【探究发现】在学习完八年级上册数学之后，小明对几何推理证明问题兴趣浓厚，他从中华人民共和国国旗中的五角星开始了探究，已知国旗中五角星的五个角均相等，他画出了图①所示的五角星，并利用所学的知识很快得出五个角的度数，此度数为 　 　； 【拓展延伸】如图②，小明改变了这五个角的度数，使它们均不相等，小明发现∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的和是一个定值并进行了证明，请你猜想出结果并加以证明； 【类比迁移】如图③，小明将点A落在BE上，点C落在BD上，那么∠CAD，∠B，∠ACE，∠D，∠E存在怎样的数量关系？请直接写出结果． 22．（12分）如图1，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D． 【特殊探究】 （1）若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°； 【推理论证】 （2）随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 （3）如图2，直线l1与直线l2相交于点O，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l1上方，点A在点O左侧，点E在射线CO上运动（不与C，O重合），AG平分∠EAB，EF平分∠AEC交直线AG于点G，当α＝70°时，求∠AGE的度数． 23．（13分）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B． （1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠EAD的度数；（写出解答过程） （2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系且说明理由； （3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$