第十一章 三角形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十一章 三角形（B卷·培优卷） 考试范围：第11章；考试时间：120分钟；满分120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（　　） A．3m B．4.2m C．5m D．6m 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】A 【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案． 【解答】解：∵AC＝AC＝2m， ∴2﹣2＜BC＜2+2， 即0m＜BC＜4m． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键． 2．如图1所示，将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等．若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体．则图中a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】C 【分析】本题实际上是长为8的线段围成一个等腰三角形．求腰长的取值范围． 【解答】解：长为8的线段围成等腰三角形的腰长为a．则底边长为8﹣2a． 由题意得， 解得2＜a＜4． ∴选项中只有3符合上面不等式组的解集． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是把三棱柱的底面问题转化为三角形三边之间的关系问题． 3．如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 【考点】三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【答案】D 【分析】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：∵AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB， A、△ABC中，CF是AB边上的高，正确； B、△AGC中，CF是AG边上的高，正确； C、△GBC中，GC是BC边上的高，正确； D、△BFC中，CF是BF边上的高，错误． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键． 4．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】D 【分析】连接A'A，先求出∠BAC，再证明∠1+∠2＝2∠BAC即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AA'， ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB， ∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB， ∵∠BA'C＝120°， ∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°， ∵沿DE折叠， ∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A， ∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'， ∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识，属于中考常考题型． 5．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 【考点】三角形的外角性质．版权所有 【答案】C 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2． 【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC， ∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE， ＝（∠ACD﹣∠ABC） ＝∠1，故①正确； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠1） ＝90°+∠1，故②、③错误； ∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD， ∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD， ∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°， ∵∠BOC是△COE的外角， ∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 6．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上意近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．版权所有 【答案】D 【分析】①由折叠的性质得∠DC'C＝∠C＝22°，由三角形内角和定理得∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°，进而可得∠ADC′的度数，由此可对结论①进行判断； ②连接CC'，由折叠的性质得∠DC'E＝∠DCE＝22°，由三角形内角和定理及邻补角定义得∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'，则∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°，由此可对结论②进行判断； ③设∠CED＝α，由折叠的性质得∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE，则∠CEC'＝2α，进而得∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α，∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝158°﹣α，∠ADE＝180°﹣∠CDE＝22°+α，进而得∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝136°﹣2α，然后可计算∠BEC′﹣∠ADC'的值即可对结论③进行判断； ④当C′E∥AB时，（ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠CME＝∠A＝90°，进而得∠CEM＝90°﹣∠C＝68°，再由折叠的性质得∠CED＝∠MED＝∠CEM＝34°，由此可求出∠CDE的度数；（ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，由C′E∥AB，∠A＝90°得∠C'ND＝90°，则∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°，再由折叠的性质得∠CDE＝∠C'DE＝∠C'DN＝34°．由此可对结论④正确，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵点C'落在BC边上， ∴由折叠的性质得：∠DC'C＝∠C＝22°， ∴∠C'DC＝180°﹣（∠DC'C+∠C）＝136°， ∴∠ADC′＝180°﹣∠C'DC＝180°﹣136°＝44°， 故结论①正确； ②连接CC'，如图2所示： 由折叠的性质得：∠DC'E＝∠DCE＝22°， ∵∠C'DC+∠DC'C+∠DCC'＝180°，∠C'EC+∠EC'C+∠ECC'＝180°， 又∵∠ADC'+∠C'DC＝180°，∠BEC′+∠EC'C+∠ECC'＝180°， ∴∠ADC'＝∠DC'C+∠DCC'，∠BEC′＝∠EC'C+∠ECC'， ∴∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'C+∠DCC'+∠EC'C+∠ECC'， 即∠ADC'+∠BEC′＝∠DC'E+∠DCE＝44°， 故结论②正确； ③设∠CED＝α， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠C'ED＝∠CED＝α，∠CDE＝∠C'DE， ∴∠CEC'＝∠C'ED+∠CED＝2α， ∴∠BEC′＝180°﹣∠CEC'＝180°﹣2α， ∴∠CDE＝∠C'DE＝180°﹣∠C﹣∠CED＝180°﹣22°﹣α＝158°﹣α， ∴∠ADE＝180°﹣∠CDE＝180°﹣（158°﹣α）＝22°+α， ∴∠ADC′＝∠C'DE﹣∠ADE＝158°﹣α﹣（22°+α）＝136°﹣2α， ∴∠BEC′﹣∠ADC'＝180°﹣2α﹣（136°﹣2α）＝44°， 故结论③正确； ④当C′E∥AB时，有以下两种情况： （ⅰ）当点C'在AC上方时，设C'E交AC于M，如图3①所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠CME＝∠A＝90°， ∴∠CEM＝90°﹣∠C＝90°﹣22°＝68°， 由折叠的性质得：∠CED＝∠MED＝∠CEM＝34°， ∴∠CDE＝180°﹣（∠CED+∠C）＝180°﹣（34°+22°）＝124°； （ⅱ）当点C'在AC下方时，延长C'E交AC于N，如图3②所示： ∵C′E∥AB，∠A＝90°， ∴∠C'ND＝90°， 由折叠的性质得：∠C＝∠C'＝22°，∠CDE＝∠C'DE， 在Rt△C'ND中，∠C'DN＝90°﹣∠C'＝68°， ∴∠CDE＝∠C'DE＝∠C'DN＝34°． 综上：当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，准确识图，熟练掌握图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 7．如图，边长相等的正五边形和正n边形（n＞5）拼接在一起，则∠ACB度数可能是（　　） A．54° B．30° C．24° D．18° 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】C 【分析】若n＝6，则∠BAD与∠CAD的度数，再求出∠BAC的度数，最后求出∠ACB的度数． 【解答】解：若n＝6， 则∠BAD＝180°﹣＝120°， ∠CAD＝180°﹣＝108°， ∴∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠CAD＝132°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝24°． 故选：C． 【点评】本题主要考查多边形内角和外角，熟练掌握多边形内角和外角公式是解题的关键． 8．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（　　）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．版权所有 【答案】B 【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论． 【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠DGF＝∠DCE+∠E， ∴∠DGF＝70°+30°＝100°． ∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D， ∴∠D＝10°． 而图中∠D＝20°， ∴∠D应减少10°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线BG、BE与∠ACB的三等分线CF、CE分别交于点D、E，若∠E＝100°，则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】B 【分析】根据三等分线可得∠ABE＝，，依据三角形内角和定理可得∠A＝100°﹣（∠ABE+∠ACE）＝100°﹣（∠ABC+∠ACB）＝100°﹣，解出∠A即可确定选项正误． 【解答】解：∵BG、BE是∠ABC的三等分线，CF、CE是∠ACB的三等分线， ∴∠ABE＝，， ∵∠E＝100°， ∴∠ABE+∠ACE+∠A＝100° ∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A＝100°﹣（∠ABE+∠ACE）＝100°﹣（∠ABC+∠ACB）＝100°﹣， ∴∠A＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为180°是关键． 10．如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】D 【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD＝∠BJH，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：设BD交FH于点J． ①∵BD⊥FD， ∴∠FJD+∠F＝90° ∵FH⊥BE， ∴∠BJG+∠DBE＝90°， ∵∠FJD＝∠BJG， ∴∠DBE＝∠F， ①正确； ②∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∠BEF＝∠CBE+∠C， ∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C， ∠BAF＝∠ABC+∠C， ∴2∠BEF＝∠BAF+∠C， ②正确； ③∠ABD＝90°﹣∠BAC， ∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC， ∵∠CBD＝90°﹣∠C， ∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， 由①得，∠DBE＝∠F， ∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE， ∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）； ③正确； ④∵∠AEB＝∠EBC+∠C， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠AEB＝∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE， ∴∠FGD＝∠FEB， ∴∠BGH＝∠ABE+∠C， ④正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a＝　3　． 【考点】三角形三边关系．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据三角形的三边之间的关系得：3﹣2＜a＜3+2，由此解得1＜a＜5，然后再根据a为奇数即可求出a的值． 【解答】解：根据三角形的三边之间的关系得：3﹣2＜a＜3+2， ∴1＜a＜5， ∵a为奇数， ∴a＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了三角形的三边之间关系，解答此题的关键是熟练掌握三角形的三边之间关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 12．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝　70　度． 【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．版权所有 【答案】70． 【分析】先根据已知条件求出∠ACB的底数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出∠EFD，最后利用三角形内角和求出∠1即可． 【解答】解：由折叠可知：∠AED＝∠A′ED， ∵∠A＝25°，∠B＝65°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠ACB＝90， ∵EA'∥BC， ∴∠AEA′＝∠ACB＝90°， ∴∠AED＝∠A′ED＝45°， ∵EA'∥BC，∠B＝65°， ∴∠EFD＝∠B＝65°， ∵∠1+∠EFD+∠A′ED＝180°， ∴∠1＝180°﹣65°﹣45°＝70°． 故答案为：70． 【点评】本题主要考查了三角形内角和和平行线的性质，解题关键是正确识别图形，由折叠得到哪些角相等． 13．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为 　50°　． 【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．版权所有 【答案】50°． 【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形的内角和定理可得：∠A+∠1＝∠P+∠3，根据∠ACD﹣∠ABD＝64°，可推出∠3﹣∠1＝32°，又因为∠P＝18°，即可求出∠A． 【解答】解：如图， ∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3， ∵∠ACD﹣∠ABD＝64°， 即∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝64°， ∴∠3﹣∠1＝32°， ∵∠P＝18°， ∴∠A＝∠P+∠3﹣∠1＝18°+32°＝50°， 故答案为：50°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 14．如图，△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝20°，则∠BAC＝　40°　，∠CAD＝　70°　． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】40°；70°． 【分析】过点D作DF⊥BA交BA的延长线于F，DH⊥AC，DT⊥BE，设∠EBD＝α，∠ECD＝β，则∠ABC＝2∠EBD＝2α，∠ACE＝2∠ECD＝2β，由三角形的外角定理得∠ECD＝∠EBD+∠BDC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，即β＝α+∠BDC，2β＝∠ABC+2α，由此得∠ABC＝2∠BDC＝40°，则∠FAC＝140°，证DA平分∠FAC则可得∠CAD的度数． 【解答】解：过点D作DF⊥BA交BA的延长线于F，DH⊥AC，DT⊥BE，如图所示： 设∠EBD＝α，∠ECD＝β， ∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线， ∴∠ABC＝2∠EBD＝2α，∠ACE＝2∠ECD＝2β， 根据三角形的外角定理得：∠ECD＝∠EBD+∠BDC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC， 即β＝α+∠BDC，2β＝∠ABC+2α， ∴2（α+∠BDC）＝∠ABC+2α， ∴∠ABC＝2∠BDC， ∵∠BDC＝20°， ∴∠ABC＝2∠BDC＝40°， ∴∠FAC＝180°﹣∠ABC＝140°， ∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE的平分线， ∴DF＝DT，DH＝DT， ∴DF＝DH， ∴DA平分∠FAC， ∴∠CAD＝∠FAC＝×140°＝70°． 故答案为：40°；70°． 【点评】此题主要考查了三角形的外角定理，角平分线的定义及其性质，熟练掌握三角形的外角定理，角平分线的定义及其性质是解决问题的关键． 15．如图，在凸四边形ABCD中，2∠BDC﹣∠ABD＝180°﹣∠C，已知∠ABC＝80°，∠C＝55°，则∠ABD的度数为 　35°　． 【考点】多边形内角与外角．版权所有 【答案】35°． 【分析】由2∠BDC﹣∠ABD＝180°﹣∠C，即：2α﹣β＝180°﹣55°＝125°①，在△BCD中，由三角形内角和为180°得：α+80°﹣β+55°＝180°②，联立①②即可求解． 【解答】解：如图，设∠BDC的度数为α，∠ABD的度数为β， 则2∠BDC﹣∠ABD＝180°﹣∠C，即：2α﹣β＝180°﹣55°＝125°①， 在△BCD中，由三角形内角和为180°得：α+80°﹣β+55°＝180°②， 联立①②并解得：β＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查的是多边形内角和和外角问题，解题的关键是根据题设条件建立方程组，进而求解． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，已知线段AB． （1）选择合适的画图工具，按下列步骤画图： ①延长线段AB至点C，使BC＝AB； ②在线段AB上方画射线BP，使∠ABP＞∠CBP； ③在射线BP上取一点D（不与点B重合），连接AD，CD． （2）根据画出的图形，判断AD+CD＞AC，理由是 　两点之间，线段最短　． 【考点】三角形三边关系；直线、射线、线段．版权所有 【答案】（1）见解析； （2）两点之间，线段最短． 【分析】（1）利用几何语言画出对应的图形； （2）观察图形直接可以得出答案 【解答】解：（1）①如图，线段BC为所作； ②如图，射线BP为所作； ③如图，AD，CD为所作； （2）理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，比较线段的长短．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 17．（8分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，D，E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E． （1）求证：BD∥AF； （2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠AFC的度数． 【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠E＝∠BAF，根据角平分线的定义得出∠CAF＝∠BAF，由已知条件，等量代换即可得出∠D＝∠CAF，根据平行线的判定定理即可得证； （2）根据已知条件得出∠D＝50°，进而得出，根据平行线的性质即可求解． 【解答】（1）证明：∵AF∥CE， ∴∠E＝∠BAF， ∵AF平分∠BAC， ∴∠CAF＝∠BAF， ∴∠E＝∠CAF， 又∵∠D＝∠E， ∴∠D＝∠CAF， ∴BD∥AF； （2）∵AF平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠CAF， 由（1）得∠D＝∠CAF， ∴∠BAC＝2∠D， ∵∠BAD+∠BAC＝180°，∠BAD＝80°， ∴80°+2∠D＝180°， ∴∠D＝50°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠D＝50°， ∵∠ABD＝2∠ABC， ∴， ∵BD∥AF， ∴∠AFC＝∠DBC＝75°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 18．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90° （1）分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则∠E＝　45　°； （2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求∠AFC的度数； （3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设∠CAG＝x，∠ACE＝y，根据直角三角形的两锐角互余得：∠ACB+∠BAC＝90°，可得x﹣y＝45，由外角的性质得：∠E＝∠CAG﹣∠ACE＝x﹣y＝45°； （2）根据三角形的内角和定理和对顶角相等列等式，可得结论； （3）先根据条件画图3，设∠FAH＝α，根据三角形的内角和定理列式：∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH，∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH，分别表示∠FCH和∠FPH，代入已知可得m，n的值． 【解答】解：（1）如图1，∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB， ∴∠CAG＝∠DAC，∠ACE＝∠ACB， 设∠CAG＝x，∠ACE＝y， ∵∠B＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°， ∴2y+180﹣2x＝90， x﹣y＝45， ∵∠CAG＝∠E+∠ACE， ∴∠E＝∠CAG﹣∠ACE＝x﹣y＝45°， 故答案为：45； （2）如图1所示，∵CF平分∠ECB， ∴∠ECF＝y， ∵∠E+∠EAF＝∠F+∠ECF， ∴45°+∠EAF＝∠F+y ①， 同理可得：∠E+∠EAB＝∠B+∠ECB， ∴45°+2∠EAF＝90°+y， ∴∠EAF＝②， 把②代入①得：45°+＝∠F+y， ∴∠F＝67.5°， 即∠AFC＝67.5°； （3）如图2，设∠FAH＝α， ∵AF平分∠EAB， ∴∠FAH＝∠EAF＝α， ∵∠AFM＝∠AFC＝×67.5°＝22.5°， ∵∠E+∠EAF＝∠AFC+∠FCH， ∴45+α＝67.5+∠FCH， ∴∠FCH＝α﹣22.5①， ∵∠AHN＝∠AHC＝（∠B+∠BCH）＝（90+2∠FCH）＝30+∠FCH， ∵∠FAH+∠AFM＝∠AHN+∠FPH， ∴α+22.5＝30+∠FCH+∠FPH，② 把①代入②得：∠FPH＝， ∵∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH， α﹣22.5＝mα+n•， 解得：m＝2，n＝﹣3． 【点评】本题考查了三角形内角和与外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质并准确识图是解题的关键，要注意整体思想的利用． 19．（8分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　50　度，∠P＝　115　度． （2）∠A与∠P的数量关系为 　∠P﹣∠A＝90°　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 　∠Q＝90°﹣∠A　． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； 【应用】由角平分线定义可得∠CBQ＝90°﹣∠ABC，∠BCQ＝90°﹣∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论． 【解答】【探究】 解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB， ∴∠BCP+∠CBP＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠P+（∠ABC+∠ACB）＝180°， ∴∠P+（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P﹣∠A＝90°； 故答案为：∠P﹣∠A＝90°； 【应用】 解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC， ∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A； 故答案为：∠Q＝90°﹣∠A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． 20．（8分）如图，四边形ABCD的内角∠DCB的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F （1）若∠ABC＝76°，∠DCF＝26°，试判断BF和CD的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝120°，∠D＝130°，求∠F的度数． 【考点】多边形内角与外角；角平分线的定义；平行线的判定与性质；三角形的外角性质．版权所有 【答案】（1）BF∥CD，理由见解析； （2）35°． 【分析】（1）根据邻补角的定义得到∠ABE＝104°，然后根据角平分线的定义得到，∠FCE＝∠DCF＝26°，然后利用三角形的外角的性质得到∠F＝26°＝∠DCF，然后证明BF∥CD； （2）根据四边形的内角和定理得到∠ABC+∠DCB＝110°，即可得到∠ABE＝70°+∠DCB，然后利用角平分线的性质得到，，然后利用三角形的外交和定理即可解题． 【解答】解：（1）BF∥CD，理由为： ∵∠ABC＝76°， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣76°＝104°， ∵BF，CF平分∠ABE，∠DCB， ∴，∠FCE＝∠DCF＝26°， ∴∠F＝∠FBE﹣∠FCE＝52°﹣26°＝26°＝∠DCF， ∴BF∥CD； （2）∵ABCD是四边形， ∴∠ABC+∠DCB＝360°﹣∠A﹣∠D＝360°﹣120°﹣130°＝110°， ∴∠ABC＝110°﹣∠DCB， ∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（110°﹣∠DCB）＝70°+∠DCB， 又∵BF，CF平分∠ABE，∠DCB， ∴，， ∴． 【点评】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定、四边形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握“四边形的内角和是360°”是解题的关键． 21．（9分）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 a 15 20 30 上表中a＝　20　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 　2∠EAD＝∠C﹣∠B　． （2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上的一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　28　°． 【考点】三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）20；2∠EAD＝∠C﹣∠B； （2）∠EPD＝； （3）28． 【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通过找规律的形式得出三者的关系， （2）分别用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案， （3）分析同（2）． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°， ∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C）＝（180°﹣30°﹣70°）＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°， ∴a＝20， 故答案为：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B． （2）如图，过点A作AF⊥BC于F， ∵PD⊥BC，AF⊥BC， ∴PD∥AF， ∴∠EPD＝∠EAF， ∵△ABC内角和为180°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠BAC＝90°﹣， 同时∠BAF＝90°﹣∠B， ∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE＝＝∠EPD， 综上所述，∠EPD＝； （3）同理（2），依旧可得∠EFD＝＝28°， 故答案为：28． 【点评】本题主要是考查三角形的内角和同位角相等的知识点，解题的关键在于各个角之间的转化，同时注意计算不能出错． 22．（12分）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，则∠1+∠2＝180°+∠A． 【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+　∠4　，∠2＝∠A+　∠3　， ∴∠1+∠2＝　∠A+∠A+∠3+∠4　． ∵∠3+∠4+∠A＝180°，（ 　三角形内角和是180°　） ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 【初步应用】（1）如图②，在△ABC纸片中剪去△AED，得到四边形BCDE，若∠1＝130°，则∠2﹣∠A的大小为 　50　度． （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线，则∠P与∠A的数量关系为 　∠P＝90°﹣∠A　． 【拓展提升】如图④，在四边形ABCD中，BP、CP分别为外角∠EBC、∠FCB的平分线，若∠A+∠D＝230°，则∠P的大小为 　65　度． 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．版权所有 【答案】【拓展证明】∠4，∠3，∠A+∠3+∠4+∠A，三角形内角和是180°； 【初步应用】（1）50；（2）∠P＝90°﹣∠A； 【拓展提升】65． 【分析】【推理证明】由题目所提供的证明方法，利用三角形内角和定理进行解答即可； 【初步应用】（1）由【推理证明】可得∠1+∠2＝180°+∠A，代入变形即可； （2）根据角平分线的定义，三角形内角和定理即可得出结论； 【拓展提升】根据四边形内角和是360°，三角形内角和定理以及角平分线的定义进行解答即可． 【解答】解：【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+∠4，∠2＝∠A+∠3， ∴∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4+∠A． ∵∠3+∠4+∠A＝180°，（三角形内角和是180°） ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 故答案为：∠4，∠3，∠A+∠3+∠4+∠A，三角形内角和是180°； 【初步应用】（1）如图②，由【推理证明】可得∠1+∠2＝180°+∠A， ∵∠1＝130°， ∵130°+∠2＝180°+∠A， 即∠2﹣∠A＝180°﹣130°＝50°， 故答案为：50； （2）如图③∠P＝90°﹣∠A， ∵BP、CP分别是∠DBC、∠ECB的平分线， ∴∠DBP＝∠CBP＝∠DBC，∠ECP＝∠BCP＝∠ECB， ∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°﹣（∠DBC+∠ECB） ＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC） ＝180°﹣（180°+∠A） ＝90°﹣∠A； 故答案为：∠P＝90°﹣∠A； 【拓展提升】如图④ ∵∠A+∠D＝α， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α， ∵BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBP＝∠CBP＝∠EBC，∠FCP＝∠BCP＝∠FCB， ∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP） ＝180°﹣（+） ＝（∠ABC+∠BCD） ＝×（360°﹣α） ＝180α ＝180°﹣×230° ＝180°﹣115° ＝65°． 故答案为：65． 【点评】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法以及角平分线的定义是正确解答的关键． 23．（13分）【情景引入】： （1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明的理由． 【深入探究】： （2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　∠D＝90°﹣∠A　； ②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　∠D＝∠A　． 【拓展应用】： （3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ． ①∠A＝80°，则∠F的度数为 　12.5°　； ②∠F＝n°，则∠A的度数为 　180°﹣8n°　． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．版权所有 【答案】（1）见解答； （2）①∠D＝90°﹣∠A；②∠D＝∠A； （3）①12.5°；②180°﹣8n°． 【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和定理即可求解； （2）①利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用角平分线的定义可得∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，从而得到∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，化简即可求解； ②利用三角形的外角性质可得∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，从而得到∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，化简即可求解； （3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，即可求出∠A，利用三角形内角和定理可得∠MBC+∠NCB，再利用角平分线的性质可得∠CBE+∠BCE，利用三角形内角和定理可得∠E，再由（2）②可知∠F＝∠E，求解即可． 【解答】解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB， ∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∴∠D＝90°+∠A； （2）①∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线， ∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF， ∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB， ∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D， ∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°， ∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°， ∴∠A+2∠D＝180°， ∴∠D＝90°﹣∠A， 故答案为：∠D＝90°﹣∠A； ②∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线， ∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE， ∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D， ∴∠A＝2∠D， ∴∠D＝∠A； 所以∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A， 故答案为：∠D＝∠A； （3）①由（1）知：∠D＝90°+∠A， ∵∠A＝80°， ∴∠D＝130°， ∴∠DBC+∠DCB＝50°， ∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°， ∴∠E＝180°﹣155°＝25°． 由（2）②知：∠F＝∠E， ∴∠F＝∠E＝12.5°， 故答案为：12.5°； ②由（1）知：∠D＝90°+∠A， ∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴2（∠EBC+∠ECB）+∠DBC+∠DCB＝360°， ∵∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D， ∴2（180°﹣∠E）+180°﹣∠D＝360°， ∴∠E＝90°﹣＝90°＝45°﹣∠A， ∴∠F＝＝＝n°， ∴∠A＝180°﹣8n°． 故答案为：180°﹣8n°． 【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 三角形（B卷·培优卷） 考试范围：第11章；考试时间：120分钟；满分120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C两点之间的距离可能是（　　） A．3m B．4.2m C．5m D．6m 2．如图1所示，将长为8的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等．若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体．则图中a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图所示，已知AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，D、C、F是垂足，下列说法中错误的是（　　） A．△ABC中，CF是AB边上的高 B．△AGC中，CF是AG边上的高 C．△GBC中，GC是BC边上的高 D．△BFC中，CG是BF边上的高 4．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．90° B．100° C．110° D．120° 5．如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④ 6．在三角形纸片ABC中，∠A＝90°，∠C＝22°，点D为AC边上意近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC′＝44°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′＝44°；③如图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′﹣∠ADC'＝44°；④当C′E∥AB时，∠CDE＝34°或∠CDE＝124°．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，边长相等的正五边形和正n边形（n＞5）拼接在一起，则∠ACB度数可能是（　　） A．54° B．30° C．24° D．18° 8．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A、∠B、∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应（　　）度． A．增加10 B．减少10 C．增加20 D．减少20 9．如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线BG、BE与∠ACB的三等分线CF、CE分别交于点D、E，若∠E＝100°，则∠BAC的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 10．如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 评卷人 得 分 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知三角形三条边长分别是2、a、3，且a为奇数，则a＝　 　． 12．如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片ABC（∠A＝25°，∠B＝65°）沿DE向下折叠，点A落在点A′处，当EA'∥BC时，∠1＝　 　度． 13．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＞∠D，∠ACD﹣∠ABD＝64°，∠P＝18°，则∠A的度数为 　 　． 14．如图，△ABC中，一内角和一外角的平分线交于点D，连结AD，∠BDC＝20°，则∠BAC＝　 　，∠CAD＝　 　． 15．如图，在凸四边形ABCD中，2∠BDC﹣∠ABD＝180°﹣∠C，已知∠ABC＝80°，∠C＝55°，则∠ABD的度数为 　 　． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，已知线段AB． （1）选择合适的画图工具，按下列步骤画图： ①延长线段AB至点C，使BC＝AB； ②在线段AB上方画射线BP，使∠ABP＞∠CBP； ③在射线BP上取一点D（不与点B重合），连接AD，CD． （2）根据画出的图形，判断AD+CD＞AC，理由是 　 　． 17．（8分）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，D，E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E． （1）求证：BD∥AF； （2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠AFC的度数． 18．（9分）如图，在△ABC中，∠B＝90° （1）分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E（如图1）．则∠E＝　 　°； （2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F（如图1）．求∠AFC的度数； （3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM＝∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN＝∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH＝m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值． 19．（8分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度． （2）∠A与∠P的数量关系为 　 　，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 　 　． 20．（8分）如图，四边形ABCD的内角∠DCB的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F （1）若∠ABC＝76°，∠DCF＝26°，试判断BF和CD的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝120°，∠D＝130°，求∠F的度数． 21．（9分）小明在学习中遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D． 猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系． （1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面几组对应值： ∠B/度 10 30 30 20 20 ∠C/度 70 70 60 60 80 ∠EAD/度 30 a 15 20 30 上表中a＝　 　，于是得到∠B、∠C、∠EAD的数量关系为 　 　． （2）小明继续探究，在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由． （3）小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，如图3，过EA的延长线上的一点F作FD⊥BC交CB的延长线于D，当∠ABC＝80°，∠C＝24°时，∠F度数为 　 　°． 22．（12分）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，则∠1+∠2＝180°+∠A． 【推理证明】∵∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴∠1＝∠A+　 　，∠2＝∠A+　 　， ∴∠1+∠2＝　 　． ∵∠3+∠4+∠A＝180°，（ 　 　） ∴∠1+∠2＝180°+∠A． 【初步应用】（1）如图②，在△ABC纸片中剪去△AED，得到四边形BCDE，若∠1＝130°，则∠2﹣∠A的大小为 　 　度． （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别为外角∠DBC、∠ECB的平分线，则∠P与∠A的数量关系为 　 　． 【拓展提升】如图④，在四边形ABCD中，BP、CP分别为外角∠EBC、∠FCB的平分线，若∠A+∠D＝230°，则∠P的大小为 　 　度． 23．（13分）【情景引入】： （1）如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线，说明的理由． 【深入探究】： （2）①如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　 　； ②如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是 　 　． 【拓展应用】： （3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ． ①∠A＝80°，则∠F的度数为 　 　； ②∠F＝n°，则∠A的度数为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$