15.3互斥事件和独立事件(第2课时独立事件)学案-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

第二册问题导学单·第15章——概率 江苏省启东中学高一数学讲义 高一 班 姓名： 学号： A 第15章 概率 15.3 互斥事件和独立事件 (第2课时　独立事件) 【学习目标】 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念； 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 【温顾·习新】 一、相互独立事件的概念 思考　一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A为“第一次摸到球的标号小于3”，B为“第二次摸到球的标号小于3”． (1)事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？ (2)分别计算P(A)，P(B)，P(AB)，看看它们之间有什么关系？ 填空　一般地，对于两个随机事件A，B，如果 ，那么称A，B为相互独立事件． 相互独立事件与对立事件的区别：两个事件对立是指两个事件不可能同时发生且必有一个发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响． 做一做　思考辨析，判断正误 (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( ) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．( ) (3)“P(AB)＝P(A)P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．( ) 【研讨·拓展】 二、相互独立事件的性质 思考　互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系． 如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？ 以“思考1中试验”为例，验证A与，与B, 与是否独立，你有什么发现？ 填空　相互独立事件的性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与 也相互 ． (1)相互独立事件同时发生的概率公式的推广： 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝ ． (2)相互独立事件与互斥事件的概率计算： 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B) P(AB) P() P(A＋B) 说明　A＋B，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生． 做一做　(1)若A与B是相互独立事件，则下面不是相互独立事件的是(　　) A．A与 B．A与 C．与B D．与 (2)若P(AB)＝，P(A)＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立 【例1】(1)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　) A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立 (2)从一副扑克牌(除去大小王，共52张)中任抽一张，设事件A为“抽到老K”，事件B为“抽到红牌”，判断事件A与B是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ 【变式1-1】(1)甲、乙两名射击手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 (2)下列事件A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A为“第一次为正面”，B为“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，事件A为“第一次摸到白球”，事件B为“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A为“出现点数为奇数”，B为“出现点数为偶数” D．A为“甲灯泡能用1 000小时”，B为“甲灯泡能用2 000小时” 【例2】如果甲、乙、丙三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，． 求：①他们都研制出疫苗的概率； ②只有丙机构没能研制出疫苗的概率； ③只有甲机构研制出疫苗的概率． 【变式2-1】小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． (3)这三列火车恰有一列火车正点到达的概率． 【例3】荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且沿逆时针方向跳的概率是沿顺时针方向跳的概率的2倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是(　　) A． B． C． D． 【变式3-1】某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别是，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(　　) A． B． C． D． 【变式3-2】在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) A． B． C． D． 【变式3-3】学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若这一天下雨，则推迟至后一天，若这三天都下雨，则推迟至下一周．已知这三天每天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为(　　) A． B． C． D． 【变式3-4】设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)＝________． 【例4】(多选)下列对各事件发生的概率判断正确的是(　　) A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B．甲、乙、丙三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为 C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为 D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是 【变式4-1】(多选)为了迎接下一届冬奥会，甲、乙两名滑雪运动员积极备战，训练中每次试跳成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，则(　　) A．两人两次都试跳成功的概率为0.176 4 B．两人每次试跳都不成功的概率0.823 6 C．两人第一次试跳都成功的概率为0.42 D．两人中恰有一人第二次才成功的概率为0.349 2 【变式4-2】(多选)如图所示的电路中，5只箱子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E．箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是(　　) A．A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C．A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【例5】(多选)已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是(　　) A．如果B⊆A，那么P(A＋B)＝0.2，P(AB)＝0.5 B．如果A与B互斥，那么P(A＋B)＝0.7，P(AB)＝0 C．如果A与B相互独立，那么P(A＋B)＝0.7，P(AB)＝0 D．如果A与B相互独立，那么P( )＝0.4，P(A)＝0.4 【变式5-1】已知事件A，B，C相互独立， 如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝______，P(B)＝______． 三、复杂的概率问题 【例6】甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4，0.5，0.8，如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落．求飞机被击落的概率． 【变式6-1】同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是__________． 【变式6-2】某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6，0.4，0.5，0.2．已知各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手被淘汰的概率； (2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题被淘汰的概率． 【变式6-3】随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，如果5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止． (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率； (2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率． 四、比赛背景下的概率问题 【例7】甲、乙两人进行跳绳比赛，规定：若甲赢一局，比赛结束，甲胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出．已知在一局比赛中甲、乙两人获胜的概率分别为，，则甲胜出的概率为________． 【变式7-1】甲中学的女排和乙中学的女排两队进行比赛，在一局比赛中甲中学女排获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲中学的女排获胜的概率等于(　　) A． B． C． D． 【变式7-2】某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第二轮考核的概率． 【变式7-3】11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立，在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束． (1)求P(X＝2)； (2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率． 【例8】(2020·全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为． (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 【总结提炼】 一、牢记2个知识点：1．相互独立事件的判断；2．相互独立事件的概率的计算． 二、掌握2种方法：1．构造方程组求概率；2．正难则反思想求解概率． 三、注意1个易错点：相互独立事件与互斥事件易混淆． 【拓展强化】 完成《微练习》相关课时作业 ·8· ·7· 学科网（北京）股份有限公司 $$