第四章 数列（共11课时，同步练，含pdf版可打印）-2024-2025学年高二数学新人教A版2019选择性必修系列课时同步训练

参考答案 4.1.1 数列的概念(1) 1．【答案】C 【解析】对于 A，由数列的定义易知 A 错误； 对于 B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故 B 错误； 对于 C，数列 2n n 的第 k项为 2k k ，故 C 正确； 对于 D，因为0 N ，所以 Nn ，这与数列的定义不相符， 故 D 错误.故选：C. 2．【答案】A 【解析】观察数列 1 ， 1 2 ， 1 3  ， 1 4 ，L可知其分母为 n， 其分子是 1,1 交替出现，故分子可为  1 n ， 所以该数列的一个通项公式为 na  ( 1)n n  . 3．【答案】A 【解析】对于 A 项，设 1n na n   ，则 1 1 2 1n n n na a n n                   21 2 1 0 1 2 1 2 n n n n n n n           对 *Nn  恒成立， 所以，数列 1 n n       是递增数列.故 A 正确； 对于 B 项，当 1n  时， 1 1a  与第一项为 0 不符.故 B 项错误； 对于 C 项，数列中的项并不完全相同.故 C 项错误； 对于 D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列 2，4，6，8 与数列 8，6，4，2 不是相同的数 列.故 D 项错误. 4．【答案】D 【解析】由已知 2 4 1 3 10n n   ，解得 8n  ，负值舍去，则 1 10 是该数列的第8项. 5．【答案】AC 【解析】对于 A 项，分别把 1, 2n  代入 ( 1) 2nna n  ，即得 1 22, 4a a   ，故 A 项正确；对于 B 项，把 1n  代入 1( 1) 2nna n   即得 1 2a  ，与数列不符，故 B 项错误； 对于 C项，分别把 1, 2n  代入 6 8na n  ，即得 1 22, 4a a   ， 故 C 项正确；对于 D项，把 2n  代入 4 6na n  即得 2 2a  ， 与数列不符，故 D 项错误. 6．【答案】BD 【解析】对于 A，1， 12 ， 1 3 ， 1 4 ，…， 1 n ，…为递减数列， 故 A 错误；对于 B， 1 ， 1 2  ， 1 4  ， 1 8  ，…， 1 1 2n  ，… 为递增数列，且是无穷数列，故 B 正确； 对于 C，sin π 7 ， 2πsin 7 ， 3πsin 7 ，…， πsin 7 n ，…中 6π 8πsin sin 7 7  ， 故不是递增数列，故 C 错误；对于 D，1， 2， 3，…， n ，… 既是无穷数列又是递增数列的，故 D 正确. 7．【答案】 7 【解析】按规律排列的数列1，2，2，3，3，3，4，4， 4，4，，n，可知1是1个；2是 2个，3是3个，4是 4 个，5是5个，6是6个，7是 7个，因为1 2 3 4 5 6 21      ， 1 2 3 4 5 6 7 28       ，所以该数列的第 22项为： 7． 8．【答案】1 【解析】  1 nna   ，   8 8 1 1a    . 9．【答案】B 【解析】由数列 2 4 8 161, , , , , 3 5 7 9    ，可得化为 0 2 2 3 42 2 2 2 2, , , , , 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1              ， 可得数列 2 4 8 161, , , , , 3 5 7 9    的一个通项公式为 12( 1) 2 1 n n na n     .故选：C. 10．【答案】ABC 【解析】对于 A，当 1n  ，2，3，4时， 11 ( 1)nna    分别 对应的是 2， 0， 2， 0，正确；对于 B，当 1n  ， 2，3， 4时， 1 cos πna n  分别对应的是 2， 0， 2， 0，正确； 对于 C，当 1n  ， 2，3，4时， 2 π2sin 2n na  分别对应的 是 2， 0， 2， 0，正确；对于 D， 01 1 ( 1) 2a     ，  2 1 1 0a     ， 23 1 ( 1) 2 1 4a       ， 3 4 1 ( 1) 3 2 6a       ，错误.所以这个数列的通项公式可能 是 ABC. 11．【答案】 1 2 1( 1) 2 n n n    【解析】 1 3 7, ,1, , 3 4 6   可化为 1 3 5 7, , , , 3 4 5 6   ，所以分子 部分为 2 1n  ，分母部分为 2n ，奇数项为正，偶数项为负， 则 1( 1)n ，则 na  1 2 1( 1) 2 n n n    . 12．【答案】30 【解析】因为   2 2 11 12111 2 4n a n n n n             N ， 故当 5n  或6时， na 取得最大值30 . 4.1.2 数列的概念(2) 1．【答案】D 【解析】因为 1 2a  ， 1n na a n   ，所以 2 1 1 2 1 3a a     ， 3 2 2 2 3 5a a     ， 4 3 3 5 3 8a a     2．【答案】A 【解析】易知 2 4 2 4 3 (3( ) ) 204 4 4 3 3 3 4a S S        . 3.【答案】A 【解析】因为 nS 为数列 na 的前 n项和，且 2 , 5 5 4, 5n n nS n n       ， 则   26 6 5 5 6 4 5 1a S S       . 4【答案】C 【解析】由 2 2 123na n   ，解得 11n  （ 11n   舍去）， 5【答案】BC 【解析】由 1 11n n a a    ，则 2 1 11 2 2 a    ， 3 11 11 2 a     ， 4 11 2 1 a     ，则数列 na 是以3为周期的数列，由 2019 3 673  ，故 2019 3 1a a   ， 2020 1 2a a  ， 2021 2 1 2 a a  ， 2022 3 1a a   ，故 B、C 正确，A、D 错误. 6【答案】AD 【解析】因为 12 1nnS   ，所以当 1n  时 11 1 12 1 3a S     ； 当 2n  时，    1 12 1 2 1 2nn n n nna S S       . 当 1n  时，不符合上式，故 3, 1 2 , 2n n n a n     ， 7【答案】(1)第5项图形见解析，通项公式为 5 4na n  ，第 5项的点数为 5 21a  (2)第5项图形见解析，通项公式为 3 2nb n  ，第5项的点数 为 5 13b  (3)第5项图形见解析，通项公式为  2nc n n  ，第5项的 点数为 5 35c  【解析】（1）设第n项的点数为  na n N ， 1 1a  ， 2 1 5a   ， 3 1 2 5a    ， 4 1 3 5a    ，该数列的 第5项为 5 1 4 5 21a     ， 数列 na 的一个通项公式为  1 5 1 5 4na n n     ，第5项的图形如 下图所示： （2）设第n项的点数为  nb n N  ， 1 1b  ， 2 1 3b   ， 3 1 2 3b    ， 4 1 3 3b    ，该数列的第 5项为 5 1 4 3 13b     ， 数列 nb 的一个通项公式为  1 3 1 3 2nb n n     ，第5项的图形如 下图所示： （3）设第n项的点数为  nc n N  ， 1 1 3c   ， 2 2 4c   ， 3 3 5c   ， 4 4 6c   ，该数列的第5 项为 5 5 7 35c    ， 数列 nc 的一个通项公式为  2nc n n  ， 第5项的图形如下图所示： 8【答案】 13nna  ,图象见解析 【解析】 0 1 1 3a   ， 1 2 3 3a   ， 2 3 9 3a   ， 3 4 27 3a   ，L，由规律可知 13nna  ， +( N )n 9【答案】C 【解析】 1 1a  ， 1 2 1, 2 2, n n n a n a a n     为奇数， 为偶数，      5 4 3 2 1 12 2 2 2 1 2 4 2 2 8 2 1 8 16 16a a a a a a            ， 10【答案】B 【解析】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第 3 项起， 每一项均为其前 2 项的数之和，则第 9 项：13＋21＝34， 第 10 项：21＋34＝55. 11【答案】ACD 【解析】 1 2 2 11, 3, n n na a a a a     3 2 1 4 3 2 5 4 3 6 5 4, , 2 2 1 3,a a a a a a a a a a a a             ， 7 6 5 8 7 61, 3,a a a a a a        na 为以 6为周期的数列， 且 6 1 3 2 1 3 2 0S        ，而 *n N ，2n被 6 除的余数 只能为0,2,4，所以 2nS 的值只能为 2 41 3 4, 1 3 2 1 5S S        ， 6 0S  ， 故 ACD 正确，B 错误. 12【答案】5050 【解析】观察图像规律发现，三角形数是从 1 开始的连续自 然数的和，1 是第一个三角形数，3 是第二个三角形数，6 是第三个三角形数，10 是第四个三角形数，15 是第五个三 角形数，L，所以第 100 个三角形数是： 1 2 3 4 100 5050      ，故第 100 个三角形数是 5050. 4.2.1.1 等差数列的概念（1） 1【答案】D 【解析】由 3 4na n  ，则 1 3 4 1 1a      ，公差 4d   . 2【答案】B 【解析】在等差数列 na 中， 12 7 172a a a  ，而 7 17 12a a  ， 因此 122 12a  ，所以 12 6a  . 3【答案】D 【解析】由题意： 2 8 5 2 m   . 4【答案】A 【解析】对于 A， 1 3n na a   ，相邻两项的差为常数，是等 差数列；对于 B， 11 3 3 2 3 n n n n na a        ，相邻两项的差 不为常数，不是等差数列；对于 C，  1 2 2 2 1log 1 log logn n na a n n n       ，相邻两项的差不为 常数，不是等差数列；对于 D，  21 22 1 2 4 2n na n n na     ，相邻两项的差不为常数， 不是等差数列； 5【答案】ABD 【解析】根据等差数列的定义，可得： A 中，满足 4 1 7 4 10 7 3      (常数)，所以是等差数列； B 中，满足 lg4 lg2 lg8 lg4 lg16 lg8 lg2      (常数)，所 以是等差数列；C 中，因为 4 5 3 42 2 16 2 2 8       ，不 满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足 8 10 6 8 4 6 2 4 2         (常数)，所以是等差数列. 6【答案】AC 【解析】∵ 1 3a  ， 5d   ，∴    3 1 5 8 5na n n      ， 故 C 正确；数列 na 中项的序号被 4 除余 3 的项是第 3 项， 第 7 项，第 11 项，…，∴ 1 3 7b a   ， 2 7 27b a   ，故 A 正确，B错误；对于 D，设数列 na 中的第m项是数列 nb 中的第 k项，则  3 4 1 4 1m k k     ，∴当 503k  4 503 1 2011m     ，即数列 nb 中的第 503 项是  na 中的第 2011 项，故 D错误. 7【答案】5 【解析】因为 1 3n na a   ,所以 1 3n na a   ,所以数列{ }na 是 等差数列,所以 1 ( 1) 2 ( 1) 3 3 1na a n d n n         ,令 3 1 14na n   ,解得 5n  ,所以 14 是 na 的第 5 项. 8【答案】3 【解析】3 2 2 与3 2 2 的等差中项为 3 2 2 3 2 2 3 2     ． 9【答案】B 【解析】对数列 na ，设 1 2 3 4 51, 2, 200, 4, 5a a a a a     ， 显然满足 2 4 1 5a a a a   ， 但 na 不是等差数列，故充分性不满足；若 na 为等差数 列，设其公差为d ，则 2 4 1 1 52 4a a a d a a     ，故必要性 成立；综上所述，“ 2 4 1 5a a a a   ”是“ na 为等差数列”的必 要不充分条件. 10【答案】AD 【解析】由题知数列 na 为等差数列，所以可知得 1 1 3 3 6 12 a d a d      ，解得 1 2 1 a d    ， 所以 1na n  ，故 A、D正确. 11【答案】100 【解析】由题意，数列满足 1 25, 9a a    ，可得 2 1 4d a a    ，可得这个数列的通项公式为 2 ( 1) 5 ( 1) ( 4) 4 1na a n d n n            ，令 401 4 1n    ，解得 100n  ，即 401 是这个数列的第100项. 12【答案】是，3d，3 1n  【解析】等差数列 na 的首项为 1a ，公差为 d， 若以第 2 项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列  nb ，故 1 3n nb b d  ，即数列 nb 是等差数列，公差为3d， 1 2b a ，则 1 2( 1) 3 3( 1)nb b n d a n d       ， 令 k na b ，即 1 2( 1) 3( 1)a k d a n d     ， 即 1 1( 1) 3( 1)a k d a d n d      ，解得 3 1, Nk n n    ， 即 nb 为数列 na 的第3 1n  项. 4.2.1.2 等差数列的概念（2） 1【答案】D 【解析】因为 1 12, 2n na a a   ，可得数列 na 是以 2为首 项， 2为公差的等差数列， 所以 2 ( 1) 2 2na n n     ，所以 51 2 51 102a    . 2【答案】D 【解析】因为数列{ }na 是等差数列，且 3a ， 7a 是方程 2 2 1 0x x   的两根，所以 3 7 52 2a a a   ，则 5 1a  ． 3【答案】C 【解析】A 选项：因为 na 为等差数列，所以设 1n na a d  （d 为常数），又  1 12 2 2 2n n n na a a a d     ，所以数列  2 na 也为等差数列，故 A 正确；B 选项： 2 2 2 2n na a d  ， 所以数列 2na 为等差数列，故 B 正确；C 选项： 1 1 2n n n n na a a a da   ，不是常数，故 1n na a  不是等差数列， 故 C 错；D 选项：  1 1 2n n n na a a a d     ，所以数列  1n na a  为等差数列，故 D 正确. 4【答案】C 【解析】由题意    3 4 5 6 7 3 7 4 6 5 55 45a a a a a a a a a a a           ，得 5 9a  ，所以 2 8 52 18a a a   ，故 C 正确. 5【答案】ACD 【解析】对 A，由题意 4 2a  ， 4 2 2a a  ，故 2 0a  ，故 A 正确；对 B，因为 1 1a  ， 2 0a  ， 1 2a a ，故 B 错误； 对 C，    *2 1 2 1 2 12 1 1 2 Nn n nna a a na        ，故数列 2 1na  是等差数列，故 C 正确； 对 D，      2 *1 2 1 N2n n n n n na a a a na a         ，故数 列 1n na a  是等差数列，故 D 正确. 6【答案】AD 【解析】 0d  ， 1 0n na a d    ，所以{ }na 是递增数列， 故①正确，    21 11nna n a n d dn a d n        ，当 1 2 d an d   时，数列{ }nna 不是递增数列，故②不正确， 1na a dd n n    ，当 1 0a d  时，{ }n a n 不是递增数列，故③ 不正确， 13 4na nd nd a d    ，因为 0d  ，所以 3na nd 是递增数列，故④正确，故选： AD 7【答案】50 【解析】设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数 列为{an}，则 a1＝11.∵ 数列 5，8，11，…与 3，7，11，… 的公差分别为 3 和 4，∴ {an}的公差 d＝3×4＝12， ∴ an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又 5，8，11，…与 3，7，11，… 的第 200 项分别为 602 和 799，∴ an＝12n－1≤602，即 n≤50.25.又 n∈N*，∴ 两数列有 50 个相同的项． 8【答案】6 【解析】根据等差数列的性质可知， 4 8 5 7 10a a a a   ， 又 5 4a  ，所以 7 10 4 6a    . 9【答案】D 【解析】设等差数列首项为 1 12a   ，公差为d ，由从第10 项起开始为正数，所以 9 10 0 0 a a    ，即 12 8 0 12 9 0 d d       ，解得 4 3 3 2 d  ，故 D 正确. 10【答案】B 【解析】由数列 na 为递增等差数列，则 3 7 4 6 34a a a a    ，且 4 6a a ， 又因为 4 6· 280a a  ，所以 4 14a  ， 6 20a  ， 所以数列 na 的公差 6 4 20 14 3 6 4 2 a ad      ， 1 4 3 14 9 5a a d     ，所以数列 na 的通项公式为  1 1 3 2na a n d n     ，故 B 项正确. 11【答案】196 【解析】被 3 除余 2 且被 5 除余 3 的数构成首项为 8，公差 为 15 的等差数列，则 8 15( 1) 15 7na n n     ，令 15 7 200n   ，解得 13.8n  ，则数列 na 的最大项为 15 13 7 188   ，所以该数列最大项和最小项之和为 188 8 196  ． 12【解析】设等差数列 na 的公差为 d， 则 1 1 1( 1) ( 1) 2 ( 2)k la a a k d a l d a k l d           ， 1( 1) ( 1) 2 ( 2)m n m na a a m d a n d a m n d           ， 因为  , , , Nk l m n k l m n     ，故 1 12 ( 2) 2 ( 2)a k l d a m n d       ，故 k l m na a a a   . 4.2.2.1 等差数列的前 n 项和公式（1） 1【答案】A 【解析】在等差数列 na 中，  1 55 3 5 5 25 2 a a S a     ，所 以 3 5a  ，所以公差 3 2 6d a a   . 2【答案】A 【解析】由等差数列求和公式得 5 1 7 15 10 10, 7 21 7S a d S a d      ，解得 1d   . 3【答案】C 【解析】等差数列 na 中， 4 9 8a a  ，则    91 4 2 1 1 212 12 6 8 48 2 2 a a a a S        . 4【答案】C 【解析】由题意得 3 6 3 9 6, ,S S S S S  成等差数列，即 7 8 99,36 9, a a a  成等差数列， 即   7 8 92 36 9 9 a a a     ，解得 7 8 9 45a a a   . 5【答案】BC 【解析】设等差数列 na 的公差为d ，因为 3 0S  ， 4 6a  ， 所以 1 1 3 23 0 2 3 6 a d a d        ，解得 1 3 3 a d     ， 所以 1 ( 1) 3 3( 1) 3 6na a n d n n         ， 2 1 ( 1) 3 ( 1) 3 93 2 2 2n n n n n n nS na d n        ， 6【答案】AB 【解析】由题意知 1 ( 1) 2 11a n    ①   1 1 2 35 2n n n S na      ②， 由①②解得 1 3a  或 1 1a   . 7【答案】 1 2 【解析】因为 na 是等差数列，且 4 6 6a a  ，则 12 8 6a d  ， ①又 5 10S  ， 1 5 45 10 2 a d   ，②，由①②两式解得， 1 2 d  .所以公差 1 2 d  8【答案】15 【解析】设 6S x ，由等差数列的性质可得  6 3 3 9 62 S S S S S    ， 又 6 3 9 66, 27S S x S S x      ，则  2 6 6 27x x    ，解 得 15x  ． 9【答案】C 【解析】利用等差数列的性质： 2 3 2, ,n n n n nS S S S S  成等差 数列，所以    3 2 22n n n n nS S S S S    ，即    330 100 2 100 30nS    ，解得 3 210nS  . 10【答案】ABC 【解析】公差为d 的等差数列 na 中，其前 n项和为 nS ，且 2 0a  ，则 7 4 412 7S a a   ，解得 4 22 2a a d   ，所以 1d  ， A 选项正确；  2 2 2na a n d n     ，B 选项正确； 4 10 122 8 10a a a     ，C 选项正确； 1 1a   ，   21 3 2 2 n n n a a n nS     ，D 选项错误. 11【答案】78 【解析】依题意，由 2 4 56a a a   ，得 7 6,a  所以 13 713 78S a   . 12【答案】(1) 6 1na n  ； 23 2nS n n  ；(2) 6 5n T n n   ． 【解析】（1）设 na 的公差为d ，因为 1 5 5 3 5( ) 5 85 2 a aS a   ，所以 3 17a  ， 又 6 17a a ，所以  17 3 7 17 2d d   ，解得 6d  ， 所以    3 3 17 3 6 6 1na a n d n n         ，    1 25 6 1 3 2 2 2 n n n a a n n S n n        ． （2）   1 5 5 5 1 1 6 1 6 5 6 6 1 6 5n n n b a a n n n n           ， 所以 5 1 1 1 1 1 1 1 1 6 5 11 11 17 6 7 6 1 6 1 6 5n T n n n n                 5 1 1 6 5 6 5 6 5 n n n        ． 4.2.2.2 等差数列的前 n 项和公式（2） 1【答案】B 【解析】 2 11na n  ， 1 2 1 11 9a      ， 1 (2 11) [2( 1) 11] 2n nd a a n n        ， 数列{ }na 是首项为 9 ，公差为 2 的等差数列，  2 2( 1)9 2 10 ( 5) 25 2n n nS n n n n         ， 前 n项和 nS 取到最小值时， 5n  ， 2【答案】C 【解析】正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这 5 位官员 所分得的俸粮数记为数列 na ，由题意， na 是以 13 为公 差的等差数列，且  5 1 5 45 13 305 2 S a      ，解得 1 87a  ． 故正二品分得俸粮的数量为  3 1 2 13 61a a     （石）． 3【答案】C 【解析】数列{ }na 中，前 n项和 2 1 2 3 2n nS a a a a n n        ， 1n  时， 1 1a  ， 2n  时，    221 2 2 1 1 4 3n n na S S n n n n n             ， 1n  时，也满足，∴ 4 3na n  ，则有 1 4n na a   ，∴数列 { }na 中是首项为 1 公差为 4 的等差数列，则数列 2 1{ }na  中 是首项为 1 公差为 8 的等差数列，其前 n项和   2 1 3 5 2 1 1 8 4 3 2n n n a a a a n n n          . 4【答案】C 【解析】 2 2nS n n  ，当 1n  时， 1 1 3a S  ，当 2n  时， 2 2 1 ( 2 ) ( 1) 2( 1) 2 1n n na S S n n n n n             ，当 1n  时，也满足，∴ 数列 na 的通项公式为 2 1na n  ， 1 1 1 1 1 1 (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n           ， 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 7 9 2 1 2 3n b b b b n n                                         1 1 1 . 2 3 2 3 6 9 n n n        5【答案】CD 【解析】当 2n  时， 1 2 8n n na S S n     ，又 1 1 6 2 1 8     a S ，所以 2 8na n   ，则 na 是递减数 列，故 A 错误； 10 12 a ，故 B 错误；当 4n  时， 8 2 0na n   ，故 C 正确；因为 2 7nS n n   的对称轴为 7 2 n  ，开口向下，而 n是正整数，且 3n  或 4距离对称轴 一样远，所以当 3n  或 4时， nS 取得最大值，故 D正确.故 选：CD. 6【答案】BC 【解析】由 11 18S S 得 12 13 1718 1 8 15 151 1= =7 =0, =0a a a a aS S a     ， 而 1 0a  则 0d  ，所以 14 15S S 是 nS 的最大值，A 选项错误， B 选项正确. 1 2929 15= 29=29 =02 a aS a  ，C 选项正确. 由于 0d  ， na 是单调递减数列，所以 2 1= 2 2n nS d dn a      没有最小值，D 选项错误.故选：BC 7【答案】 6 1na n  【解析】当 1n  时， 1 1 5a S  ，当 2n  时， 2 2 1 3( 1) 2( 1) 3 4 1nS n n n n        ， 所以 2 2 1 3 2 (3 4 1) 6 1n n na S S n n n n n         ，又 1 5a  ， 满足上式，所以 6 1na n  ， 8【答案】 3, 1 2 , 2 n n n    【解析】当 n=1 时，a1=S1=3;当 n≥2 时， an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此时，当 n=1时，2n=2≠3. 所以 an= 3, 1 2 , 2 n n n    9【答案】C 【解析】由等差数列 na 的前 n项和 2nS An Bn  ，依题意 有 2( 1), 2n nS An n T An   ，所以 8 8 7 5 5 472 56 16 , 50 32 18a S S A A A b T T A A A          ,所 以 8 5 a b  8 9 . 10【答案】C 【解析】在等差数列{ na }中，由 19 0S  ，得  1 1919 0 2 a a  ， 则 1 19 102 0a a a   ，又 7 14 10 11 0a a a a    ，∴ 10 0a  ， 11 0a  ，则当 nS 取得最大值时， 10n  ． 11【答案】ABC 【解析】等差数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 23 23 12 23( ) 23 0 2 a a S a     ，所以 12 0a  ， 1 24 24 12 13 24( ) 12( ) 0 2 a aS a a    ，所以 12 13 0a a+ < ，所以 13 0a  且 13 12a a ，所以等差数列 na 是递减数列，且当 12n  时， nS 取得最大值．故 D 正确，ABC 错误． 12【答案】7 【解析】 5 9S S ， 6 7 8 9 0a a a a     即  7 82 0a a  即 7 8 0 a a .又 0d  ，该等差数列为递增数列， 7 80, 0a a   该等差数列的前 7 项为负数，从第 8 项开 始为正数，即前 7 项和最小.当 nS 取最小值时， 7n  . 4.3.1.1 等比数列的概念（1） 1【答案】D 【解析】因为 25 4 6 4a a a  ，所以 5 2a   . 2【答案】B 【解析】在正项等比数列 na ， 2 6 16a a  ，所以 24 2 6 16a a a  ， 所以 4 4a  （ 4 4a   舍去）. 3【答案】C 【解析】由题意得 4 2 6 3 12 36a a a    ，又 2 2 4 2 3 0a a q q   ，故 4 6a  . 4【答案】B 【解析】令等比数列 na 的公比为q，则 47 3a a q ，所以 4 9q  ，解得 2 3q  ，所以 25 3 1 3 3a a q    . 5【答案】ACD 【解析】由等比数列的性质可知 1 5 6m n    ，且 *, Nm n ，所以m，n的可能值为 1m  ， 5n  或 2m  ， 4n  或 3m  ， 3n  或 4m  ， 2n  或 5m  ， 1n  ，则 5mn  ， 或 8mn  ，或 9mn  ，所以mn的值不可能为 6.故选：ACD. 6【答案】AB 【解析】A 选项，由等比数列性质可得 31 5 9 5 64a a a a  ，即 5 4a  ，故 A 正确；B 选项，当 1 1a  时， 45 1 4a a q   ，所 以 2q   ，故 B 正确；C 选项，因为 21 9 5 16a a a  ，所以 1a 和 9a 的等比中项为 4 或-4，故 C 错误；D 选项，当 1 1a  时， 5 94, 16a a  ，故 1 9 17a a  ，D 不正确.故选：AB 7【答案】 11 n na a q  （n为正整数， 0q  ）. 8【答案】 3 【解析】 3 3 4 1 3 81a a q q    ，解得： 3q   ． 9【答案】A 【解析】由等比数列可知    22 2 3 3 , 4x x x x      ， 所以前三项为 4, 6, 9   ，所以第四项为 27 2  ， 10【答案】A 【解析】因为 na 为等比数列，所以 3 7 4 6 1 9a a a a a a  ．所 以  21 9 81a a  ，即 1 9 9a a   ．因为在等比数列 na 中，奇 数项(或偶数项)的符号相同，所以 1 9,a a 同号，故 1 9 9a a  ． 11【答案】ACD 【解析】由题可得 3 5a  ， 3 4b  ，故 A 正确，B 错误； 13nn na b   ， 1 2n n na a b   ， 1 2n n nb b a   ，且有 1 1a  ，1 0b  ， 故有  1 1 1 1 3 , , n n n n n n n n a b a b a b a b             所以 n na b 是以 1 1 1a b+ = 为 首项，3为公比的等比数列， n na b 为常数列，且 1 1 1a b  ， 所以 n na b 是以 1 1 1a b  为首项，1 为公比的等比数列， 故 C 正确；由上可得 13 , 1, n n n n n a b a b       故 1 1 3 1 , 2 3 1 , 2 n n n n a b         所以 2022 2023 3 1 2 b  ，故 D 正确. 12【答案】2 【解析】解：因为 na 的公比为 3，所以 2 4 6 1 3 5 23 a a aa a a      . 4.3.1.2 等比数列的概念（2） 1【答案】B 【解析】由于公比不为 1 的等比数列{ }na 满足 5 7 5a a  ， 4 8 5 7 5a a a a   ， 2 4 8 25ma a a a  ， 2 5ma a  ， 2 5 7m    ， 10m  ． 2【答案】A 【解析】在 9与 243中间插入 2个数，使这 4个数成等比数 列，设等比数列的公比为 q，则 3243 9q ，解得 3q  ，所以 在 9与 243中间插入 2个数为 27、81. 3【答案】A 【解析】因为等比数列 na 满足 3 4 5 8a a a  ，可得 3 3 4 5 4 8a a a a  ，解得 4 2a  ，又因为 4 1 a ， 3 1 a ， 5 1 a 成等差数 列，可得 3 4 5 5 2 1 1 1 1 2a a a a     ，所以 2 1 1 2 2 2q q   ，解得 1 2 q   或 1q  （舍去），所以 4 1 3 2 161 8 aa q      . 4【答案】A 【解析】在等比数列{an}中，由 4 5 6 3a a a  ，得 3 35 53 3a a＝ ， ＝ ， 则 4 4 3 3 1 3 2 3 8 3 9 3 1 2 8 9 3 5 3 4( ) 3 3 log a log a log a log a log aa a a log a log＝ ＝ ．     5【答案】BD 【解析】设等比数列 na 的公比为q， A.由等比数列的性质知 24 2 a q a  ， 48 4 a q a  ，当 1q   时， 2 4q q ，故 A 错误；B.可知数列 1 2a a ， 3 4a a ， 5 6a a 每项 都不为 0，且 43 4 5 6 1 2 3 4 a a a a q a a a a   ，故 B 正确．C.当数列 na 为 1， 1 ，1， 1 ，1……时， 1 2 3 4 5 6 0a a a a a a      ，故 C 错误；D.数列 1 2 3a a a  ， 4 5 6a a a  ， 7 8 9a a a  的每一项 都不为 0，且 34 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 a a a a a a q a a a a a a           ，故 D正确. 6【答案】BD 【解析】正项等比数列{ }na 的公比为q，则 11 nna a q  ， 由 1 2 3 4 5 64, 12a a a a a a  ，得 3 32 54, 12a a  ，B 正确； 而 3 5 2a a q ，于是 3 3 2( ) 12a q  ，即 9 3q  ，A 错误； 而 35 12a  ，则 2 3 4 6 5 2 18a a a  ，C 错误； 由 1 2 3 324n n na a a    ，得 3 2 324na   ，即 3 2( ) 324 na q  ，因为 3 2 4a  ，因此 3 4 9 4 3681 3 ( )nq q q    ，显然 1q  ，所以 3 36n ，解得 12n  ，D 正确.故选：BD 7【答案】112 【解析】  23 4 5 1 2 3a a a q a a a     ，故 27 28q  ，解得 2 4q  ，故  25 6 7 3 4 5 4 28 112a a a q a a a        ． 8【答案】 2 【解析】设 na 的公比为  0q q  ，则 3 2 52 4 5 6a qa a q aa a a   ，显然 0na  ， 则 2 4a q ，即 3 2 1a q q ，则 1 1a q  ，因为 9 10 8a a   ，则 8 9 1 1 8a q a q   ，则    3 315 5 8 2q q     ，则 5 2q   ，则 5 5 7 1 2a a q q q     ， 9【答案】B 【解析】由题 2  3 2  6 2 12a b c  ， ， ，则  2 22 236 3 12 2 2 2 log 2 log 2 2b a c b a c         （ ） （ ） 2 2 22 log 2 log 2 log 2 2 b a c b a c      ，即 a,b,c 成等差 数列，显然等比数列不成立. 10【答案】ABD 【解析】对于 A， 99 100 1 0a a   ， 2 1971 1a q  ，即  2981· · 1a q q  ， 0q  ，又 1 1a  ，又 99 100 1 0 1 a a     ， 99 1a  ，且 1000 1a  ， 100 99 0 1aq a     ，故 A 正确；对于 B， 2 99 101 100 1000 1 a a a a        ， 99 1010 1a a    ，即 99 101 1 0a a   ，故 B 正确； 对于 C，由于 100 99 100T T a  ，而 1000 1a  ，故有 100 99T T ， 故 C 错误；对于 D，由题可知 1 2 99 1001 0a a a a      ， 所以当 99n  时， 1 1n n n T T a   ，即 1n nT T  ，当 100n  时， 1 0 1n n n T a T     ，即 1n nT T  ，∴T99的值是 Tn中最大的. 11【答案】112或 48 【解析】设前三项的公比为 q，后三项的公差为 d，则数列 的各项依次为 2 80 q ， 80 q ，80，80 d ，80 2d ．于是得 2 80 (80 ) 136, 80 (80 2 ) 132. d q d q           解方程组，得 2, 16, q d    或 2 , 3 64. q d       所以�5=�3 + 2�=80+32=112 或�5=�3 + 2�=80-128=-48 12【答案】3 【解析】设 n k 时， na 最大，因为 1 1 3 a  ， 2 1 8 9 a a  ， 所以 1k  所以 3 3 1 1 3 3 1 1 ( 1) 3 3 ( 1) 3 3 k k k k k k k k k k a a a a k k             即 3 3 3 3 3( 1) 3 ( 1) k k k k       ，故  3 3 3 1 3 1 k k k k       ，     3 3 3 3 1 3 3 1 1 k k       ，     3 3 3 3 3.26 3 1 1 2.26 3 1 k k          即 2.26 3.26( )k k Z   ，所以 3k  ，故当 na 取最大值 时， 3n  4.3.2.1 等比数列的前 n 项和公式（1） 1【答案】A 【解析】 5 5 5 1 1 1 23 93 1 1 2 qS a q          2【答案】D 【解析】由题意得 2 21 2 3 9 n n a a    ，故 2na 为首项为 21 1 ，公 比为 9 的等比数列，则  2 2 21 2 1 1 191 9 98 n n na a a       . 3【答案】D 【解析】由 3 64, 12S S  可知公比 1q  ，所以 6 3 36 3 3 1 12 1 3 2 1 4 S q q q S q          ， 因此 12 6 212 12 66 6 1 1 1 2 =5 =5 =5 12=60 1 S q q S S S q          4【答案】A 【解析】 1 2 3 8a a a   ， 3 2 8a   ， 2 2a   ，则公比 2 1 2aq a    ，     5 5 1 1 2 11 1 2 S          ， 2 1 2 1S a a    ， 5 2 11S S    . 5【答案】AB 【解析】等比数列 na 中， 3 6a  ，前三项和 3 18S  ，则 3 3 32 18 a a a q q    ，于是 2 1 1 2 0 q q    ， 解得 1 2 q   或 1 1 q  ，所以公比 q的值为 1 2  或 1. 6【答案】ABD 【解析】等比数列 na 的首项为 1，公比为q，由 3 2 4 4q q q   ，解得 2q   或 1q   或 2q= ， 当 2q   时，由 1 1a  ，得 2 32, 4a a   ，因此 3 3S  ； 当 1q   时，由 1 1a  ，得 2 31, 1a a   ，因此 3 1S  ； 当 2q= 时，由 1 1a  ，得 2 32, 4a a  ，因此 3 7S  ，ABD 可能，C 不可能. 6【答案】5 【解析】设等比数列 na 的公比为q，因为 3 12a  ， 8 3 8 a  ， 所以 5 8 3 3 18 12 32 aq a    ，解得 1 2 q  ，所以 3 1 2 12 481 4 aa q    . 因为 93nS  ，所以 1 11 2 196 1 931 21 2 n n a                      ，所以 1 3 1 2 96 32 n        ，解得 5n  ， 8【答案】12 【解析】法一：设等比数列 na 的公比为q，由 2 44, 8S S  ， 得 3 4 4 2 4a a S S    ，而  2 23 4 1 2 4a a q a a q    ，于是 2 1q  ，所以  26 4 5 6 3 48 8 1 4 12S S a a q a a          ． 法二：因为 na 为等比数列，所以 2 4 2 6 4, ,S S S S S  也成等 比数列，即 64,4, 8S  成等比数列，即 6 12S  . 9【答案】D 【解析】设等比数列 na 的公比为q，则 3 5 2 4270 ( ) 90a a q a a q     ，解得 3q  ， 于是 3 2 4 1 1 190 30a a a q a q a    ，解得 1 3a  ，于是 3 1 3 (1 ) 3 (1 27) 39 1 1 3 a qS q         . 10【答案】D 【解析】设等比数列前3n项和为 x，因为等比数列前n项的 和为 48 且不为零，则 48,60 48, 60x  成等比数列，故  48 60 144x   ，故 63x  ， 11【答案】AB 【解析】由题意可得：等比数列 na 的首项 1 0a  ，公比 0q  ，即 0, 0n na S  ，对 A： 1 0n na a   ，且  12 1 1 1 n nn n n n n n a a qa a q a a a a          ，即 1n na a  为等比数列，A 正确；对 B： 1 0n na a  ，且 2 1 22 1 n n n n n n a a a a a q a       ，即 1n na a 为 等比数列，B 正确；∵   1 1 , 1 1 , 1 1 n n na q S a q q q       ，则有：对 C： 1 1 1 1 1 1 1, 1 1 1 1 , 1 1 n n n n n n n n n n n n nS q na a S S S qa S q S q a q q                ，均不为定值，即 n n S a       不是等比数列，C 错误；对 D： 1 2 2 2 1 2 , 1 1 , 1 1 n n n n n n n n n q nS S S qS S S q q              ，均不为定值，即 1n nS S  不 是等比数列，D 错误； 12【答案】 1 2  【解析】若 1q  ，则由 6 38 7S S 得 1 18 6 7 3a a   ，则 1 0a  ， 不合题意.所以 1q  .当 1q  时，因为 6 38 7S S ，所以    6 31 11 18 7 1 1 a q a q q q        ，即    6 38 1 7 1q q     ，即     3 3 38 1 1 7 1q q q      ，即  38 1 7q   ，解得 1 2 q   . 4.3.2.2 等比数列的前 n 项和（2） 1【答案】C 【解析】记第 n次落地到第 1n 次落地之间球运动的路程为 na 米，则 1 16a  ， 2 16a  ， na 是从第二项起公比为 12 的 等比数列，所以第 6 次着地时球所运动的路程之和 5116 1 2 16 4711 2 S             . 2【答案】B 【解析】 2 1n nS a  ，则 1 1 12 1a S a   ， 1 1a   ；当 2n  时， 1 12 2n n n n na S S a a     ，即 12n na a  ，数列 na 为首 项为 1 ，公比为 2的等比数列， 6 6 1 21 63 1 2 S      . 3【答案】A 【解析】根据题意得从今年起到第 10 年末的该厂年产值依 次构成等比数列，首项为 (1 10%) 1.1a a  ，公比为 1 10% 1.1  ，因此从今年起到第 10 年末的该厂总产值是 10 101.1 (1 1.1 ) 11 (1.1 1) 1 1.1 a a    4【答案】B 【解析】设正方形 n n n nA B C D 的面积为 nS ，则数列 nS 是以 1 为首项， 1 2 为公比的等比数列，数列 nS 的前 n项和 1 11 (1 ) 12 2 21 21 2 n n nT         ，随着 n的无限增大， 1 1 2n 无限 接近于 0，所以所有这些正方形的面积之和将无限接近于 2． 5【答案】AC 【解析】设等差数列{ }na 的公差为d ，对于 A： 1 1 2 2 2 2 n n n n a a a d a     ，则数列 2 na 为等比数列，故 A 正确； 对于 B：若 2 2nnT   ，当 1n  时， 1 1 1 2 2 4T b    ，当 2n  时， 1 1 2 2 n nT     ，则  1 11 2 2 2 2 2n n nn n nb T T         ， 当 1n  时 12nnb  不满足 1 4b  ，所以 1 4, 1 2 , 2n n n b n     ，故  nb 不是等比数列，故 B 错误；对于 C： 1 ( ) 2 n n n a aS  ， 则 1 1 ( ) 2 n n S a a n   ，则 1 1 1 1 1 1( ) 1 2 2 n n n n S S a a a a d n n        ， 故数列 n S n       为等差数列，故 C 正确； 对于 D：令 12nnb  ，则 2 1nnT   ，则 2 1n nn nT   ，则 1 1 1T  ， 2 22 2 2 1 3T    ， 3 3 33 3 2 1 7T    ，显然  23 1 23 1 2T T T  ，故 D 错误； 6【答案】ACD 【解析】 2 1n nS a   Nn  ，① 1 12 1n nS a   ，② 两式作差得： 1 12 2n n na a a   ， Nn  ， 1 2n na a  ， Nn  ， 即 1 2n n a a   ， 1 1 12 1a S a   ， 1 1a   .数列 na 是以 1 为首项，公比为 2的等比数列，则 1 11 2 2n nna       ， 2 1 2 1nn nS a     .由上述内容可知，选项 A，C 正确. 当 5n  时， 55 2 1 31S      ，则选项 B 错误.  1 2nnS - = - ， 1 1 1 2 n nS      ， 1 1 2 1 n n S S     ， 数列{ }1nS - 是首项为 2 的等比数列.则数列{ }1nS - 的前 n项和为   12 1 2 2 2 1 2 n n       ，则选项 D 正确. 7【答案】 1 【解析】当 1n  时， 1 3a t  ，当 2n  时， 11 3 n nS t     ， 所以    1 1 11 3 3 3 3 2 3n n n n nn n na S S t t            ， 又 na 是等比数列，所以 na 是以 2为首项，3为公比的等 比数列， 此数列的前 n项和 2 2 3 3 1 1 3 n n nS       ，则 t的值为 1 . 8【答案】 1( 2)nna   ； 【解析】当 n=1 时，a1=S1= 2 3 a1+ 1 3 ，解得 a1=1,当 n≥2 时， an=Sn-Sn-1=（ 2 1 3 3n a  ）-（ 1 2 1 3 3n a   ）= 2 3 n a - 1 2 3 n a  整理可得 1 3 an ＝− 2 3 an−1，即 1 n n a a  =-2，故数列{an}是以 1 为首项，-2 为公比 的等比数列，故 an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 9【答案】B 【解析】 2 1n nS a  ，则 1 1 12 1a S a   ， 1 1a   ； 当 2n  时， 1 12 2n n n n na S S a a     ，即 12n na a  ， 数列 na 为首项为 1 ，公比为 2的等比数列， 6 6 1 21 63 1 2 S      . 10【答案】BD 【解析】当 1n  时， 2 1 12 2 2a S a   ； 当 2n  时，由 1 2n na S  可得 12n na S  ， 两式相减得 1 2n n na a a  ，所以 1 3n n a a   ，且 2 1 2 3a a   ， 则数列 na 从第二项开始成以 3 为公比的等比数列， 则 2 2 2 3 2 3 n n na a      ，所以 2 1, 1, { 2 3 , 2,n n n a n     则 1 1 2 3 n na     ，所以 A 选项错误，B 选项正确． 由题意可知，数列 na 为单调递增数列，设 p q ，若在数 列 na 中能找到三项 pa ， qa ， ra ，使得 p q ra a a ，则 r q p  且 p，q， *rN ，若 1p  ，则 p ra a ，这与数列 na 单调 递增矛盾，若 2p  ，则 2 2 42 3 2 3 4 3p q p qp qa a          ， 22 3rra   ，由 p q ra a a ，可得 4 22 3 3p q r    ， 由于 42 3p q  能被 2 整除， 23r 不能被 2 整除，故 C 选项错 误；因为 2 1, 1, 1 { 1 , 2, 2 3n n n a n     所以 1 1T  ； 当 2n  时， 2 2 1 1 1 1 1 11 2 2 3 2 3 2 3 1 11 3 1 3 72 31 1 1 11 4 3 4 41 3 n n n n T                             故选项 D 正确． 11【答案】9920 【解析】由题知， 1 1200c  ， 2 11.05 100c c  ， 3 21.05 100c c  ，， 1 1.05 100n nc c   ， 由  1n nc k r c k    得 1n nc rc rk k    ， 则 1.05 100 r k rk      ，解得 1.05 2000 r k    ， 所以  1 2000 1.05 2000n nc c    ， 则 2000nc  是以 800 为首项，1.05为公比的等比数列， 因 1 2 102000 2000 2000c c c       10800 1 1.05 10080 1 1.05       ， 所以 10 1 2 10 20000 10080 9920S c c c       . 故答案为：9920 12【答案】(1)    20 1 10% 12 5nnc n     (2)    29 5220 1.1 1 2 n n n n S      (3)第3到第9年不需要用填埋方式处理. 【解析】（1）由题意可知    20 1 10% 12 5nnc n     （2）由（1）可知         220 1.1 1.1 1.1 17 22 12 5 1.1 1 1.1 17 12 5 20 1 1.1 2 n n n S n n n                    化简可得    29 5220 1.1 1 2 n n n n S      （3）当 1n  时，  120 1.1 12 5 1 5 0nc        当 2n  时，  220 1.1 12 5 2 2.2 0nc        当 3n  时，  320 1.1 12 5 3 0nc       L 当 9n  时，  920 1.1 12 5 9 0nc       所以第3到第9年不需要. 4.4数学归纳法 1【答案】C 【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由 n k 到 1n k  时，等式左边增加了           1 2 3 2 2 1 2 1 1 2 3 2 2 1 2 2 k k k k k k                      2【答案】C 【解析】由题知， *3,n n N  即 n的最小值为 3，∴第一步 验证 n=3 时，不等式是否成立. 3【答案】B 【解析】根据数学归纳法的证明步骤，注意 n为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设 *2 1( N )n k k   正确， 再推 2 1n k  正确；故选：B． 4【答案】C 【解析】由题意，当 1n  时，左边 1 21 3 ( 1) (2 1 3)        1 3 5    5【答案】BD 【解析】易知当 1n  时，该同学的证法正确.从 n k 到 1n k  的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合 数学归纳法的证题要求，故推理不正确. 6【答案】ABC 【解析】因为 1 10a  ， 21n na a  ，所以 2 2 2 1 10a a  ，   222 2 2 2 23 2 10 10 10a a     ，   322 2 2 2 2 2 24 3 10 10 10a a       ，可猜想 1210 nna  ，当 1n  时， 1210 n na   成立，假设 n k 时 1210 k ka   ，所以  1 122 2 2 2 21 10 10 10k k kk ka a        也成立，所以 1210 nna  ， 故 A 正确；因为 1 2 2 , , n n n a n b a n      为奇数 为偶数 ，所以 12 2 2 2 10 n n n nb a a     ， 12 2 1 2 1 1 2 10 n n n nb a a       ，故 2 2 1n nb b  ， 故 B 正确； 0 1 2 1 0 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 10 10 10 10 10 n n na a a a              其中  0 1 2 1 1 1 22 2 2 2 2 1 1 2 n n n           ，所以 0 1 2 12 2 2 2 2 1 1 2 3 10 10 10 10 10 n n na a a a          ，故 C 正确； 1 2 3 4 5 6 2 1 2n nb b b b b b b b             1 2 3 4 5 6 2 1 2n nb b b b b b b b                    0 1 2 1 0 1 2 12 2 2 2 2 2 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 2 110 10 10 10 10 10 10 nn n n             ， 故 D 错误； 7【答案】1＋2＋22＋L＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 【解析】因为由 n＝k到 n＝k＋1 时，等式的左边增加了一 项，该项为 2k ，所以当 n＝k＋1 时应得到的式子为 1＋2＋ 22＋L＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 8【答案】当 1n  时，等式1 2 3 (1 1)(2 1 1)      成立. 【解析】根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证 明的命题为：当 1n  时，等式1 2 3 (1 1)(2 1 1)      成立 9【答案】A 【解析】由 1 2 3 1 2 1 8 1 213 3 3 3 8 a a a a a       ， ， ，且 0 3na  ，显然 1 2 3a a a  成立， 假设 3n k  ， 1k ka a  成立，当 1n k  时，则 1 2 1 1 1 1 1 1 1 13 0k kkk k k k k k k a aa a a a a a a a               ，所以 1 2k ka a  ，故 na 为递减数列. 10【答案】D 【解析】因为 n k 时，左边最后一项为 2 ( 1)k k  ，当 1n k  时，最后一项为 2 ( 1)( 2)k k  ，由此即可得到结论，所以 n k 到 1n k  ，不等式左边需要添加的项为 2 ( 1)( 2)k k  ． 11【答案】ABD 【解析】选项 A，因为若 1 1a  ， 1 12 , 2n n a n a     ，所以 1 2 12 1a a    ， 3 2 12 1a a    ，…， 1 12 1n n a a     ，即 1na  ， *Nn ，  na 是等比数列，故 A 正确； 选项 B，令 1 1 1 1 1 , 211 12 1 n n n n n ab n a a a           ，而 1 1 1 1n n b a    ， 1 1 1 1 1 1, 2 1 1 n n n n n ab b n a a             ，又 1 1 1 1 , 1 1 b a a     ，数列 nb 是以 1 为公差的等差数列， 故 B 正确；选项 C，由选项 B 的结论及 1 2a  可知： 1 1 ( 1) 1n n a     1 n  ， 11na n    ，显然，数列 na 在 *Nn 上单调递减，故当 1n  时， na 有最大值 2，没有最小 值，故 C 错误；选项 D，用数学归纳法证明1 2na  ， (1) 当 1n  时， 11 2a  ， (2)假设当 n k ， *Nk  时，不等式成立，即1 2ka  ，即 1 1 1 2 ka   ，当 1n k  时， 1 1 32 1, 2k k a a        ，满足 11 2ka   ，故当 1n k  时，不等式也成立， 综合(1)(2)，对任意 *Nn ，有1 a 2n ， 下面证明 1n na a  ， 1 1 1 12 2 2 2 0n n n n n n n n a a a a a a a a                 ， 1 2na  ，上面不等式中的等号不成立， 1 0n na a   ， 1n na a  ，故 11 2n na a   ，故 D 正确． 12【解析】⑴当 1n  时， 3 5 6n n  ，显然能够被 6整除， 命题成立； ⑵假设当 n k 时，命题成立，即 3 35 5n n k k   能够被 6整除，当 1n k  时，         33 3 2 3 5 1 5 1 3 3 1 5 5 5 3 1 6 n n k k k k k k k k k k                 由假设知： 3 5k k 能够被 6整除， 而  1k k  为偶数，故  3 1k k  能够被 6整除， 故        3 31 5 1 5 3 1 6k k k k k k        能够被 6 整除，即当 1n k  时，命题成立， 由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即 3 (5 *)n n n N  能 够被 6整除． 第四章单元测试 1【答案】D【解析】方法一：利用等差数列的基本量 由 9 1S  ，根据等差数列的求和公式， 9 1 1 9 89 1 9 36 1 2 S a d a d      ， 又 3 7 1 1 1 1 2 22 6 2 8 (9 36 ) 9 9 a a a d a d a d a d          . 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质， 1 9 3 7a a a a   ，由 9 1S  ，根据 等差数列的求和公式， 1 9 3 7 9 9( ) 9( ) 1 2 2 a a a aS     ，故 3 7 2 9 a a  . 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差 0d  ，则 9 1 1 11 9 9 S a a    ，则 3 7 1 22 9 a a a   .故选：D 2【答案】A【解析】 { }na 为等差数列，设首项为 1a ，公差 为d ，由已知有 15 10 20a d  ， 1 2 4a d   ， 即 13 2 4a a d  ． 3【答案】A【解析】设等差数列 na 的公差  0d d  ，∵ 等差数列 na 的首项为 1， 2 3 6, ,a a a 成等比数列， ∴ 23 2 6a a a  ，∴      2 1 1 12 5   a d a d a d ，且 1 1a  ， 0d  ，解得 2d   ，∴ na 前 6 项的和为 6 1 6 5 6 56 6 1 2 24 2 2 （ ）           S a d .故选：A. 4【答案】D【解析】[方法一]:常规解法 因为  * 1,2,k k  N  ，所以 1 1 2 1     ， 1 1 2 1 1 1     ， 得到 1 2b b ，同理 1 1 2 2 3 1 1 1        ，可得 2 3b b ， 1 3b b 又因为 2 2 3 4 1 1 ,1 1        1 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1             ， 故 2 4b b ， 3 4b b ；以此类推，可得 1 3 5 7b b b b   …， 7 8b b ，故 A 错误； 3 7 8b b b  ，故 B 错误； 2 6 2 3 1 1 1 1       … ，得 2 6b b ，故 C 错误； 1 1 2 3 7 2 6 4 1 1 1 1 1 1               … ，得 4 7b b ，故 D 正确. [方法二]：特值法不妨设 1,na  则 1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 8 13 21 34 55b 2,b b , b b , b b , b 2 3 5 8 13 21 34        ， ， ， ， 4 7b b 故 D 正确. 5【答案】C【解析】由题知  2 3 4 21 5 1 4q q q q q q        , 即 3 4 24 4q q q q   ,即 3 2 4 4 0q q q    ,即 ( 2)( 1)( 2) 0q q q    .由题知 0q  ,所以 2q= .所以 4 1 2 4 8 15S      . 6【答案】B【解析】依题意，等差数列{ }na 中， 1 1 2π 2π 2π( 1) ( ) 3 3 3n a a n n a       ， 显然函数 1 2π 2πcos[ ( )] 3 3 y n a   的周期为 3，而 Nn  ，即 cos na 最多 3 个不同取值，又{cos | N } { , }na n a b   ，则在 1 2 3cos ,cos ,cosa a a 中， 1 2 3cos cos cosa a a  或 1 2 3cos cos cosa a a  或 1 3 2cos =cos cosa a a 于是有 2πcos cos( ) 3    或 4πcos cos( ) 3    ， 即有 2π( ) 2 π, Z 3 k k     ，解得 ππ , Z 3 k k    ； 或者 4π( ) 2 π, Z 3 k k     ，解得 2ππ , Z 3 k k    ； 所以 Zk ， 2π π 4π π π 1cos( π ) cos[( π ) ] cos( π ) cos π cos π cos 3 3 3 3 3 2 ab k k k k k           或 2π 1cos( π )cos π 3 2 ab k k    . 7【答案】C【解析】方法 1，甲： na 为等差数列，设其首 项为 1a ，公差为d ，则 1 1 1 1 ( 1) 1, , 2 2 2 2 1 2 n n n n S S Sn n n d d dS na d a d n a n n n            ， 因此{ }n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{ }n S n 为等差数列，即 1 1 1( 1) 1 ( 1) ( 1) n n n n n nS S nS n S na S n n n n n n           为常数，设为 t， 即 1 ( 1) n nna S t n n     ，则 1 ( 1)n nS na t n n    ，有 1 ( 1) ( 1), 2n nS n a t n n n       ， 两式相减得： 1 ( 1) 2n n na na n a tn    ，即 1 2n na a t   ， 对 1n  也成立，因此 na 为等差数列，则甲是乙的必要条 件，所以甲是乙的充要条件，C 正确. 方法 2，甲： na 为等差数列，设数列 na 的首项 1a ，公差 为d ，即 1 ( 1) 2n n nS na d  ，则 1 1 ( 1) 2 2 2 nS n d da d n a n       ，因此{ }n S n 为等差数列，即 甲是乙的充分条件；反之，乙：{ }n S n 为等差数列，即 1 1, ( 1)1 n n nS S SD S n D n n n        ， 即 1 ( 1)nS nS n n D   ， 1 1( 1) ( 1)( 2)nS n S n n D      ， 当 2n  时，上两式相减得： 1 1 2( 1)n nS S S n D    ，当 1n  时，上式成立， 于是 1 2( 1)na a n D   ，又 11 1 [2 2( 1) ] 2n na a a nD a n D D        为常数， 因此 na 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 8【答案】C 【解析】根据题意，设等差数列 na 的公差为d ，依次分析 选项： na 是等差数列，若 6 7S S ，则 7 6 7 0S S a   ，故 B 正确；又由 5 6S S 得 6 5 6 0S S a   ，则有 7 6 0d a a   ， 故 A 正确；而 C 选项， 9 5S S ，即 6 7 8 9 0a a a a    ，可 得  7 82 0a a  ，又由 7 0a  且 0d  ，则 8 0a  ，必有 7 8 0a a  ，显然 C 选项是错误的.∵ 5 6S S ， 6 7 8S S S  ， ∴ 6S 与 7S 均为 nS 的最大值，故 D 正确； 9【答案】ABD 【解析】因为 1 11, 2 3 n n n aa a a    ，所以 1 2 31 2n n n n a a a a    +3， 所以 1 1 13 2 3 n na a         ，又因为 1 1 3 4 a   ，所以数列 1 3 na       是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，故 A 正确； 1 11 3 4 2 2n n na      ，即 1 1 2 3n n a   ，故 B 正确； 因为           1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 31 1 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 n n n n n n n n n n n a a                          ， 因为 1n  ，所以 2 1 1 02 3 0,2 3 0,2n n n     ， 所以 1 0n na a   ，所以 na 为递减数列，故 C 错误； 12 31 n na   ，则    2 3 4 1 2 4 1 2 2 2 2 2 3 3 2 3 4 1 2 n n n nT n n n                 ， 故 D 正确. 10【答案】ACD 【解析】等差数列 na 中， 1 0a  ， 对于 A， 3 7 4a a  ， 1 9 3 79 8 9( 1) 9( ) 2 2 S a a a a    ，A 正确； 对于 B， 1 1515 8 15( ) 15 0 2 a aS a   ，则 8 0a  ， 1 16 16 8 9 16( ) 8( ) 0 2 a aS a a    ，则 8 9 0a a  ， 9 8 0a a   ， 因此 2 2 8 9 8 9 8 9( )( ) 0a a a a a a     ，即 2 2 8 9a a ，B 错误； 对于 C，    5 6 3 4 1 22 13a a a a a a      ，则    7 8 5 6 3 42 17a a a a a a      ，C 正确； 对于 D，设 na 的公差为d ，由 8 10a S ，得 1 17 10 45a d a d   ，解得 1 9 38 d a  ，则 9 1 1 1 189 36 9( ) 0 19 S a d a a     ， 10 1 1 815(2 ) 0 38 S a a   ，D 正确. 11【答案】ACD 【解析】对于 A 选项，   0 1 kn a a a     ， 1 2 1 0 1 12 2 2 2 2 k k k kn a a a a           ， 所以，    0 12 kn a a a n      ，A 选项正确； 对于 B 选项，取 2n  ， 0 1 22 3 7 1 2 1 2 1 2n        ，  7 3  ，而 0 12 0 2 1 2    ，则  2 1  ，即    7 2 1   ，B 选项错误；对于 C 选项， 3 4 3 0 2 3 4 3 0 1 0 18 5 2 2 2 5 1 2 1 2 2 2 2 k k k kn a a a a a a                       ， 所以，   0 18 5 2 kn a a a       ， 2 3 2 0 1 2 3 2 0 1 0 14 3 2 2 2 3 1 2 1 2 2 2 2 k k k kn a a a a a a                       ， 所以，   0 14 3 2 kn a a a       ，因此，    8 5 4 3n n    ，C 选项正确； 对于 D选项， 0 1 12 1 2 2 2n n      ，故  2 1n n   ，D 选项正确. 12【答案】 2 【解析】设 na 的公比为  0q q  ，则 3 2 52 4 5 6a qa a q aa a a   ，显然 0na  ， 则 2 4a q ，即 3 2 1a q q ，则 1 1a q  ，因为 9 10 8a a   ，则 8 9 1 1 8a q a q   ，则    3 315 5 8 2q q     ，则 5 2q   ，则 5 5 7 1 2a a q q q     13【答案】 23 2n n 【解析】因为数列 2 1n  是以 1 为首项，以 2 为公差的等 差数列，数列 3 2n 是以 1 首项，以 3 为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列 na 是以 1 为首 项，以 6 为公差的等差数列， 所以 na 的前 n项和为 2 ( 1)1 6 3 2 2 n nn n n     ， 14【答案】 7 【解析】 2 ( 1) 3 1 n n na a n     ，当 n为奇数时， 2 3 1n na a n    ；当 n为偶数时， 2 3 1n na a n    .设数列  na 的前 n项和为 nS ， 16 1 2 3 4 16S a a a a a      1 3 5 15 2 4 14 16( ) ( )a a a a a a a a         1 1 1 1 1 1( 2) ( 10) ( 24) ( 44) ( 70)a a a a a a           1 1( 102) ( 140) (5 17 29 41)a a        1 18 392 92 8 484 540a a      ， 1 7a  . 15【答案】(1) 3na n (2) 51 50 d  【解析】（1） 2 1 33 3a a a  ， 13 2d a d   ，解得 1a d ， 3 2 13 3( ) 6d dS a a   ，又 3 1 2 3 2 6 12 9 2 3 T b b b d d d d        ， 3 3 96 21S T d d      ， 即 22 7 3 0d d   ，解得 3d  或 1 2 d  （舍去）， 1 ( 1) 3na a n d n      . （2） { }nb 为等差数列， 2 1 32b b b   ，即 2 1 3 12 2 12 a a a   ， 2 3 2 3 1 1 1 6 16( ) d a a a a a     ，即 2 21 13 2 0a a d d   ，解得 1a d 或 1 2a d ， 1d  ， 0na  ，又 99 99 99S T  ，由等差数列 性质知， 50 5099 99 99a b  ，即 50 50 1a b  ， 50 50 2550 1a a    ， 即 2 50 50 2550 0a a   ，解得 50 51a  或 50 50a   （舍去） 当 1 2a d 时， 50 1 49 51 51a a d d    ，解得 1d  ，与 1d  矛 盾，无解；当 1a d 时， 50 1 49 50 51a a d d    ，解得 51 50 d  . 综上， 51 50 d  . 16【解析】（1）设等差数列 na 的公差为d ，而 6, 2 1 , N 2 , 2 n n n a n k b k a n k      ， 则 1 1 2 2 1 3 3 16, 2 2 2 , 6 2 6b a b a a d b a a d          ， 于是 4 1 3 1 4 6 32 4 4 12 16 S a d T a d         ，解得 1 5, 2a d  ， 1 ( 1) 2 3na a n d n     ， 所以数列 na 的通项公式是 2 3na n  . （2）方法 1：由（1）知， 2 (5 2 3) 4 2n n nS n n    ， 2 3, 2 1 , N 4 6, 2n n n k b k n n k       ， 当 n为偶数时， 1 2( 1) 3 4 6 6 1n nb b n n n         ， 213 (6 1) 3 7 2 2 2 2n n nT n n     ， 当 5n  时， 2 23 7 1( ) ( 4 ) ( 1) 0 2 2 2n n T S n n n n n n        ， 因此 n nT S ，当 n为奇数时， 2 2 1 1 3 7 3 5( 1) ( 1) [4( 1) 6] 5 2 2 2 2n n n T T b n n n n n             ， 当 5n  时， 2 23 5 1( 5) ( 4 ) ( 2)( 5) 0 2 2 2n n T S n n n n n n          ， 因此 n nT S ，所以当 5n  时， n nT S . 方法 2：由（1）知， 2 (5 2 3) 4 2n n nS n n    ， 2 3, 2 1 , N 4 6, 2n n n k b k n n k       ，当 n为偶数时， 1 3 1 2 4 2 ( ) ( ) 1 2( 1) 3 14 4 6 3 7 2 2 2 2 2 2 n n nT b b b b b b n n n n n n                       当 5n  时， 2 23 7 1( ) ( 4 ) ( 1) 0 2 2 2n n T S n n n n n n        ， 因此 n nT S ，当 n为奇数时，若 3n  ，则 1 3 2 4 1( ) ( ) 1 2 3 1 14 4( 1) 6 1 2 2 2 2 n n nT b b b b b b n n n n                       23 5 5 2 2 n n   ，显然 1 1 1T b   满足上式，因此当 n为奇数 时， 23 5 5 2 2n T n n   ，当 5n  时， 2 23 5 1( 5) ( 4 ) ( 2)( 5) 0 2 2 2n n T S n n n n n n          ，因此 n nT S ，所以当 5n  时， n nT S . 17【解析】（1）∵ 1 1a  ，∴ 1 1 1S a  ,∴ 1 1 1S a  , 又∵ n n S a       是公差为 1 3 的等差数列， ∴   1 21 1 3 3 n n S nn a      ,∴  2 3 n n n a S   , ∴当 2n  时，   11 1 3 n n n a S    ， ∴     1 1 2 1 3 3 n n n n n n a n a a S S        , 整理得：     11 1n nn a n a    ,即 1 1 1 n n a n a n    , ∴ 3 12 1 1 2 2 1 n n n n n a a aaa a a a a a          13 4 11 1 2 2 1 2 n nn n n n          ， 显然对于 1n  也成立， ∴ na 的通项公式   1 2n n n a   ； （2）   1 2 1 12 , 1 1na n n n n        ∴ 1 2 1 1 1 na a a    1 1 1 1 1 12 1 2 1 2 2 2 3 1 1n n n                                    18【解析】（1）因为2 n nS na ， 当 1n  时， 1 12a a ，即 1 0a  ； 当 3n  时，  3 32 1 3a a  ，即 3 2a  ， 当 2n  时，  1 12 1n nS n a   ，所以    1 12 21n n nn nS S ana n a    ， 化简得：     12 1n nn a n a    ，当 3n  时， 1 3 1 1 2 2 n na a a n n        ，即 1na n  ， 当 1, 2n  时都满足上式，所以  *1 Nna n n   ． （2）因为 1 2 2 n n n a n  ，所以 1 2 31 1 1 11 2 3 2 2 2 2 n nT n                                 ， 2 3 11 1 1 1 11 2 ( 1) 2 2 2 2 2 n n nT n n                                   ， 两式相减得， 1 2 3 1 11 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 11 2 2 2 211 n n n n n n nT                                                         11 1 2 2 nn          ，即   12 2 2 n nT n         ， *Nn ． 19【解析】（1）[方法一]【最优解】： 显然 2n为偶数，则 2 1 2 2 2 2 12, 1n n n na a a a      ， 所以 2 2 2 3n na a   ，即 1 3n nb b   ，且 1 2 1+1 2b a a   ， 所以 nb 是以 2 为首项，3 为公差的等差数列， 于是 1 22, 5, 3 1nb b b n    ． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知 1 2 31, 2, 4a a a   ，所以 1 2 2 4 32, 1 5b a b a a      ． 由 1 1n na a   （n为奇数）及 1 2n na a   （ n为偶数）可知， 数列从第一项起， 若 n为奇数，则其后一项减去该项的差为 1， 若 n为偶数，则其后一项减去该项的差为 2． 所以 * 2 3( )n na a n N    ，则  1 1 3 3 1nb b n n      ． [方法三]：累加法 由题意知数列 na 满足 *1 1 3 ( 1)1, ( ) 2 2 n n na a a n      N ． 所以 1 1 2 1 3 ( 1) 1 1 2 2 2 b a a        ， 3 2 2 4 3 3 2 2 3 ( 1) 3 ( 1)1 1 2 1 2 3 5 2 2 2 2 b a a a a a                 ， 则 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 +n n n n n nb a a a a a a a a a                     1 2( 1) 1 3 1n n n      ． 所以 1 22, 5b b  ，数列 nb 的通项公式 3 1nb n  ． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 20 1 2 3 20 1 3 5 19 2 4 6 20+ + + + + + + +( ) ( )S a a a a a a a a a a a a       1 2 3 10 1 2 3 10( 1 1 1 1)b b b b b b b b              1 10( ) 102 10 300 2 b b      ． [方法二]：分组求和 由题意知数列 na 满足 1 2 2 1 2 1 21, 1, 2n n n na a a a a      ， 所以 2 1 2 2 12 3n n na a a     ． 所以数列 na 的奇数项是以 1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由 2 2 2 1 21 3n n na a a     知数列 na 的偶数项是以 2 为首项，3 为公差的等差数列． 从而数列 na 的前 20 项和为： 20 1 3 5 19 2 4 26 0( ) ( )S a a a a a a a a           10 9 10 910 1 3 10 2 3 300 2 2            ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 第四章4.1.1 数列的概念(1) A组：基础巩固 1、 选择题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 2．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 4．已知数列的通项公式为，则 是该数列的第（    ）项 A．10 B．7 C．5 D．8 二、多选题 5．数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 6．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 三、填空题 7．已知数列，，，，，，，，，，，，则该数列的第项为 . 8．已知数列的通项公式为，，则它的第项是 . B组：能力提升 9．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 10．（多选）若数列的前项分别为，，，，则这个数列的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 11．数列  的一个通项公式为 . 12．数列中，，则此数列最大项的值是 . 4.1.2 数列的概念(2) A组：基础巩固 一、选择题 1．已知数列中，，，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．28 C．32 D．48 3．记为数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的通项公式，则123是该数列的第（    ）项. A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 5．在数列中，， 则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 6．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填上第项的图形和点数． (1) (2) (3) 12． 下图中的三角形称为谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形．图中从左向右的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前4项，写出数列的一个通项公式________    B组：能力提升 9．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要少移动的次数，数列满足且则解下5个环所需要最少移动的次数为（    ） A．7 B．10 C．16 D．31 10．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，….则该数列的第10项为（    ） A．34 B．55 C．68 D．89 11．（多选）在数列中，为的前项和，则的值可以为（    ） A．0 B．3 C．4 D．5 12．把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以依次排成如图所示的相应边长的正三角形（其中，假定1个圆点排成的正三角形的边长为0），则第100个三角形数是 ． 4.2.1.1 等差数列的概念（1） A组：基础巩固 一、选择题 1．已知等差数列的通项公式为，则（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 4．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 6．在无穷等差数列中，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列，则（    ） A． B． C． D．中的第503项是中的第2020项 三、填空题 7．数列中，，，则14是 的第 项． 8．与的等差中项为 ． B组：能力提升 9．已知数列，则“”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．是不是等差数列的项，如果是，是第______项. 12．已知等差数列的首项为，公差为d，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，那么这个数列是等差数列吗？若是，求其公差，其中为数列的第几项？ 4.2.1.2 等差数列的概念（2） A组：基础巩固 一、选择题 1．在数列中，，，则的值为（    ） A．96 B．98 C．100 D．102 2．已知为等差数列，且，为方程的两根，则（   ） A． B． C． D．1 3．若数列为等差数列，则下列说法中错误的是（    ） A．数列，，，…，…为等差数列 B．数列，，，…，，…为等差数列 C．数列为等差数列 D．数列为等差数列 4．在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 二、多选题 5．对于数列，若，， （），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 6．下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（    ）. A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 三、填空题 7．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有200项，则它们的公共项的个数有____． 8．已知为等差数列，，则 . B组：能力提升 9．首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 11．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 12．设，，，是等差数列的项，且．求证：． 4.2.2.1 等差数列的前n项和公式（1）A组：基础巩固 一、选择题 1．已知等差数列的前5项之和为25，，则公差为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 2．记等差数列的前项和为，已知，则公差（    ） A．-1 B． C． D．2 3．已知等差数列中，，则（     ） A．24 B．36 C．48 D．96 4．设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 二、多选题 5．设等差数列的前项和为．若，，则（     ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，，， ，则 等于（    ） A．－1 B．3 C．5 D．7 三、填空题 7．已知是等差数列，其前5项和．则其公差 ． 8．等差数列的前项和为，若，，则 ． B组：能力提升 9．等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（   ） A．130 B．170 C．210 D．260 10．（多选）已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．设等差数列的前n项和为，已知，则 . 12．记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 4.2.2.2 等差数列的前n项和公式（2） A组：基础巩固 一、选择题 1．已知数列，通项公式为，那么 的最小值是（    ）． A． B． C． D． 2．中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（    ） A．35石 B．48石 C．61石 D．74石 3．已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当或4时，取得最大值 6．设等差数列的前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（    ） A．是唯一最大值 B．是最大值 C． D．是最小值 三、填空题 7．等差数列中，若，则通项 . 8．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1，则 . B组：能力提升 9．两等差数列，的前n项和分别为，，且，则　　 A． B． C． D．2 10．设等差数列{}的前n项和为，若，则当取得最大值时，＝（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 12．设等差数列的前n项和为，公差，，则当取最小值时， ． 4.3.1.1 等比数列的概念（1） A组：基础巩固 一、选择题 1．在等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．正项等比数列，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为（    ） A．4 B． C．6 D． 4．在等比数列中，，则（    ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．或 二、多选题 5．在公比不为1的等比数列中，若，则的值可能为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 6．设公比为的等比数列，若，则（    ） A． B．当时， C．和的等比中项为4 D． 三、填空题 7．等比数列的通项公式为 ． 8．在等比数列中，已知，，则公比 ． B组：能力提升 9．等比数列…的第四项为（    ） A． B． C．-27 D．27 10．在等比数列中，，则的值为（    ） A．9 B． C． D．18 11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列为等比数列 D．图②中第2023行的黑心圈的个数是 12．已知等比数列的公比为3，且，则 . 4.3.1.2 等比数列的概念（2） A组：基础巩固 一、选择题 1．公比不为1的等比数列满足，若，则正整数m的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2.在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，则这两个数为（ ） A．27、81 B．-27、81 C．27、-81 D．-27、-81 3．设是公比不为1的等比数列，，，，成等差数列，则（    ） A． B． C．16 D． 4．在由正数组成的等比数列 中，若，的为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 6．在正项等比数列中，公比为，已知，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．若等比数列满足，，则 ． 8．已知为等比数列，，，则 . B组：能力提升 9．2 a= 3，2 b = 6，2 c =12，则a , b , c成（　　） A．等比数列但不是等差数列 B．等差数列但不是等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 10．（多选）等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的 11.数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．则= ． 12. 已知数列的通项公式为，当取得最大值时，n=____． 4.3.2.1 等比数列的前n项和公式（1） A组：基础巩固 一、选择题 1．已知等比数列{an}的首项，公比，则等于（    ） A．93 B．－93 C．45 D．－45 2．已知等比数列的首项为1，公比为3，则（   ） A． B． C． D． 3．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．32 B．28 C．48 D．60 4．设为等比数列的前项和，且，则等于（    ） A． B． C．5 D．11 二、多选题 5．在等比数列中，，前三项和，则公比q的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．已知等比数列的首项为1，公比为，前 项和为，若，则的值可能为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 三、填空题 7．已知等比数列满足，，若 的前n项和，则 ． 8．已知等比数列的前项和为，则 ． B组：能力提升 9．已知等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．12 B．24 C．36 D．39 10．一个等比数列前项的和为48，前项的和为60，则前项的和为（    ）． A．83 B．108 C．75 D．63 11．记正项等比数列的前n项和为，则下列数列为等比数列的有（    ） A． B． C． D． 12．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 4.3.2.2 等比数列的前n项和（2） A组：基础巩固 一、选择题 1．某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从16米高处下落，每次着地后又弹回原来高度的一半再落下，则第6次着地时乒乓球所运动的路程之和为（   ） 米. A．31 B．31.5 C．47 D．63 2．记为数列的前项和.若，则=（    ） A．63 B． C．32 D． 3．某厂去年产值是a亿元，计划今后十年内年产值平均增长率是10%．则从今年起到第10年末的该厂总产值是（    ） A．11（1.110﹣1）a亿元 B．10（1.110﹣1）a亿元 C．11（1.19﹣1）a亿元 D．10（1.19﹣1）a亿元 4．如图，正方形的边长为1，记其面积为，取其四边的中点，，，，作第二个正方形，记其面积为，然后再取正方形各边的中点，，，，作第三个正方形，记其面积为，如果这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面积之和，则面积之和将无限接近于（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 5．已知等差数列与等比数列的前n项和分别为，，则下列结论正确的有（ ） A．数列是等比数列 B．可能为 C．数列是等差数列 D．数列是等比数列 6． 已知数列的前项和为， ，则下列选项中正确的是（    ） A． B． B． C．数列是等比数列 D．数列的前项和为 三、填空题 7．若是等比数列，且前项和为，则 . 8．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an= . B组：能力提升 9．记为数列的前项和.若，则=（    ） A．63 B． C．32 D． 10．（多选）是数列的前项的和，且满足，，则下列说法正确的是（  ） A．是等比数列 B． C．中能找到三项，，使得 D．的前项的和 11．某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为数列，且满足递推公式：为数列的前项和，则 （答案精确到1）. 12．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中8万吨垃圾以填埋方式处理，12万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨． (1)请写出今年起第n年用填埋方式处理的垃圾量的表达式； (2)求从今年起n年内用填埋方式处理的垃圾量的总和； (3)预计今年起9年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾． 4.4数学归纳法 A组：基础巩固 一、选择题 1．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ） A． B． C． D． 2．用数学归纳法证明，第一步验证（    ） A．n=1 B．n=2 C．n=3 D．n=4 3．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　） A.假设正确，再推正确 B.假设正确，再推正确 C.假设正确，再推正确 D.假设正确，再推正确 4．用数学归纳法证明下列等式： 要验证当时等式成立，其左边的式子应为（） A． B． C． D． 二、多选题 5．对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时， 所以当时，不等式成立.上述证法（    ） A．过程全部正确 B．时证明正确 C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确 6．正项数列满足，，数列 满足，则（    ） A． B． C．的前项积为 D．的前2n项积为 三、填空题 7．用数学归纳法证明的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则当n＝k＋1时应得到的式子为 . 8．用数学归纳法证明等式“”时，第一步验证需证明的命题为 ． B组：能力提升 9．在正项数列中，，，则（ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 10．用数学归纳法证明：时，由到左边需要添加的项是 A． B． C． D． 11．（多选）数列满足（且），则（    ） A．若，则数列是等比数列 B．若，则数列是等差数列 C．若，则数列中存在最大项与最小项 D．若，则 12．证明：能够被6整除． 第四章单元测试 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．在等差数列中，已知，那么等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．等差数列的首项为1，公差不为0，若 成等比数列，则前6项的和为（    ） A．    B．    C．3     D．8 4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（    ） A． B． C．15 D．40 6．已知等差数列的公差为，集合，若，则（    ） A．－1 B． C．0 D． 7．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 二、多选题 9．已知数列满足，则下列结论正确的有（　　） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前n项和 10．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 11．设正整数，其中，记．则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知为等比数列，，，则 . 13．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 ． 14．数列满足，前16项和为540，则 . 四、解答题 15．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 16．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 17．记为数列的前n项和，已知 是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 18．设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19．已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案 4.1.1 数列的概念(1) 1．【答案】C 【解析】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选：C. 2．【答案】A 【解析】观察数列，，，，可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 3．【答案】A 【解析】对于A项，设，则 对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 4．【答案】D 【解析】由已知，解得，负值舍去，则是该数列的第项. 5．【答案】AC 【解析】对于A项，分别把代入，即得，故A项正确；对于B项，把代入即得，与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；对于D项，把代入即得，与数列不符，故D项错误. 6．【答案】BD 【解析】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误；对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确. 7．【答案】 【解析】按规律排列的数列，，，，，，，，，，，，可知是个；是个，是个，是个，是个，是个，是个，因为，，所以该数列的第项为：． 8．【答案】 【解析】，. 9．【答案】B 【解析】由数列，可得化为， 可得数列的一个通项公式为.故选：C. 10．【答案】ABC 【解析】对于A，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；对于B，当，，，时，分别对应的是，，，，正确； 对于C，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；对于D，，，，，错误.所以这个数列的通项公式可能是ABC. 11．【答案】 【解析】可化为，所以分子部分为，分母部分为，奇数项为正，偶数项为负，则，则. 12．【答案】 【解析】因为， 故当或时，取得最大值. 4.1.2 数列的概念(2) 1．【答案】D 【解析】因为，，所以，， 2．【答案】A 【解析】易知. 3.【答案】A 【解析】因为为数列的前项和，且， 则. 4【答案】C 【解析】由，解得（舍去）， 5【答案】BC 【解析】由，则，，，则数列是以为周期的数列，由，故，，，，故B、C正确，A、D错误. 6【答案】AD 【解析】因为，所以当时； 当时，. 当时，不符合上式，故， 7【答案】(1)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 (2)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 (3)第项图形见解析，通项公式为，第项的点数为 【解析】（1）设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： （2）设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： （3）设第项的点数为， ，，，，该数列的第项为， 数列的一个通项公式为，第项的图形如下图所示： 8【答案】,图象见解析 【解析】，，，，，由规律可知， 9【答案】C 【解析】 ， 10【答案】B 【解析】观察数列：1,1,2,3,5,8,13,21，…，发现从第3项起，每一项均为其前2项的数之和，则第9项：13＋21＝34，第10项：21＋34＝55. 11【答案】ACD 【解析】 ， 为以6为周期的数列，且，而，被6除的余数只能为，所以的值只能为，， 故ACD正确，B错误. 12【答案】5050 【解析】观察图像规律发现，三角形数是从1开始的连续自然数的和，1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数，，所以第100个三角形数是：，故第100个三角形数是5050. 4.2.1.1 等差数列的概念（1） 1【答案】D 【解析】由，则，公差. 2【答案】B 【解析】在等差数列中，，而，因此，所以. 3【答案】D 【解析】由题意：. 4【答案】A 【解析】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列；对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 5【答案】ABD 【解析】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以是等差数列；C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足(常数)，所以是等差数列. 6【答案】AC 【解析】∵，，∴，故C正确；数列中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，∴，，故A正确，B错误；对于D，设数列中的第项是数列中的第项，则，∴当，即数列中的第503项是中的第2011项，故D错误. 7【答案】5 【解析】因为,所以,所以数列是等差数列,所以,令,解得,所以14是的第5项. 8【答案】3 【解析】与的等差中项为． 9【答案】B 【解析】对数列，设，显然满足， 但不是等差数列，故充分性不满足；若为等差数列，设其公差为，则，故必要性成立；综上所述，“”是“为等差数列”的必要不充分条件. 10【答案】AD 【解析】由题知数列为等差数列，所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 11【答案】100 【解析】由题意，数列满足，可得，可得这个数列的通项公式为，令，解得，即是这个数列的第项. 12【答案】是，3d， 【解析】等差数列的首项为，公差为d， 若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，故，即数列是等差数列，公差为， ，则， 令，即， 即，解得， 即为数列的第项. 4.2.1.2 等差数列的概念（2） 1【答案】D 【解析】因为，可得数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 2【答案】D 【解析】因为数列是等差数列，且，是方程的两根，所以，则． 3【答案】C 【解析】A选项：因为为等差数列，所以设（为常数），又，所以数列也为等差数列，故A正确；B选项：，所以数列为等差数列，故B正确；C选项：，不是常数，故不是等差数列，故C错；D选项：，所以数列为等差数列，故D正确. 4【答案】C 【解析】由题意，得，所以，故C正确. 5【答案】ACD 【解析】对A，由题意，，故，故A正确；对B，因为，，，故B错误； 对C，，故数列是等差数列，故C正确； 对D，，故数列是等差数列，故D正确. 6【答案】AD 【解析】， ，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确，，因为，所以是递增数列，故④正确，故选： 7【答案】50 【解析】设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{an}，则a1＝11.∵ 数列5，8，11，…与3，7，11，…的公差分别为3和4，∴ {an}的公差d＝3×4＝12， ∴ an＝11＋12(n－1)＝12n－1.又5，8，11，…与3，7，11，…的第200项分别为602和799，∴ an＝12n－1≤602，即n≤50.25.又n∈N*，∴ 两数列有50个相同的项． 8【答案】6 【解析】根据等差数列的性质可知，，又，所以. 9【答案】D 【解析】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数，所以，即，解得，故D正确. 10【答案】B 【解析】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，，所以数列的通项公式为，故B项正确. 11【答案】196 【解析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则，令，解得，则数列的最大项为，所以该数列最大项和最小项之和为． 12【解析】设等差数列的公差为d， 则， ， 因为，故，故. 4.2.2.1 等差数列的前n项和公式（1） 1【答案】A 【解析】在等差数列中，，所以，所以公差. 2【答案】A 【解析】由等差数列求和公式得，解得. 3【答案】C 【解析】等差数列中，，则. 4【答案】C 【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列， 即，解得. 5【答案】BC 【解析】设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得， 所以， ， 6【答案】AB 【解析】由题意知①  ②， 由①②解得或. 7【答案】 【解析】因为是等差数列，且，则，①又，，②，由①②两式解得，.所以公差 8【答案】15 【解析】设，由等差数列的性质可得， 又，则，解得． 9【答案】C 【解析】利用等差数列的性质：成等差数列，所以，即，解得. 10【答案】ABC 【解析】公差为的等差数列中，其前项和为，且，则，解得，所以，A选项正确；，B选项正确； ，C选项正确； ，，D选项错误. 11【答案】78 【解析】依题意，由，得所以. 12【答案】(1)；；(2)． 【解析】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， 所以 ． 4.2.2.2 等差数列的前n项和公式（2） 1【答案】B 【解析】，，， 数列是首项为，公差为2的等差数列， ， 前项和取到最小值时，， 2【答案】C 【解析】正一品､从一品､正二品､从二品､正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列，由题意，是以为公差的等差数列，且，解得． 故正二品分得俸粮的数量为（石）． 3【答案】C 【解析】数列中，前项和，时，， 时，，时，也满足，∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4 的等差数列，则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和. 4【答案】C 【解析】，当时，，当时，，当时，也满足，∴ 数列的通项公式为， ， 5【答案】CD 【解析】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；，故B错误；当时，，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.故选：CD. 6【答案】BC 【解析】由得， 而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确.，C选项正确. 由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误.故选：BC 7【答案】 【解析】当时，，当时，， 所以，又，满足上式，所以， 8【答案】 【解析】当n=1时，a1=S1=3;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.此时，当n=1时，2n=2≠3.所以an= 9【答案】C 【解析】由等差数列的前项和，依题意有，所以,所以. 10【答案】C 【解析】在等差数列{}中，由，得，则，又，∴，，则当取得最大值时，． 11【答案】ABC 【解析】等差数列的前项和为，，所以， ，所以，所以且，所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值．故D正确，ABC错误． 12【答案】7 【解析】，即即.又，该等差数列为递增数列，该等差数列的前7项为负数，从第8项开始为正数，即前7项和最小.当取最小值时，. 4.3.1.1 等比数列的概念（1） 1【答案】D 【解析】因为，所以. 2【答案】B 【解析】在正项等比数列，，所以，所以（舍去）. 3【答案】C 【解析】由题意得，又，故. 4【答案】B 【解析】令等比数列的公比为，则，所以，解得，所以. 5【答案】ACD 【解析】由等比数列的性质可知，且，所以，的可能值为，或，或，或，或，，则，或，或，所以的值不可能为6.故选：ACD. 6【答案】AB 【解析】A选项，由等比数列性质可得，即，故A正确；B选项，当时，，所以，故B正确；C选项，因为，所以和的等比中项为4或-4，故C错误；D选项，当时，，故，D不正确.故选：AB 7【答案】（n为正整数，）. 8【答案】 【解析】，解得：． 9【答案】A 【解析】由等比数列可知， 所以前三项为，所以第四项为， 10【答案】A 【解析】因为为等比数列，所以．所以，即．因为在等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同，所以同号，故． 11【答案】ACD 【解析】由题可得，，故A正确，B错误；，，，且有，，故有所以是以为首项，3为公比的等比数列，为常数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，故C正确；由上可得故 所以，故D正确. 12【答案】2 【解析】解：因为的公比为3，所以. 4.3.1.2 等比数列的概念（2） 1【答案】B 【解析】由于公比不为1的等比数列满足，，，，，． 2【答案】A 【解析】在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列，设等比数列的公比为q，则，解得，所以在9与243中间插入2个数为27、81. 3【答案】A 【解析】因为等比数列满足，可得，解得，又因为，，成等差数列，可得，所以，解得或（舍去），所以. 4【答案】A 【解析】在等比数列{an}中，由，得 则 5【答案】BD 【解析】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误；B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确．C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误；D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 6【答案】BD 【解析】正项等比数列的公比为，则， 由，得，B正确； 而，于是，即，A错误； 而，则，C错误； 由，得，即，因为，因此，显然，所以，解得，D正确.故选：BD 7【答案】112 【解析】，故，解得，故． 8【答案】 【解析】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则，则，则，则， 9【答案】B 【解析】由题 则 ，即a,b,c 成等差数列，显然等比数列不成立. 10【答案】ABD 【解析】对于A，，，即， ，又，又，，且， ，故A正确；对于B，，，即，故B正确； 对于C，由于，而，故有，故C错误；对于D，由题可知， 所以当时，，即，当时，，即，∴T99的值是Tn中最大的. 11【答案】112或 【解析】设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，，．于是得解方程组，得或 所以==80+32=112或==80-128=-48 12【答案】3 【解析】设时，最大，因为，，所以 所以即，故 ， ， 即，所以，故当取最大值时， 4.3.2.1 等比数列的前n项和公式（1） 1【答案】A 【解析】 2【答案】D 【解析】由题意得，故为首项为，公比为9的等比数列，则. 3【答案】D 【解析】由可知公比，所以， 因此 4【答案】A 【解析】，，，则公比，，，. 5【答案】AB 【解析】等比数列中，，前三项和，则，于是， 解得或，所以公比q的值为或1. 6【答案】ABD 【解析】等比数列的首项为1，公比为，由，解得或或， 当时，由，得，因此； 当时，由，得，因此； 当时，由，得，因此，ABD可能，C不可能. 6【答案】5 【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以. 因为，所以，所以，解得， 8【答案】12 【解析】法一：设等比数列的公比为，由，得，而，于是，所以． 法二：因为为等比数列，所以也成等比数列，即成等比数列，即. 9【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则，解得， 于是，解得，于是. 10【答案】D 【解析】设等比数列前项和为，因为等比数列前项的和为48且不为零，则成等比数列，故，故， 11【答案】AB 【解析】由题意可得：等比数列的首项，公比，即，对A：，且，即为等比数列，A正确；对B：，且，即为等比数列，B正确；∵，则有：对C：，均不为定值，即不是等比数列，C错误；对D：，均不为定值，即不是等比数列，D错误； 12【答案】 【解析】若，则由得，则，不合题意.所以.当时，因为，所以，即，即，即，解得. 4.3.2.2 等比数列的前n项和（2） 1【答案】C 【解析】记第n次落地到第次落地之间球运动的路程为米，则，，是从第二项起公比为的等比数列，所以第6次着地时球所运动的路程之和. 2【答案】B 【解析】，则，；当时，，即，数列为首项为，公比为的等比数列，. 3【答案】A 【解析】根据题意得从今年起到第10年末的该厂年产值依次构成等比数列，首项为，公比为，因此从今年起到第10年末的该厂总产值是 4【答案】B 【解析】设正方形的面积为，则数列是以1为首项，为公比的等比数列，数列的前项和，随着的无限增大，无限接近于0，所以所有这些正方形的面积之和将无限接近于2． 5【答案】AC 【解析】设等差数列的公差为，对于A：，则数列为等比数列，故A正确； 对于B：若，当时，，当时，，则，当时不满足，所以，故不是等比数列，故B错误；对于C：，则，则， 故数列为等差数列，故C正确； 对于D：令，则，则，则，，，显然，故D错误； 6【答案】ACD 【解析】，①，② 两式作差得：，，，，即，，.数列是以为首项，公比为的等比数列，则，.由上述内容可知，选项A，C正确. 当时，，则选项B错误. ，，， 数列是首项为的等比数列.则数列的前项和为，则选项D正确. 7【答案】 【解析】当时，，当时，， 所以， 又是等比数列，所以是以为首项，为公比的等比数列， 此数列的前项和，则的值为. 8【答案】； 【解析】当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1． 9【答案】B 【解析】，则，； 当时，，即， 数列为首项为，公比为的等比数列，. 10【答案】BD 【解析】当时，； 当时，由可得， 两式相减得，所以，且， 则数列从第二项开始成以3为公比的等比数列， 则，所以则，所以A选项错误，B选项正确． 由题意可知，数列为单调递增数列，设，若在数列中能找到三项，，，使得，则且，，，若，则，这与数列单调递增矛盾，若，则，，由，可得， 由于能被2整除，不能被2整除，故C选项错误；因为所以； 当时， 故选项D正确． 11【答案】9920 【解析】由题知，，，，，， 由得， 则，解得， 所以， 则是以为首项，为公比的等比数列， 因 ， 所以. 故答案为： 12【答案】(1) (2) (3)第到第年不需要用填埋方式处理. 【解析】（1）由题意可知 （2）由（1）可知 化简可得 （3）当时， 当时， 当时， 当时， 所以第到第年不需要. 4.4数学归纳法 1【答案】C 【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了 2【答案】C 【解析】由题知，即n的最小值为3，∴第一步验证n=3时，不等式是否成立. 3【答案】B 【解析】根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数， 所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；故选：B． 4【答案】C 【解析】由题意，当时，左边 5【答案】BD 【解析】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确. 6【答案】ABC 【解析】因为，，所以，，，可猜想，当时，成立，假设时，所以也成立，所以，故A正确；因为，所以，，故，故B正确； 其中，所以，故C正确； ，故D错误； 7【答案】1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k 【解析】因为由n＝k到n＝k＋1时，等式的左边增加了一项，该项为，所以当n＝k＋1时应得到的式子为1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k， 8【答案】当时，等式成立. 【解析】根据数学归纳法的证明步骤可知，第一步验证需证明的命题为：当时，等式成立 9【答案】A 【解析】由，且，显然成立， 假设，成立，当时，则，所以，故为递减数列. 10【答案】D 【解析】因为时，左边最后一项为，当时，最后一项为，由此即可得到结论，所以到，不等式左边需要添加的项为． 11【答案】ABD 【解析】选项A，因为若，，所以，，…，，即，，是等比数列，故A正确； 选项B，令，而，，又，数列是以1为公差的等差数列，故B正确；选项C，由选项B的结论及可知：，，显然，数列在上单调递减，故当时，有最大值2，没有最小值，故C错误；选项D，用数学归纳法证明， (1)当时，， (2)假设当，时，不等式成立，即，即，当时，，满足，故当时，不等式也成立， 综合(1)(2)，对任意，有， 下面证明，， ，上面不等式中的等号不成立，，，故，故D正确． 12【解析】⑴当时，，显然能够被6整除，命题成立； ⑵假设当时，命题成立，即能够被6整除，当时， 由假设知：能够被6整除， 而为偶数，故能够被6整除， 故能够被6整除，即当时，命题成立， 由⑴⑵可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除． 第四章单元测试 1【答案】D【解析】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则.故选：D 2【答案】A【解析】为等差数列，设首项为，公差为，由已知有，， 即． 3【答案】A【解析】设等差数列的公差，∵等差数列的首项为1， 成等比数列，∴，∴，且，，解得，∴前6项的和为.故选：A. 4【答案】D【解析】[方法一]:常规解法 因为，所以，，得到，同理，可得， 又因为， 故，；以此类推，可得，，故A错误；，故B错误；，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法不妨设则 故D正确. 5【答案】C【解析】由题知, 即,即,即.由题知,所以.所以. 6【答案】B【解析】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 7【答案】C【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立，因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 8【答案】C 【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A正确；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的.∵，，∴与均为的最大值，故D正确； 9【答案】ABD 【解析】因为，所以+3，所以，又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； ，即，故B正确； 因为， 因为，所以， 所以，所以为递减数列，故C错误； ，则，故D正确. 10【答案】ACD 【解析】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，，则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得，则，，D正确. 11【答案】ACD 【解析】对于A选项，，， 所以，，A选项正确； 对于B选项，取，，，而，则，即，B选项错误；对于C选项，， 所以，， ， 所以，，因此，，C选项正确； 对于D选项，，故，D选项正确. 12【答案】 【解析】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则，则，则，则 13【答案】 【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以的前项和为， 14【答案】 【解析】，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为， ， . 15【答案】(1)(2) 【解析】（1），，解得， ，又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列，，即， ，即，解得或，，，又，由等差数列性质知，，即，，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解；当时，，解得. 综上，. 16【解析】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此，当为奇数时，， 当时，，因此，所以当时，. 方法2：由（1）知，，，当为偶数时， 当时，，因此，当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，，当时，，因此，所以当时，. 17【解析】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：,即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 18【解析】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ，即，． 19【解析】（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 第四章 4.1.1 数列的概念(1) A 组：基础巩固 一、选择题 1．下列说法中，正确的是（ ） A．数列2,4,6,8可表示为集合 2,4,6,8 B．数列1,2,3,4与数列 4,3, 2,1是相同的数列 C．数列 2n n 的第 k项为 2k k D．数列0,1,2,3,4,可记为 n 2．数列 1 ， 1 2 ， 1 3  ， 1 4 ，L的一个通项公式为 na  （ ） A． ( 1) n n  B． 1( 1)n n  C． 1( 1) 1 n n   D． ( 1) 1 n n   3．下列叙述正确的是（ ） A．数列 1 n n       是递增数列 B．数列 0，1，2，3，…的一个通项公式为 na n C．数列 0，0，0，1，…是常数列 D．数列 2，4，6，8 与数列 8，6，4，2 是相同 的数列 4．已知数列 na 的通项公式为 2 4 3n a n n   ，则 1 10 是该数列的第（ ）项 A．10 B．7 C．5 D．8 二、多选题 5．数列 2,4, 的通项公式可能是（ ） A． ( 1) 2nna n  B． 1( 1) 2nna n   C． 6 8na n  D． 4 6na n  6．下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列 的是（ ）． A．1， 12 ， 1 3 ， 1 4 ，…， 1 n ，… B． 1 ， 1 2  ， 1 4  ， 1 8  ，…， 1 1 2n  ，… C． sin π 7 ， 2πsin 7 ， 3πsin 7 ，…， πsin 7 n ，… D．1， 2， 3，…， n ，… 三、填空题 7．已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， ， n，则该数列的第 22项为 . 8．已知数列 na 的通项公式为  1 nna   ，n N ， 则它的第8项是 . B 组：能力提升 9．数列 2 4 8 161, , , , , 3 5 7 9    的一个通项公式为（ ） A． 2( 1) 2 1 n n n   B． 12( 1) 2 1 n n n    C． 1 2( 1) 2 1 n n n   D． 2( 1) 2 1 n n n   10．（多选）若数列 na 的前 4项分别为 2，0，2， 0，则这个数列的通项公式可能是（ ） A． 11 ( 1)nna    B． 1 cos πna n  C． 2 π2sin 2n na  D．   11 ( 1) 1 2nna n n      11．数列 1 3 7, ,1, , 3 4 6    的一个通项公式为 na  . 12．数列 na 中，  2 11na n n n     N ，则此数 列最大项的值是 . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.1.2 数列的概念(2) A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知数列 na 中， 1 2a  ， 1n na a n    Nn  ， 则 4a 的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 23 4nS n n   ，则 4a （ ） A．20 B．28 C．32 D．48 3．记 nS 为数列 na 的前 n项和，若 2 , 5 5 4, 5n n nS n n       ，则 6a （ ） A．1 B．5 C． 7 D．9 4．已知数列 na 的通项公式 2 2na n  ，则 123 是 该数列的第（ ）项. A．9 B．10 C．11 D．12 二、多选题 5．在数列 na 中， 1 2a  ，  * 1 11 2,n n a n n a     N ， 则下列选项正确的有（ ） A． 2019 2a  B． 2020 2a  C． 2021 1 2 a  D． 2022 1a  6．已知数列 na 的前 n项和满足 12 1nnS   ，则下 列说法正确的是（ ） A． 1 3a  B．  2 2na n n  C． 2nna  D．  2 2nna n  三、填空题 7．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成 的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分 别填上第5项的图形和点数． (1) (2) (3) 12．下图中的三角形称为谢尔宾斯基（Sierpinski） 三角形．图中从左向右的四个三角形中，着色三角 形的个数依次构成数列 na 的前 4 项，写出数列  na 的一个通项公式________ B 组：能力提升 9．九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游 戏，它由九个铁丝圆环相连成串按一定移动圆环 的次数决定解开圆环的个数．在某种玩法中，用 na 表示解下  *9,n n n N 个圆环所需要少移动 的次数，数列  na 满足 1 1a  ，且 1 2 1, 2 2, n n n a n a a n     为奇数， 为偶数， 则解下 5 个环所需要最 少移动的次数为（ ） A．7 B．10 C．16 D．31 10．斐波那契数列又称黄金分割数列，由数学家斐 波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子 数列”.斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1， 2，3，5，8，13，21，….则该数列的第 10 项为 （ ） A．34 B．55 C．68 D．89 11．（多选）在数列 na 中， * 1 2 2 11, 3, , ,n n n na a n a a a S      N 为 na 的 前 n项和，则 2nS 的值可以为（ ） A．0 B．3 C．4 D．5 12．把 1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数， 这是因为这些数目的圆点可以依次排成如图所 示的相应边长的正三角形（其中，假定 1 个圆点 排成的正三角形的边长为 0），则第 100 个三角 形数是 ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.2.1.1 等差数列的概念（1） A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知等差数列 na 的通项公式为 3 4na n  ，则 （ ） A． 1 3a  B． 1 1a  C． 4d  D． 4d   2．在等差数列 na 中，若 7 17 12a a  ，则 12a （ ） A．4 B．6 C．8 D．12 3．已知实数m是 2 和 8 的等差中项，则m （ ） A． 4 B．-4 C．4 D．5 4．下列数列中等差数列的是（ ） A． 3 1na n  B． 3 1nna   C． 2log 1na n  D． 22 1na n  二、多选题 5．下列数列中，是等差数列的是（ ） A．1，4，7，10 B． lg2,lg4,lg8,lg16 C． 5 4 3 2, ,2 2 ,2 2 D．10，8，6，4，2 6．在无穷等差数列 na 中，首项 1 3a  ，公差 5d   ， 依次取出项的序号被 4 除余 3 的项组成数列 nb ， 则（ ） A． 1 7b   B． 2 27b  C． 8 5na n  D． nb 中的第 503 项是 na 中的第 2020 项 三、填空题 7．数列 na 中， 1 2a  ， 1 3n na a   ，则 14 是 na 的第 项． 8．3 2 2 与3 2 2 的等差中项为 ． B 组：能力提升 9．已知数列 na ，则“ 2 4 1 5a a a a   ”是“ na 为等 差数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（多选）已知等差数列 na 的公差为d ，且 2 1 3 53 12a a a a   ， ，则（ ） A． 1d  B． 2d  C． 2 1na n  D． 1na n  11． 401 是不是等差数列 5, 9, 13,   的项，如果 是，是第______项. 12．已知等差数列 na 的首项为 1a ，公差为 d，若 以第 2 项为首项，每隔两项取出一项组成一个新 的数列 nb ，那么这个数列是等差数列吗？若是， 求其公差，其中 nb 为数列 na 的第几项？ 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.2.1.2 等差数列的概念（2） A 组：基础巩固 一、选择题 1．在数列 na 中， 1 2a  ， 1 2n na a   ，则 51a 的值 为（ ） A．96 B．98 C．100 D．102 2．已知 na 为等差数列，且 3a ， 7a 为方程 2 2 1 0x x   的两根，则 5a （ ） A． 2 B． 2 C． 1 D．1 3．若数列 na 为等差数列，则下列说法中错误的 是（ ） A．数列 12a ， 22a ， 32a ，…，2 na …为等差数列 B．数列 2a ， 4a ， 6a ，…， 2na ，…为等差数列 C．数列 1n na a  为等差数列 D．数列 1n na a  为等差数列 4．在等差数列 na 中，若 3 4 5 6 7 45a a a a a     ， 则 2 8a a （ ） A．16 B．17 C．18 D．19 二、多选题 5．对于数列 na ，若 1 1a  ， 4 2a  ， 2 2n na a   （ *nN ），则下列说法正确的是（ ） A． 2 0a  B．数列 na 是单调递增数列 C．数列 2 1na  是等差数列 D．数列 1n na a  是等差数列 6．下面是关于公差 0d  的等差数列{ }na 的四个命 题，其中的真命题为（ ）. A．数列{ }na 是递增数列 B．数列{ }nna 是递增数列 C．数列{ }n a n 是递增数列 D．数列 3na nd 是递增数列 三、填空题 7．已知两个等差数列 5，8，11，…和 3，7，11，… 都有 200 项，则它们的公共项的个数有____． 8．已知 na 为等差数列， 4 8 510, 4a a a   ，则 7a  . B 组：能力提升 9．首项为 12 的等差数列，从第10项起开始为正 数，则公差d 的取值范围是（ ） A． 8 3 d  B． 3d  C． 8 3 3 d  D． 4 3 3 2 d  10．已知等差数列 na 为递增数列，且满足 3 7 34a a  ， 4 6 280a a  ，则其通项公式为（ ） A． 6 10na n  B． 3 2na n  C． 2 7na n  D． 10na n  11．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这 样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除 以 3 余 2），五五数之剩三（除以 5 余 3），问 物几何？”现将 1 到 200 共 200 个整数中，同时 满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小 到大的顺序排成一列，构成数列 na ，则该数列 最大项和最小项之和为 ． 12．设 ka ， la ， ma ， na 是等差数列 na 的项，且  , , , Nk l m n k l m n     ．求证： k l m na a a a   ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.2.2.1 等差数列的前n项和公式（1） A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知等差数列 na 的前 5 项之和为 25， 2 1a   ， 则公差为（ ） A．6 B．3 C．4 D．5 2．记等差数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 5 710, 7S S  ，则公差 d （ ） A．-1 B． 1 3  C． 2 3 D．2 3．已知等差数列 na 中， 4 9 8a a  ，则 12S （ ） A．24 B．36 C．48 D．96 4．设等差数列 na 的前 n项和 nS ，若 3 9S  ， 6 36S  ，则 7 8 9a a a  （ ） A．18 B．27 C．45 D．63 二、多选题 5．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ．若 3 0S  ， 4 6a  ，则（ ） A． 2 3nS n n  B． 23 9 2  n n nS C． 3 6na n  D． 2na n 6．在等差数列 na 中， 2d  ， 11na  ， 35nS  ， 则 1a 等于（ ） A．－1 B．3 C．5 D．7 三、填空题 7．已知 na 是等差数列 4 6 6a a  ，其前 5 项和 5 10S  ．则其公差 d  ． 8．等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若 3 6S  ， 9 27S  ， 则 6S  ． B 组：能力提升 9．等差数列前n项的和为30，前 2n项的和为100， 则它的前3n项的和为（ ） A．130 B．170 C．210 D．260 10．（多选）已知公差为d 的等差数列 na 中，其 前 n项和为 nS ，且 2 7 40, 12a S a   ，则（ ） A． 1d  B． 2na n  C． 4 10 12a a a  D． 2 3nS n n  11．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 2 4 56a a a   ，则 13S  . 12．记等差数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 5 85S  ， 且 6 17a a ． (1)求 na 和 nS ； (2)设 1 5 n n n b a a   ，求数列 nb 的前n项和 nT ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.2.2.2 等差数列的前n项和公式（2） A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知数列 na ，通项公式为 2 11na n  ，那么 nS 的最小值是（ ）． A． 1S B． 5S C． 6S D． 11S 2．中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一 个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一 品､从一品､正二品､从二品､正三品）依品递差十 三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮 305 石，分给正一品､从一品､正二品､从二品､正 三品这 5 位官员，依照品级递减 13 石分这些俸 粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中， 正二品分得的俸粮是（ ） A．35 石 B．48 石 C．61 石 D．74 石 3．已知数列{ }na 中， 21 2 3 2na a a a n n       ， 则 1 3 5 2 1na a a a    （ ） A． 22n n B． 28 10 3n n  C． 24 3n n D． 216 22 7n n  4．已知正项数列 na 满足 2 2nS n n  ，若 1 1 n n n b a a   ， 则数列 nb 的前 n项的和为（ ） A． 1 6 3 n n   B． 2 2 6 3 n n   C． 6 9 n n  D． 2 6 3 n n  二、多选题 5．数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 2 7nS n n   ， 则下列说法正确的是（ ） A． na 是递增数列 B． 10 14a   C．当 4n  时， 0na  D．当 3n  或 4 时， nS 取得最大值 6．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，公差为 d， 且满足 1 11 180,a S S  ，则对 nS 描述正确的有（ ） A． 14S 是唯一最大值 B． 15S 是最大值 C． 29 0S  D． 1S 是最小值 三、填空题 7．等差数列 na 中，若 23 2nS n n  ，则通项 na  . 8．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+n+1，则 na  . B 组：能力提升 9．两等差数列 na ， nb 的前 n项和分别为��， nT ， 且 1 2 n n S n T n   ，则 8 5 (a b  ) A．4 5 B． 6 7 C． 8 9 D．2 10．设等差数列{ na }的前 n项和为 nS ，若 19 7 140, 0S a a   ，则当 nS 取得最大值时， n＝ （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 23 0S  ， 24 0S  ，则下列结论错误．．的是（ ） A．数列 na 是递增数列 B． 13 0a  C．当 nS 取得最大值时， 13n  D． 13 12a a 12．设等差数列 na 的前 n项和为 nS ，公差 0d  ， 5 9S S ，则当 nS 取最小值时， n  ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.3.1.1 等比数列的概念（1） A 组：基础巩固 一、选择题 1．在等比数列 na 中， 4 64, 1a a  ，则 5a （ ） A．1 B．2 C． 1 D． 2 2．正项等比数列 na ， 2 6 16a a  ，则 4a （ ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．若等比数列 na 的第 2 项和第 6 项分别为 3 和 12，则 na 的第 4 项为（ ） A．4 B． 6 C．6 D． 6 4．在等比数列 na 中， 3 71, 9a a  ，则 5a （ ） A．-3 B．3 C．3 或-3 D． 1 3 或 1 3  二、多选题 5．在公比不为 1的等比数列 na 中，若 1 5 m na a a a ， 则mn的值可能为（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 6．设公比为q的等比数列 na ，若 1 5 9 64a a a  ，则 （ ） A． 5 4a  B．当 1 1a  时， 2q   C． 1a 和 9a 的等比中项为 4 D． 1 9 8a a  三、填空题 7．等比数列的通项公式为 ． 8．在等比数列 na 中，已知 1 3a  ， 4 81a   ，则 公比 q  ． B 组：能力提升 9．等比数列 , 2 2,3 3,x x x  …的第四项为（ ） A． 27- 2 B． 27 2 C．-27 D．27 10．在等比数列 na 中， 3 4 6 7 81a a a a  ，则 1 9a a 的 值为（ ） A．9 B． 9 C． 9 D．18 11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布 罗特在 20 世纪 70 年代创立的一门新学科，它的 创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全 新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律 生长成一个图②的树形图，设图②中第 n行白 心圈的个数为 na ，黑心圈的个数为 nb ，则下列说 法正确的是（ ） A． 3 5a  B． 3 2b  C．数列 n na b 为等比数列 D．图②中第 2023 行的黑心圈的个数是 20223 1 2  12．已知等比数列 na 的公比为 3，且 2 4 6 6  a a a ，则 1 3 5a a a   . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.3.1.2 等比数列的概念（2） A 组：基础巩固 一、选择题 1．公比不为 1 的等比数列 na 满足 5 7 5a a  ，若 2 4 8 25ma a a a  ，则正整数 m的值为（ ） A．11 B．10 C．9 D．8 2.在 9与 243中间插入 2个数，使这 4个数成等比 数列，则这两个数为（ ） A．27、81 B．-27、81 C．27、-81 D．-27、-81 3．设 na 是公比不为 1 的等比数列， 3 4 5 8a a a  ， 4 1 a ， 3 1 a ， 5 1 a 成等差数列，则 1 a （ ） A． 16 B． 1 4  C．16 D． 1 4 4．在由正数组成的等比数列 na 中，若 4 5 6 3a a a  ， 3 1 3 2 3 8 3 9log log log loga a a a   的为（ ） A． 4 3 B． 3 4 C． 2 D． 3 4 3 二、多选题 5．已知数列 na 为等比数列，则（ ） A．数列 2a ， 4a ， 8a 成等比数列 B．数列 1 2a a ， 3 4a a ， 5 6a a 成等比数列 C．数列 1 2a a ， 3 4a a ， 5 6a a 成等比数列 D．数列 1 2 3a a a  ， 4 5 6a a a  ， 7 8 9a a a  成 等比数列 6．在正项等比数列{ }na 中，公比为q，已知 1 2 3 4 5 6 1 2 34, 12, 324n n na a a a a a a a a     ，下列说法 正确的是（ ） A． 2 3q  B． 32 4a  C． 4 6 2 3a a  D． 12n  三、填空题 7．若等比数列 na 满足 1 2 3 7a a a   ， 3 4 5 28  a a a ，则 5 6 7a a a   ． 8．已知 na 为等比数列， 2 4 5 3 6a a a a a ， 9 10 8a a   ， 则 7a  . B 组：能力提升 9．2 a= 3，2 b = 6，2 c=12，则 a , b , c 成（ ） A．等比数列但不是等差数列 B．等差数列但不是等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列 10．（多选）等比数列 na 的公比为q，其前 n项 的积为 nT ，并且满足条件 1 1a  ， 99 100 1 0a a   ， 99 100 1 0 1 a a    ．给出下列结论其中正确的结论是（ ） A．0 1q  B． 100 101 1 0a a   C． 100T 的值是 nT 中最大的 D．T99的值是 Tn中最大的 11.数列 na 共有 5项，前三项成等比数列，后三 项成等差数列，第 3项等于 80，第 2项与第 4项 的和等于 136，第 1项与第 5项的和等于 132．则 �5= ． 12. 已知数列 na 的通项公式为 3 3n n na  ，当 na 取 得最大值时，n=____． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.3.2.1 等比数列的前n项和公式（1） A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知等比数列{an}的首项 1 3a  ，公比 2q= ，则 5S 等于（ ） A．93 B．－93 C．45 D．－45 2．已知等比数列 na 的首项为 1，公比为 3，则 2 2 2 1 2 na a a   （ ） A．  23 2n B．  1 3 12 n  C．9 1n  D．  1 9 18 n  3．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，若 3 64, 12S S  ，则 12S （ ） A．32 B．28 C．48 D．60 4．设 nS 为等比数列 na 的前 n项和， 1 1a  且 1 2 3 8a a a   ，则 5 2 S S 等于（ ） A． 11 B． 8 C．5 D．11 二、多选题 5．在等比数列 na 中， 3 6a  ，前三项和 3 18S  ， 则公比 q的值为（ ） A．1 B． 1 2  C． 1 D． 12 6．已知等比数列 na 的首项为 1，公比为q，前 n 项和为 nS ，若 3 2 4 4q q q   ，则 3S 的值可能为（ ） A．1 B．3 C．5 D．7 三、填空题 7．已知等比数列 na 满足 3 12a  ， 8 3 8 a  ，若 na 的前 n项和 93nS  ，则 n  ． 8．已知等比数列 na 的前 n项和为 2 4, 4, 8nS S S  ， 则 6S  ． B 组：能力提升 9．已知等比数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 4 90a a  ， 3 5 270a a  ，则 3S （ ） A．12 B．24 C．36 D．39 10．一个等比数列前 n项的和为 48，前 2n项的和 为 60，则前3n项的和为（ ）． A．83 B．108 C．75 D．63 11．记正项等比数列 na 的前 n项和为 nS ，则下列 数列为等比数列的有（ ） A． 1n na a  B． 1n na a C． n n S a       D． 1n nS S  12．记 nS 为等比数列 na 的前 n项和．若 6 38 7S S ， 则 na 的公比为 ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.3.2.2 等比数列的前 n 项和（2） A 组：基础巩固 一、选择题 1．某同学在一次模拟实验中，设定一个乒乓球从 16 米高处下落，每次着地后又弹回原来高度的一 半再落下，则第 6 次着地时乒乓球所运动的路程 之和为（ ） 米. A．31 B．31.5 C．47 D．63 2．记 nS 为数列 na 的前 n项和.若 2 1n nS a  ，则 6S =（ ） A．63 B． 63 C．32 D． 32 3．某厂去年产值是 a亿元，计划今后十年内年产 值平均增长率是 10%．则从今年起到第 10 年末 的该厂总产值是（ ） A．11（1.110﹣1）a亿元 B．10（1.110﹣1）a亿元 C．11（1.19﹣1）a亿元 D．10（1.19﹣1）a亿元 4．如图，正方形 1111 DCBA 的边长为 1，记其面积为 1S ，取其四边的中点 2A ， 2B ， 2C ， 2D ，作第二 个正方形 2 2 2 2A B C D ，记其面积为 2S ，然后再取 正方形 2 2 2 2A B C D 各边的中点 3A ， 3B ， 3C ， 3D ， 作第三个正方形 3 3 3 3A B C D ，记其面积为 3S ，如果 这个作图过程一直继续下去，记这些正方形的面 积之和 1 2 3 nS S S S S       ，则面积之和S将无限 接近于（ ） A． 3 2 B．2 C．2 2 D．4 二、多选题 5．已知等差数列{ }na 与等比数列 nb 的前 n项和分 别为 nS ， nT ，则下列结论正确的有（ ） A．数列 2 na 是等比数列 B． nT 可能为 2 2n  C．数列 n S n       是等差数列 D．数列 n nT 是等比数列 6．已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 2 1n nS a   Nn  ，则下列选项中正确的是（ ） A． 1 1a   B．B． 5 32S   C．数列 na 是等比数列 D．数列{ }1nS - 的前 n项和为 12 2n 三、填空题 7．若 na 是等比数列，且前 n项和为 3nnS t  ， 则 t  . 8．若数列{an}的前 n项和为 Sn＝ 2 3 an＋ 1 3 ，则数列{an} 的通项公式是 an= . B 组：能力提升 9．记 nS 为数列 na 的前 n项和.若 2 1n nS a  ，则 6S =（ ） A．63 B． 63 C．32 D． 32 10．（多选） nS 是数列 na 的前 n项的和，且满足 1 1a  ， 1 2n na S  ，则下列说法正确的是（ ） A． na 是等比数列 B． 11 2 3 n na     C． na 中能找到三项 pa ， qa ， ra 使得 p q ra a a D． 1 na       的前 n项的和 7 4n T  11．某牧场今年初牛的存栏数为 1200，预计以后每 年存栏数的增长率为5%，且在每年年底卖出 100 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依 次为数列 1 2 3, , ,c c c ，且满足递推公式：    1 ,n n nc k r c k S    为数列 nc 的前 n项和， 则 10S  （ 101.05 1.63 答案精确到 1）. 12．去年某地产生的生活垃圾为 20 万吨，其中 8 万吨垃圾以填埋方式处理，12 万吨垃圾以环保方 式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从 今年起，每年生活垃圾的总量递增10%，同时， 通过环保方式处理的垃圾量每年增加 5 万吨． (1)请写出今年起第 n年用填埋方式处理的垃圾量 nc 的表达式； (2)求从今年起 n年内用填埋方式处理的垃圾量的 总和 nS ； (3)预计今年起 9 年内，哪些年不需要用填埋方式 处理生活垃圾． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 4.4 数学归纳法 A 组：基础巩固 一、选择题 1．用数学归纳法证明等式，  1 2 3 ... 2 2 1n n n      时，由n k 到 1n k  时，等式左边应添加的项是（ ） A． 2 1k  B． 2 2k  C．    2 1 2 2k k   D．    1 2 ... 2k k k     2．用数学归纳法证明 33n n *( )3,n n N  ，第一 步验证（ ） A．n=1 B．n=2 C．n=3 D．n=4 3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时， n nx y 能 被 x y 整除”，第二步归纳假设应写成（ ） A.假设 *2 1( N )n k k   正确，再推 2 3n k  正确 B.假设 *2 1( N )n k k   正确，再推 2 1n k  正确 C.假设 *( N )n k k  正确，再推 1n k  正确 D.假设 ( 1)n k k  正确，再推 2n k  正确 4．用数学归纳法证明下列等式：                 1 2 2 1 3 5 7 1 2 1 1 2 1 1 2 3 1 2 n n n n n n n n                    要验证当 1n  时等式成立，其左边的式子应为（） A． 1 B． 1 3  C． 1 3 5   D． 1 3 5 7    二、多选题 5．对于不等式  2 *1n n n n N    ，某同学运用 数学归纳法的证明过程如下：①当 1n  时， 21 1 1 1   ，不等式成立.②假设当  *1,n k k k N   时，不等式成立，即 2 1k k k   ，则当 1n k  时，           2 2 22 1 1 3 2 3 2 2 2 1 1 k k k k k k k k k                 所以当 1n k  时，不等式成立.上述证法（ ） A．过程全部正确 B． 1n  时证明正确 C．过程全部不正确 D．从 n k 到 1n k  的推理不正确 6．正项数列 na 满足 1 10a  ， 21n na a  ，数列 nb 满足 1 2 2 , , n n n a n b a n      为奇数 为偶数 ，则（ ） A． 1210 n na   B． 2 2 1n nb b  C． na 的前 n项积为 2 110 n  D． nb 的前 2n项积为  2 2 310 n  三、填空题 7．用数学归纳法证明 2 11 2 2 2 2 1( )n n n N      L 的过程中，第二 步假设当 n＝k(k∈N*)时等式成立，则当 n＝k＋1 时应得到的式子为 . 8．用数学归纳法证明等式 “  1 2 3 (2 1) ( 1)(2 1)n n n n        N ” 时，第一步验证需证明的命题为 ． B 组：能力提升 9．在正项数列 na 中， 1 3a  ， 1 13n n a a   ，则 na （ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．先递减后递增 D．先递增后递减 10．用数学归纳法证明： 1 1 1 21 1 2 1 2 3 1 2 3 1 n n n                时， 由 n k 到 1n k  左边需要添加的项是 A． 2 ( 2)k k  B． 1 ( 2)k k  C． 1 ( 1)( 2)k k  D． 2 ( 1)( 2)k k  11．（多选）数列 na 满足 1 12n n a a    （ Nn 且 2n  ），则（ ） A．若 1 1a  ，则数列 na 是等比数列 B．若 1 1a  ，则数列 1 1na       是等差数列 C．若 1 2a  ，则数列 na 中存在最大项与最小 项 D．若 11 2a  ，则 11 2n na a   12．证明： 3 (5 *)n n n N  能够被 6整除． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 第四章单元测试 一、单选题 1．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 9 1S  ， 则 3 7a a （ ） A． 2 B． 7 3 C．1 D． 2 9 2．在等差数列 na 中，已知 1 2 3 4 5 20a a a a a     ， 那么 3a 等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．等差数列 na 的首项为1，公差不为0，若 2 3 6, ,a a a 成等比数列，则 na 前 6 项的和为（ ） A． 24 B． 3 C．3 D．8 4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深 空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行 星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的 比值，用到数列 nb ： 1 1 11b    ， 2 1 2 11 1b      ， 3 1 2 3 11 1 1 b        ，…，依此类推，其中 ( 1,2, )k k  N  ．则（ ） A． 1 5b b B． 3 8b b C． 6 2b b D． 4 7b b 5．设等比数列 na 的各项均为正数，前 n项和 nS ， 若 1 1a  ， 5 35 4S S  ，则 4S （ ） A． 15 8 B． 65 8 C．15 D．40 6．已知等差数列 na 的公差为 23  ，集合  *cos NnS a n  ，若  ,S a b ，则 ab （ ） A．－1 B． 1 2  C．0 D． 12 7．记 nS 为数列 na 的前 n项和，设甲： na 为等 差数列；乙：{ }n S n 为等差数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．设数列 na 为等差数列， nS 是其前 n项和，且 5 6 6 7 8,S S S S S   ，则下列结论不正确的是（ ） A． 0d  B． 7 0a  C． 9 5S S D． 6S 与 7S 均为 nS 的最大值 二、多选题 9．已知数列 na 满足 1 1  1, 2 3 n n n aa a a    ，则下列 结论正确的有（ ） A． 1 3 na       为等比数列 B． na 的通项公式为 1 1 2 3n n a   C． na 为递增数列 D． 1 na       的前 n项和 22 3 4nnT n    10．等差数列 na 中， 1 0a  ，则下列命题正确的 是（ ） A．若 3 7 4a a  ，则 9 18S  B．若 15 0S  ， 16 0S  ，则 2 28 9a a C．若 1 2 5a a  ， 3 4 9a a  ，则 7 8 17a a  D．若 8 10a S ，则 9 0S  ， 10 0S  11．设正整数 0 10 1 12 2 2 2 k k k kn a a a a           ， 其中  0,1ia  ，记   0 1 kn a a a     ．则（ ） A．    2n n  B．    2 3 1n n    C．    8 5 4 3n n    D．  2 1n n   三、填空题 12．已知 na 为等比数列， 2 4 5 3 6a a a a a ， 9 10 8a a   ， 则 7a  . 13．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得 到数列{an}，则{an}的前 n项和为 ． 14．数列{ }na 满足 2 ( 1) 3 1 n n na a n     ，前 16 项和 为 540，则 1a  . 四、解答题 15．设等差数列 na 的公差为d ，且 1d  ．令 2 n n n nb a   ，记 ,n nS T 分别为数列   ,n na b 的前 n 项和． (1)若 2 1 3 3 33 3 , 21a a a S T    ，求 na 的通项公式； (2)若 nb 为等差数列，且 99 99 99S T  ，求d ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 16．已知 na 为等差数列， 6, 2 , n n n a n b a n     为奇数 为偶数 ， 记 nS ， nT 分别为数列 na ， nb 的前 n项和， 4 32S  ， 3 16T  ． (1)求 na 的通项公式； (2)证明：当 5n  时， n nT S ． 17．记 nS 为数列 na 的前 n项和，已知 1 1, n n Sa a        是公差为 1 3 的等差数列． (1)求 na 的通项公式； (2)证明： 1 2 1 1 1 2 na a a     ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 18．设 nS 为数列 na 的前 n项和，已知 2 1, 2 n na S na  ． (1)求 na 的通项公式； (2)求数列 1 2 n n a      的前 n项和 nT ． 19．已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 1, , 2, . n n n a n a a n     为奇数 为偶数 （1）记 2n nb a ，写出 1b ， 2b ，并求数列 nb 的 通项公式； （2）求 na 的前 20 项和.