第06讲 一次函数与二元一次方程（1个知识点+3种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第06讲 一次函数与二元一次方程（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 题型强化 题型一．一次函数与二元一次方程（组） 1．（2024•镇巴县一模）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 2．（2021秋•埇桥区期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 　　． 3．（2023秋•蚌山区期中）如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式； （2）直接写出方程组的解； （3）求三角形的面积． 题型二、两直线的交点与二元一次方程组的解 4．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，两个函数图象的交点坐标为 ； （2）若两个函数图象的交点在第三象限，则a的取值范围为 ． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P在直线上，且，求点的横坐标． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围是什么？ 题型三、图象法解二元一次方程组 7．（八年级上·安徽·阶段练习）用图象法解方程组时，下图中正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）在同一平面直角坐标系内用列表、描两点画直线，画出一次函数和的图象．利用图象求： （1）方程的解； （2）方程组的解； （3）不等式的解集． 分层练习 一、单选题 1．已知一次函数与（k，b，m，n是常数且）的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 2．如图，关于x，y的方程组的解是（      ） A． B． C． D． 3．一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 4．对于函数，下列说法错误的是（　　） A．图象一定经过点 B．图象与y轴的交点是 C．y随着x的增大而减小 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9 5．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知方程的解是，则直线和的交点坐标为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（　　） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 8．若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 9．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 10．如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是(　　)    ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 11．已知一次函数，它的图象与两坐标轴围成的三角形面积为9，则= ． 12．如图，直线：y＝﹣2x+b与直线：y＝kx﹣2相交于点P（1，-1），直线交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为 13．已知表示a，b，c…几个数中最大的那个数，表示a，b，c…几个数中最小的那个数，例如，则： （1） ； （2）已知函数，则 ； 14．如图，直线经过，两点，直线； ①若，则的值为 ； ②当时，总有，则的取值范围是 ． 三、解答题 15．如图，已知直线经过点直线与该直线交于点C (1)求直线的表达式； (2)求点C的坐标． 16．若直线平行于直线且过点． (1)求直线的解析式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 17．已知一次函数的图象平行于直线，与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)直接写出不等式的解． 18．已知一次函数和． (1)在下面的直角坐标系中画出它们的图象； (2)求两直线的交点坐标； (3)观察图象，不等式的解集为 ． 19．已知直线：和直线：． (1)若，求直线和直线的交点坐标； (2)若直线和直线的交点在第四象限内，求k的取值范围． 20．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若函数为函数的“组合函数”，求的值； (2)设函数与的图像相交于点． ①若，函数的“组合函数”图像经过点，求的值； ②若，点在函数的“组合函数”图像的上方，求的取值范围． 21．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且．    (1)求直线的解析式； (2)①若另一条直线与直线有唯一交点，求点的坐标； ②直接写出的取值范围． (3)若直线只与轴的交点在线段上（不与，重合），试写出取值范围． 22．如图，直线与直线交于点．    (1)求点坐标； (2)求两直线与轴围成的三角形面积； (3)直接写出不等式的解集． 23．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线的解析式为，经过A、两点，且交直线于点．    (1)写出点的坐标是______； (2)求直线的解析式． (3)在直线上找点，使得的面积等于的面积的二倍，请直接写出点的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 一次函数与二元一次方程（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．一次函数与二元一次方程（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． （2）二元一次方程（组）与一次函数的关系 （3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 题型强化 题型一．一次函数与二元一次方程（组） 1．（2024•镇巴县一模）如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是　　 A． B． C． D． 【分析】先求点的坐标，再根据方程组与函数的关系求解． 【解答】解：由图象可设， 则， 解得：， 由函数和方程组的关系知： 方程组的解为：， 故选：． 【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程的关系，数形结合思想是解题的关键． 2．（2021秋•埇桥区期末）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是 　　． 【分析】由两条直线的交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可． 【解答】解：经过， ， ， 直线与直线相交于点， ， 故答案为 【点评】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型． 3．（2023秋•蚌山区期中）如图，过点的直线与直线交于． （1）求直线对应的表达式； （2）直接写出方程组的解； （3）求三角形的面积． 【分析】（1）先把代入求出得到点坐标为，然后把点，代入得到关于、的方程组，然后解方程组求出、的值即可得到直线的表达式； （2）根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可直接得到答案； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）把代入得， 则点坐标为； 把，代入得，解得， 所以直线的表达式为； （2）因为直线与直线交于点， 所以方程组的解为； （3）交轴于，交轴于， ，， 三角形的面积的面积． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 题型二、两直线的交点与二元一次方程组的解 4．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，注意计算的准确性即可． 【详解】解：联立， 解得： ∴交点坐标为， 故选：B 5．（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知一次函数（a为常数，）和． （1）当时，两个函数图象的交点坐标为 ； （2）若两个函数图象的交点在第三象限，则a的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查两个函数的交点问题． （1）联立两个函数，求出方程组的解即可； （2）求出直线过定点，画出图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 联立，解得：， ∴两个函数图象的交点坐标为； 故答案为：； （2）∵， ∴当时，， ∴直线过定点， 如图：    直线绕着点A旋转，点B为与x轴的交点，坐标为， 当直线经过点时， 此时， 解得， 当直线与直线平行时， 此时， 由图象可知：当或时，两个函数图象的交点在第三象限， 故a的取值范围是或． 故答案为：或． 6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知直线与直线交于点，且直线分别与轴，轴交于点，点． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P在直线上，且，求点的横坐标． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围是什么？ 【答案】(1)，，； (2)8或； (3)． 【分析】本题考查了直线与坐标轴交点问题，两直线交点问题． （1）联立直线与直线解析式求得点A的坐标，分别令， ，得出点B，C的坐标； （2）设，根据，列出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：， 解得：， ， 直线分别与轴，轴交于点，点， 当时，，当时，， ，； （2）解：设， ， ， 即， 解得：或， 点的横坐标为8或； （3）解：， 由图象得：时，直线的图象在直线的图象上方， ． 题型三、图象法解二元一次方程组 7．（八年级上·安徽·阶段练习）用图象法解方程组时，下图中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：将方程组的两个方程，化为y=kx+b的形式；然后再根据两个一次函数的解析式，判断符合条件的函数图象． 解：解方程组的两个方程可以转化为：y=x﹣2和y=﹣2x+4； 只有C符合这两个函数的图象． 故选C． 考点：一次函数与二元一次方程（组）． 8．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）在同一平面直角坐标系内用列表、描两点画直线，画出一次函数和的图象．利用图象求： （1）方程的解； （2）方程组的解； （3）不等式的解集． 【答案】图见解析；（1）；（2）；（3） 【分析】（1）首先用两点法画出，图象，方程的解看两直线的交点，横坐标即为x的值； （2）方程组的解看两直线的交点，x就是横坐标，y就是纵坐标． （3）根据图象可知，以交点为分界，直线在上面的函数值大． 【详解】列表： 0 1 -1 2 0 2 描点作图如图所示： 从图形观察可知两直线交于点(1，2)， （1）由图象可知，直线与交点的横坐标为1， 则方程的解为； （2）由图象可知，直线与交点的坐标为(1，2)， 则方程组即的解为； （3）由图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方， 则不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象的画法及一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系，正确画出函数的图象是解题的关键. 分层练习 一、单选题 1．已知一次函数与（k，b，m，n是常数且）的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组的解为两直线的交点坐标解答即可． 【详解】解：∵一次函数与（k，b，m，n是常数且）的图象交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 2．如图，关于x，y的方程组的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象可得：直线与直线的交点坐标为：，从而可得方程组的解． 【详解】解：由函数图象可得：直线与直线的交点坐标为：， 即方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用一次函数的图象求解二元一次方程组的解，掌握数形结合的方法解题是关键． 3．一次函数y=-x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积计算公式，即可求出答案． 【详解】解：∵当x＝0时，y＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与y轴交于点（0，4）， ∵当y＝0时，即−x＋4＝0， 解得：x＝4， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与x轴交于点（4，0）， ∴一次函数y＝−x＋4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为：×4×4＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 4．对于函数，下列说法错误的是（　　） A．图象一定经过点 B．图象与y轴的交点是 C．y随着x的增大而减小 D．图象与坐标轴围成的三角形面积是9 【答案】B 【分析】将点的横坐标代入解析式即可得到纵坐标，以此来判断A、B选项是否正确，根据一次函数“时，y随x的增大而增大，时，要随x的增大而减小”即可判断C选项，求出一次函数与x轴和y轴的交点坐标即可求得底和高，进而判断D选项的正误． 【详解】将代入得， ∴直线经过，选项A正确． 将代入得， 直线与y轴交点坐标为，选项B不正确． ， 一次函数中，y随x的增大而减小，选项C正确． 将代入得， 解得， 直线与x轴交点坐标为， 直线与坐标轴围成的三角形的面积为，选项D正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，能根据一次函数的比例系数k和截距b判断函数的图象与性质是解决本题的关键． 5．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值． 【详解】解：已知和， ． ， ， ， 当时，， 解得． ， ， 即； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 6．已知方程的解是，则直线和的交点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入直线解析式求出y的值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入，得． ∴交点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（　　） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，一次函数与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【详解】解：A．根据两条直线交点P的坐标是，得到方程的解是，原结论正确，不符合题意； B．根据不等式的解集与不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原结论正确，不符合题意； C．把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是，得到不等式组的解集是，原结论正确，不符合题意； D．根据方程组的解才是，原结论错误，符合题意． 故选；D． 8．若直线和相交于点，则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得直线和直线关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得． 【详解】解：直线和关于原点对称的直线为y=mx+3和， ∵直线和相交于点P（2，3）， ∴直线y=mx+3和y=2xn相交于点（2，3）， ∴方程组的解为； 故选：D． 【点睛】本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，题目比较典型，求得直线关于原点的对称直线是解题的关键． 9．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解． 【详解】一次函数与的交点为P（、4） 解得 点P的坐标为（2、4） 的解为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解． 10．如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是(　　)    ①关于的方程的解是； ②关于，的方程组的解是； ③关于的不等式的解集是； ④当时，函数的值比函数的值大． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质；图象法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④． 【详解】解：∵两直线相交于点， ∴方程的解是， 方程组的解是：， 故①②正确； ∵当时，直线在直线的下方， ∴当时，，整理得：，故③错误； ∵当时，直线在直线的上方， ∴当时，函数的值比函数的值大，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④，故C正确． 故选：C． 二、填空题 11．已知一次函数，它的图象与两坐标轴围成的三角形面积为9，则= ． 【答案】 【详解】试题分析：依题意知，一次函数， (1)当图像与x轴交点时，y=0，则，此时交点为(,0) (2)当图像与y轴交点，x=0，则y=b，此时交点(0,b)， 所以它的图象与两坐标轴围成的三角形面积S，所以b=． 考点：一次函数 点评：本题难度中等，主要考查学生对一次函数解析式及图像的性质．要熟练掌握解析式中k值与b值对图像的影响，及图像与x轴和y轴交点坐标的作用． 12．如图，直线：y＝﹣2x+b与直线：y＝kx﹣2相交于点P（1，-1），直线交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△PAB的面积为 【答案】 【分析】利用一次函数，为常数，可得直线，与轴交点，然后可求出的面积． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 点坐标为， 直线交轴于， ， ， 的面积为：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了两条直线相交问题，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 13．已知表示a，b，c…几个数中最大的那个数，表示a，b，c…几个数中最小的那个数，例如，则： （1） ； （2）已知函数，则 ； 【答案】 4 2 【分析】（1）根据定义找到、4和1中最大的那个数即可； （2）画出函数，和的图象，根据图象求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：4； （2）函数，和的图象如下： 则虚线部分即为函数的图象， 设和的交点为点A， 则点A的纵坐标即为， 联立可得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题以及新定义的实数运算，利用数形结合的思想是解题的关键． 14．如图，直线经过，两点，直线； ①若，则的值为 ； ②当时，总有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】①求出直线的解析式，再由可得；②先求出，时的值，根据图像可得减小至两直线平行时满足题意． 【详解】解：①∵直线经过，两点 ∴ 解得： ∴： ∵ ∴ ②当时， ∴直线过点 将点代入直线中得： ∵直线经过定点 ∴当直线绕着点顺时针旋转至两直线平行时满足题意 ∴ 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了一次函数中两直线平行和相交的问题，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系和一次函数的图像和系数的关系是解答本题的关键． 三、解答题 15．如图，已知直线经过点直线与该直线交于点C (1)求直线的表达式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）解两个函数解析式组成方程组即可求解． 【详解】（1）解：直线经过点 得， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：联立， 解得：， 故点C的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，及求两条直线的交点问题，本题的关键是求两条直线的交点，转化为解两个函数解析式组成方程组． 16．若直线平行于直线且过点． (1)求直线的解析式； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由题意可设直线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．分别求出点A与点B的坐标，进而即可求出直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵直线平行于直线， ∴可设直线的解析式为． ∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． 对于，令，则， ∴， ∴． 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴，即直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求直线与坐标轴围成的三角形的面积．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 17．已知一次函数的图象平行于直线，与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)直接写出不等式的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题综合考查了两条直线相交问题； （1）用待定系数法可得一次函数的表达式； （2）联立解析式解方程组，可得C的坐标； （3）根据函数图象即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴ 把代入得： ， ∴一次函数的表达式为； （2）由 得： ∴点的坐标为； （3）根据函数图象可得不等式的解为：． 18．已知一次函数和． (1)在下面的直角坐标系中画出它们的图象； (2)求两直线的交点坐标； (3)观察图象，不等式的解集为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数图象，一次函数与二元一次方程组的关系，利用图象求不等式的解集，解题的关键是： （1）根据网格结构确定出直线经过的两个点的位置，然后利用两点法作出函数图象即可； （2）联立方程组，求方程组的解即可得； （3）找到图象在上方时对应的x的范围即可． 【详解】（1）解：函数图象如图所示：    （2）联立：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为：； （3）由图可知：当图象在上方时， 对应x的范围是：， ∴不等式的解集为． 19．已知直线：和直线：． (1)若，求直线和直线的交点坐标； (2)若直线和直线的交点在第四象限内，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点，熟悉一次函数的性质是解本题的关键． （1）将代入直线：和直线：，联立得方程组，即可求解； （2）联立直线与得方程组，解方程组得交点为，根据交点在第四象限，即可求解； 【详解】（1）解：将代入直线：和直线：， 得 联立，得方程组， 解得 ∴直线与的交点坐标为． （2）联立直线与得方程组， 解得 ∴直线与的交点坐标为． ∵交点在第四象限， ∴ 解得，即的取值范围为． 20．定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“组合函数”． (1)若函数为函数的“组合函数”，求的值； (2)设函数与的图像相交于点． ①若，函数的“组合函数”图像经过点，求的值； ②若，点在函数的“组合函数”图像的上方，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）根据定义，构造“组合函数”，利用恒等式性质，构造方程组求解即可． （2）①先利用解析式联立构成方程组，求得交点坐标，确定组合函数，把坐标代入组合函数，解答即可． ②根据交点的坐标为，确定组合函数为，当时，函数值为，结合点在函数的“组合函数”图像的上方，得到，解答即可． 【详解】（1）由题意可知：， 整理得：， ， 解得：， 故：． （2）解方程组：， 解得：， 函数与的图像相交于点， 点坐标为 函数的“组合函数”为：， 化简得：， ①点在函数的“组合函数”图像上， 将点坐标代入“组合函数”得： 整理得：， ， ． ②∵组合函数为， ∴当时，函数值为， ∵点在函数的“组合函数”图像的上方， ∴， 整理得：． 即 的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数的新定义，恒等式性质，方程组，根据纵坐标的大小判断位置的上下，解不等式．正确理解定义，准确构造方程组，并解方程组是解题的关键． 21．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且．    (1)求直线的解析式； (2)①若另一条直线与直线有唯一交点，求点的坐标； ②直接写出的取值范围． (3)若直线只与轴的交点在线段上（不与，重合），试写出取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)． 【分析】本题主要考查待定系数法求直线解析式，直线的交点以及点的坐标运算． （1）令得可得点B的坐标，的长，由可得，求出点A的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式； （2）令，解得，从而得出点P的坐标； （3）令得根据题意得，求解即可． 【详解】（1）对于直线，令得 ∴ ∵， ∴ ∴ 把代入，得 解得， ∴直线的解析式为； （2）①联立方程组， ∴ 整理得，， ∵直线与直线有唯一交点， ∴ 解得， ∴， ∴点P的坐标为： ②由①知 ∴； （3）对于，当时， ∵直线只与轴的交点在线段上（不与，重合）， ∴， 解得，． 22．如图，直线与直线交于点．    (1)求点坐标； (2)求两直线与轴围成的三角形面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把两个函数解析式联立，再解方程组即可； （2）先求解直线与x轴的交点A的坐标，再利用三角形面积公式进行计算即可； （3）根据函数的图象在函数的图象的下方可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴； （2）∵直线为：， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵， 由图象可得：不等式的解集为． 【点睛】本题考查的是求解一次函数的交点坐标，直线与坐标轴围成的图形面积，利用函数图象求解不等式的解集，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 23．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线的解析式为，经过A、两点，且交直线于点．    (1)写出点的坐标是______； (2)求直线的解析式． (3)在直线上找点，使得的面积等于的面积的二倍，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当点P的坐标为或时，的面积等于的面积的二倍 【分析】（1）把代入求出x的值，即可求出点D的坐标； （2）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）先求出点C的坐标为，求出，设点P的纵坐标为，根据，求出，得出或，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为； 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：令， 解得：， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵，， ∴， ∴， 设点P的纵坐标为，根据题意得： ， 解得：， ∴或， 当时，，解得：， ∴此时点P的坐标为； 当时，，解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知，当点P的坐标为或时，的面积等于的面积的二倍． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出函数解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$