第三章 圆锥曲线的方程（共9课时，同步练，含pdf版可打印）-2024-2025学年高二数学新人教A版2019选择性必修系列课时同步训练

深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 3.1.1 椭圆及其标准方程 A组：基础巩固 1、 选择题 1．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A． B． C． D． 2．P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（   ） A．1 B．3 C．5 D．9 3．已知椭圆：的一个焦点的坐标为，则（    ） A．1 B．2 C．5 D．9 4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 6．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．P到最小的距离是2 C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 三、填空题 7．焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过 的椭圆的标准方程为 ． 8．已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ． B组：能力提升 9．已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 10．已知为椭圆：的右焦点，直线与椭圆交于点，，则的周长为    ） A．4 B． C．8 D． 11．（多选）点为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C的方程可以是（    ） A． B． C． D． 12．已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为 3.1.2 椭圆的简单几何性质（1） A组：基础巩固 一、选择题 1．已知椭圆的离心率为，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．下列四个椭圆中，形状最扁的是（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为（    ） A． B．4 C． D．8 4．椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4 6．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的离心率为，且过点，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为 ． 8．椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的面积是 B组：能力提升 9．如图，把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，F是左焦点，则（      ）    A．16 B．18 C．20 D．22 10．椭圆与椭圆 的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 11．（多选）设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（    ） A． B．离心率 C．短轴长为2，长轴长为4 D．不可能是钝角 12．写出一个焦点在x轴上，且离心率为的椭圆的标准方程： . 3.1.2 椭圆的简单几何性质（2） A组：基础巩固 一、选择题 1．过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（　　） A．4 B．2 C．1 D．4 2．直线与椭圆的公共点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 3．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的焦点在轴上，若焦距为4，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（    ） A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率 C．椭圆的短轴长为4 D．的面积的最大值是4 6．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．离心率 C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切 三、填空题 7．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为 8．已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为 ． B组：能力提升 9．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 10．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 11．（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则（     ） A． B．的面积等于 C．直线的斜率为 D．的离心率等于 12．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，点M的轨迹方程为_________. 3.2.1 双曲线及其标准方程 A组：基础巩固 一、选择题 1．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．方程可化简为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 4．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（    ） A． B． C．或 D．不确定 二、多选题 5．(多选)已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（    ） A．2 B．－1 C．4 D．－3 6．方程表示的曲线中，可以是（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 三、填空题 7．如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是 ． 8．双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． B组：能力提升 9．已知双曲线的下、上焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 10．设，分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 12．已知动圆与圆，圆中的一个外切､一个内切，求动圆圆心的轨迹方程为 3.2.2.1 双曲线的简单几何性质（1） A组：基础巩固 2、 选择题 1．已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 2．一条渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 4．双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为 D．渐近线方程为 6．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ） A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的一条渐近线方程为 C． D．双曲线的焦距为4 三、填空题 7．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为_________． 8．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 . B组：能力提升 9．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（    ） A． B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值 C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个 D．△PF1F2的面积为 12．记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 3.2.2.2 双曲线的简单几何性质（2） A组：基础巩固 一、选择题 1．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（    ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上) A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m 2．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ） A．4米 B．米 C．米 D．米 4．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 二、多选题 5．已知双曲线，则（    ） A．离心率的最小值为4 B．当时离心率最小 C．离心率最小时双曲线的标准方程为 D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 6．已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为为上一点，则（    ） A．双曲线的实轴长为2 B．双曲线的一条渐近线方程为 C． D．双曲线的焦距为4 三、填空题 7．若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 . 8．直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为，则双曲线的离心率e=_______． B组：能力提升 9．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线：（，）的上、下顶点分别为，，点在双曲线上（异于顶点），直线，的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 11．某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.如图，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，则该双曲线的离心率为 . 12.（解答题）已知双曲线，过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？若有，请求出直线l的方程；若没有。请说明理由。 3.3.1 抛物线及其标准方程 A组：基础巩固 一、选择题 1．若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 2．准线方程为的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的准线方程是，则实数的值（    ） A． B． C．8 D． 4．抛物线的准线方程为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 5．对于抛物线，下列描述不正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．准线方程为 D．准线方程为 6．以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．已知抛物线的焦点在轴上，直线与抛物线交于点，且.写出抛物线的一个标准方程 . 8．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . B组：能力提升 9．已知的顶点在抛物线上，若抛物线的焦点恰好是的重心，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知抛物线的焦点为，点在 上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 11．（多选）设抛物线的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 12．已知抛物线上的两点到焦点的距离之和为5，线段的中点的横坐标是2，则＝ ． 3.3.2.1 抛物线的简单几何性质（1） A组：基础巩固 一、选择题 1．抛物线上一点到其对称轴的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．1 2．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．2 3．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为 的直线交抛物线于A，B两点，则（    ） A．32 B． C． D．8 4．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 二、多选题 5．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 6．已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 三、填空题 7．已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则 ． 8．已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ． B组：能力提升 9．已知是抛物线上的两点，且直线经过的焦点，若，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 11．（多选）设O为坐标原点，直线 过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 12．抛物线C：的焦点为F，准线为l，M是C上的一点，点N在l上，若，且，则 . 3.3.2.2 抛物线的简单几何性质（2） A组：基础巩固 一、选择题 1．已知抛物线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 3．下列抛物线中，开口最小的是（ ）   A． B． C． D． 4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则信号装置与卫星接收天线中心的距离为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 5．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 6．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，则称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为F，过抛物线上两点A，B的直线的方程为，弦的中点为C，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是（    ） A．点 B．轴 C． D． 三、填空题 7．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 8．在平面直角坐标系xOy中，，⊙M：与抛物线C：有且仅有两个公共点，直线l过圆心M且交抛物线C于A，B两点，则 ． B组：能力提升 9．已知抛物线C：（）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆的切线，切点分别为点A，B.若，则p的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 10．焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．（多选）已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（    ） A． B．直线过定点 C．的最小值为 D．的最小值为2 12．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点.已知，，则等于 ． 第三章单元测试 一、单选题 1．抛物线的准线方程是，则实数的值（    ） A． B． C．8 D． 2．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．已知抛物线的焦点为，点在 上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 6．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 7．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 8．设O为坐标原点，为椭圆的 两个焦点，点 P在C上，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 11．设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则（    ） A． B． 点在C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值 D．当点在C上时， 三、填空题 12．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为 . 13．已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 14．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 四、解答题 15．求与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程． 16．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上投影，M为上一点，且. (1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程； (2)求过点且斜率为的直线被C所截线段的长度. 17．已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 18．已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 19．已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 32 3.1.1 椭圆及其标准方程 A 组：基础巩固 一、选择题 1．设 P是椭圆 2 2 1 5 3 x y   上的动点，则 P到该椭圆 的两个焦点的距离之和为（ ） A．2 2 B．2 3 C．2 5 D． 4 2 2．P是椭圆 2 24 16 x y 上一点， 1F， 2F 是该椭圆 的两个焦点，且 1 7PF  ，则 2PF （ ） A．1 B．3 C．5 D．9 3．已知椭圆C：   2 2 1 0 5 x y m m    的一个焦点的 坐标为  2,0 ，则m （ ） A．1 B．2 C．5 D．9 4．已知方程 2 2 1 5 3 x y k k     表示焦点在 x轴上的椭 圆,则实数 k的取值范围为（ ） A．    , 1 3,    B．  , 1  C．  1,3 D．  3, 二、多选题 5．设定点 1(0, 3)F  ， 2 (0,3)F ，动点 P满足 1 2 9 ( 0)PF PF a a a     ，则点 P的轨迹可能是 （ ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 6．设椭圆 2 2 : 1 25 9 x yC   的左右焦点为 1F， 2F ，P 是 C上的动点，则下列结论正确的是（ ）． A． 1 2 10PF PF  B．P到 1F最小的距离是 2 C． 1 2PF F△ 面积的最大值为 6 D．P到 1F最大的距离是 9 三、填空题 7．焦点在 x轴上，焦距等于 4，并且经过  3, 2 6P  的椭圆的标准方程为 ． 8．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的左、右焦点 为 1 2( 1,0), (1,0)F F ，且过点 31, , 2 P      则椭圆标准 方程为 ． B 组：能力提升 9．已知 ABC 的周长为 20，且顶点 (0, 4), (0,4)B C ， 则顶点A的轨迹方程是（ ） A． 2 2 1( 0) 36 20 x y x   B． 2 2 1( 0) 20 36 x y x   C． 2 2 1( 0) 6 20 x y x   D． 2 2 1 20 36 x y   10．已知 F 为椭圆 E： 2 2 1 4 3 x y   的右焦点，直线 0  mx y m 与椭圆交于点A，B，则 AFB△ 的 周长为 ） A．4 B． 2 3 C．8 D． 4 3 11．（多选）点 1 2,F F 为椭圆 C的两个焦点，椭圆 C 上存在点 P，使得 1 2 90F PF   ，则椭圆 C的方 程可以是（ ） A． 2 2 1 25 9 x y   B． 2 2 1 25 16 x y   C． 2 2 1 18 9 x y   D． 2 2 1 16 8 x y   12．已知圆 2 2: ( 1) 1M x y   ，圆  2 2: 1 25N x y   ，动圆 P与圆M 外切并与圆 N内切，则圆心 P的轨迹方程为 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 33 3.1.2 椭圆的简单几何性质（1） A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知椭圆 2 2 2: 1( 3)9 x yC a a    的离心率为 3 2 ， 则 a （ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ） A． 2 2 1 20 9 x y   B． 2 2 1 20 10 x y   C． 2 2 1 20 11 x y   D． 2 2 1 20 12 x y   3．已知椭圆方程为 2 22 16x y  ，则该椭圆的长轴 长为（ ） A． 2 2 B．4 C．4 2 D．8 4．椭圆 2 29 25 225x y  上的点  ,P x y 的横、纵坐 标的范围分别为（ ） A． 3, 5x y  B． 1 1, 3 5 x y  C． 5, 3x y  D． 1 1, 5 3 x y  二、多选题 5．已知 M是椭圆 2 2 : 1 8 4 x yC   上一点， 1F ， 2F 是 其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A．椭圆的焦距为 2 B．椭圆的离心率 2 2 e  C．椭圆的短轴长为 4 D． 1 2MFF△ 的面积的最大值是 4 6．已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，若 椭圆C的离心率为 3 2 ，且过点 (2,1)，则椭圆C的 标准方程为（ ） A． 2 2 1 8 2 x y   B． 2 2 1 2 8 x y   C． 2 2 117 17 4 x y   D． 2 2 11717 4 x y   三、填空题 7．已知椭圆 2 2 2x ky  的焦点在 y 轴上，若椭圆 的焦距为 4，则 k的值为 ． 8．椭圆 2 2 1 25 16 x y   的左右焦点分别为 1 2,F F ，点 P在 椭圆上，且 1 2 π 3 FPF  ，则 1 2F PF 的面积是 B 组：能力提升 9．如图，把椭圆 2 2 1 4 3 x y   的长轴 AB分成 10 等 份，过每个分点作 x轴的垂线分别交椭圆的上半 部分于点 1P， 2P ，…， 9P，F是左焦点，则 1 2 9PF P F P F   （ ） A．16 B．18 C．20 D．22 10．椭圆 2 2 1 25 9 x y   与椭圆   2 2 1 9 25 9 x y k k k      的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 11．（多选）设椭圆 2 2: 1 2 xC y  的左右焦点为 1 2,F F ， P是 C上的动点，则（ ） A． 1 2| | | | 2 2PF PF  B．离心率 6 2 e  C．短轴长为 2，长轴长为 4 D． 1 2FPF 不可能是钝角 12．写出一个焦点在 x轴上，且离心率为 6 3 的椭 圆的标准方程： . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 34 3.1.2 椭圆的简单几何性质（2） A 组：基础巩固 一、选择题 1．过椭圆 2 2 1 4 x y  的右焦点且与椭圆长轴垂直的 直线与椭圆相交于 ,A B两点，则 AB 等于（ ） A．4 B．2 3 C．1 D．4 3 2．直线 3 1y x  与椭圆 2 2 1 4 8 x y   的公共点的个数 是（ ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 3．已知椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC   的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 2F 且斜率为 1 的直线 l交椭圆C于 A、B两 点，则 AB 等于（ ） A． 24 7 B． 12 7 C．12 2 7 D． 8 3 7 4．已知椭圆 2 2 1 10 4 x y t t     的焦点在 y轴上，若焦 距为 4，则该椭圆的离心率为（ ） A． 5 5 B． 2 5 5 C． 1 2 D． 3 3 二、多选题 5．已知 M是椭圆 2 2 : 1 8 4 x yC   上一点， 1F ， 2F 是 其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A．椭圆的焦距为 2 B．椭圆的离心率 2 2 e  C．椭圆的短轴长为 4 D． 1 2MFF△ 的面积的最大值是 4 6．设椭圆 2 2: 1( 0) 2 xC y a b    的左右焦点为 1F ， 2F ，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2 2 2PF PF  B．离心率 6 2 e  C． 1 2PFF 面积的最大值为 2 D．以线段 1 2F F 为直径的圆与直线 2 0x y   相切 三、填空题 7．已知椭圆 2 2 : 1 4 3 x yC   ，过点 11, 2 P      的直线交 椭圆C于A、 B两点，若 P为 AB的中点，则直 线 AB的方程为 8．已知椭圆C：   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的上顶点为 B， 两个焦点为 1F ， 2F ，线段 2BF 的垂直平分线过点 1F ， 则椭圆的离心率为 ． B 组：能力提升 9．已知椭圆   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的一条弦所在的 直线方程是 2 9 0x y   ，弦的中点坐标是  4,1M  ，则椭圆的离心率是（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 5 5 10．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆 面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一 部分．灯丝位于椭圆的一个焦点 1F 上，卡门位于 另一个焦点 2F 上．由椭圆一个焦点 1F 发出的光线， 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 2F ．已 知此椭圆的离心率为 5 9 ，且 1 2 5cmFF  ，则灯丝 发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经 过的路程为（ ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 11．（多选）已知椭圆C：   2 2 2 2 1 0    x y a b a b 的 左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过 2F 的直线 l与C交 于 P，Q两点，若 2 1:| |: 1: 4 : 5F Q PQ FQ  ，则 （ ） A． 1 2PF PF B． 1 2QF F 的面积等于 2 6 a C．直线 l的斜率为 2 2 D．C的离心率等于 2 2 12．点  ,M x y 与定点  2,0F 的距离和它到定直 线   8x  的距离的比是1: 2，点 M的轨迹方程为 _________. 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 35 3.2.1 双曲线及其标准方程 A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知双曲线的上、下焦点分别为  1 0,5F ，  2 0, 5F  ，P是双曲线上一点且满足 1 2 6PF PF  ，则双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 1 16 9 x y   B． 2 2 1 9 16 x y   C． 2 2 1 16 9 y x   D． 2 2 1 9 16 y x   2．方程    2 22 22 2 2x y x y      可化简为 （ ） A． 2 2 1 3 yx   B．   2 2 1 0 3 yx x   C． 2 2 1 3 xy   D．   2 2 1 0 3 xy y   3．已知 ( 2,0), (2,0)M N ， 4PM PN  ，则动点 P的轨迹是（ ） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 4．如果双曲线� 2 4 − � 2 12 = 1上一点 P到它的右焦点的 距离是8，那么点 P到它的左焦点的距离是（ ） A． 4 B．12 C． 4或12 D．不确定 二、多选题 5．(多选)已知 F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1| －|PF2|＝2m－1 的动点 P的轨迹是双曲线的一 支，则 m可以是（ ） A．2 B．－1 C．4 D．－3 6．方程 2 2 1 4 3 x y m m     表示的曲线中，可以是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 三、填空题 7．如果双曲线 2 2 1 64 36 x y   上一点 P到焦点 1F 的距离 等于 6，那么点 P到另一焦点 2F 的距离是 ． 8．双曲线经过两点  2, 3A   ， 15 , 23B        ， 则双曲线的标准方程是 ． B 组：能力提升 9．已知双曲线的下、上焦点分别为  1 0, 3F  ，  2 0,3F ， P是双曲线上一点且 1 2 4PF PF  ， 则双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 1 4 5 x y   B． 2 2 1 5 4 x y   C． 2 2 1 4 5 y x   D． 2 2 1 5 4 y x   10．设 1F ， 2F 分别是双曲线 2 2 1 4 45 x y   的左､右焦 点， P是该双曲线上的一点，且 1 23 5PF PF ， 则 1 2PFF 的面积等于（ ） A．14 3 B．7 15 C．15 3 D．5 15 11．（多选）已知方程 2 2 1 4 1 x y t t     表示的曲线为 C，则下列四个结论中正确的是（ ） A．当1 4t  时，曲线 C是椭圆 B．当 4t  或 1t  时，曲线 C是双曲线 C．若曲线 C是焦点在 x轴上的椭圆，则 51 2 t  D．若曲线 C是焦点在 y轴上的双曲线，则 4t  12．已知动圆C与圆 2 21 : ( 3) 4C x y   ，圆 2 2 2:( 3) 4C x y   中的一个外切､一个内切，求动 圆圆心C的轨迹方程为 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 36 3.2.2.1 双曲线的简单几何性质（1） A 组：基础巩固 二、选择题 1．已知双曲线 2 2 : 1 9 7 y xC   ，则下列选项中不正确 的是（ ） A．C的焦点坐标为  4,0 B．C的顶点坐标为  0, 3 C．C的离心率为 4 3 D．C的虚轴长为2 7 2．一条渐近线方程为 2 3 0x y  ，且经过点  (3 3,2 2)的双曲线的标准方程是（ ） A． 2 2 1 9 4 x y   B． 2 2 1 4 9 y x   C． 2 2 1 4 9 x y   D． 2 2 1 9 4 y x   3．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线， 则等轴双曲线的离心率为（ ） A． 2 B．2 C． 3 D．3 4．双曲线 2 2 1 3 yx   的顶点到渐近线的距离为（ ） A． 3 2 B． 1 2 C． 3 4 D． 2 3 3 二、多选题 5．下列关于双曲线 2 2Γ : 1 4 x y  的判断，正确的 是（ ） A．顶点坐标为  2,0 B．焦点坐标为  3,0 C．实轴长为 4 D．渐近线方程为 2 0x y  6．已知双曲线 2 2 2: 1( 0)3 x yC a a    的左､右焦点分 别为 1 2,F F ，离心率为 2,P为C上一点，则（ ） A．双曲线C的实轴长为 2 B．双曲线C的一条渐近线方程为 3y x C． 1 2 2PF PF  D．双曲线C的焦距为 4 三、填空题 7．与椭圆 2 2 1 49 24 x y   有公共焦点，且离心率 5 4 e  的双曲线的方程为_________． 8．已知 F 为双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的右 焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂 直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率 为 . B 组：能力提升 9．已知 1 2,F F 是双曲线 C的两个焦点，P为 C上一 点，且 1 2 1 260 , 3FPF PF PF    ，则 C的离心 率为（ ） A． 7 2 B． 13 2 C． 7 D． 13 10．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍，且一个顶点的坐标为  0,2 ，则双曲线的 标准方程为（ ） A． 2 2 1 4 4 x y   B． 2 2 1 4 4 y x   C． 2 2 1 4 yx   D． 2 2 1 4 xy   11．已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   （a＞0，b＞0）的左、 右两个顶点分别是 A1、A2，左、右两个焦点分别 是 F1、F2，P是双曲线上异于 A1、A2的任意一点， 给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A． 1 2 2PA PA a  B．直线 PA1、PA2的斜率之积等于定值 2 2 b a C．使得△PF1F2为等腰三角形的点 P有且仅有 8 个 D．△PF1F2的面积为 2 1 2tan 2 b A PA 12．记双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的离心率为 e，写出满足条件“直线 2y x 与 C无公共点”的 e 的一个值 ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 37 3.2.2.2 双曲线的简单几何性质（2） A 组：基础巩固 一、选择题 1．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测 点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一 声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点 晚 2s，已知各观测点到该中心的距离是 680m， 则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时 声音传播的速度为 340m/s，相关各点均在同一平 面上) A．西偏北 45°方向，距离 340 3m B．东偏南 45°方向，距离 340 3m C．西偏北 45°方向，距离 170 3m D．东偏南 45°方向，距离 170 3m 2．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲 线的光学性质．如图，从双曲线右焦点 2F 发出的 光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光 线的反向延长线经过左焦点 1F ．已知双曲线的方 程为 2 2 1x y  ，则当入射光线 2F P和反射光线 PE互相垂直时（其中 P为入射点）， 1 2FF P 的 大小为（ ） A． 12  B． 6  C． 3  D． 5 12  3．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线 2 2 1 16 y x m   的图象的一部分，当拱顶 M到水面的 距离为 4 米时，水面宽 AB为4 3米，则当水面 宽度为 4 6米时，拱顶 M到水面的距离为（ ） A．4 米 B．  8 2 4 米 C．  2 6 4 米 D．  4 7 4 米 4．设 F为双曲线 C： 2 2 2 2 1 x y a b   （a>0，b>0）的右 焦点，O为坐标原点，以 OF为直径的圆与圆 x2+y2=a2交于 P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A． 2 B． 3 C．2 D． 5 二、多选题 5．已知双曲线   2 2 2 1 04 x y m m m m      ，则（ ） A．离心率的最小值为 4 B．当 1m  时离心率最小 C．离心率最小时双曲线的标准方程为 2 2 1 2 6 x y   D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 3 0x y  6．已知双曲线 2 2 2: 1( 0)3 x yC a a    的左､右焦点分 别为 1 2,F F ，离心率为 2,P为C上一点，则（ ） A．双曲线C的实轴长为 2 B．双曲线C的一条渐近线方程为 3y x C． 1 2 2PF PF  D．双曲线C的焦距为 4 三、填空题 7．若双曲线 2 2 2 2 1 x y a b   的离心率为 2，则此双曲线 的渐近线方程 . 8．直线 2 3 y x 与双曲线 2 2 2 1( 0)8 x y a a    相交 于 A，B两点，且 A，B两点的横坐标之积为 9 ， 则双曲线的离心率 e=_______． B 组：能力提升 9．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左、右焦点 分别为 1 2F F、 ．过 2F 向一条渐近线作垂线，垂足 为 P．若 2 2PF  ，直线 1PF的斜率为 2 4 ，则双 曲线的方程为（ ） A． 2 2 1 8 4 x y   B． 2 2 1 4 8 x y   C． 2 2 1 4 2 x y   D． 2 2 1 2 4 x y   深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 38 10．已知双曲线C： 2 2 2 2 1 y x a b   （ 0a  ， 0b  ）的 上、下顶点分别为 1A， 2A ，点 P在双曲线C上（异 于顶点），直线 1PA， 2PA 的斜率乘积为 3 4 ，则 双曲线C的渐近线方程为（ ） A． 1 2 y x  B． 3 2 y x  C． 2 3 3 y x  D． 2y x  11．某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其 虚轴旋转所形成的曲面.如图，它的最小半径为 20m，上口半径为10 5m，下口半径为 20 2m， 高为60m，则该双曲线的离心率为 . 12.（解答题）已知双曲线 2 2 1 2 yx   ，过点 (1,1)P 的直线 l与双曲线相交于 A，B两点，P能否是线 段 AB的中点？若有，请求出直线 l的方程；若 没有。请说明理由。 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 39 3.3.1 抛物线及其标准方程 A 组：基础巩固 一、选择题 1．若动点 P到点  3,0 的距离和它到直线 3x   的 距离相等，则动点 P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 2．准线方程为 2y   的抛物线的标准方程为（ ） A． 2 4y x B． 2 8y x C． 2 4x y D． 2 8x y 3．抛物线 2 1x y a  的准线方程是 2y  ，则实数 a的 值（ ） A． 1 8  B． 1 8 C．8 D． 8 4．抛物线 2 4x y 的准线方程为( ) A．   1x   B．   1x  C．   1y   D．   1y  二、多选题 5．对于抛物线 2 1 16 y x ，下列描述不正确的是（ ） A．开口向上，焦点为 (0,4) B．开口向上，焦点为 (4,0) C．准线方程为 4x   D．准线方程为 4y   6．以直线2 1 0x y   与坐标轴的交点为焦点的抛 物线的标准方程为（ ） A． 2 2y x B． 2 4y x  C． 2 4x y  D． 2 2x y  三、填空题 7．已知抛物线的焦点 F 在 x轴上，直线 2y   与抛 物线交于点A，且 5 2 AF  .写出抛物线的一个标 准方程 . 8．已知点  1, 5A 在抛物线 C： 2 2y px 上，则 A 到 C的准线的距离为 . B 组：能力提升 9．已知 ABCV 的顶点在抛物线 2 2y x 上，若抛物 线的焦点 F 恰好是 ABCV 的重心，则 | | | | | |FA FB FC  的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ，点M 在C 上．若M 到直线 3x   的距离为 5，则 | |MF （ ） A．7 B．6 C．5 D．4 11．（多选）设抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F， 点M在 y轴上．若线段 FM的中点 B在抛物线上， 且点 B到抛物线准线的距离为 3 2 4 ，则点 M的 坐标可能为（ ） A．  0, 1 B．  0, 2 C．  0,2 D．  0,1 12．已知抛物线  2 2 0y px p  上的两点 ,A B到焦 点的距离之和为 5，线段 AB的中点的横坐标是 2， 则 p＝ ． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 40 3.3.2.1 抛物线的简单几何性质（1） A 组：基础巩固 一、选择题 1．抛物线 2 1 8 y x 上一点  0,2A x 到其对称轴的距 离为（ ） A．4 B．2 C． 2 D．1 2．已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F，过点 F的直线 交拋物线于 A，B两点，延长 FB交准线于点 C， 分别过点 A，B作准线的垂线，垂足分别记为 M， N，若 | | 2 | |BC BN ，则 AFM△ 的面积为（ ） A． 4 3 B．4 C．2 3 D．2 3．已知过抛物线 2 : 8 xC y  的焦点 F ，且倾斜角为 π 3 的直线 l交抛物线C于 A，B两点，则 | |AB （ ） A．32 B． 32 3 C． 28 3 D．8 4．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  上一点M 到其准线 及对称轴的距离分别为 3 和 2 2 ，则 p （ ） A．2 B．2 或 4 C．1 或 2 D．1 二、多选题 5．（多选）对于抛物线上 2 1 8 x y ，下列描述正确 的是（ ） A．开口向上，焦点为  0,2 B．开口向上，焦点为 10, 16       C．焦点到准线的距离为 4 D．准线方程为 4y   6．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F，点  0 0,M x y ) 在抛物线C上，若 | | 4MF  ，则（ ） A． 0 3x  B． 0 2 3y  C． | | 21OM  D． F 的坐标为  0,1 三、填空题 7．已知直线 l过抛物线 C： 2 4y x 的的焦点且与 C 交于 A，B两点，线段 AB中点的横坐标 3，则 AB  ． 8．已知抛物线 C的方程为  2 2 0y px p  ，若倾 斜角为锐角的直线 l过抛物线的焦点 F，与抛物 线交于 A，B两点，且 3AF BF ，则直线 l的 倾斜角为 ． B 组：能力提升 9．已知    1 1 2 2, , ,A x y B x y 是抛物线 2: 8C x y 上的 两点，且直线 AB经过C的焦点，若 1 2 12y y  ， 则 AB （ ） A．12 B．14 C．16 D．18 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两 个顶点在抛物线 2 4y x 上，则这个等边三角形的 边长为（ ） A．8 3 B． 4 2 C． 4 3 D．3 2 11．（多选）设 O为坐标原点，直线  3 1y x   过抛物线  2: 2 0C y px p  的焦点，且与 C交 于 M，N两点，l为 C的准线，则（ ）． A． 2p  B． 8 3 MN  C．以 MN为直径的圆与 l相切 D． OMN 为等腰三角形 12．抛物线 C： 2 8y x 的焦点为 F，准线为 l，M 是 C上的一点，点 N在 l上，若 FM FN ，且 10MF  ，则 NF  . 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 41 3.3.2.2 抛物线的简单几何性质（2） A 组：基础巩固 一、选择题 1．已知抛物线 2: 4C y x 与圆 2 2: ( 1) 4E x y   交 于 A，B两点，则 | |AB （ ） A．2 B． 2 2 C．4 D． 4 2 2．若点 ( , )m n 在抛物线 2 13y x  上，则下列点中 一定在该抛物线上的是（ ） A． ( , )m n  B． ( , )m n C． ,m n( ) D． ( , )n m  3．下列抛物线中，开口最小的是（ ） A． 2 1 2 y x B． 2y x C． 2 2y x D． 2 4y x 4．一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面 的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似 平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚 集到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点 处）．已知接收天线的口径（直径）为5m，深 度为1m，则信号装置与卫星接收天线中心O的 距离为（ ）． A． 25m 16 B． 25m 8 C． 25m 4 D． 5m 4 二、多选题 5．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线 经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方 向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线 经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F，O为坐标原点，一束平行于 x轴的光线 1l 从点   2, 4P m n n m 射入，经过抛 物线上的点  1 1,A x y 反射后，再经抛物线上另一 点  2 2,B x y 反射后，沿直线 2l 射出，则下列结论 中正确的是（ ） A． 1 2 1x x  B．点  1 1,A x y 关于 x轴的对称点在直线 2l 上 C．直线 2l 与直线 = 1x  相交于点 D，则 A，O， D三点共线 D．直线 1l 与 2l 间的距离最小值为 4 6．阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、 天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上 任意两点 A，B处的切线交于点 P，则称 PAB 为 “阿基米德三角形”．已知抛物线 2 8x y 的焦点为 F，过抛物线上两点 A，B的直线的方程为 2 0x y   ，弦 AB的中点为 C，则关于“阿基米 德三角形” PAB ，下列结论正确的是（ ） A．点 ( 3, 2)P  B． PC x 轴 C． PA PB D． PF AB 三、填空题 7．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两 个顶点在抛物线 2 3y x 上，则这个等边三角形 的边长为 . 8．在平面直角坐标系 xOy中， 0r  ，⊙M：   2 2 2 3 4 rx r y   与抛物线 C： 2 4y x 有且仅有 两个公共点，直线 l过圆心M且交抛物线 C于 A， B两点，则OA OB    ． B 组：能力提升 9．已知抛物线 C： 2 2y px （ 0p  ）的焦点为 F， 准线与 x 轴交于点 K，过点 K 作圆 2 2 2 2 4 p px y       的切线，切点分别为点 A，B. 若 3AB  ，则 p 的值为（ ） A．1 B． 3 C．2 D．3 10．焦点为 F 的抛物线  2 2 0y px p  上有一点  2, 2P p ，O为坐标原点，则满足 MP MO MF  的点M 的坐标为（ ） A． 1 3, 2 2       B． 1 7, 4 4       C． 1 5, 2 2       D． 1 9, 4 4       11．（多选）已知抛物线C： 2 4y x ，O为坐标原 点，直线 l交抛物线于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点， 若 4OA OB     ，则（ ） A． 1 2 8y y   B．直线 l过定点  2,0 C． AOBS 的最小值为 2 2 D． 1 2 1 4 x x  的最小值为 2 12．以抛物线C： 2 2 ( 0)y px p  的顶点为圆心的 圆交C于 ,A B两点，交C的准线于 ,D E两点.已 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 42 知 | | 2 6AB  ， | | 2 10DE  ，则 p等 于 ． 第三章单元测试 一、单选题 1．抛物线 2 1x y a  的准线方程是 2y  ，则实数 a的 值（ ） A． 1 8  B． 1 8 C．8 D． 8 2．设 1 2,F F 为椭圆 2 2: 1 5 xC y  的两个焦点，点 P在 C上，若 1 2 0PF PF    ，则 1 2PF PF （ ） A．1 B．2 C．4 D．5 3．已知抛物线 2: 8C y x 的焦点为 F ，点M 在C 上．若M 到直线 3x   的距离为 5，则 | |MF （ ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．双曲线 2 2 1 4 9 x y   的渐近线方程是（ ） A． 3 2 y x  B． 2 3 y x  C． 9 4 y x  D． 4 9 y x  5．已知曲线 C： 2 2 16x y  （ 0y  ），从 C上任 意一点 P向 x轴作垂线段 PP，P为垂足，则线 段 PP的中点 M的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1 16 4 x y   （ 0y  ） B． 2 2 1 16 8 x y   （ 0y  ） C． 2 2 1 16 4 y x   （ 0y  ） D． 2 2 1 16 8 y x   （ 0y  ） 6．已知双曲线的两个焦点分别为    0,4 , 0, 4 ，点  6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ） A．4 B．3 C．2 D． 2 7．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的离心率 为 5，C的一条渐近线与圆 2 2( 2) ( 3) 1x y    交于 A，B两点，则 | |AB （ ） A． 5 5 B． 2 5 5 C． 3 5 5 D． 4 5 5 8．设 O为坐标原点， 1 2,F F 为椭圆 2 2 : 1 9 6 x yC   的 两个焦点，点 P在 C上， 1 2 3cos 5 F PF  ，则 | |OP  （ ） A． 13 5 B． 30 2 C． 14 5 D． 35 2 二、多选题 9．双曲线 C的两个焦点为 1 2,F F ，以 C的实轴为直 径的圆记为 D，过 1F作 D的切线与 C交于 M，N 两点，且 1 2 3cos 5 F NF  ，则 C的离心率为（ ） A． 5 2 B． 3 2 C． 13 2 D． 17 2 10．已知 O为坐标原点，过抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  焦点 F的直线与 C交于 A，B 两点，其中 A在第一象限，点 ( ,0)M p ，若 | | | |AF AM ，则（ ） A．直线 AB的斜率为2 6 B． | | | |OB OF C． | | 4 | |AB OF D． 180OAM OBM    11．设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的 曲线 C的一部分.已知 C过坐标原点 O.且 C上的 点满足:横坐标大于 2 ，到点 (2,0)F 的距离与到 定直线 ( 0)x a a  的距离之积为 4，则（ ） A． 2a   B．点 (2 2,0)在 C上 C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值 D．当点  0 0,x y 在 C上时， 0 0 4 2 y x   三、填空题 12．已知点  1, 5A 在抛物线 C： 2 2y px 上，则 A 到 C的准线的距离为 . 13．已知双曲线 C的焦点为 ( 2,0) 和 (2,0)，离心率 为 2，则 C的方程为 ． 14．设双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     的左右焦点分 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 43 别为 1 2F F、 ，过 2F 作平行于 y轴的直线交 C于 A， B两点，若 1| | 13,| | 10F A AB  ，则 C的离心率 为 ． 四、解答题 15．求与椭圆 2 2 1 9 4 x y   有公共焦点，且离心率为 5 2 的双曲线方程． 16．如图，设 P 是圆 2 2 25x y  上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上投影，M 为 PD 上一点，且 4 5 MD PD . (1)当 P在圆上运动时，求点 M的轨迹 C的方程； (2)求过点  3,0 且斜率为 4 5 的直线被 C所截线段的 长度. 17．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的离心率为 5 3 ，A、C分别是 E的上、下顶点，B，D分别 是 E的左、右顶点， | | 4AC  ． (1)求 E的方程； (2)设 P为第一象限内 E上的动点，直线PD与直 线 BC交于点M ，直线 PA与直线 2y   交于点 N．求证： //MN CD． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 44 18．已知直线 2 1 0x y   与抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  交于 ,A B两点，且 | | 4 15AB  ． (1)求 p； (2)设 F为 C的焦点，M，N为 C上两点， 0FM FN    ，求 MFN△ 面积的最小值． 19．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是 1( 3,0)F  ，一条渐近线的方程是 5 2 0x y  ． (1)求双曲线C的方程； (2)若以 ( 0)k k  为斜率的直线 l与双曲线C相交于 两个不同的点 M，N，线段 MN的垂直平分线与 两坐标轴围成的三角形的面积为 81 2 ，求 k的取值 范围． 深挖课本、夯实基础；紧扣高考、循序渐进！ ____年____月___日 45 3.1.1 椭圆及其标准方程 1【答案】C 【详解】椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2． 2【答案】A 【详解】对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得,又，故. 3【答案】A 【详解】由题意得， ，因焦点在轴，所以，，由得，解得． 4【答案】C 【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,需满足,解得. 5【答案】BC 【详解】由题意知，定点，，可得，因为，可得，当且仅当，即时等号成立．当时，可得的，此时点的轨迹是线段；当时，可得，此时点的轨迹是椭圆． 6【答案】AD 【详解】由椭圆方程可得：，则，对A：根据椭圆的定义可得，A正确；对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，B错误；对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，最小值为，D正确. 7【答案】 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为，由题意，有，解得，所以椭圆的标准方程为 8【答案】 【详解】由题知：①，又椭圆经过点，所以②，又③，联立解得：，故椭圆的标准方程为：. 9【答案】B 【详解】∵△ABC的周长为20，顶点，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是 10【答案】C 【详解】直线恒过定点为椭圆的左焦点，由椭圆的定义知的周长. 11【答案】ACD 【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，由余弦定理可得， ，即，，，则，检验可得选项A，C，D满足. 12【答案】 【详解】设动圆P的圆心为，半径为，由题意得，所以，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，则，即，，则，所以动圆圆心的轨迹方程为 3.1.2 椭圆的简单几何性质（1） 1【答案】B 【详解】因为椭圆的离心率为，所以，所以. 2【答案】A 【详解】由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足， 因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁． 3【答案】D 【详解】椭圆方程为，即，因为，所以，，则该椭圆的长轴长为. 4【答案】C 【详解】由，得，所以椭圆的标准方程为，则，因为点在椭圆上，所以． 5【答案】BCD 【详解】因椭圆方程为，所以，所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，故A错误，B,C正确；对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2,此时的面积取最大为,故正确. 6【答案】AC 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为.②当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆方程为，由椭圆的离心率为，得，所以椭圆的方程为，因为椭圆过点，所以，，，椭圆的标准方程为. 7【答案】 【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以，所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得． 8【答案】 【详解】由题意可得，又，所以在中，, 即，所以，故， 故 9【答案】B 【详解】因为把椭圆的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点，，…，，设椭圆的右焦点为，且，可得， 由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得，所以. 10【答案】D 【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 11【答案】AD 【详解】椭圆，，，A正确；离心率，B错误；短轴长为，长轴长为，C错误；当点P在椭圆短轴端点处时，最大，此时，得，故不可能是钝角，D正确. 12【答案】（答案不唯一） 【详解】解析设椭圆的标准方程为，则，所以，令，则，所以满足题意的一个椭圆的标准方程为 3.1.2 椭圆的简单几何性质（2） 1【答案】C 【详解】因为椭圆，可得，所以，所以椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，求得，所以. 2【答案】C 【详解】由消去y并整理得，显然， 所以直线与椭圆相交，有2个公共点. 3【答案】A 【详解】设直线AB方程为，联立椭圆方程整理可得：，设，则，，根据弦长公式有： =．故B，C，D错误. 4【答案】B 【详解】由题得，即，由焦距为4得，解得， 可得椭圆方程为，所以，，所以离心率为. 5【答案】BCD 【详解】因椭圆方程为，所以，所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为，故A错误，B,C正确；对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2,此时的面积取最大为,故正确. 6【答案】AD 【详解】由题意，椭圆，可得，可得，所以焦点为,根据椭圆的定义，所以A正确；椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确. 7【答案】 【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，因为，两式作差得，即， 即，所以，， 因此，直线的方程为，即. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 8【答案】 【详解】如图，设的垂直平分线与交于点，由题，，，，则， ，，，，化简得，， 由，解得，，即. 9【答案】B 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，则，，直线的斜率.由，得，得，所以， 故椭圆的离心率. 10【答案】A 【详解】设椭圆的方程为，因为此椭圆的离心率为，且，所以，所以，所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm. 11【答案】ABD 【详解】由可知， 不妨设，又，可得； 利用椭圆定义可知，所以可得； 即，所以点即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：   由，可知满足，所以；即A正确； 所以为等腰直角三角形，且， 因此的面积为， 即B正确；此时可得直线的斜率，所以C错误；在等腰直角三角形中，易知，即可得离心率，即D正确； 12【答案】 【详解】设d是点M到直线的距离，根据题意， 所求轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得，即点M的轨迹方程为：；轨迹是椭圆． 3.2.1 双曲线及其标准方程 1【答案】D 【详解】依题意，，所以，由于双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程是. 2【答案】D 【详解】由得， 两边平方得，且得， 两边再平方得，可化简为. 3【答案】C 【详解】因为，于是有，所以动点P的轨迹是一条射线． 4【答案】C 【详解】设双曲线的左、右焦点为，则；则，由双曲线定义可得，即，所以或，由于，故点到它的左焦点的距离是或， 5【答案】AB 【详解】设双曲线的方程为，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0， ∴，且，∴AB满足条件． 6【答案】AB 【详解】因为，若，即时，方程表示的曲线双曲线；若，即时，方程表示的曲线椭圆. 7【答案】22 【详解】由题意得，又，所以. 8【答案】 【详解】设双曲线的方程为，由题意可得：，解得， 所以双曲线的标准方程是. 9【答案】C 【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为，，所以设双曲线的方程为，半焦距为；又因为是双曲线上一点且， 所以，即，则；所以双曲线的标准方程为. 10【答案】C 【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为. 11【答案】BCD 【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确. 12【答案】 【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，由圆，可得圆心，半径，圆，可得圆心，半径．根据题意，可得或，所以或，可得，又因为，可得，根据双曲线的定义，可得点的轨迹为以为焦点的双曲线，且，所以，则，所以所求曲线的轨迹方程为. 3.2.2.1 双曲线的简单几何性质（1） 1【答案】A 【详解】因为，所以，因为焦点在轴上，所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 2【答案】A 【详解】由题意设双曲线的方程为，将点（，）代入双曲线方程得，所以双曲线的方程为，即. 3【答案】A 【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，所以离心率. 4【答案】A 【详解】由题知双曲线中,,焦点在轴上,所以顶点坐标为,渐近线方程为:,由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离 ，所以双曲线的顶点到渐近线的距离为 5【答案】ACD 【详解】对于双曲线，，，则，对于A选项，双曲线的顶点坐标为，A对；对于B选项，双曲线的焦点坐标为，B错；对于C选项，双曲线的实轴长为，C对；对于D选项，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 6【答案】ABD 【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故， 实半轴长为1，实轴长为，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；由于可能在的不同分支上，则有，C错误；焦距为正确. 7【答案】 【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是，， 故双曲线方程可设为， 又双曲线的离心率，∴ 解之得，，故双曲线的方程为. 8【答案】2 【详解】联立，解得，所以.依题可得，，，即，变形得，,因此，双曲线的离心率为. 9【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即. 10【答案】B 【详解】双曲线一个顶点的坐标为，可得双曲线的焦点在轴上，且，又，所以，①又，② ①②联立，解得，，所以双曲线的标准方程为. 11【答案】BC 【详解】根据双曲线的定义可得：，A错误；设，则，即，∵，则 ∴，B正确；不妨P在第一象限，根据双曲线的定义可知，若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一；若，结合图象易知，则满足条件的点存在且唯一 根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个，C正确；不妨P在第一象限，则 ∴则 D不正确； 12【答案】2（满足皆可） 【详解】，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”，所以，又因为，所以， 3.2.2.2 双曲线的简单几何性质（2） 1【答案】A 【详解】如图，以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则 设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，.由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上，依题意得 故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即 故 .故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处． 2【答案】D 【详解】由得：，，．设，则．所以，解得（舍去）， 所以，， ，所以． 3【答案】D 【详解】根据题意：，，故，解得，即，当水面宽度为米时，即时，，拱顶M到水面的距离为. 4【答案】A 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．． 5【答案】CD 【详解】由题意可得．因为，所以，即，当且仅当，即时取等号．此时双曲线方程是，渐近线方程是． 6【答案】ABD 【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，实半轴长为1，实轴长为，A正确；因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；由于可能在的不同分支上，则有，C错误；焦距为正确. 7【答案】 【详解】由题可知，离心率，即，又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 8【答案】. 【详解】联立，得，设，， 则，解得. 所以，离心率. 9【答案】D 【详解】如图，因为，不妨设渐近线方程为，即，所以， 所以.设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为 10【答案】B 【详解】设点，又，，则 ， 所以，又因为点在双曲线上得， 所以，故，所以 则双曲线的渐近线方程为. 11【答案】BC 【详解】双曲线离心率为故渐近线方程为，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,则，所以则. 12【答案】 【详解】以最小半径的圆的圆心为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为，，. 将，点的坐标代入双曲线方程得则解得 ∴，即，故双曲线的离心率. 3.3.1 抛物线及其标准方程 1【答案】B 【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线，所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线. 2【答案】D 【详解】的准线方程为. 3【答案】A 【详解】由题意可得：，解得. 4【答案】C 【详解】由题知，抛物线方程为，则其准线方程为. 5【答案】BC 【详解】因为，所以，所以抛物线开口向上，焦点为，其准线方程为，结合选项可得A,D正确. 6【答案】AC 【详解】直线与轴的交点坐标是，即抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程，与轴的交点坐标是，抛物线的焦点坐标是，此时抛物线的标准方程是. 7【答案】或或或（写出一个即可） 【详解】设所求焦点在轴上的抛物线的方程为，， 由抛物线定义得.又∵或， 故所求抛物线方程为或. 8【答案】 【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为. 9【答案】A 【详解】设，抛物线，则，焦点恰好是的重心，则，故． 10【答案】D 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故. 11【答案】BC 【详解】设，易知，则，如图所示．设抛物线的准线为l，过B作于点，则，解得． 所以抛物线方程为，且，又B在抛物线上，所以，因此，解得．所以点M的坐标为或． 12【答案】1 【详解】设，，中点坐标为，则，，解得. 3.3.2.1 抛物线的简单几何性质（1） 1【答案】A 【详解】把代入抛物线方程中，得，因为该抛物线的对称轴为纵轴，所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4， 2【答案】A 【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，则，，因为，所以，所以，所以，所以，，所以.因为，所以，解得，所以，点F到AM的距离为，所以. 法二：因为，所以，所以，即. 连接FM，又，所以为等边三角形.易得，所以. 3【答案】A 【详解】因为抛物线，所以，，所以直线的方程为，由，得，显然，设则有，所以，由抛物线定义可知. 4【答案】B 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 5【答案】AC 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 6【答案】AC 【详解】由题可知,由，，所以，. 7【答案】8 【详解】设，则，抛物线中， 所以． 8【答案】 【详解】如图，直线为抛物线的准线，过点分别作垂直于，作，因为，，且，所以, 则，，所以，则，即直线的倾斜角为. 9【答案】C 【详解】. 10【答案】A 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得，故这个等边三角形的边长为. 11【答案】AC 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.B选项：设，由消去并化简得，解得，所以，B选项错误.C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，因为，即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.D选项：直线，即，到直线的距离为，所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.    12【答案】5 【详解】由题意可得：抛物线C：的焦点为，准线，不妨设点，则，即，可得，即，故，则直线的斜率，∵，则直线的斜率，∴直线的方程，令，解得，即，故. 3.3.2.2 抛物线的简单几何性质（2） 1【答案】C 【详解】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立得，解得，则，将代入可得，则. 2【答案】B 【详解】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上. 3【答案】A 【详解】对于对于抛物线的标准方程中，开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小，观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小 4【答案】A 【详解】如图建立直角坐标系： 设抛物线的方程为，利用已知条件可得：点在抛物线上，所以， 则，所以信号装置与卫星接收天线中心的距离为. 5【答案】ACD 【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点， 设直线AB的方程为，将直线AB的方程代入中，得， 所以由韦达定理得，，所以，故选项A正确；若点关于x轴的对称点在直线上，则，所以，即，不一定成立，故不合题意，选项B错误；直线与相交于点，所以直线OD的斜率为，又直线OA的斜率为，所以，所以A，O，D三点共线，故选项C正确；直线与间的距离， 当时，d取最小值4，故选项D正确； 6【答案】BCD 【详解】由消y可得，令， ，， 解得，，A错．，∴轴，B对． ，∴，D对．，∴，C对 7【答案】6 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为，则，代入得，解得（舍），故等边三角形的边长为6， 8【答案】0 【详解】因⊙M与抛物线C有且仅有两个公共点，而⊙M与抛物线C都关于x轴对称，因此，两个公共点的横坐标相同，并且唯一，由消去y并整理得：，且，于是得，解得，即点，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为，由消去x并整理得：，设，则， 所以. 9【答案】C 【详解】连接，如下图 因为F就是圆的圆心，所以，且. 又，所以，那么，所以是等边三角形 所以.又，所以. 10【答案】B 【详解】将点的坐标代入抛物线中得，解得，则，所以的斜率为1，且的中点为，则的垂直平分线方程为，即，又的垂直平分线方程为，又，则点为的垂直平分线和的垂直平分线的交点，所以点的坐标为． 11【答案】ABD 【详解】设直线的方程为联立，得， 则，又，则即所以，(舍），，则即，所以直线的方程为 则直线过定点，故正确； ，当时，等号成立， 即的最小值为，故错误； 因为，则， 当且仅当，即时，等号成立，故正确. 12【答案】. 【详解】如图：，，，，， ，， ，解得： 故答案为． 第三章单元测试 1【答案】A【详解】由题意可得：，解得. 2【答案】B【详解】方法一：因为，所以，从而，所以． 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，，所以，又，平方得：，所以． 3【答案】D【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故. 4【答案】A 【详解】双曲线的渐近线方程是： 5【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 6【答案】C 【详解】由题意，设、、， 则，，，则，则. 7【答案】D【详解】由，则， 解得，所以双曲线的一条渐近线为， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 8【答案】B 【详解】方法一：设，所以， 由，解得：，由椭圆方程可知，， 所以，，解得：，即，因此． 故选：B． 方法二：因为①，， 即②，联立①②， 解得：， 而，所以， 即． 故选：B． 方法三：因为①，， 即②，联立①②，解得：， 由中线定理可知，，易知，解得：． 9【答案】AC 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则，, 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，所以，， ，设，由，即，则， , 所以，即，所以双曲线的离心率 [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ，则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ，则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：，故，故， 10【答案】ACD 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 11【答案】ABD 【详解】对于A：设曲线上的动点，则且， 因为曲线过坐标原点，故，解得，故A正确. 对于B：又曲线方程为，而， 故. 当时，， 故在曲线上，故B正确. 对于C：由曲线的方程可得，取， 则，而，故此时， 故在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D：当点在曲线上时，由C的分析可得， 故，故D正确. 12【答案】【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，准线方程为，点到的准线的距离为. 13【答案】 【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为. 14【答案】 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入得，即，故，， 又，得，解得，代入得，故，即，所以. 15【详解】由椭圆方程可得长半轴，短半轴，则半焦距，即焦点坐标为∵焦点在x轴上，设双曲线的方程为， 由题意可得，解得， 故双曲线的方程为. 16【详解】（1）设，则，， 因为，所以，即，故，所以，因为P是圆上的点，所以，即； （2）过点且斜率为的直线方程为， 与联立得：，易得， 设直线与的两交点坐标分别为，则，， 学科网（北京）股份有限公司 故被C所截线段的长度为. 17【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即，而，则直线的方程为，令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 又，即， 显然，与不重合，所以. 18【详解】（1）设， 由可得，，所以，所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，，， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 19【详解】（1）解：设双曲线的方程为． 由题设得，解得，所以双曲线方程为． （2）设直线的方程为． 点，，，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得． 此方程有两个不等实根，于是，且△． 整理得． ③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标，满足，． 从而线段的垂直平分线方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，． 由题设可得． 整理得，． 将上式代入③式得，整理得，． 解得或． 所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$74 3.1.1 椭圆及其标准方程 1【答案】C 【详解】椭圆 2 2 5 3 x y  =1 的焦点坐标在 x 轴，a= 5，P 是椭 圆 2 2 5 3 x y  =1 上的动点，由椭圆的定义可知：则 P 到该椭圆 的两个焦点的距离之和为 2a=2 5． 2【答案】A 【详解】对椭圆方程 2 24 16 x y 变形得 2 2 1 16 4 x y   ，易知 椭圆长半轴的长为 4， 由椭圆的定义可得 1 2 2 4 8PF PF    ,又 1 7PF  ，故 2 1PF  . 3【答案】A 【详解】由题意得， 2c  ，因焦点在 x轴，所以 2 5a  ， 2b m ， 由 2 2 2a b c  得 25 2m  ，解得 1m  ． 4【答案】C 【详解】根据题意,要使方程 2 2 1 5 3 x y k k     表示焦点在 x轴 上的椭圆,需满足 5 0 3 0 5 3 k k k k          ,解得 1 3k   . 5【答案】BC 【详解】由题意知，定点 1(0, 3)F  ， 2 (0,3)F ，可得 1 2 6F F  ， 因为 0a  ，可得 1 2 9 92 6PF PF a a a a       ，当且仅当 9a a  ，即 3a  时等号成立．当 9 6a a   时，可得的 1 2 1 2PF PF FF  ，此时点 P的轨迹是线段 1 2F F ；当 9 6a a   时，可得 1 2 1 2PF PF FF  ，此时点 P的轨迹是椭圆． 6【答案】AD 【详解】由椭圆方程可得： 5, 3a b  ，则 2 2 4c a b   ， 对 A：根据椭圆的定义可得 1 2 2 10PF PF a   ，A 正确； 对 B：根据椭圆性质可知当 P是椭圆的左顶点时，P到 1F的 距离最小，最小值为 1a c  ，B 错误；对 C：根据椭圆性 质可知当 P是椭圆的上顶点时， 1 2PF F△ 的面积最大，最大 值为 1 2 12 2 c b   ，C 错误；对 D：根据椭圆性质可知当 P 是椭圆的右顶点时，P到 1F的距离最大，最小值为 9a c+ = ， D正确. 7【答案】 2 2 1 36 32 x y   【详解】因为椭圆的焦点在 x轴上，所以设椭圆的标准方程 为   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     ，由题意，有  22 2 2 2 2 2 2 4 2 63 1 c a b a b c           ， 解得 2 236, 32a b  ，所以椭圆的标准方程为 2 2 1 36 32 x y   8【答案】 2 2 1 4 3 x y   【详解】由题知： 1c  ①，又椭圆经过点 31, 2 P      ，所以 2 2 9 1 4 1 a b   ②，又 2 22a cb  ③，联立解得： 2 24, 3a b  ， 故椭圆的标准方程为： 2 2 1 4 3 x y   . 9【答案】B 【详解】∵△ABC的周长为 20，顶点 (0, 4), (0,4)B C ， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点 A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是 2 2 1( 0) 20 36 x y x   10【答案】C 【详解】直线 0  mx y m 恒过定点  1 1,0F  为椭圆 E的左 焦点，由椭圆的定义知 AFB△ 的周长 1 1 2 2 4 8AF AB BF AF AF BF BF a a a          . 11【答案】ACD 【详解】设椭圆方程为 2 2 2 2 1 x y a b    0a b  ，设椭圆上顶 点为 B，椭圆C上存在点 P，使得 1 2 90F PF   ，则需 1 2 90F BF   ，由余弦定理可得 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c 0 2 os     F BF BF F F F B BF B F ， 2 2 2 1 2 1 2BF BF F F   ，即 2 2 24a a c  ， 2 2 2c a b  ， 2 2 242 4a a b ，则 2 22a b ，检验可得选项 A，C，D 满足. 12【答案】 2 2 1 9 8 x y   【详解】设动圆 P的圆心为  ,P x y ，半径为 R，由题意得 1, 5PM R PN R    ，所以 6 2PM PN   ，所以点 P的轨迹为以MN为焦点的椭圆，则 2 6a  ，即 3a  ， 1c  ， 则 2 8b  ，所以动圆圆心 P的轨迹方程为 2 2 1 9 8 x y   3.1.2 椭圆的简单几何性质（1） 1【答案】B 【详解】因为椭圆 2 2 2: 1( 3)9 x yC a a    的离心率为 3 2 ，所 以 2 2 3 91 2 a         ，所以 6a  . 2【答案】A 【详解】由 2 21 be a   ，根据选项中的椭圆的方程，可得 b a 的值满足 9 10 11 12 20 20 20 20    ， 因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆 中，椭圆 2 2 1 20 9 x y   的离心率最大，故其形状最扁． 3【答案】D 【详解】椭圆方程为 2 22 16x y  ，即 2 2 1 8 16 x y   ，因为16 8 ， 所以 2 16a  ， 4a  ，则该椭圆的长轴长为8 . 4【答案】C 【详解】由 2 29 25 225x y  ，得 2 2 1 25 9 x y   ，所以椭圆的标 准方程为 2 2 1 25 9 x y   ，则 5, 3a b  ，因为点  ,P x y 在椭圆 上，所以 5, 3x y  ． 5【答案】BCD 【详解】因椭圆方程为 2 2 1 8 4 x y   ，所以 2 2, 2, 2a b c   ， 所以椭圆的焦距为 2 4c  ，离心率 2 2 ce a   ，短轴长为 2 4b  ，故 A 错误，B,C正确；对于 D，当 M为椭圆短轴的 一个顶点时， 1 2MFF△ 以 1 2F F 为底时的高最大，为 2,此时 1 2MFF△ 的面积取最大为 1 12 2 2 2 4 2 2 c b       ,故正确. 75 6【答案】AC 【详解】①当椭圆C的焦点在 x轴上时，设椭圆C的标准 方程为 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     ，由椭圆C的离心率为 3 2 ，得 2 24a b ，所以椭圆C的方程为 2 2 2 2 14 x y b b   ，因为椭圆过点 (2,1)，所以 2 2 4 1 1 4b b   ， 2 2b  ， 2 8a  ，椭圆C的标准方 程为 2 2 1 8 2 x y   .②当椭圆C的焦点在 y轴上时，设椭圆方 程为 2 2 2 2 1( 0) y x m n m n     ，由椭圆C的离心率为 3 2 ，得 2 24m n ，所以椭圆C的方程为 2 2 2 2 14 y x n n   ，因为椭圆过 点 (2,1)，所以 2 2 1 4 1 4n n   ， 2 17 4 n  ， 2 17m  ，椭圆C的 标准方程为 2 2 117 17 4 x y   . 7【答案】 1 3 【详解】椭圆 2 2 2x ky  即 2 2 122 x y k   ，焦点在 y轴上，所 以 2 2 2 2 a k b      ，所以 2 2 2 2c a b k     ，又椭圆的焦距为 4， 所以 2 2 2 k   ，解得 1 3 k  ． 8【答案】16 3 3 【详解】由题意可得 2 2 1 2 2 10, 25 16 3,F P F P a c a b        1 2 2 6FF c  ，又 1 2 π 3 FPF  ，所以在 1 2F PF 中， 2 2 2 1 2 1 2 1 21 22 cosF P F PFP F P F P F F F   , 即  2 21 2 1 2 1 23F P F P F P F P F F   ，所以 2 2 1 210 3 6F P F P  ，故 1 2 64 3 F P F P  ， 故 1 2 1 2 1 π 16 3sin 2 3 3F PF S FP F P  9【答案】B 【详解】因为把椭圆 2 2 1 4 3 x y   的长轴 AB分成 10 等份，过 每个分点作 x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点 1P， 2P ，…， 9P，设椭圆的右焦点为 F ，且 2 4a  ，可得 2a  ， 由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得 1 1 9 2 1 8 3 1 7, , ,PF PF P F PF PF P F     ，所以      1 2 9 9 9 8 8 5 512 9 18 PF PF PF PF PF PF PF PF PF a               . 10【答案】D 【详解】椭圆 2 2 1 25 9 x y   的长轴长为5 2 10  ，短轴长为 2 3 6  ，焦距为 2 25 9 8  ，离心率为 4 5 ，椭圆   2 2 1 9 25 9 x y k k k      的长轴长为 2 25 k ，短轴长为 2 9 k ，焦距为    2 25 9 8k k    ，离心率为 425 k ， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等， 离心率也不相等. 11【答案】AD 【详解】椭圆 2 2: 1 2 xC y  ， 2, 1, 1a b c    ， 1 2| | | | 2 2 2PF PF a    ，A正确；离心率 1 2 22 ce a    ， B 错误；短轴长为 2 2b  ，长轴长为 2 2 2a  ，C 错误；当 点 P在椭圆短轴端点处时， 1 2FPF 最大，此时  22 2 1 2 2 2 2 2 4cos 0 2 2 2 a a c F PF a          ，得 1 2 90F PF   ， 故 1 2FPF 不可能是钝角，D 正确. 12【答案】 2 2 1 3 x y  （答案不唯一） 【详解】解析设椭圆的标准方程为   2 2 2 2 1 0    x y a b a b ， 则 2 2 61 3 be a    ，所以 2 23a b= ，令 1b  ，则 2 3a  ，所 以满足题意的一个椭圆的标准方程为 2 2 1 3 x y  3.1.2 椭圆的简单几何性质（2） 1【答案】C 【详解】因为椭圆 2 2 1 4 x y  ，可得 2 24, 1a b  ，所以 2 2 2 3c a b   ，所以椭圆的右焦点的坐标为 ( 3,0)F ，将 3x  ，代入椭圆的方程，求得 1 2 y   ，所以 1AB  . 2【答案】C 【详解】由 2 2 3 1 1 4 8 y x x y       消去 y并整理得 211 6 7 0x x   ， 显然 2( 6) 4 11 ( 7) 0        ， 所以直线 3 1y x  与椭圆 2 2 1 4 8 x y   相交，有 2 个公共点. 3【答案】A 【详解】设直线 AB方程为 1y x  ，联立椭圆方程 2 2 1 4 3 x y   整理可得： 27 8 8 0x x   ，设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 则 1 2 8 7 x x  ， 1 2 8 7 x x   ，根据弦长公式有：  22 1 2 1 21 4AB k x x x x      = 24 7 ．故 B，C，D错误. 4【答案】B 【详解】由题得 4 10 0t t    ，即7 10t  ，由焦距为 4 得  4 10 4t t    ，解得 9t  ， 可得椭圆方程为 2 2 1 5 yx   ，所以 1, 5b a  ， 2 5 1 4c    ， 所以离心率为 2 2 5 55  . 5【答案】BCD 【详解】因椭圆方程为 2 2 1 8 4 x y   ，所以 2 2, 2, 2a b c   ， 所以椭圆的焦距为 2 4c  ，离心率 2 2 ce a   ，短轴长为 2 4b  ，故 A 错误，B,C正确；对于 D，当 M为椭圆短轴的 76 一个顶点时， 1 2MFF△ 以 1 2F F 为底时的高最大，为 2,此时 1 2MFF△ 的面积取最大为 1 12 2 2 2 4 2 2 c b       ,故正确. 6【答案】AD 【详解】由题意，椭圆 2 2: 1( 0) 2 xC y a b    ，可得 2, 1a b  ，可得 2 2 1c a b   ，所以焦点为 1 2( 1,0), (1,0)F F ,根据椭圆的定义 1 2 2 2 2PF PF a   ，所 以 A 正确；椭圆的离心率为 2 2 ce a   ，所以 B 错误；其中 1 2PFF 面积的最大值为 1 2 1 2 c b bc    ，所以 C 错误；由原 点 (0,0)到直线 2 0x y   的距离 2 2 2 1 1 1 d c    ，所 以以线段 1 2F F 为直径的圆与直线 2 0x y   相切，所以 D 正确. 7【答案】3 2 4 0x y   【详解】设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ，由中点坐标公式可得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 x x y y       ，所以 1 2 1 2 2 1 x x y y      ，因为 2 2 1 1 2 2 2 2 1 4 3 1 4 3 x y x y        ，两式作 差得 2 2 2 2 1 2 1 2 0 4 3 x x y y    ，即 2 2 1 2 2 2 1 2 3 4 y y x x     ， 即 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 4AB y y y y k x x x x         ，所以， 3 2AB k   ， 因此，直线 AB的方程为  1 3 1 2 2 y x    ，即3 2 4 0x y   . 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知 数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解 决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满 足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点 坐标和斜率关系求解. 8【答案】 1 2 【详解】如图，设 2BF 的垂直平分线 与 2BF 交于点H ，由题，  1 ,0F c ，  2 , 0F c ，  0,B b ，则 ,2 2 c bH      ，   1 0 2 3 2 F H b bk c cc       ， 2 0 0BF b bk c c      ， 1 2 1F H BFk k   ， 1 3 b b c c          ，化简得， 2 23b c ， 由 2 2 2a b c  ，解得 2 24a c ， 2 2 2 1 4 ce a    ，即 1 2 e  . 9【答案】B 【详解】设直线 2 9 0x y   与椭圆相交于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点，弦的中点坐标是  4,1M  ，则 1 2 8x x   ， 1 2 2y y  ，直线 AB的斜率 1 2 1 2 2y yk x x     .由 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b        ， 得      1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 0 x x x x y y y y a b       ，得 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2b a y y x x x x y y         ，所以 2 2 1 2 b a  ， 故椭圆的离心率 2 2 21 2 c be a a     . 10【答案】A 【详解】设椭圆的方程为   2 2 2 2 1 0    x y a b a b ，因为此椭 圆的离心率为 5 9 ，且 1 2 5cmFF  ，所以 5 , 2 5 9 ce c a    ，所 以 9 5, 2 2 a c  ，所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发 出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为 2 9a  cm. 11【答案】ABD 【详解】由 2 1: : 1: 4 : 5F Q PQ FQ  可知， 不妨设 2 1, 4 , 5F Q m PQ m FQ m   ，又 2 2 4PQ QF PF m   ，可得 2 3PF m ； 利用椭圆定义可知 1 21 2 6QF QF PF PF m    ，所以可得 1 3PF m ； 即 1 2 3PF PF m  ，所以点 P即为椭 圆的上顶点或下顶点，如下图所示： 由 1 3PF m ， 14 , 5PQ m FQ m  可知 满足 2 2 2 1 1PF PQ FQ  ，所以 1 2PF PF ；即 A 正确； 所以 1 2PFF 为等腰直角三角形，且 1 3PF m a  ， 因此 1 2QF F 的面积为 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 9 3 16 2 2 6 QF F QF P PF FS S S PQ PF PF PF m m m a           ， 即 B 正确；此时可得直线 l的斜率 2 1PQ PFk k   ，所以 C 错 误；在等腰直角三角形 1 2PFF 中，易知  22 2 2a a c  ，即 可得离心率 2 2 ce a   ，即 D 正确； 12【答案】 2 2 1 16 12 x y   【详解】设 d是点 M到直线 8x  的距离，根据题意， 所求轨迹就是集合 1 2 MF P M d        ，由此得  2 22 1 | 8 | 2 x y x     ．将上式两边平方，并化简，得 2 23 4 48x y  ，即点 M的轨迹方程为： 2 2 1 16 12 x y   ；轨 迹是椭圆． 3.2.1 双曲线及其标准方程 1【答案】D 【详解】依题意 5c  ， 1 2 2 6, 3PF PF a a    ，所以 2 2 4b c a   ，由于双曲线的焦点在 y轴上，所以双曲线 的标准方程是 2 2 1 9 16 y x   . 2【答案】D 【详解】由    2 22 22 2 2x y x y      得    2 22 22 2 2     x y x y ， 两边平方得  222 1 2   y x y ，且 2 1 0 y 得 1 2 y≥ ， 两边再平方得  22 24 4 1 2    y y x y ，可化简为 77   2 2 1 0 3 xy y   . 3【答案】C 【详解】因为 ( 2,0), (2,0)M N ，于是有 4 | |PM PN MN   ，所以动点 P的轨迹是一条射线． 4【答案】C 【详解】设双曲线 �2 4 − � 2 12 = 1的左、右焦点为 1 2,F F ，则 2, 4 12 4a c    ；则 2| | 8PF  ，由双曲线定义可得 1 2|| | | || 2 4PF PF a   ，即 1|| | 8 | 4PF   ，所以 1| | 4PF  或 1| | 12PF  ，由于 2c a  ，故点 P到它的左焦点的距离是 4 或12， 5【答案】AB 【详解】设双曲线的方程为 2 2 2 2 1 x y a b   ，则 c＝3，∵2a<2c ＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0， ∴ 5 7 2 2 m   ，且 1 2 m  ，∴AB 满足条件． 6【答案】AB 【详解】因为 4 3m m   ，若   4 3 0m m   ，即 3 4m  时，方程 2 2 1 4 3 x y m m     表示的曲线双曲线；若 4 0 3 0 m m      ，即 3m  时，方程 2 2 1 4 3 x y m m     表示的曲线 椭圆. 7【答案】22 【详解】由题意得 1 2 2 16PF PF a   ，又 1 6PF  ，所以 2 22PF  . 8【答案】 2 2 1 3 yx   【详解】设双曲线的方程为 2 2 1, 0mx ny mn   ，由题意可 得： 2 3 1 5 2 1 3 m n m n       ，解得 1 1 3 m n      ， 所以双曲线的标准方程是 2 2 1 3 yx   . 9【答案】C 【详解】因为双曲线的下、上焦点分别为  1 0, 3F  ， 2 (0,3)F ， 所以设双曲线的方程为   2 2 2 2 1 0, 0 y x a b a b     ，半焦距为 3c  ；又因为 P是双曲线上一点且 1 2 4PF PF  ， 所以 2 4a  ，即 2a  ，则 2 2 2 9 4 5b c a     ；所以双曲 线的标准方程为 2 2 1 4 5 y x   . 10【答案】C 【详解】设 1 5PF x ， 2 3PF x ，则由双曲线的定义可得： 1 2 5 3 2 2 4PF PF x x x a      ，所以 2x  ，故 1 10PF  ， 2 6PF  ，又 1 2 14FF  ，故 1 2 100 36 196 1cos 2 10 6 2 F PF        ， 故 1 2 3sin 2 F PF  ，所以 1 2PFF 的面积为 1 310 6 15 3 2 2     . 11【答案】BCD 【详解】A 选项，曲线C是椭圆等价于 4 0 1 0 4 1 t t t t          ，解得 1 4t  且 5 2 t  ，故 A 错误；B 选项，曲线C是双曲线等价 于   4 1 0t t   ，解得 4t  或 1t  ，故 B 正确；C 选项， 若曲线C是焦点在 x轴上的椭圆，则 4 1 0t t    ，解得 51 2 t  ，故 C 正确；D选项，若曲线C是焦点在 y轴上的 双曲线，则 1 0 4 0 t t      ，解得 4t  ，故 D 正确. 12【答案】 2 2 1 4 5 x y   【详解】设动圆圆心C的坐标为 ( , )x y ，半径为 r，由圆 2 2 1 : ( 3) 4C x y   ，可得圆心 1(3,0)C ，半径 1 2r  ，圆 2 2 2:( 3) 4C x y   ，可得圆心 2 ( 3,0)C  ，半径 2 2r  ．根据题 意，可得 1 2 2 2 CC r CC r       或 1 2 2 2 CC r CC r       ，所以 1 2 4CC CC  或 1 2 4CC CC   ，可得 1 2 4CC CC  ，又因为 1 2 6C C  ， 可得 2 21 14 6C CCC CC   ，根据双曲线的定义，可得 点C的轨迹为以 1 2,C C 为焦点的双曲线，且 2 4, 2 6a c  ， 所以 2, 3a c  ，则 2 2 5b c a   ，所以所求曲线的轨 迹方程为 2 2 1 4 5 x y   . 3.2.2.1 双曲线的简单几何性质（1） 1【答案】A 【详解】因为 2 29, 7a b  ，所以 2 23, 7, 4a b c a b     ， 因为焦点在 y轴上，所以C的焦点坐标为 (0, 4) ，顶点为  0, 3 ，离心率为 4 3 ，虚轴长为2 7． 2【答案】A 【详解】由题意设双曲线的方程为 2 24 9x y   ，将点（3 3， 2 2 ）代入双曲线方程得  24 3 3 9      22 2 36 ， 所以双曲线的方程为 2 24 9 36x y  ，即 2 2 1 9 4 x y   . 3【答案】A 【详解】依题意可得等轴双曲线中 a b ，则 2 2 2c a b a   ，所以离心率 2 ce a   . 4【答案】A 【详解】由题知双曲线中, 2 21, 3a b  ,焦点在 x轴上,所以顶 点坐标为  1,0 ,渐近线方程为: 3y x  ,由双曲线的对称 性,不妨求顶点  1,0 到渐近线 3 0x y  的距离  2 3 3 23 1 d    ，所以双曲线 2 2 1 3 yx   的顶点到渐近 线的距离为 3 2 5【答案】ACD 【详解】对于双曲线， 2a  ， 1b  ，则 2 2 4 1 5c a b     ，对于 A 选项，双曲线的顶点坐 标为  2,0 ，A 对；对于 B 选项，双曲线的焦点坐标为  5,0 ，B 错；对于 C 选项，双曲线的实轴长为 2 4a  ， C 对；对于 D 选项，双曲线的渐近线方程为 1 2 y x  ，即 2 0x y  ，D 对. 6【答案】ABD 【详解】由双曲线方程知： 3b  ，离心率为 2 3 2c ae a a     ，解得 1a  ，故 2 2: 1 3 yC x   ， 实半轴长为 1，实轴长为 2 2a  ，A 正确；因为可求得双曲 线渐近线方程为 3y x  ，故一条渐近线方程为 3y x ， B 正确；由于 P可能在C的不同分支上，则有 78 1 2|| | | || 2PF PF  ，C 错误；焦距为 2 22 2 4,Dc a b   正 确. 7【答案】 2 2 1 16 9 x y   【详解】依题意，双曲线的焦点坐标是  1 5,0F  ，  2 5,0F ， 故双曲线方程可设为 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ， 又双曲线的离心率 5 4 e  ，∴ 2 2 25 5 5 4 a b a       解之得 4a  ， 3b  ，故双曲线的方程为 2 2 1 16 9 x y   . 8【答案】2 【详解】联立 2 2 2 2 2 2 2 { 1 x c x y a b c b a      ，解得 2 x c by a      ，所以 2bBF a  . 依题可得， 3 BF AF  ， AF c a  ，即   2 2 2 3 b c aa c a a c a      ， 变形得 3c a a  ， 2c a ,因此，双曲线C的离心率为 2 . 9【答案】A 【详解】因为 21 3PF PF ，由双曲线的定义可得 1 2 22 2PF PF PF a   ，所以 2PF a ， 1 3PF a ；因为 1 2 60FPF   ,由余弦定理可得 2224 9 2 3 cos60c a aa a       ，整理可得 2 24 7c a ，所以 2 2 2 7 4a ce   ，即 7 2 e  . 10【答案】B 【详解】双曲线一个顶点的坐标为  0,2 ，可得双曲线的焦 点在 y轴上，且 2a  ，又2 2 2 2a b c   ，所以 2 2b c  ， ①又 2 2 2 24c a b b    ，② ①②联立，解得 2 2c  ， 2b  ，所以双曲线的标准方程 为 2 2 1 4 4 y x   . 11【答案】BC 【详解】根据双曲线的定义可得： 1 2 2PF PF a  ，A 错 误；设  0 0,P x y ，则 2 2 0 0 2 2 1 x y a b   ，即   2 2 2 2 0 02 by x a a   ， ∵    1 2,0 , ,0A a A a ，则 1 20 0 0 0 ,PA PA y yk k x a x a     ∴ 1 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 PA PA y y y bk k x a x a x a a        ，B 正确；不妨 P 在第一象限，根据双曲线的定义可知 1 2PF PF ，若 1 1 2 2PF F F c  ，结合图象易知 1PF a c  ，则满足条件 的点存在且唯一；若 2 1 2 2PF FF c  ，结合图象易知 2PF c a  ，则满足条件的点存在且唯一 根据双曲线的对称性可知使得△PF1F2为等腰三角形的点 P 有且仅有 8 个，C 正确；不妨 P在第一象限，则 1 2 1 22 , 2PF PF a FF c    2 22 2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 cos 2 2 PF PF PF PF FFP P F PF FF F F PF PF PF PF           2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 22 2 PF PF PF PF PF P a c b F PF PF          ∴ 2 1 2 1 21 cos 2bPF PF PF F     则 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 21 2 sinsin 1 cos 2sin cos 2 tan1 1 2sin 22 1 2 2 PFF F FS PF PF b PP P P Pb b PP F F F F F F F F F FF F                    D 不正确； 12【答案】2（满足1 5e  皆可） 【详解】 2 2 2 2: 1( 0, 0) x yC a b a b     ，所以 C的渐近线方程 为 by x a   ,结合渐近线的特点，只需0 2 b a   ，即 2 2 4 b a  ， 可满足条件“直线 2y x 与 C无公共点”，所以 2 21 1 4 5      c be a a ，又因为 1e  ，所以1 5e  ， 3.2.2.2 双曲线的简单几何性质（2） 1【答案】A 【详解】如图，以接报中心为原点O， 正东、正北方向为 x轴、 y轴正向， 建立直角坐标系．设 、 、A B C分别是 西、东、北观测点，则 680 0 680 0 0 680 .A B C（ ，），（ ，），（ ， ） 设 P x y（ ， ）为巨响为生点，由 A C、 同时听到巨响声，得 PA PC ，故 P 在 AC的垂直平分线 PO上， PO的方程为 y x  ，因 B点 比A点晚 2s听到爆炸声，故， 340 2 680PB PA    .由 双曲线定义知 P点在以 A B、 为焦点的双曲线左支 2 2 2 2 1( 0) x y x a b  ＝ 上，依题意得 2 2 2 2 2 2340 680 680 340 3 340 ,a c b c a        ， ， 故 双曲线方程为 2 2 2 2 1340 3 340 x y   ＝ ，将 y x  代入上式，得 170 6 0 170 6 170 6x x x y   = ， ， = ， = ，即 ( 170 6 170 6)P  ， ，故 340 3PO＝ .故巨响发生在接报中 心的西偏北 045 距中心340 3m 处． 2【答案】D 【详解】由 2 2 1x y  得： 1a  ， 1b  ， 2c  ．设  2 0PF m m  ，则 1 2PF m  ．所以    222 2 2 2m m   ，解得 3 1m   （ 3 1m    舍去）， 所以 2 1 2 1 2 3 1 6 2cos 42 2 PF FF P FF       ， 1 2 (0, )F F P   ， 5 6 2cos cos( ) cos cos sin sin 12 4 6 4 6 4 6 4 π π π π π π π       ，所 以 1 2 5 12 F F P   ． 3【答案】D 【详解】根据题意：  0, 4M  ，  2 3, 8A   ，故 64 12 116 m  ， 解得 4m  ，即 2 2 1 16 4 y x   ，当水面宽度为4 6米时，即 2 6x   时， 4 7y   ，拱顶 M到水面的距离为  4 7 4 . 4【答案】A 【详解】设 PQ与 x轴交于点A，由对称性可知 PQ x 轴， 又 | |PQ OF c  ， | | , 2 cPA PA   为以OF为直径的圆 的半径， A 为圆心 | | 2 cOA  ． , 2 2 c cP       ，又 P点在圆 2 2 2x y a  上， 2 2 2 4 4 c c a   ，即 79 2 2 2 2 2, 22 c ca e a     ． 2e  ． 5【答案】CD 【详解】由题意可得 2 2 2 2 4 4c me m a m m      ．因为 0m  ， 所以 2 4 42 4e m m m m      ，即 2e ，当且仅当 4m m  ， 即 2m  时取等号．此时双曲线方程是 2 2 1 2 6 x y   ，渐近线 方程是 3 0x y  ． 6【答案】ABD 【详解】由双曲线方程知： 3b  ，离心率为 2 3 2c ae a a     ，解得 1a  ，故 2 2: 1 3 yC x   ，实半轴 长为 1，实轴长为2 2a  ，A 正确；因为可求得双曲线渐近 线方程为 3y x  ，故一条渐近线方程为 3y x ，B 正确； 由于 P可能在C的不同分支上，则有 1 2|| | | || 2PF PF  ，C 错误；焦距为 2 22 2 4,Dc a b   正确. 7【答案】 3y x  【详解】由题可知，离心率 2 ce a   ，即 2c a ，又 2 2 2 24a b c a   ，即 2 23b a ，则 3 b a  ， 故此双曲线的渐近线方程为 3y x  . 8【答案】 21 3 e  . 【详解】联立 2 2 2 2 3 1 8 y x x y a        ，得 2 2 1 1 1 0 18 x a        ，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 2 1 2 2 2 1 18 91 1 18 18 ax x a a        ，解得 2 6a  . 所以，离心率 2 2 8 7 211 1 6 3 3 c be a a        . 9【答案】D 【详解】如图，因为  2 , 0F c ，不 妨设渐近线方程为 by x a  ，即 0bx ay  ，所以 2 2 2 bc bcPF b ca b     ， 所以 2b  .设 2POF   ,则 2tan PF b b OP OP a     ，所以 OP a ，所以 2OF c . 因为 1 1 2 2 P ab c y  ,所以 P aby c  ，所以 tan P P P ab y bc x x a     ， 所以 2 P ax c  ，所以 2 ,a abP c c       ， 因为  1 ,0F c ，所以 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4PF ab ab a ack a a c a a ac c          ，所以  22 2 4a a  ，解得 2a  ，所以双曲线的方程为 2 2 1 2 4 x y   10【答案】B 【详解】设点  0 0,p x y ，又  1 0,A a ，  2 0,A a ，则 1 0 0 PA y ak x   ， 2 0 0 PA y ak x   所以 1 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 3 4PA PA y a y a y ak k x x x         ，又因为点 P在 双曲线C上得 2 2 0 0 2 2 1 y x a b   ， 所以 2 2 2 0 0 2 2 y a x a b   ，故 2 2 2 0 2 2 0 3 4 y a a x b    ，所以 3 2 a b  则双曲线C的渐近线方程为 3 2 ay x x b     . 11【答案】BC 【详解】双曲线 2 2 2 2: 1 y , x y bC x a b a    的渐近线方程为 离心 率为 2 3 3 c a  ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 31 , , 3 3 3 c a b b b b a a a a a 则 则 ，         故 渐近线方程为 3 3 y x  ，取 MN 的中点 P,连接 AP,利用点到 直线的距离公式可得d AP ab c   ,则 cos ab AP acPAN AN b c     ，所以 2 2 1cos cos 2 2 1 2 aMAN PAN c        则 60MAN   . 12【答案】 5 【详解】以最小半径的圆的圆心为原点建立如图所示的平面 直角坐标系，设双曲线的方程为   2 2 2 2 1 020 x y b b    ，  10 5,A t ，    20 2, 60 0 60B t t   . 将A，B点的坐标代入双曲线方程得   2 2 2 2 22 2 2 10 5 1, 20 6020 2 1, 20 t b t b         则 2 , 60 , b t t b     解得 20, 40, t b    ∴ 2 2 220 40 2000c    ，即 20 5c  ，故双曲线的离心率 20 5 5 20 ce a    . 3.3.1 抛物线及其标准方程 1【答案】B 【详解】动点 P到点  3,0 的距离和它到直线 3x   的距离 相等，而点  3,0 不在直线 3x   ，所以动点 P的轨迹是以 点  3,0 到直线 3x   的垂线段中点为顶点，开口向右的抛 物线. 2【答案】D 【详解】 2 8x y 的准线方程为 2y   . 3【答案】A 【详解】由题意可得： 1 2 4a   ，解得 1 8 a   . 4【答案】C 【详解】由题知，抛物线方程为 2 4x y ，则其准线方程为 1y   . 5【答案】BC 【详解】因为 21 16 y x ，所以 2 16x y ，所以抛物线开口向 80 上，焦点为 (0,4)，其准线方程为 4y   ，结合选项可得 A,D 正确. 6【答案】AC 【详解】直线2 1 0x y   与 x轴的交点坐标是 1 ,0 2       ，即 抛物线的焦点坐标是 1 ,0 2       ，此时抛物线的标准方程 2 2y x ，与 y轴的交点坐标是  0, 1 ，抛物线的焦点坐标 是  0, 1 ，此时抛物线的标准方程是 2 4x y  . 7【答案】 2 2y x 或 2 8y x 或 2 2y x  或 2 8y x  （写出 一个即可） 【详解】设所求焦点在 x轴上的抛物线的方程为  2 2 0y px p  ，  , 2A m  ， 由抛物线定义得 5 2 2 pAF m   .又 ∵ 2( 2) 2 , 1pm p     或 4p   ， 故所求抛物线方程为 2 2y x  或 2 8y x  . 8【答案】 9 4 【详解】由题意可得： 25 2 1p  ，则 2 5p  ，抛物线的 方程为 2 5y x ，准线方程为 5 4 x   ，点A到C的准线的距 离为 5 91 4 4        . 9【答案】A 【详解】设      1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y ，抛物线 2 2y x ， 则 1( ,0) 2 F ，焦点 F 恰好是 ABCV 的重心，则 1 2 3 1 33 2 2 x x x     ，故 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 FA FB FC x x x x x x             ． 10【答案】D 【详解】因为抛物线 2: 8C y x 的焦点  2,0F ，准线方程 为 2x   ，点M 在C上，所以M 到准线 2x   的距离为 MF ，又M 到直线 3x   的距离为5，所以 1 5MF   ，故 4MF  . 11【答案】BC 【详解】设  00,M y ，易知 ,02 pF      ，则 0, 4 2 ypB      ，如图 所示．设抛物线的准线为 l，过 B作 1BB l 于点 1B ，则 1 3 2 4 2 4 p pBB    ，解得 2p  ． 所以抛物线方程为 2 2 2y x ，且 02 , 4 2 yB        ，又 B在抛物线上，所 以 20 1 22 2 4 4 y   ，因此 20 4y  ，解得 0 2y   ．所以点 M 的坐标为  0,2 或  0, 2 ． 12【答案】1 【详解】设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， AB中点坐标为 0(2, )y ， 则 1 2 2 2 4x x    ， 1 2| | | | 5AF BF x x p     ，解得 1p  . 3.3.2.1 抛物线的简单几何性质（1） 1【答案】A 【详解】把  0,2A x 代入抛物线方程中，得 2 0 0 12 4 8 x x     ，因为该抛物线的对称轴为纵轴，所以 抛物线 21 8 y x 上一点  0,2A x 到其对称轴的距离为 4， 2【答案】A 【详解】法一：由题意可知， 2p  ， 则 (1,0)F ，抛物线的准线方程为直线 1x   ，则 | | | |BF BN ，|��| = |��|， 因为 | | 2 | |BC BN ，所以 | | 2 | |BC BF ，所以 | | 2 | | 3 BC CF  ，所以 | | 2 3 BN p  ，所以 4| | | | 3 BN BF  ， 8| | 3 BC  ，所以 | | 4CF  .因为 | | | | | | p CF AM CA  ，所以 2 | | 4 4 | | | | | | 4 | | 4 | | CF AM CF AF AF AM       ， 解得 | | 4AM  ，所以 | | 4AF  ，点 F到 AM的距离为 2 24 2 2 3  ，所以 1 4 2 3 4 3 2AFM S    △ . 法二：因为 | | 2 | |BC BN ，所以 | | 2 | |BC BF ，所以 30BCN  ，即 60CAM   . 连接 FM，又 AM AF ，所以 AFM△ 为等边三角形.易得 | | 4AM  ，所以 2 3 4 4 3 4AFM S   △ . 3【答案】A 【详解】因为抛物线 2: 8C x y ，所以 (0, 2)F ， 4p  ，所以 直线 l的方程为 3 2y x  ，由 2 3 2 8 y x x y      ，得 2 8 3 16 0x x   ，显然 0  ，设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 则有 1 2 8 3x x  ，所以 1 2 1 23( ) 4 28y y x x+ = + + = ，由抛物 线定义可知 1 2 1 2 2| 2| 8 4 32 2 p py yAB y y p         . 4【答案】B 【详解】因为抛物线 2 2 ( 0)y px p  上一点M 到其准线及 对称轴的距离分别为 3 和 2 2 ，所以 2 2 3 2 M M y px       ，即 2 2 3 2 M M y px       ，代入抛物线方程可得8 2 3 2 pp      ， 整理得 2 6 8 0p p   ，解得 2p  或 4p  . 5【答案】AC 【详解】由抛物线 21 8 x y ，即 2 8x y ，可知抛物线的开口 向上，焦点坐标为  0,2 ，焦点到准线的距离为 4，准线方 程为 2y   ． 6【答案】AC 【详解】由题可知  10F , ,由 0 1 4MF x   ， 20 04y x ，所 以 0 3x  ， 0 2 3y   . 2 20 0| | 9 12 21OM x y     7【答案】8 【详解】设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )，则 1 2 2 3 6x x    ，抛物线 2 4y x 中 2 4, 2p p  ， 所以 1 2 1 2 6 2 82 2 A p px x x x pB          ． 8【答案】60o 【详解】如图，直线m为抛物线的准线， 过点 ,A B分别作 ,AM BN垂直于m，作 BE AM ，因为 �� = �� ， BF BN ，且 3AF BF ，所以 3AM BN , 81 则 4AB BF ， 2AE AM ME BF   ，所以 1cos 2 BAE  ，则 60BAE  ，即直线 l的倾斜角为60o . 9【答案】C 【详解】 1 2 1 2 812 16 2 2 2 p pAB y y y y p          . 10【答案】A 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一 个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 2 4y x 上，可设 另外两个顶点的坐标分别为   2 2 , , , 0 4 4 m mm m m              ， 2 3tan30 3 4 m m     ，解得 4 3m  ，故这个等边三角形的 边长为 2 8 3m  . 11【答案】AC 【详解】A 选项：直线  3 1y x   过点  1,0 ，所以抛物 线  2: 2 0C y px p  的焦点  1 0F , ，所以 1, 2, 2 4 2 p p p   ，则 A 选项正确，且抛物线C的方程为 2 4y x .B 选项：设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，由   2 3 1 4 y x y x       消去 y并化简得    23 10 3 3 3 1 0x x x x      ，解得 1 2 13, 3 x x  ，所以 1 2 1 163 2 3 3 MN x x p       ，B 选项 错误.C 选项：设MN的中点为A， , ,M N A到直线 l的距离 分别为 1 2, ,d d d，因为    1 21 1 12 2 2d d d MF NF MN     ， 即A到直线 l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的 圆与直线 l相切，C 选项正确.D 选项：直线  3 1y x   ， 即 3 3 0x y   ，O到直线 3 3 0x y   的距离为 3 2 d  ，所以三角形OMN的面积为 1 16 3 4 3 2 3 2 3    ， 由上述分析可知  1 2 1 2 33 3 1 2 3, 3 1 3 3 y y              ， 所以   22 22 1 2 3 133 2 3 21, 3 3 3 OM ON                 ， 所以三角形OMN不是等腰三角形，D选项错误. 12【答案】5 【详解】由题意可得：抛物线 C： 2 8y x 的焦点为  2,0F ， 准线 : 2l x   ，不妨设点    0 0 0 0, , 0M x y x y  ，则 0 2 10MF x   ，即 0 8x  ，可得 2 0 64y  ，即 0 8y  ，故  8,8M ，则直线MF的斜率 8 0 4 8 2 3MF k    ，∵ FM FN ， 则直线 NF的斜率 3 4NF k   ，∴直线 NF的方程  3 2 4 y x   ，令 2x   ，解得 3y  ，即  2,3N  ，故    2 22 2 3 0 5NF       . 3.3.2.2 抛物线的简单几何性质（2） 1【答案】C 【详解】由对称性易得 A，B横坐标相等且大于 0，联立   2 2 2 4 1 4 y x x y       得 2 2 3 0x x   ，解得 1 23, 1x x   ，则 1A Bx x  ，将 1x  代入 2 4y x 可得 2y   ，则|��| = 4. 2【答案】B 【详解】由抛物线关于 x 轴对称易知，点 ( , )m n 一定在该 抛物线上. 3【答案】A 【详解】对于对于抛物线的标准方程中，开口最小：说明一 次项的系数的绝对值最小，观察四个选项发现：A 选项平方 项的系数的绝对值最小 4【答案】A 【详解】如图建立直角坐标系： 设抛物线的方程为  2 2 0y px p  ， 利用已知条件可得：点 51, 2 A     在抛 物线上，所以 25 2 4 p ， 则 25 2 16 p  ，所以信号装置与卫星接 收天线中心O的距离为 25m 16 . 5【答案】ACD 【详解】由抛物线的光学性质可知， 直线 AB过抛物线的焦点  10F , ， 设直线 AB的方程为 1x ty  ，将直 线 AB的方程代入 2 4y x 中，得 2 4 4 0y ty   ， 所以由韦达定理得 1 2 4y y   ， 1 2 4y y t  ，所以 2 2 1 2 1 2 14 4 y yx x    ，故选项 A 正确；若点  1 1,A x y 关于 x轴的对称点在直线 2l 上，则 1 2y y  ，所以 1 2 2y y  ，即 2n  ，不一定成立，故不合题意，选项 B 错误；直线 2l 与 = 1x  相交于点  21,D y ，所以直线 OD的 斜率为 2ODk y  ，又直线 OA的斜率为 1 1 22 11 1 4 4 OA y yk y yx y      ，所以 OD OAk k ，所以 A，O，D 三点共线，故选项 C 正确；直线 1l 与 2l 间的距离  2 21 2 1 2 1 24 16 16 4d y y y y y y t       ≥ ， 当 0t  时，d取最小值 4，故选项 D 正确； 6【答案】BCD 【详解】由 2 8 2 x y y x      消 y可得 2 8 16 0x x   ，令    1 1 2 2 1 2 1 2, , , , 8, 16A x y B x y x x x x    ， 2 1, , 8 4 4PA xx xy y k  ，   2 2 2 1 1 1 1 2 2 1: , :4 8 4 8 4 8 x x x x x xPA y x x x PB y x       ， 2 1 1 2 2 2 4 8 4 8 x xy x x xy x        解得 1 2 1 2 4 2 2 8 x xx x xy          ， (4, 2)P  ，A 错． 1 2 4 2C x xx   ，∴ PC x 轴，B 对． 2 2 1, 1, 1 4 0PF AB PF AB k k k k         ，∴ PF AB ，D 82 对． 1 2 1 16PA PB x xk k    ，∴PA PB ，C 对 7【答案】6 【详解】由题意可知等边三角形的一个 顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 2 3y x 上，则另两个顶点关于 x轴对 称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为 a，则 A点横坐标 为 3cos30 2 a a  ，则 3 1( , ) 2 2 A a a ， 代入 2 3y x 得 21 3( ) 3 2 2 a a  ，解得 6a  （ 0a  舍）， 故等边三角形的边长为 6， 8【答案】0 【详解】因⊙M与抛物线 C有且仅有两个公共点，而⊙M 与抛物线 C都关于 x轴对称，因此，两个公共点的横坐标 相同，并且唯一，由   2 2 2 2 3 4 4 rx r y y x        消去 y并整理得： 2 2 2( 2) 0 4 rx r x    ，且 0x  ，于是得 2 2 2 2 0 Δ 4( 2) 3 16 16 0 r r r r r           ，解得 4r  ，即点 (4,0)M ，显然直线 l不垂直于 y轴，设直线 l的方程为 4x ty  ，由 2 4 4 x ty y x     消去 x并整理得： 2 4 16 0y ty   ， 设 1 1 2 2( )A x y B x y, , ( , )，则 1 2 1 24 , 16y y t y y    ， 所以 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 16) ( 16) 0 4 4 16 y yOA OB x x y y y y             . 9【答案】C 【详解】连接 FA，如下图 因为 F 就是圆 2 2 2 2 4 p px y       的圆心，所以 FA KA ，且 2 pFA  . 又 KF p ，所以 30AKF  ， 那么 60AKB  ，所以 AKB△ 是等边三角形 所以 3 2 AB AK p  .又 3AB  ，所以 2p  . 10【答案】B 【详解】将点 P的坐标代入抛物线中得  22 2 2p p  ，解 得 1p  ，则  2,2P ，所以OP的斜率为 1，且OP的中点为  1,1 ，则OP的垂直平分线方程为  1 1y x    ，即 2 0x y   ，又OF的垂直平分线方程为 1 4 x  ，又 MP MO MF  ，则点M 为OP的垂直平分线和OF的垂 直平分线的交点，所以点M 的坐标为 1 7, 4 4       ． 11【答案】ABD 【详解】设直线 l的方程为 ,x my n  联立 2 4 x my n y x     ，得 2 4 4 0y my n   ， 则 1 2 1 24 , 4y y m y y n    ，又 4OA OB     ，则 1 2 1 2 4,x x y y   即 2 2 1 2 1 2 4,16 y y y y   所以 1 2 8y y   ， 1 2 8y y  (舍）， 1 2 4x x  ，则 4 8,n   即 2n  ，所以直线 l的 方程为 2,x my  则直线 l过定点  2,0 ，故A,B正确； 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 2AOB S y y y y y y y y         2 216 32 4 2 4 2m m     ，当 0m  时，等号成立， 即 AOBS 的最小值为 4 2 ，故C错误； 因为 1 2 4x x  ，则 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 4 1 1 4 1 1( ) ( 4 ) 2 4 2 4 4 4 x x x x x x x x x x         ， 当且仅当 2 14x x ，即 1 21, 4x x  时，等号成立，故D正确. 12【答案】 2 . 【详解】如图： | | 2 6AB  ， | | 6AM  ， | | 2 10DE  ， | | 10DN  ， | | 2 pON  ， 2( 6) 3 2A x p p    ， | | | |OD OA ，  2 2 2 2| | | | | | | |ON DN OM AM    2 2 910 6 4 p p    ，解得： 2p  故答案为 2． 第三章单元测试 1【答案】A【详解】由题意可得： 1 2 4a   ，解得 1 8 a   . 2【答案】B【详解】方法一：因为 1 2 0PF PF    ，所以 1 2 90FPF   ，从而 1 2 2 1 2 1tan 45 1 2FPF S b PF PF     ， 所以 1 2 2PF PF  ． 方法二：因为 1 2 0PF PF    ，所以 1 2 90FPF   ，由椭圆方程 可知， 2 5 1 4 2c c     ，所以 2 2 2 2 1 2 1 2 4 16PF PF FF    ，又 1 2 2 2 5PF PF a   ， 平方得： 2 2 1 2 1 2 1 22 16 2 20PF PF PF PF PF PF     ，所 以 1 2 2PF PF  ． 3【答案】D【详解】因为抛物线 2: 8C y x 的焦点  2,0F ， 准线方程为 2x   ，点M 在C上，所以M 到准线 2x   的 距离为 MF ，又M 到直线 3x   的距离为5，所以 1 5MF   ，故 4MF  . 4【答案】A 【详解】双曲线 2 2 1 4 9 x y   的渐近线方程是： 3 2 y x  5【答案】A 【详解】设点 ( , )M x y ，则 0( , ), ( ,0)P x y P x ， 因为M 为PP的中点，所以 0 2y y ，即 ( ,2 )P x y ， 又 P在圆 2 2 16( 0)x y y   上， 所以 2 24 16( 0)x y y   ，即 2 2 1( 0) 16 4 x y y   ， 即点M 的轨迹方程为 2 2 1( 0) 16 4 x y y   . 6【答案】C 【详解】由题意，设  1 0, 4F  、  2 0,4F 、  6,4P  ， 则 1 2 2 8FF c  ，  221 6 4 4 10PF     ，  222 6 4 4 6PF     ，则 1 22 10 6 4a PF PF     ， 则 2 8 2 2 4 ce a    . 7【答案】D【详解】由 5e  ，则 2 2 2 2 2 2 21 5 c a b b a a a      ， 解得 2 b a  ，所以双曲线的一条渐近线为 2y x ， 则圆心 (2,3)到渐近线的距离 2 | 2 2 3 | 5 52 1 d     ， 83 所以弦长 2 2 1 4 5| | 2 2 1 5 5 AB r d     . 8【答案】B 【详解】方法一：设 1 2 π2 ,0 2 F PF      ，所以 1 2 2 21 2tan tan 2PF F FPFS b b   ， 由 2 2 2 1 2 2 2 2 cos sin 1 tan 3cos cos 2 cos +sin 1 tan 5 F PF               ，解得： 1tan 2   ，由椭圆方程可知， 2 2 2 2 29, 6, 3a b c a b     ， 所以， 1 2 1 2 1 1 12 3 6 2 2 2PF F p p S F F y y        ，解得： 2 3py  ，即 2 3 99 1 6 2p x         ，因此 2 2 9 303 2 2p p OP x y     ． 故选：B． 方法二：因为 1 2 2 6PF PF a   ①， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22PF PF PF PF F PF F F    ， 即 2 2 1 2 1 2 6 12 5 PF PF PF PF   ②，联立①②， 解得： 2 2 1 2 1 2 15 , 21 2 PF PF PF PF   ， 而  1 212PO PF PF     ，所以 1 2 1 2 OP PO PF PF      ， 即 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 3 15 3021 2 2 5 2 2 PO PF PF PF PF PF PF                   ． 故选：B． 方法三：因为 1 2 2 6PF PF a   ①， 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 cosPF PF PF PF F PF F F    ， 即 2 2 1 2 1 2 6 12 5 PF PF PF PF   ②，联立①②，解得： 2 2 1 2 21PF PF  ， 由中线定理可知，   2 2 2 21 2 1 22 2 42OP FF PF PF    ， 易知 1 2 2 3FF  ，解得： 30 2 OP  ． 9【答案】AC 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一 M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 x轴， 设过 1F作圆D的切线切点为 B，所以 1OB FN ，因为 1 2 3cos 0 5 F NF   ，所以 N在双曲线的左支， OB a ， 1OF c ， 1FB b ，设 1 2F NF   ，由即 3cos 5   ， 则 4sin 5  = ， 2 3 5NA NF 2 2 a a ， , 2 1NF NF 2a  5 3 2 2 2 2 a a b a       ， 52b e 2 a  ， 情况二 若 M、N 在双曲线的两支，因为 1 2 3cos 0 5 F NF   ，所以 N在双曲线 的右支，所以 OB a ， 1OF c ， 1FB b ，设 1 2F NF   ， 由 1 2 3cos 5 F NF  ，即 3cos 5   ，则 4sin 5  = ， 2 3 5NA NF 2 2 a a ， 1 2NF NF 2a  , 3 52 2 2 2 a b a a   ， 所以 2 3b a ，即 3 2 b a  ，所以双曲线的离心率 2 2 131 2 c be a a     [方法二]：答案回代法 5A e 2 选项 特值双曲线     2 2 1 21, F 5,0 ,F 5,04 x y    ， 过 1F且与圆相切的一条直线为  y 2 x 5  ， 两交点都在左支, 6 2N 5, 5 5 5        ， 2 1 1 2NF 5, NF 1, FF 2 5    ，则 1 2 3cos 5 F NF  ， 13C e 2 选项 特值双曲线     2 2 1 2 x y 1, F 13,0 ,F 13,0 4 9     ， 过 1F且与圆相切的一条直线为  2y x 133  ， 两交点在左右两支，N在右支， 14 18N 13, 13 13 13       ， 2 1 1 2NF 5, NF 9, FF 2 13    ，则 1 2 3cos 5 F NF  ， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在 x轴，设过 1F作圆D的切线切点 为G，若 ,M N分别在左右支，因为 1OG NF ，且 1 2 3cos 0 5 F NF   ，所以 N在双曲线的右支，又 OG a ， 1OF c ， 1GF b ，设 1 2F NF   ， 2 1F F N   ， 在 1 2FNF△ 中，有   2 1 2 sin sin sin NF NF c        ， 故   1 2 2 sin sin sin NF NF c         即  sin sin sin a c        ， 所以 sin cos cos sin sin sin a c          ， 而 3cos 5   ， sin a c   ， cos b c   ，故 4sin 5  = ， 代入整理得到 2 3b a ，即 3 2 b a  ， 所以双曲线的离心率 2 2 131 2 c be a a     若 ,M N均在左支上， 同理有   2 1 2 sin sin sin NF NF c        ，其中 为钝角，故 cos b c    ， 故   2 1 2 sin sin sin NF NF c         即 sin sin cos cos sin sin a c          ， 代入 3cos 5   ， sin a c   ， 4sin 5  = ，整理得到： 84 1 4 2 4 a b a = + ，故 2a b ，故 2 51 2 be a        ， 10【答案】ACD 【详解】对于 A，易得 ( ,0) 2 pF ，由 AF AM 可得点A在 FM 的垂直平分线上，则A点横坐标为 32 2 4 p p p  ， 代入抛物线可得 2 23 32 4 2 py p p   ，则 3 6( , ) 4 2 p pA ，则直 线 AB的斜率为 6 2 2 63 4 2 p p p   ，A 正确； 对于 B，由斜率为2 6可得直线 AB的方程为 1 22 6 px y  ， 联立抛物线方程得 2 21 0 6 y py p   ， 设 1 1( , )B x y ，则 1 6 6 2 6 p y p  ，则 1 6 3 py   ，代入抛物 线得 2 1 6 2 3 p p x          ，解得 1 3 px  ，则 6( , ) 3 3 p pB  ， 则 22 6 7 3 3 3 2 p p p pOB OF                ，B 错误； 对于 C，由抛物线定义知： 3 25 2 4 4 3 12 p p pAB p p OF      ，C 正确； 对于 D， 23 6 6 3 6 6 3( , ) ( , ) 0 4 2 3 3 4 3 2 3 4 p p p p p p p p pOA OB                    ， 则 AOB 为钝角， 又 26 2 6 2 6 6 5( , ) ( , ) 0 4 2 3 3 4 3 2 3 6 p p p p p p p p pMAMB                          ， 则 AMB 为钝角， 又 360AOB AMB OAM OBM     ， 则 180OAM OBM   ，D正确. 11【答案】ABD 【详解】对于 A：设曲线上的动点  ,P x y ， 则 2x   且  2 22 4x y x a     ， 因为曲线过坐标原点，故  2 20 2 0 0 4a     ，解得 2a   ，故 A 正确. 对于 B：又曲线方程为  2 22 2 4x y x     ，而 2x   ， 故    2 22 2 4x y x     . 当 2 2, 0x y  时，    22 2 2 2 2 2 8 4 4      ， 故  2 2,0 在曲线上，故 B 正确. 对于 C：由曲线的方程可得    22 2 16 2 2 y x x     ，取 3 2 x  ， 则 2 64 1 49 4 y   ，而 64 1 64 5 256 2451 0 49 4 49 4 49 4         ，故此 时 2 1y  ， 故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于 1，故 C 错误. 对于 D：当点  0 0,x y 在曲线上时，由 C 的分析可得       22 0 02 2 0 0 16 162 2 2 y x x x       ， 故 0 0 0 4 4 2 2 y x x      ，故 D 正确. 12【答案】 9 4 【详解】由题意可得： 25 2 1p  ，则 2 5p  ， 抛物线的方程为 2 5y x ，准线方程为 5 4 x   ，点A到C的 准线的距离为 5 91 4 4        . 13【答案】 2 2 1 2 2 x y   【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为 ,a b，显然 双曲线C的中心为原点，焦点在 x轴上，其半焦距 2c  ， 由双曲线C的离心率为 2，得 2 c a  ，解得 2a  ，则 2 2 2b c a   ，所以双曲线C的方程为 2 2 1 2 2 x y   . 14【答案】 3 2 【详解】由题可知 2, ,A B F 三点横坐标相等，设A在第一象 限，将 x c 代入 2 2 2 2 1 x y a b   得 2by a   ，即 2 2 , , ,b bA c B c a a             ，故 22 10bAB a   ， 2 2 5 bAF a   ， 又 1 2 2AF AF a  ，得 1 2 2 2 5 13AF AF a a     ，解得 4a  ，代入 2 5b a  得 2 20b  ，故 2 2 2 36,c a b   ，即 6c  ，所以 6 3 4 2 ce a    . 15【详解】由椭圆方程 2 2 1 9 4 x y   可得长半轴 1 3a  ，短半 轴 1 2b  ，则半焦距 2 21 1 1 5c a b   ，即焦点坐标为    5,0 , 5,0 ∵焦点在 x轴上，设双曲线的方程为   2 2 2 2 2 2 2 1 0, 0, 0, x y a b c c a b a b        ， 由题意可得 2 2 2 5 5 2 c a b c c a           ，解得 2 1 5 a b c       ， 故双曲线的方程为 2 2 1 4 x y  . 16【详解】（1）设  ,M x y ，则  ,P x b ，  ,0D x ， 因为 4 5 MD PD ，所以 4 5 MD PD   ，即    40, 0, 5 y b   ， 故 5 4 b y ，所以 5, 4 P x y     ，因为 P是圆 2 2 25x y  上的点， 所以 2 225 25 16 x y  ，即 2 2 1 25 16 x y   ； （2）过点  3,0 且斜率为 4 5 的直线方程为  4 3 5 y x  ， 与 2 2 1 25 16 x y   联立得： 2 3 8 0x x   ，易得 0  ， 设直线  4 3 5 y x  与 2 2 1 25 16 x y   的两交点坐标分别为    1 1 2 2, , ,x y x y ，则 1 2 3x x  ， 1 2 8x x   ， 72 故  4 3 5 y x  被 C所截线段的长度为  21 2 1 2 16 41 411 4 9 32 25 5 5 x x x x        . 17【详解】（1）依题意，得 5 3 ce a   ，则 5 3 c a ， 又 ,A C分别为椭圆上下顶点， 4AC  ，所以 2 4b  ，即 2b  ， 所以 2 2 2 4a c b   ，即 2 2 2 5 4 4 9 9 a a a   ，则 2 9a  ， 所以椭圆 E的方程为 2 2 1 9 4 x y   . （2）因为椭圆 E的方程为 2 2 1 9 4 x y   ，所以        0, 2 , 0, 2 , 3,0 , 3,0A C B D  ， 因为 P为第一象限 E上的动点，设    , 0 3,0 2P m n m n    ，则 2 2 1 9 4 m n   ， 易得 0 2 2 3 0 3BC k      ，则直线 BC的方程为 2 2 3 y x   ， 0 3 3PD n nk m m      ，则直线 PD的方程为  3 3 ny x m    ， 联立   2 2 3 3 3 y x ny x m           ，解得  3 3 2 6 3 2 6 12 3 2 6 n m x n m ny n m           ，即  3 3 2 6 12, 3 2 6 3 2 6 n m nM n m n m          ，而 2 2 0PA n nk m m      ，则 直线 PA的方程为 2 2ny x m    ，令 = 2y  ，则 22 2n x m     ，解得 4 2 mx n    ，即 4 , 2 2 mN n     ， 又 2 2 1 9 4 m n   ，则 2 2 99 4 nm   ， 2 28 72 18m n  ， 所以           12 2 6 4 12 23 2 6 3 3 2 6 9 6 18 2 4 3 2 64 3 2 6 2 MN n n m nn mk n m n m n m n mm n m n                     2 2 2 2 2 2 6 4 8 24 6 4 8 24 9 8 6 12 36 9 6 12 3672 18 n mn m n mn m n m mn m n mn n m                       22 2 2 2 3 2 4 126 4 8 24 2 9 6 12 36 33 3 2 4 12 n mn mn mn m n mn m n mn m                   ， 又 0 2 2 3 0 3CD k    ，即 MN CDk k ， 显然，MN与CD不重合，所以 //MN CD . 18【详解】（1）设    , , ,A A B BA x y B x y ， 由 2 2 1 0 2 x y y px      可得， 2 4 2 0y py p   ，所以 4 , 2A B A By y p y y p   ，所以       2 2 2 5 5 4 4 15 A B A B A B A B A B AB x x y y y y y y y y            ， 即 22 6 0p p   ，因为 0p  ，解得： 2p  ． （2）因为  1,0F ，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN： x my n  ，    1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 由 2 4y x x my n      可得， 2 4 4 0y my n   ，所以， 1 2 1 24 , 4y y m y y n    ， 2 216 16 0 0m n m n       ， 因为 0FM FN    ，所以   1 2 1 21 1 0x x y y    ， 即   1 2 1 21 1 0my n my n y y      ， 亦即        22 1 2 1 21 1 1 0m y y m n y y n       ， 将 1 2 1 24 , 4y y m y y n    代入得， 2 24 6 1m n n   ，    224 1 0m n n    ， 所以 1n  ，且 2 6 1 0n n   ，解得 3 2 2n   或 3 2 2n   ． 设点 F 到直线MN的距离为d ，所以 2 1 1 n d m    ，    2 2 2 2 21 2 1 2 1 21 1 16 16MN x x y y m y y m m n           2 2 21 4 6 1 16 2 1 1m n n n m n        ， 所以 MFN△ 的面积  22 2 11 1 2 1 1 1 2 2 1 n S MN d m n n m             ， 而 3 2 2n   或 3 2 2n   ，所以， 当 3 2 2n   时， MFN△ 的面积  2min 2 2 2 12 8 2S     ． 19【详解】（1）解：设双曲线C的方程为 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     ． 由题设得 2 2 9 5 2 a b b a        ，解得 2 2 4 5 a b     ，所以双曲线方程为 2 2 1 4 5 x y   ． （2）设直线 l的方程为 ( 0)y kx m k   ． 点 1(M x ， 1)y ， 2(N x ， 2 )y 的坐标满足方程组 2 2 1 4 5 y kx m x y       将①式代入②式，得 2 2( ) 1 4 5 x kx m   ，整理得 2 2 2(5 4 ) 8 4 20 0k x kmx m     ． 此方程有两个不等实根，于是 25 4 0k  ，且 △ 2 2 2( 8 ) 4(5 4 )(4 20) 0km k m      ． 整理得 2 25 4 0m k   ． ③ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标 0(x ， 0 )y 满足 1 2 0 2 4 2 5 4 x x kmx k     ， 0 0 2 5 5 4 my kx m k     ． 从而线段MN的垂直平分线方程为 2 2 5 1 4( ) 5 4 5 4 m kmy x k k k       ．此直线与 x轴， y轴的交点 坐标分别为 2 9( ,0) 5 4 km k ， 2 9(0, ) 5 4 m k ． 由题设可得 2 2 1 9 9 81| | | | 2 5 4 5 4 2 km m k k     ． 整理得 2 2 2 (5 4 ) | | km k   ， 0k  ． 将上式代入③式得 2 2 2(5 4 ) 5 4 0 | | k k k     ，整理得 2 2(4 5)(4 | | 5) 0k k k    ， 0k  ． 解得 50 | | 2 k  或 5| | 4 k  ． 所以 k的取值范围是 5 5 5 5( , ) ( ,0) (0, ) ( , ) 4 2 2 4         ．