专题17 二次函数及其应用（7考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（广东专用）

专题17 二次函数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 二次函数的图象及性质 2021·深圳卷：二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质 2024·广东卷：二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点 2024·广州卷：二次函数以及反比例函数的图象和性质 2022·广州卷：二次函数图像的性质 2023·广州卷：二次函数的增减性 二次函数及其性质是中考中重点考查内容，包括：二次函数的表达式、待定系数法、对称轴公式、顶点坐标、函数值的大小比较，在解题时，常需要自己画出函数图辅助分析，通过分类讨论及数形结合思想，寻找解题关键点。同学们，在复习时，还需注意二次函数背景的实际问题、以及一些综合题也会涉及二次函数的相关知识点。 考点2 待定系数法求二次函数解析式 2021·广州卷：待定系数法求抛物线解析式，和函数值 考点3 二次函数图象的平移 2021·广东卷、2020·广东卷：函数图像的平移 考点4 二次函数与几何求值 2023·广东卷：二次函数的图象与性质及正方形的性质 2021·广东卷：二次函数的性质，圆的相关知识 考点5 二次函数最值应用 2021·广东卷：面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题 2020·广州卷：二次函数模型的应用求最小值 考点6 二次函数图象与系数的关系 2020·深圳卷：抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性 2020·广东卷：二次函数的图像和性质 考点7 二次函数的综合应用 2024·广东卷：二次函数的实际应用-最大利润问题 2021·广东卷：分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用 2021·深圳卷：待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值 2022·广东卷：二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象 2022·深圳卷：二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 2021·广东广州二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用 考点1 二次函数的图象及性质 1. （2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 2. （2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 3. （2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 4. （2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大． 【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意． 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意． 抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意． 故选C 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． 5. （2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】解：的对称轴为y轴， ∵， ∴开口向上，当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性． 考点2 待定系数法求二次函数解析式 6. （2021·广东广州·中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可． 解法二：利用二次函数图象的对称性可知：和对应的函数值相等，从而得解． 【详解】解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点， ∴， 解方程组得， ∴抛物线解析式为， 当时，． 故选择A． 解法二：抛物线经过点、， ∴抛物线的对称轴为：， 又∵， ∴和的函数值相等，即均为， 故选择A． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果． 考点3 二次函数图象的平移 7. （2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 8. （2020·广东·中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答． 【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答的重点在于熟练掌握图象平移时函数表达式的变化特点． 考点4 二次函数与几何求值 9. （2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，如图所示：    当时，则，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴点， ∴， 解得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键． 10. （2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设A(a，a²)，B(b，b²)，求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 【详解】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A(a，a²)，B(b，b²)，其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A(a，a²)， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 考点5 二次函数最值应用 11. （2021·广东·中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由已知可得a+b=6，，把b=6-a代入S的表达式中得： ，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S的最大值． 【详解】∵p=5，c=4， ∴a+b=2p-c=6 ∴ 由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得： 设，当取得最大值时，S也取得最大值 ∵ ∴当a=3时，取得最大值4 ∴S的最大值为 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题． 12. （2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当 时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当 时，最小． 【答案】 10.0； ． 【分析】（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值； （2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值． 【详解】解：（1）整理得：， 设， 由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值， 即：当时，的值最小， 故答案为：10.0； （2）整理得：， 设，由二次函数性质可知： 当时，有最小值， 即：当时，的值最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可． 考点6 二次函数图象与系数的关系 13. （2020·广东深圳·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A． B．4ac-b2＞0 C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1无实数根 【答案】B 【分析】根据函数图象确定a、b、c的符号判断A；根据抛物线与x轴的交点判断B；利用抛物线的对称轴得到b=2a，再根据抛物线的对称性求得c=-3a即可判断C；利用抛物线的顶点坐标判断抛物线与直线y=n+1即可判断D． 【详解】由函数图象知a<0， c>0，由对称轴在y轴左侧，a与b同号，得b<0，故abc>0，选项A正确； 二次函数与x轴有两个交点，故∆=，则选项B错误， 由图可知二次函数对称轴为x=-1，得b=2a， 根据对称性可得函数与x轴的另一交点坐标为(1，0)， 代入解析式y=ax2+bx+c可得c=-3a， ∴3a+c=0，选项C正确； ∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（-1，n）， ∴抛物线与直线y=n+1没有交点，故D正确； 故选：B． 【点睛】此题考查抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性，正确理解和掌握y=ax2+bx+c型抛物线的性质及特征是解题的关键． 14. （2020·广东·中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案． 【详解】解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号． 考点7 二次函数的综合应用 15. （2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 16. （2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元 【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可； （2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可． 【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元． 则 解得：，经检验是方程的解． ∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． 答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元． （2）由题意得，当时，每天可售100盒． 当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为() ∴， 配方得： 当时，y取最大值为1750元． ∴，最大利润为1750元． 答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键． 17. （2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示： x（万元） 10 12 14 16 y（件） 40 30 20 10 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 【答案】（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元 【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：， 则， 解得：， 故y与x的函数关系式为： ； （2）设总销售利润为W， 则有：， 当，销售利润万， 即单价为13万时，最大获利125万元． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系． 18. （2022·广东·中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q． (1)求该抛物线的解析式； (2)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 【答案】(1) (2)2；P（-1，0） 【分析】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式； （2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由列出函数式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，0），AB=4， ∴点B的坐标为（-3，0）， 将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得： ， 解得：b=2，c=-3， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 顶点式为：， 则C点坐标为：（-1，-4）， 由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6， 由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2， ∵PQ∥BC， 设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P， 由解得：， ∵P在线段AB上， ∴， ∴n的取值范围为-6＜n＜2， 则 ∴当n=-2时，即P（-1，0）时，最大，最大值为2． 【点睛】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 19. （2022·广东深圳·中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上． (1)的值为                      ； (2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标； (3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则                    （填“”或“”或“”） 【答案】(1) (2)图见解析，和 (3)或 【分析】（1）把点代入即可求解． （2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解． （3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴． （2）平移后的图象如图所示： 由题意得：， 解得， 当时，，则交点坐标为：， 当时，，则交点坐标为：， 综上所述：与的交点坐标分别为和． （3）由平移后的二次函数可得：对称轴，， ∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， ∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则， 当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则， 综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 20. （2021·广东广州·中考真题）已知抛物线 （1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x顶点 或x顶点或x顶点 【分析】（1）先求出函数关系式，再把（2，4）代入进行判断即可； （2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可； （3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可． 【详解】解：（1）把m=0代入得， 当x=2时， 所以，点（2，4）不在该抛物线上； （2） = ∴抛物线的顶点坐标为（，） ∴纵坐标为 令 ∵ ∴抛物线有最高点， ∴当m=3时，有最大值， 将m=3代入顶点坐标得（2，5）； （3）∵E（-1，-1），F（3，7） 设直线EF的解析式为 把点E，点F的坐标代入得 解得， ∴直线EF的解析式为 将代入得， 整理，得： 解得 则交点为：（2，5）和（m+1，2m+3）， 而（2，5）在线段EF上， ∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合， ∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5）， ∴此时抛物线顶点横坐标x顶点或x顶点=或x顶点= 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用． 21. （2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符合，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 故选：B． 22. （2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题； 由抛物线的对称性求得对称轴为直线，即可得到，求得，即可求得，从而求得二次函数与y轴的交点坐标为． 【详解】解：和两点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为直线， ， 解得， ， 二次函数与y轴的交点坐标为． 故选：B． 23. （2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象的交点，分两组情况讨论，当时，两条直线不平行，有交点，当时，抛物线和直线有交点，联立函数得方程有实数解．即，求解即可． 【详解】解：当时，即，，与直线不平行，故有交点， 当时，函数的图象与直线有交点， 即时， ， 综上所述：实数的取值范围是， 故选：B． 24. （2024·广东·三模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的综合，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 先确定抛物线的顶点坐标，于是有，再确定物线与轴的交点坐标为，，再代入解析式求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 将代入中，得， ∴抛物线顶点坐标为． ∵抛物线开口向下，顶点到x轴的距离为6， ∴，即， ∴． 又∵抛物线与x轴两个交点之间的距离为4a， ∴抛物线经过点，，将点代入中， 得， 整理得， 解得， ∴， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：D． 25. （2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题以二次函数为背景，考查了二次函数图象与系数的关系，难度适中，利用特殊点解决字母系数的范围是解决本题的关键． ①利用特殊点和对称轴在轴左侧分类讨论字母系数的正负，得出结论； ②将看成一个整体，那么是关于方程的一个根，令得出结论； ③利用抛物线与轴两交点之间的距离，得出、、之间的关系； ④根据已知条件判断随的变化规律，得出结论． 【详解】解：图象经过， ， 若对称轴在轴的左侧则， 当时，，则，此时； 当时，，则，此时． ①正确． ， ， 的一个根为， 的一个根为：， 即． ②正确． 抛物线与轴两交点之间的距离为：， ， 即， ， ③正确． 若， 开口向上，与轴交于正半轴， ， ， 则对称轴， 当时，、的大小关系不确定． ④错误． 综上①②③正确， 故选：A． 26. （2024·广东佛山·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．根据抛物线开口向下即可判断①，找出关于直线对称的点，再根据二次函数的性质可判断②，方程的解可看作抛物线向上平移一个单位与轴的交点，找出交点个数可判断③，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故①正确， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 关于直线对称的点为， 又， ，故②正确， 方程的解可看作抛物线向上平移一个单位， 由图象可知抛物线与轴有两个交点， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， 关于直线对称的点为， 的取值范围为，故④正确． 故正确的有①②④； 故选：C． 27. （2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解， 【详解】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ∴， ∴抛物线经过点， ∵抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ∴， 当时，，（舍）或， ∴， 故选：B． 28. （2024·广东广州·二模）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①先求抛物线的解析式，再根据抛物线的顶点坐标，判断平移方向和平移距离即可判断②；②根据非负数的相反数或者直接由图像判断即可；③先根据题意得出时，观察图像可知，然后计算，进而根据一次函数的性质即可判断；④分别计算出的坐标，根据正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】①抛物线与抛物线交于点， ， 即， 解得， 抛物线， 抛物线的顶点，抛物线的顶点为， 将向右平移3个单位，再向下平移3个单位即为， 即抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到， 故①正确； ②， ， ， 无论取何值，总是负数， 故②正确； ③， 将代入抛物线， 解得， ， 将代入抛物线， 解得， ， ，从图像可知抛物线的图像在抛物线图像的上方， 当，随着的增大，的值减小， 故③不正确； ④设与轴交于点， ， ， 由③可知 ，， ，， 当时，， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与性质，一次函数的性质，平移，正方形的判定定理，解题的关键是综合运用以上知识． 29. （2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系． 根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④． 【详解】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y 左侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵其对称轴为直线 ∴，则， 由图可知，当时，函数值大于0， ∴，故②正确，符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，， ∴ ；故③不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，交y轴于点， ∴抛物线经过， ∴当或时，， 即当或时，，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④，共3个， 故选：C． 30. （2024·广东广州·二模）二次函数图象过点对称轴为直线，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意可得：由抛物线过，从而可得对称轴是直线计算即可． 【详解】解：由题意可得： ∵抛物线过， ∴对称轴是直线， 解得：． 故答案为：． 31. （2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数比较函数值大小，涉及二次函数图象与性质，由二次函数图象与性质得到抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大，求出到对称轴距离，比较距离大小即可得到函数值大小，熟练掌握二次函数比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由可知，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越大， 点到对称轴的距离为；点到对称轴的距离为；且， ， 故答案为：． 32. （2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解． 【详解】解：令得，， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为． 方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标． 因为该方程恰有3个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有3个不同的交点． 如图所示， 当时，两个图象有3个不同的交点， 所以m的值为4． 故答案为：4． 33. （2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱． (1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？ (2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元 (2)当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）设售价定为元，且，依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可； （2）依题意得，，由，可知当时，y随x的增大而增大，即当时，y有最大值，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：设售价定为元，且， 依题意得，，整理得，， 解得，或（舍去）， 答：如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为元． （2）解：依题意得，， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴当每箱售价定为元时，每天的销售利润y最大，最大利润是元． 34. （2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线． (1)若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； (2)若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①由根的判别式得，即可求解； ②由平移得，可得方程 ，由根的判别式得，由求根公式得，由二次函数的增减性得 ，即可求解； （2）由，得当时，，当时，，由此可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线与直线只有一个交点， ∴方程有相等实数根， ∴， ∴， 整理，得； ②将直线向上平移t个单位， ， ， 整理得：， ， 由①得：， ， ， ， ， ①， 当时，随x的增大而减小， ， ， ， 整理得：， ②， 由①②得：， t取最小整数， ； （2）解：抛物线与直线有两个交点， 此方程有两个实根、， 且满足，， 当时，， 当时，， ∴， ， ， ①， ②， ①②得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数与直线交点问题，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的求根公式，二次函数的性质等；理解利用二次函数图象解一元二次方程的解法，掌握二次函数的性质，一元二次方程根的个数与判别式的关系是解题的关键． 35. （2024·广东珠海·三模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．    (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，__________ (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有__________个交点，所以对应的方程有__________个不相等的实数根； ②方程有__________个不相等的实数根； ③关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__________． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)①函数的图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而增大 (4)①3，3，②2，③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键． （1）把代入函数解释式即可得的值； （2）描点、连线即可得到函数的图象； （3）根据函数图象得到函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而增大； （4）①根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到的取值范围是． 【详解】（1）解：把代入得， 即， 故答案为：0； （2）解：描点、连线，补全图形如图所示；    （3）解：由函数图象知：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大； （4）解：①由函数图象知：函数图象与轴有3个交点，所以对应的方程有3个不相等的实数根； ②如图，的图象与直线有两个交点， 有2个不相等的实数根； ③由函数图象知：关于的方程有4个不相等的实数根， 的取值范围是， 故答案为：3，3，2，． 36. （2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 37. （2024·广东云浮·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点，其中点在抛物线对称轴的左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)． 【分析】（）由抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （）过点作直线于点，可证，得出，即，得出，再运用待定系数法可得直线的解析式为，联立方程组即可求得点的坐标． 【详解】（1）抛物线经过点，对称轴过点， 抛物线的对称轴为直线，， 抛物线与轴的另一个交点为，代入，得， 解得：， 该抛物线解析式为； （2）如图1，过点作直线于点， 直线过点且垂直于轴， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为， 由， 解得：，（舍去）， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，得， 解得：（舍去），， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，求一次函数和二次函数图象的交点，相似三角形的判定和性质，解题的关键熟练掌握知识点的应用，学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题． 38. （2024·广东阳江·二模）某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． (1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． (2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)①；②每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意可得，方程组，计算即可得解； （2）①依据题意，月销售利润，再结合售价不能高于40元，可得自变量的取值范围； ②依据题意，由①的结论整理得，进而结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】（1）解：因该玩具每件的进价为元和售价为元， 由题意得， 解得， ∴； （2）解：①因为每件玩具的销售单价上涨了元时，月销售利润为元，由题意得： 与的函数关系式为：， 的取值范围为：； ②由①得： ，， 当时，有最大值为2722.5， 答：每件玩具的售价定为36.5元时，月获得最大利润，最大的月利润是2722.5元． 39. （2024·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．             素材2 路边的绿化带宽4米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．             问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式． 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． 任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据） 【答案】任务1：； 任务2：灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由见解析 任务3：有影响，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，求函数值，二次函数的性质； 任务一：待定系数法求解析式，即可求解； 任务二：根据题意，求得下边缘的抛物线解析式为，分别令，得出抛物线与坐标轴的交点，两交点的距离，即为所求； 任务三：依题意，绿化带正中间种植了行道树，令，求得的值，然后令，进而得出结论． 【详解】解：（1）∵上边缘抛物线的顶点坐标为， ∴设上边缘抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴； （2）上边缘抛物线的表达式：，将代入得， 解得（舍去），， ∵下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点， ∴下边缘抛物线的表达式：， 将代入得，解得（舍去），， ∵路边的绿化带宽4米，（米）， ∴灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带； （3）根据题意得，将代入， ∴， ∴有影响， 当时，，解得， ∴ 答：将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少2.46米才不影响行道树防治病虫害． 40. （2024·广东广州·二模）已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为． (1)若抛物线过点A，求抛物线解析式； (2)若抛物线与直线只有一个交点，求a的值． (3)把抛物线沿直线方向平移个单位（规定：射线方向为正方向）得到抛物线，若对于抛物线，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3)时，． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、二次函数图像的平移等知识点，掌握二次函数图像的性质是解题的关键． （1）把A点坐标代入解析式求出a的值即可； （2）首先求出直线的解析式，再根据直线与抛物线有一个交点求得a的值即可； （3）先求出，即可求得水平方向和垂直方向的平移距离，然后求得新的抛物线的对称轴，然后再分和两种情况，分别运用抛物线的增减性即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线过点A，点A坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为． 故答案为：． （2）∵点A坐标为， ∴直线为， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴有两个相等的解， 即有两个相等的解， ∴ 解得或； （3）解：∵， ∴, ∴抛物线沿直线方向平移t个单位相当于水平移动了个单位再竖直方向移动了个单位， ∴抛物线的对称轴为， 当时，y随x的增大而增大，分两种情况： ①时，对称轴为直线或在直线左侧， ∴得，不符合题意； ②时，对称轴为直线或在直线右侧， ∴得； 综上：当时，符合题意． 41. （2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用， （1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可． 【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，      则点A的坐标为， 设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得 ，解得， 滑道所在抛物线的函数表达式为； （2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系   运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得， 即 运动员到达最高处时与点A的水平距离6； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，   点Q在底面下方竖直距离， 把代入得， ， 解得， 点， ，， ， ， 设与k的函数解析式为， 把代入得，， 解得， ， ， 射线的解析式可化为， 把，代入得， ， 解得， 俯角至少15度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 二次函数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 二次函数的图象及性质 2021·深圳卷：二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质 2024·广东卷：二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点 2024·广州卷：二次函数以及反比例函数的图象和性质 2022·广州卷：二次函数图像的性质 2023·广州卷：二次函数的增减性 二次函数及其性质是中考中重点考查内容，包括：二次函数的表达式、待定系数法、对称轴公式、顶点坐标、函数值的大小比较，在解题时，常需要自己画出函数图辅助分析，通过分类讨论及数形结合思想，寻找解题关键点。同学们，在复习时，还需注意二次函数背景的实际问题、以及一些综合题也会涉及二次函数的相关知识点。 考点2 待定系数法求二次函数解析式 2021·广州卷：待定系数法求抛物线解析式，和函数值 考点3 二次函数图象的平移 2021·广东卷、2020·广东卷：函数图像的平移 考点4 二次函数与几何求值 2023·广东卷：二次函数的图象与性质及正方形的性质 2021·广东卷：二次函数的性质，圆的相关知识 考点5 二次函数最值应用 2021·广东卷：面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题 2020·广州卷：二次函数模型的应用求最小值 考点6 二次函数图象与系数的关系 2020·深圳卷：抛物线的性质，抛物线的图象与点坐标，抛物线的对称性 2020·广东卷：二次函数的图像和性质 考点7 二次函数的综合应用 2024·广东卷：二次函数的实际应用-最大利润问题 2021·广东卷：分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用 2021·深圳卷：待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值 2022·广东卷：二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象 2022·深圳卷：二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 2021·广东广州二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用 考点1 二次函数的图象及性质 1. （2021·广东深圳·中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2. （2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 3. （2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 4. （2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小 5. （2023·广东广州·中考真题）已知点，在抛物线上，且，则_________．（填“<”或“>”或“=”） 考点2 待定系数法求二次函数解析式 6. （2021·广东广州·中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（    ） A． B． C． D．5 考点3 二次函数图象的平移 7. （2021·广东·中考真题）把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 8. （2020·广东·中考真题）把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 考点4 二次函数与几何求值 9. （2023·广东·中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（   ）    A． B． C． D． 10. （2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 考点5 二次函数最值应用 11. （2021·广东·中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 12. （2020·广东广州·中考真题）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当 时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当 时，最小． 考点6 二次函数图象与系数的关系 13. （2020·广东深圳·中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（   ） A． B．4ac-b2＞0 C．3a+c=0 D．ax2+bx+c=n+1无实数根 14. （2020·广东·中考真题）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点7 二次函数的综合应用 15. （2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 16. （2021·广东·中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． （1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； （2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 17. （2021·广东深圳·中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示： x（万元） 10 12 14 16 y（件） 40 30 20 10 （1）求y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？ 18. （2022·广东·中考真题）如图，抛物线（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作//交于点Q． (1)求该抛物线的解析式； (2)求面积的最大值，并求此时P点坐标． 19. （2022·广东深圳·中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上． (1)的值为                      ； (2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标； (3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则                    （填“”或“”或“”） 20. （2021·广东广州·中考真题）已知抛物线 （1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上； （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围． 21. （2024·广东深圳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 22. （2024·广东广州·二模）已知二次函数（a为常数）的图象经过和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 23. （2024·广东汕头·二模）若函数的图象与直线有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 24. （2024·广东·三模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点到x轴的距离为6，与x轴两个交点之间的距离为4a，则该抛物线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 25. （2024·广东广州·三模）已知二次函数的图像经过，下列结论：①若图像对称轴在y轴左侧，则；②是方程的一个根；③若图像与x轴的另一个交点在和之间，则；④点在抛物线上，若，则当时，．其中正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 26. （2024·广东佛山·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③关于x的一元二次方程没有实数根；④满足的x的取值范围为．其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27. （2024·广东深圳·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 28. （2024·广东广州·二模）如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与轴交于点D，E．过点作轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，总是负数； ③当时，随着x的增大，的值先增大后减小； ④四边形为正方形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29. （2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30. （2024·广东广州·二模）二次函数图象过点对称轴为直线，则 ． 31. （2024·广东东莞·三模）若点在抛物线上，则的大小关系为 （用“”连接）． 32. （2024·广东深圳·二模）已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 33. （2024·广东广州·二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是元．超市规定每箱售价不得少于元且不得多于元，根据以往经验发现：当售价定为每箱元时，每天可以卖出箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出箱． (1)如果超市想要每天获得的利润为元，则售价定为多少元？ (2)当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 34. （2024·广东广州·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线． (1)若抛物线与直线只有一个交点． ①求a与b之间的关系式； ②将直线向上平移t个单位，与抛物线两个交点横坐标分别为、，当时，随x的增大而减小，求t的最小整数值； (2) 若抛物线与直线有二个交点，，且满足，此时设抛物线对称轴为直线，求m的取值范围． 35. （2024·广东珠海·三模）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．    (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 m 0 0 3 … 其中，__________ (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)观察函数图象，写出两条函数的性质． (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有__________个交点，所以对应的方程有__________个不相等的实数根； ②方程有__________个不相等的实数根； ③关于x的方程有4个不相等的实数根时，a的取值范围是__________． 36. （2024·广东东莞·三模）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 37. （2024·广东云浮·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，对称轴过点，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点，交直线于点，其中点在抛物线对称轴的左侧． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标． 38. （2024·广东阳江·二模）某商店经营儿童益智玩具，成批购进后，将每件玩具的进价提高后作为售价，已知商店购进60套这种玩具，售完后盈利为600元． (1)设该玩具每件的进价为元和售价为元，求出和的值． (2)调查发现：在（1）的情况下，该玩具每件的售价为元时，月销售量为230件，而每件的售价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件的售价不能高于40元．设每件玩具的售价上涨了元时，月销售利润为元． ①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围． ②当每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月销售利润为多少？ 39. （2024·广东深圳·二模）根据以下素材，探索完成任务． 绿化带灌溉车的操作方案 素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点．             素材2 路边的绿化带宽4米 素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人需要给树木“打针”．针一般打在离地面1.3米到2米的高度（不包含端点）．             问题解决 任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式． 任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请说明理由． 任务3 拟定设计方案 灌溉时，为了不影响行道树防治病虫害，喷洒水流不能喷到“打针”区段．那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针“是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给绿化部门建议，将行道树栽种在离绿化带右边沿的距离至少多少米才不影响行道树防治病虫害． （参考数据） 40. （2024·广东广州·二模）已知抛物线，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为． (1)若抛物线过点A，求抛物线解析式； (2)若抛物线与直线只有一个交点，求a的值． (3)把抛物线沿直线方向平移个单位（规定：射线方向为正方向）得到抛物线，若对于抛物线，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 41. （2024·广东深圳·三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．    任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P ③落点Q在底面下方竖直距离． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角 （3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示． 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$