专题14 点与圆、直线与圆的位置关系（5考点）-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（广东专用）

专题14 点与圆、直线与圆的位置关系 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 点与圆的位置关系 2024·广州卷：垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数 在中考中，与圆有关的位置关系、与切线有关的计算常以填选形式考察，而圆的切线判定及性质常出现在圆的综合大题中，解决与圆有关的综合题目不仅需要掌握圆的基本性质、圆切线的判定和性质，及圆中的一些计算，还需要我们熟练的结合全等三角形、相似三角形、特殊四边形、特殊三角形、三角函数、解三角形等综合分析问题，并需要考生注意几何大题的逻辑语言使用，在解答时，思路要清晰、书写要工整，做到每一步都有理有据。 考点2 直线与圆的位置关系 2020·广州卷：由三角函数解直角三角形、勾股定理、直线和圆的位置关系 2021·广州卷：直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式 考点3 切线的性质 2022·深圳卷：圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质 2022·广州卷：等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的性质、三角形的内角和定理的应用、弧长的计算 2020·深圳卷：切线的性质、相似三角形 2024·深圳卷：切线的性质、圆周角定理、中垂线的判定和性质、矩形的判定和性质 考点4 切线的判定 2023·深圳卷：格点作图、圆切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定 2020·广东卷：圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数 考点5 切线长定理 2023·广州卷：三角形内切圆、切线长定理、圆周角定理、切线的性质 考点1 点与圆的位置关系 1. （2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故选：C． 考点2 直线与圆的位置关系 2. （2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系． 【详解】解：∵中，， ， ∴cosA= ∵， ∴AC=4 ∴BC= 当时，与的位置关系是：相切 故选：B 【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键． 3. （2021·广东广州·中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用v形架与圆的关系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧长公式求即可． 【详解】解：∵AC与BC是圆的切线， ∴OA⊥AC，OB⊥CB， ∴∠OAC=∠OBC=90°， ∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=180°-60°=120°， ∵OB=24cm, ∴=cm． 故选择B． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式，掌握直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式是解题关键． 考点3 切线的性质 4. （2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可． 【详解】解：如图取中点O，连接． ∵是圆O的直径． ∴． ∵与圆O相切． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴． 又∵． ∴． ∵，，． ∴． ∴． ∵点O是的中点． ∴． ∴． ∴ 故答案是：1∶2． 故选：B． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提． 5. （2022·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留） 【答案】 【分析】如图，连接OD，OE，证明 可得 再证明 可得 再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，连接OD，OE， ∵ ∴ ∵与边AB相切于点D， ∴ ∴ 的长 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，切线的性质，三角形的内角和定理的应用，弧长的计算，求解是解本题的关键． 6. （2020·广东深圳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．    （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB． (2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可． 【详解】   （1）证明：连接OC ∵CD与⊙O相切于C点 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AE ∴OC//AE ∴∠OCB＝∠E ∵OC=OB ∴∠ABE＝∠OCB ∴∠ABE＝∠E ∴AE=AB （2）连接AC ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∵AB=AE，AC⊥BE ∴EC=BC=6 ∵∠DEC＝∠CEA, ∠EDC＝∠ECA ∴△EDC∽△ECA ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解． 7. （2024·广东深圳·中考真题） 如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质： （1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证； （2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：连接并延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； 小问2详解】 由（1）知四边形为矩形，，， ∴， ∴， 设的半径为，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 即：的半径为． 考点4 切线的判定 8. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 【答案】(1)画图见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴解得． 【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9. （2020·广东·中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分． （1）求证：直线与相切； （2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）如图（见解析），先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，，再根据圆的切线的判定、切线长定理可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，设，从而可得，又根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，最后根据正切三角函数的定义即可得． 【详解】（1）如图，过点作于点 ∵， ∴，即 又∵平分， ∴ 即OE是的半径 ∴直线与相切； （2）如图，连接，延长交延长线于点 由圆周角定理得：， 是的直径，， AD、BC都是的切线 由切线长定理得： ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ 设，则 在和中， ，即 解得 在中， 则． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． 考点5 切线长定理 10. （2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ） A. 2r， B. 0， C. 2r， D. 0， 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 11. （2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，明白要作、求出是解题的关键． 根据题意画出，并过点作于点，根据等腰三角形三线合一求得的长，再利用勾股定理求得的长，把与圆的半径比较大小，判定该圆与的位置关系即可． 【详解】解：如图，根据题意画出，并过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴以点为圆心，为半径的圆，与的位置关系是相离， 故选：A． 12. （2024·广东河源·二模）如图，是的切线，切点分别为点A、B，点C为上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，先由切线的性质得到，再由四边形内角和为360度求出，则由圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 13. （2024·广东汕头·一模）如图，为的直径，是的切线，点A是切点，连接交于点D，连接，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理．先根据切线的性质得到，再利用互余计算出，然后根据圆周角定理得到的度数． 【详解】解：∵为的直径，是的切线，点A是切点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴． 故选：D． 14. （2024·广东广州·二模）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的定义，解直角三角形，直径所对的圆周角，解题的关键是掌握切线的定义，熟记各个特殊角度的三角函数值，以及直径所对的圆周角是直角． 连接，得出，易得，，推出，则是等边三角形，进而得出，再根据圆周角定理得出，根据勾股定理得出，即可得出． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点C， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的面积， 故选：D． 15. （2024·广东清远·三模）如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．    【答案】/70度 【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据题意得出，再由多边形内角和得出，最后利用圆周角定理即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 16. （2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，扇形面积的计算，根据内切圆的性质可得图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积，进而即可求解．解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心． 【详解】解：设是的内切圆与，，的切点分别为，，，令，与分别交于，， 则、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 由圆的对称性及角平分线的对称性可知，图中阴影部分面积和是的面积扇形的面积， ∴， 故答案为：． 17. （2024·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求 ． （2）求的最大值为 ． 【答案】 或 / 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定； （1）分情况讨论，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （2）以为斜边构造直角三角形且满足，，证明，得出进而得出，进而根据点到圆上的距离最值问题，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵的半径长为，为直径，， ∴ 又∵是的切线， ∴， ∴ ∵，． ∴, ∵ ∴ ∴ 在中，； 如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ 在中， 故答案为：或． （2）如图所示，以为斜边构造直角三角形且满足，， 则 ∵， ∴， ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最大值为 故答案为：． 18. （2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．    (1)求证：平分； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则根据平行线的判定方法得到，再利用平行线的性质得到，加上，从而得到； （2）根据圆周角定理得，再证明，利用相似三角形的性质得到，则，接着利用正弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值求解． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 【详解】（1）证明：连接，如图，   为的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：是的直径， ， ，， ， ， ， 在中， ， ， ． 19. （2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图应用与设计作图，切线的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）连接，与的垂直平分线的交点O即为圆心； （2）取格点P、Q、T，连接，取的中点D，连接，则直线即为所作的切线（可证明，得，从而）； （3）先利用勾股定理求出直径，则可得圆的半径；根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，直线CD即为所求． （3）解：∵由勾股定理得 ， ∴的面积． ， ． 20. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为． (1)过点作直线，求证：是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的相关性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键正确作出辅助线． （1）连接，，，由角平分线的定义可得，推出，得到，最后根据平行线的性质即可证明； （2）连接并延长交于，连接，由是直径，得到，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，，， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：如图，连接并延长交于，连接， 是直径， ，， 又， ， ， ， ， ，，， ． 21. （2024·广东东莞·一模）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）先得出，进而得出，得出即可得出结论； （2）先说明，再推出，即可得出结论； （3）先求出，再推出，利用勾股定理求出，最后由得出比例式求解即可得出的长，如图，过点作于点，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是⊙O的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径，，， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴的长为，的长为． 【点睛】本题是圆的综合题，考查直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，圆心角、圆周角、弦、弧之间的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的补角相等，平行线的性质等知识点．判断出、掌握圆的基本性质是解题的关键． 22. （2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接． (1)求证：为的切线 (2)求证：； (3)若，，则直接写出_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图：连接，可知进而证得，再根据圆周角定理可得，可推出，从而证得结论； （2）如图连接，利用圆周角定理即可证明； （3）由已知易证，于是；再结合已知条件可得，再根勾股定理列方程求得， ；由，然后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵是直径， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴为的切线； （2）证明：如图：连接， ∵点E为的中点， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， ， ∵； ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，能够灵活运用相关知识是解题的关键． 23. （2024·广东广州·二模）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D． (1)尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F． (2)求证：是的切线； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)5 【分析】（1）按照基本作图“过一点作已知直线的垂线”的作法，作交的延长线于点，再连接交于点即可； （2）连接，则，而，则，所以，则，即可证明是的切线； （3）作于点，则，可证明，设，由，得，则，再证明，得，则． 【详解】（1）解：作法：1．延长； 2．以点为圆心，以适当长度为半径作弧交射线于点、； 3．分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点； 4．作射线交的延长线于点； 5．连接交于点， 线段、、点就是所求的图形． （2）证明：连接，则， ， 的平分线交于， ， ， ， 交的延长线于点， ， 是的半径，且， 是的切线． （3）解：作于点，则 ∵是的切线． ∴ 平分，作于点，交的延长线于点， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的长是5． 【点睛】此题重点考查尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24. （2024·广东东莞·一模）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质，已知条件可得，进而根据平行线的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，进而根据正切值以及已知条件可得的长，勾股定理即可求得，进而即可求得圆的半径． 【详解】（1）连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正切的定义，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，理解题意添加辅助线是解题的关键． 25. （2024·广东中山·三模）如图，是的直径，且，点是上的一个动点，是的一条弦，且，点在的延长线上． (1)若，求证：是的切线； (2)若点为半圆的中点，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由圆周角定理得出，求出得到，解直角三角形得出，求出即可得证； （2）连接，则，由含角的直角三角形的性质得出，证明，推出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接， ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：连接，则， ，在中，， ， 为半圆的中点， ， 在中，． 26. （2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，求出，然后由直径得到是的切线； （2）连接，首先得出，然后由得到，然后结合菱形的性质证明即可； （3）连接交于点H，首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用代数求出，得到，进而等量代换求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 又∵为的直径， ∴是的切线； （2）证明：如图1，连接， ∵，是的直径， ∴，， ∴，即． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴，； （3）解：如图2，连接交于点H， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴，解得． 在中，． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆与四边形综合题，圆周角定理，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 27. （2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D．过点C作，垂足为点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理及其推论，平行线的判定和性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）连接，，根据圆周角定理可得，根据直径所对的圆周角是90度可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，即可求证； （2）根据角相等可得相等角的正切值也相等，即可求得，根据勾股定理求得，同理可求得，；连接，根据圆内接四边形的性质可得，故，根据等角对等边可得，根据等腰三角形的性质可得，求得，即可求得． 【详解】（1）连接， ∵点为的中点 ∴ 又∵是直径 ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，点在上 ∴是的切线 （2）∵ ∴ ∵且 ∴ 在中，由勾股定理得 在中， 故 由勾股定理得 连接 ∵， ∴，又 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 28. （2024·广东珠海·三模）如图，四边形是的内接正方形， E是外一点，平分，连接并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：为的切线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由四边形是的内接正方形，可得，由平分，可得，进而结论得证； （2）证明，由题意知，是四边形的外接圆，则，证明，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接正方形， ∴， ∵平分， ∴，即， 又∵是半径， ∴为的切线； （2）证明：∵正方形， ∴，， ∴，即， 由题意知，是四边形的外接圆， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，角平分线，正方形的性质，切线的判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握圆内接四边形，角平分线，正方形的性质，切线的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 29. （2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点是上的一点，连接、，，． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明； （2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，由勾股定理求得，得到，即可得到； ②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）①解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， ， ， ； ②如图，过点作交于点， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 30. （2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由垂直于，利用垂径定理得到D为的中点，即垂直平分，可得出，再由，得，由为圆的切线，得到垂直于，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到垂直于，即可得出结论； （2）先证明，得出，通过等量代换即可得证． （3）根据，求出．设，表示出，在中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ． 于D ． 又， ． , ， 为的半径， ∴直线为的切线． （2）， ． ， ， 即． 又， ； （3）， ． 设 ． 在中，由勾股定理，得． 解得，（不合题意，舍去）． ． 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 31. （2024·广东江门·二模）如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． (1)证明：是的切线； (2)证明：； (3)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，判定，从而得到，即可得证； （2）连接，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论； （3）先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出的长，再根据勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在上， ∴是的切线； （2）证明：如图2，连接，, ∴ ∴ ∵是的切线， ∴即 ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在中，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键． 32. （2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空：__________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)是的切线，理由见解析 (3) 【分析】（1）由是的内接三角形，是的直径，可得，则，由，可得，计算求解即可； （2）如图，连接，则，由是的直径，，可得，证明，则，，即，进而可得是的切线； （3）由，可得，则的半径为4，，由是的中点，可得，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内接三角形，是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：是的切线，理由如下； 如图，连接， ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； （3）解：∵， ∴， ∴的半径为4， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，扇形的面积，中线与面积的关系，正弦，余弦等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理，切线的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，扇形的面积，中线与面积的关系，正弦，余弦是解题的关键． 33. （2024·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E． (1)若的周长为12，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查的是切线的性质，切线长定理的含义，四边形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）由切线长定理可得答案； （2）如图，连接，，，利用切线的性质与切线长定理的含义，再结合四边形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：由切线长定理可知，，，． 则的周长． ． （2）如图，连接，，， 则，． ． 在四边形中，，， 即， ． 34. （2024·广东惠州·二模）如图1，已知在中，，，，点O为的中点，分别与，相切于点D，E，点P是上的动点，过点P作的切线交，于点M，N． (1)求点B到线段的距离； (2)如图2，当点P是的中点时，求的长； (3)与的乘积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】过点B作于点F，在中求得，即为点B到线段的距离； 连接，，连接交于点，可证得，有，结合题意可判定点P与点重合，可证得，得到，有，利用面积法得，进一步证得，得，求得和即可求得； 连接，求得，，由可证得，得到，同理可证，则有，证得，则，得到即可求得答案． 【详解】（1）解：过点B作于点F，如图， 在中，， ∵， ∴， ∴点B到线段的距离为． （2）连接，，连接交于点，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点P是的中点， ∴， ∴点P与点重合， ∵，点O为的中点， ∴，， 又∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由面积法得∶ ， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）定值，理出如下， 连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵分别与，相切于点D，E， ∴， 在和中 ∴， ∴， 同理可证，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查解直角三角形、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质和平行线的判定和性质，解题的关键是作辅助线，并找到对应的边角关系． 35. （2024·广东广州·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E． (1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； (3)过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的半径为5 【分析】（1）根据圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可； （2）根据连接，由为直径、可得出点D在上且，根据平分可得出，由内错角相等，两直线平行可得出，再结合即可得出，进而即可证出是的切线； （2）设，根据勾股定理列方程可得r值． 【详解】（1）解：圆周角定理可知是的外接圆的直径，所以作的垂直平分线，交于点O，以O为圆心以为半径画圆即可， 如图1所示，即为所求； （2）证明：如图2，连接，   平分， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：设的半径为r，   ， ， ， ， 在中，， ，， ， 解得：， 的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 36. （2024·广东深圳·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，过点D作于点E，延长交于点F，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】（1）由，，可推出，根据，可得，即可证明； （2）连接，根据圆周角定理可得，，结合，可得，根据三角函数可求出，进而求出，最后根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：连接， 是的直径， ，即，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线分线段成比例定理，切线的判定，勾股定理和解直角三角形，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 37. （2024·广东东莞·三模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求证：； (3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是定值，为200 【分析】（1）连接，由直径所对圆周角是直角可得，则，由，可知，根据，可得，进而可证得，即可证明结论； （2）由圆周角定理可知，进而可得，，再证明，结合含的直角三角形即可求解； （3）证明，得到即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴， 则， 又∵， ∴， ∴； （3）是定值，为200，理由如下： ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，为200． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，含的直角三角形以及相似三角形的性质等知识，证明是解答本题的关键． 38. （2024·广东东莞·一模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接 (1)求证：； (2)当与相切时，求的长； (3)如图2，AE与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，求证：是的切线． 【答案】(1)见解析 (2)BG＝2 (3)见解析 【分析】（1）利用圆的切性的性质定理，正方形的性质和全等三角形的判定定理得到，则，再利用全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用（1）的结论得到，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论； （3）利用（1）的结论得到，利用正方形的性质和同圆的半径相等的性质得到，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：与相切于点， ， 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ， ， ． 在和中， ， ； （2）解：当与相切时，如图， 与相切，为半径作圆， ． 由（1）知：， ， 设，则，， ， ， ， ． ； （3）证明：由（1）知：， ， ， ． ， ， ， ，， ， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定与性质定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 点与圆、直线与圆的位置关系 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 点与圆的位置关系 2024·广州卷：垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数 在中考中，与圆有关的位置关系、与切线有关的计算常以填选形式考察，而圆的切线判定及性质常出现在圆的综合大题中，解决与圆有关的综合题目不仅需要掌握圆的基本性质、圆切线的判定和性质，及圆中的一些计算，还需要我们熟练的结合全等三角形、相似三角形、特殊四边形、特殊三角形、三角函数、解三角形等综合分析问题，并需要考生注意几何大题的逻辑语言使用，在解答时，思路要清晰、书写要工整，做到每一步都有理有据。 考点2 直线与圆的位置关系 2020·广州卷：由三角函数解直角三角形、勾股定理、直线和圆的位置关系 2021·广州卷：直线与圆的位置关系，四边形内角和，弧长公式 考点3 切线的性质 2022·深圳卷：圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质 2022·广州卷：等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的性质、三角形的内角和定理的应用、弧长的计算 2020·深圳卷：切线的性质、相似三角形 2024·深圳卷：切线的性质、圆周角定理、中垂线的判定和性质、矩形的判定和性质 考点4 切线的判定 2023·深圳卷：格点作图、圆切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定 2020·广东卷：圆的切线的判定与性质、圆周角定理、切线长定理、相似三角形的判定与性质、正切三角函数 考点5 切线长定理 2023·广州卷：三角形内切圆、切线长定理、圆周角定理、切线的性质 考点1 点与圆的位置关系 1. （2024·广东广州·中考真题）如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 考点2 直线与圆的位置关系 2. （2020·广东广州·中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3. （2021·广东广州·中考真题）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若，则劣弧AB的长是（    ） A． B． C． D． 考点3 切线的性质 4. （2022·广东深圳·中考真题）如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（    ） A． B． C． D． 5. （2022·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 （结果保留） 6. （2020·广东深圳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．    （1）求证：AE=AB； （2）若AB=10，BC=6，求CD的长． 7. （2024·广东深圳·中考真题） 如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 考点4 切线的判定 8. （2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求的长度． 9. （2020·广东·中考真题）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分． （1）求证：直线与相切； （2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，.求的值． 考点5 切线长定理 10. （2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（ ） A. 2r， B. 0， C. 2r， D. 0， 11. （2024·广东广州·二模）中，，，以点为圆心，为半径画圆，那么该圆与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 12. （2024·广东河源·二模）如图，是的切线，切点分别为点A、B，点C为上一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 13. （2024·广东汕头·一模）如图，为的直径，是的切线，点A是切点，连接交于点D，连接，若，则（  ） A． B． C． D． 14. （2024·广东广州·二模）如图，是的直径，直线与相切于点C，过A，B分别作，，垂足为点D，E，连接，若，，则的面积为（    ） A．4 B． C．6 D． 15. （2024·广东清远·三模）如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．    16. （2024·广东汕头·二模）如图，已知中，，，内切圆半径为，则图中阴影部分面积是 ． 17. （2024·广东广州·二模）如图，已知的半径长为，为直径，点是一动点，，连结，以为斜边，在上方构造直角三角形且满足，． （1）若是的切线，求 ． （2）求的最大值为 ．∴ 18. （2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．    (1)求证：平分； (2)若，求的值． 19. （2024·广东深圳·三模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点．A、B、C、D四点是格点且在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图中，画出经过A、B、C这三点的圆的圆心O； (2)在图中，过点C作的切线． (3)在图中，每个小正方形边长等于1，求阴影部分的面积 20. （2024·广东深圳·模拟预测）如图，内接于，平分交边于点，交于点，过点作于点，已知的直径为． (1)过点作直线，求证：是的切线； (2)若，，求． 21. （2024·广东东莞·一模）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求和的长． 22. （2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，C为上一点，连接，延长至点D，使得，点E为的中点，连接交于点F，连接． (1)求证：为的切线 (2)求证：； (3)若，，则直接写出_______． 23. （2024·广东广州·二模）如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于D． (1)尺规作图：过点D作交的延长线于点E，交于点F． (2)求证：是的切线； (3)若，求的长． 24. （2024·广东东莞·一模）已知：如图，是的直径，，是上两点，过点的切线交的延长线于点E，，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 25. （2024·广东中山·三模）如图，是的直径，且，点是上的一个动点，是的一条弦，且，点在的延长线上． (1)若，求证：是的切线； (2)若点为半圆的中点，连接，求的长． 26. （2024·广东·三模）如图，在菱形中，是边上的高，以为直径的分别交，于点F，G，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求． 27. （2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，点C在上，且点C为的中点，连接并延长交的延长线于点D．过点C作，垂足为点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 28. （2024·广东珠海·三模）如图，四边形是的内接正方形， E是外一点，平分，连接并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：为的切线； (2)求证：． 29. （2024·广东韶关·二模）如图，为的直径，是圆上一点，是的中点，于点，延长至点，连接，， (1)求证：是的切线； (2)若点是上的一点，连接、，，． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 30. （2024·广东佛山·三模）综合与运用：如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． (1)求证：直线为的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 31. （2024·广东江门·二模）如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． (1)证明：是的切线； (2)证明：； (3)若，，求线段的长． 32. （2024·广东惠州·三模）如图，是的内接三角形，是的直径，，弦于，点是延长线上一点，且，连接． (1)填空：__________； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)取的中点，连接，求图中阴影部分的面积． 33. （2024·广东·二模）如图，P是外一点，，是的两条切线，切点分别为A，B，C为劣弧上一点，过点C作的切线，分别交，于点D，E． (1)若的周长为12，求的长； (2)若，求的度数． 34. （2024·广东惠州·二模）如图1，已知在中，，，，点O为的中点，分别与，相切于点D，E，点P是上的动点，过点P作的切线交，于点M，N． (1)求点B到线段的距离； (2)如图2，当点P是的中点时，求的长； (3)与的乘积是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 35. （2024·广东广州·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E． (1)请画出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的切线； (3)过点D作于点F，延长交于点G，若，．求的半径． 36. （2024·广东深圳·二模）如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，过点D作于点E，延长交于点F，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 37. （2024·广东东莞·三模）如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为． (1)求证：是的切线； (2)当时，求证：； (3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 38. （2024·广东东莞·一模）如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接 (1)求证：； (2)当与相切时，求的长； (3)如图2，AE与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，求证：是的切线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$